柯西积分公式课件

拉格朗日级数
天体力学
柯西积分
公式
微分方程 物理问题
二、柯西积分公式
定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z在区域D内处处解析，
C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
i
yy
C2 C1 CC
-1
1
-1OO 1 2 xx
四、小结：使用柯西积分公式的关键
主要用于计算一些被积函数形如 F z f z 的周线积分；
z z0
z
z0
是被积函数 F
z
f z
z z0
在C
内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
f (z0 )
1 dz
K z z0
2 if (z0 ).
三、典型例题
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
f (z)
例1.
C
sin z z i
dz,
其中C :
z i
来自百度文库
1.
解：z i是被积函数在C内唯一奇点，
y
iC
而sin z在复平面上处处解析,
O
x
所以，f z sin z, z0 i,
或
C
f (z) z z0
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
K z z0
K z z0
而
K
f (z0 ) dz z z0
原式=2i sin z zi
2i sin i.
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
例2.
1 dz, 其中C : z 1 1. C z2 1
C : z 2
解：被积函数有奇点1和-1，而两个奇点只有z 1在C内，
f (z)
1
原式=C
z 1 dz z 1
2 i 1
z 1 z1
五、布置作业
课本 P143 10,12.
补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
C2 C1 C3
1 0
2
谢谢！
§3.3 柯西积分公式
数学系 樊晓香
一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z在闭域D上解析， C为D的边界，则
C f z dz 0
D
z0 C
如 C sin zdz 0 , C : z i 1
y
如果被积函数在D内有奇点，怎么办
iC
如
sin z
C z i dz 0 ,
C: zi 1
O
x
(A. Cauchy,法,1789-1857)