柯西积分公式及其推论
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第三章柯西积分公式3-5
C 2
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
柯西积分公式
2! f (z) 可得 f ( z0 ) 3 dz . C 2i ( z z0 )
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
柯西积分公式的推导
柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。
设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。
柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。
留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。
而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。
推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。
2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。
3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。
对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。
4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。
因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。
5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。
6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。
7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。
8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。
3.3柯西积分公式
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | | 右边 左边 | 1 ds , 2π Γ | z z0 |
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，
d
证明 (略) 理解 如图，函数 f ( z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
D
z0 G
d
z0
G
d
z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f ( z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，
a T (t ) dt .
(返回)
b
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
T (tk ) .
T (t )
1 t ba , 记 t , 即 n ba n
1 ~ 平均气温 T lim n n
k 0
T (tk )
1 T (tk ) t b a k 0
n
n
a t0
t k t k 1
tn
b
3.2.[1]-柯西积分公式
![3.2.[1]-柯西积分公式](https://img.taocdn.com/s3/m/538cf329cfc789eb172dc895.png)
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 δ 的正向圆周 z − z0 = δ ,
由 f ( z ) 的连续性 ,
在 C 上函数 f ( z ) 的值将随着 δ 的缩小而逐渐 接近于它在圆心 z0 处的值 ,
∫C
f (z) f ( z0 ) dz 将接近于 ∫ dz . (δ 缩小) C z− z z − z0 0
这就是柯西积分公式. 证明
对∀z ∈ D
f (ζ ) 设F (ζ ) = ζ −z
C
z.
D
则F (ζ )在D内除z外解析, 以 z为心, 充分小的ρ为半径 作圆周K ρ : ζ − z = ρ
使K ρ 及其内部全含于D内,
− 对复周线Γ = C + K ρ ,由定理有
zρ K ⋅
C
ρ
D
f (ζ ) f (ζ ) ∫C ζ − z dζ = ∫Kρ ζ − z dζ
∫
z +1 =
π sin z 4 dz + z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 dz z2 − 1 1
2
2 2 = πi + πi = 2πi . 2 2
π cosθ ez 例6 求积分 ∫ dz , 并证明 ∫ e cos(sinθ )dθ = π . 0 z z =1
解
根据柯西积分公式知, 根据柯西积分公式知
− −
π
e iθ
π
= 2i ∫0 e
π
cosθ
cos(sinθ )dθ − ∫ e −π
−
π
cosθ
sin(sinθ )dθ
ez dz = 2π i , 因为 ∫ z z =1
复变函数3.4
1 f (z) C ζ z dζ f ( z )C z d 2if ( z ).
从而有如下定理
定理 3.11 设区域 D 的边界是周线( 或复周线 ) C , 函数
f ( z ) 在 D 内解析, 在 D D C 上连续， 则有 1 f ( ) ( 3.8) f (z) d . 2 i C z f ( ) 证 任意固定 z D , F ( ) z z C D 作为 的函数在 D 内除点 z 外均
则 在闭圆 z0 R 上连续，
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 2 0 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 i z Re 0 y 的平均值. 证 ： 在圆周 z R 上 ，有 z
0
0
z0 Rei , 0 2
变化而改变. 为求这个值, 积分曲线C 取作以 z 为中心,
半径为很小的δ 的正向圆周 ζ z δ ,由 f ( ) 的连续性 ,
在 C 上函数 f ( ) 的值将随着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z 处的值 , 于是,
C
f ( ) f (z) d 将接近于 d , ( 缩小) C z z
2 i f ( z )
f ( ) f ( z ) d . z
f ( ) C z d
f ( ) f ( ) f ( z ) d 2 i f ( z ) d z z
f ( ) f ( z ) f (ζ ) f ( z ) s . γ ρ ζ z dζ z ds 2 d 上述不等式表明, 只要 足够小, 左端积分的模就 可以任意小. 从而将关系式 f ( ) f ( ) f ( z ) C z d 2 i f ( z ) z d f ( ) 两端取 0 的极限, 得 d 2 i f ( z ) , C z
2-4柯西公式
小ρ >0为半径作圆周γρ>0，使γρ均在B内，在该
复通区域对函数F(ξ)应用柯西定理：
f ( ) f ( ) l z d z d f ( ) d 2if ( z ) 只须证明 lim 0 z f ( ) d 2i z f ( ) f ( ) d d 2if ( z ) d f ( z ) z z z
1 2
2
0
f ( z ei )d
例：计算
1 sin z (1) |z|4 z dz 2i 2 1 (2) dz | z| 4 z 1 z 3
解：(1) sinz在|z|=4内部及|z|=4上解析，由定 理知：
sin z 1 dz 2i sin z z 0 0 |z|4 z 2i 2 1 (2) |z|4 z 1 z 3 dz 1 2 dz dz | z| 4 z ( 1) | z| 4 z 3 1 2i
)( i)
d ，l为圆周|ξ |=2。
i 2i 9 1 5
cos z l ( z i)3 dz ，其中l为绕i一周的围线。 解：设f(z)=cosz在，n=2，得：
cos z 2i e 1 e1 l ( z i)3 dz 2! (cosz) |z i i cosi i 2
n! e z x d e dz e ( x ne x ) 2i l ( z x) n 1 dxn
x z n n
即
f ( ) l z d 2if ( z) f ( ) C a d 2if (a) 1 f ( ) f (a) C a d 2i
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( K )
而 f ( ) d f ( ) d
C z
K z
f (z) d K z
K
f ( ) f (z) d z
z
D
K
C
2if (z) f ( ) f (z) d
K z
故
f ( ) d C z
2if (z)
K
f ( ) f (z) d z
f ( ) f (z)
z 2 z 1
z1
2i sin1
例2
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
a i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式 2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f
(z0 )
1
2 i
f ( ) d C z0
1
2 i
2 0
f
(z0 R ei Rei
)
Riei d
1 2π
2π 0
f
( z0
R ei )d.
例3 设f (z)在闭圆 z R上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时
f (z) a
而且
f (0) a
试证,在圆 z R内, f (z)至少有一个零点.
设z h D 是D内另一点。
只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0
f (z h)
h
f (z) 1
2i
C
f
(
( )
z)2
d
1[ 1
h 2 i
C
f ( )
z
h
d
1
2 i
f ( ) d C z
h
2 i
C
f
(
( )
z)2
d
]
h
2i
C (
z
f ( ) h)(
z)2
d
现在估计上式右边的积分。设以z为心，以d为 半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取 z+h，使得0<|h|<d，那么当 C 时
该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
3平均值公式
定理3.12 如果函数f (z)在圆 - z0 R内解析, 在闭
圆 - z0 R上连续,则
1
f (z0 ) 2π
2π 0
f
(z0
R ei )d.
即f(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.
证明 设圆周C : z0 R ei , 0 2
1, a
F (Rei )
1 f (Rei )
1, a
从而
1 F (0) a
1 2π F (R ei )d
2π 0
1 2π F (R ei ) d 1 1 2 1 ,
2π 0
2π a a
矛盾
二 解析函数的无穷可微性
1 定理3.13 在定理3.11条件下,函数f(z)在区域D 内有各阶导数,并且有
f (n) (z) n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
,
(n
1, 2,3,...), (z
D)
注上式也可写成
(
f
(
z)
1
2i
C
f
(
) z
d
)
f (z)
C (z a)n1
dz
2 i
n!
f
(n) (a),
(n 1, 2,3,...), (a D)
该公式在求积分是常用到
证明 先证明结论关于n=1时成立。
| z | d,| z h | d,
设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度 是L，于是我们有
| h
2 i
C
(
z
f ( ) h)(
z)2
d
|
|h|
2
ML d3
,
因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。
现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，
结论成立。取z及z+h同上，那么有
z.
D
C
则F( )在D内除z外解析,
以 z为心, 充分小的为半径
作圆周K : z
使K 及其内部全含于D内,
z K D
C
对复周线 C K,由定理有
f ( ) d f ( ) d
C z
K z
因为 f (z)在D连续, 所以对 0,只要充分小,就有
f ( ) f (z) , 2
证明 若f (z)在 z R内无零点,
y
由于当 z R时, f (z) a 0, 故f (z)在 z R内无零点,
f (z) a
•
o
•
x
从而F (z) 1 在 z R内解析, f (z)
由平均值公式
F (0) 1 2π F (R ei )d. 2π 0
因为 F (0) 1 f (0)
(3) Cauchy积分公式也可写成
C
f z
(z) a
dz
2 if
(a)
(a D),
但若aD, 则
C
f z
(z) a
dz
0.
(3.15)
例1 求积分 sin z dz z 2 z 1
解 因为 f (z) sin z 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式Βιβλιοθήκη sin z dz 2i sin z
第三节 柯西积分公式及其推论
Department of Mathematics
问题的提出
设 D 为一单连通域, z0 为 D 中一点.
如果
f
(z)
在 D内解析,
那末
f (z) z z0
在
z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 D 内围绕 z0 的闭曲线.
根据复围线积分性质知,
ds
ds .
K z
2 K
故 lim f ( ) d 2if (z)
0 K z 根据复周线积分定理,上面积分值与无关
即
C
f
( ) d
z
2 if
(z)
柯西积分公式
2定义3.4 在定理3.11条件下
1
2
i
C
f
(
) z
d
,
(z C)
称为柯西积分.
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
一、柯西积分公式
1定理3.11 设区域D的边界是周线或复周线C, f (z)
在D内解析,在D=D+C上连续, 则
f
(z)
1
2 i
C
f
(
) z
d
,
(z
D)
这就是柯西积分公式.
证明 对z D
设F ( ) f ( ) z