5-5 狭义相对论动力学基础
第一章5 狭义相对论基础
海南大学－大学物理电子教案
迈克耳孙－莫雷实验: 概况：为了测定地球相对以太的运动速度，使用迈克耳 孙干涉仪做的实验,结果没有测到地球对以太的速度。 实验原理及分析：实验者是基于两个信念设计的：①光 借助以太传播，对以太参考系S来说，光向各方向传播的 速度v光对以太＝c，；②光相对地球参考系S’的速度，可由 伽利略速度变换确定 如果能测出两条路径的光到达接收器的时间差，便可由公 式确定地球相对以太的速度u。 实验结果：实验结果表明两条路径的光同时到达（实验 中是看仪器转动时干涉条纹的移动）。改变实验条件，在 不同季节重复实验，都未能获得所预期的结果。
z'
y'
r u
x
'
o
'
x
S 系
'
10
海南大学－大学物理电子教案
2、实际观测 、 t 时刻在 点发 时刻在P点发 生任一事件 Z
y o
S系
z'
y'
r u
x
'
P
o
'
(x, y ,z ,t ) ( x′,y′,z′,t′)
x
S' 系
x′ = x −ut 正 变 y′ = y
换 z′ = z
t′ = t
x = x′ + ut′ 逆 y = y′ 伽利略变换 变 (Galilean transformation) 换 z = z′ t = t′
20
海南大学－大学物理电子教案
解决问题的两种方案两种可能： 解决问题的两种方案两种可能： 伽利略变换是正确的， 伽利略变换是正确的，麦克斯韦方程组必予以修正 麦克斯韦方程组是正确的， 麦克斯韦方程组是正确的，伽利略变换必予以修正 爱因斯坦选择第二种情况并取得成功
5狭义相对论
一个惯性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则 总是在前一惯性系运动的后方的那一事件先发生。
同时性的相对性 当速度 u 远远小于C时，两个惯性系结果相同 牛顿力学
2. 由洛仑兹变换看同时性的相对性
y和z方向就不用管了
S系
事件1 事件2
两事件的时间间隔 两事件的空间间隔
x1 , t1
求t或t' 的一、二阶导数
速度变换与加速度变换
du v v u a x x x ax dt 正 v v y y
vz vz
ay ay az az
a x ax a y ay az az
du v x v u ax a x x dt 逆 v v y y a y a y vz vz az az
3. 经典电磁理论不满足伽利略相对性原理（在后面章节讲）
4. 电子的荷质比 e/m 与速度有关 1901年，W. Kaufmann 测电子的e/m, 发现其与速度
有关. 他假设e不随速度变，则m随速度的增加而增大。
二. 时空的相对性
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同” “坐地日行八万里” 在大海中匀速航行的大船上的感觉 萨尔维阿蒂大船 由力学规律无 法知道船的速度
§5.2 狭义相对论的基本概念
洛仑兹变换
爱因斯坦为了解决光在不同参照系的速度问题，进行了 一系列的思维臆想试验。他假定，如果某个人可以以光速运
动，那么他看到的光会是什么样子呢？如果按照伽利略速度
变换式，他应该可以看到静止的光，但这却与麦克斯韦的电 磁学原理相悖；如果按照麦克斯韦的电磁学原理，他应该看
a a
y S
S ′ y′ u
狭义相对论基础
第五章狭义相对论基础内容：1．经典力学的时空观；迈克耳逊–莫雷实验，长度收缩，时间延缓，同时的相对性，狭义相对论的时空观。
质量与速度的关系；相对论动力学基本方程；相对论动量和能量。
2．狭义相对论的基本原理；3．洛仑兹坐标变换式；4．相对运动；重点与难点：1．经典力学的时空观2．迈克耳逊–莫雷实验。
3．狭义相对论的基本原理；3．质量与速度的关系；4．相对论动量和能量。
5．相对论动力学基本方程要求：1．了解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。
2．了解洛伦兹坐标变换。
了解狭义相对论中同时的相对性以及长度收缩和时间延缓。
了解伽利略的绝对时空观和爱因斯坦狭义相对论的时空观及其二者的差异。
3．理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系。
相对论包括狭义相对论和广义相对论两部分内容．狭义相对论提出了新的时空观，建立了物体高速运动所遵循的规律，揭示了时间和空间、质量和能量的内在联系．广义相对论提出了新的引力理论，开始了有关引力本质的探索．本章仅介绍狭义相对论的运动学以及相对论动力学的主要结论．§5-1 伽利略变换与力学相对性原理为了理解相对论时空观的变革，首先回顾一下牛顿力学的时空观．一、伽利略变换与绝对时空观要描述某一个事件，应该说明事件发生的地点和时间．这就需要确定一个参考系，并在其中使用一定的尺和钟，用以确定事件发生的空间坐标和时间坐标，即用x、y、z来表示事件发生的空间位置，用t来表示事件发生的时刻．设有分别固定在两个惯性参考系上的两个直角坐标系S和S'，如图5-1所示，相应的坐标轴相互平行，S'系相对于S系以恒定速度v沿x轴正方向运动．现在要讨论的问题是：如果在S系上的观测者测得某一事件P发生的位置和时刻分别为x、y、z和t，而在S'系上观测者测得同一事件P发生的位置和时刻分别为x'、y'、z'和t'，那么x、y、z、t 和x'、y'、z'、t'之间的关系如何呢？图5-1讨论这一问题时，两个观测者所使用的尺和钟应当完全相同．即把它们放在同一参考系的同一位置时，两把尺子的长度是相同的，两个钟的快慢也是相同的．为了讨论简单起见，令两坐标系的原点O 与O '重合的时刻为两个坐标系计时的起点，即这时0t t '==．从图5-1分析，并把时间的量度也考虑进去，便可得到x x vt y y z z t t '=-⎫⎪'=⎪⎬'=⎪⎪'=⎭（5-1） 这组关系式称为伽利略时空变换式．同样还可以得到x x vt y y z z t t ''=+⎫⎪'=⎪⎬'=⎪⎪'=⎭（5-2） 通常把（5-1）式称为正变换，把（5-2）式称为逆变换．此两式就是一个事件在两个相对运动的惯性系中测得的时空坐标的关系．以u 和u '分别表示同一质点在S 和S '系中的速度，由（5-1）式的前三式对时间t 求导数，并考虑到t t '=，得到d d d d d d d d d d d d x x v t t y y t t z z t t '⎫=-⎪'⎪'⎪=⎬'⎪'⎪=⎪'⎭按速度的定义，即有x x y y z z u u v u u u u ⎫'=-⎪⎪'=⎬⎪'=⎪⎭（5-3）或写成矢量式'=-u u v （5-4）（5-3）式和（5-4）式称为伽利略速度变换公式．在导出伽利略变换时，已经隐含着牛顿的时空观．这种时空观认为，空间是一个与物质运动无关的、永恒不变的、固定不动的独立存在的框架，因此，长度测量是绝对的，与参考系无关；时间单向永远地流逝着，因此，时间间隔的量度也是绝对的，与参考系无关．时间、空间和物质客体三者是彼此独立、相互无关的．正是以绝对时空观为前提，事件P 发生的空间位置到O y z '''平面的距离，在S 系和S '系来量度，所得的量值是相等的，即x x vt '=-；由000t t '==，可以得到在S 系和S '系测量事件P 发生的时刻是相同的，即t t '=．由此可以推论：如果有两个事件在S 系看来同时发生，在S '系看来也必定同时发生．也就是说同时性是绝对的，与参考系无关．绝对时空观与日常生活经验是一致的，因而长期被人们认为是普遍正确的．伽利略变换就是绝对时空观的数学表述．二、力学相对性原理现在研究由S 系和S '系测量同一质点运动的加速度a 和a '的关系．由（5-4）式对时间求导数，考虑到t t '=，以及两惯性系之间的相对速度v 与时间无关，即得d d d d t t'='u u 即 '=a a上式表明，同一质点的加速度在S 系和S '系测得的量是相同的．在牛顿力学中，一个质点的质量是不因其运动而改变的，因此，在S 系和S '系测量同一质点的质量的量值m 和m '应相等，即m m '=．牛顿力学中的力只跟质点的相对位置或相对运动有关，也是和参考系无关的，因此，在两惯性系中测量同一力所得的F 和'F 是相同的，即'=F F ．综上所述，若对于S 系有m =F a ，则对于S '系必然有m '''=F a ．这表明经过伽利略变换，牛顿第二定律的形式不变．也就是说，力学规律在一切惯性系中都具有相同的形式．这个结论称为力学相对性原理．历史上，早在牛顿定律建立之前，伽利略就通过观察和实验，论证了力学规律在所有惯性系中都是相同的，亦即从力学的观点看来所有惯性系都是等价的．因此，力学相对性原理也称为伽利略相对性原理．§5-2 狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换一、狭义相对论的基本假设在物体低速运动的范围内，伽利略变换和力学相对性原理是符合实际的．然而，在19世纪下半叶，随着电磁理论的发展，电磁现象与经典力学理论产生了许多矛盾．特别是人们确认光就是电磁波，并证明了在真空中光沿各个方向传播的速度都相同．光速（用c 表示）是相对于哪个惯性系而言的呢？当时的物理学家普遍认为，光是在所谓光以太这种特殊介质中传播的．根据伽利略变换，相对于光以太运动的不同惯性系，光速是不同的．如果有一个惯性系S '相对于光以太沿光的传播方向以速度v 运动，那么，在S '系测得的光速应该为c c v '=-；如果有一个惯性系S ''相对于光以太沿光的传播相反的方向以速度v 运动，那么，在S ''系测得的光速应为c c v ''=+．由此看来，似乎可以通过测定光速的实验来发现物体（例如地球）相对光以太的速度．光以太本身就可以当作特殊的静止参考系，其他所有物体相对它运动．然而，人们在绝对静止的光以太这个观点的基础上，对大量实验和观察的结果进行讨论研究，出现了许多矛盾．力学相对性原理和伽利略变换遇到了不可克服的困难．这里不去叙述和解释那一系列矛盾的历史，而直接介绍爱因斯坦1905年在《论动体的电动力学》这一具有划时代意义的论文中提出的新的理论．爱因斯坦在前人，特别是洛仑兹和庞加勒工作的基础上分析了经典力学与电磁现象之间的矛盾，重新审视了人们头脑中根深蒂固的伽利略变换所蕴含的绝对时空观，提出了两个新的假设．这就是狭义相对性原理和光速不变原理，创立了狭义相对论，建立了崭新的相对论的时空观．这两个假设表述如下：(1) 狭义相对性原理：一切物理定律在相对作匀速直线运动的所有惯性系内均成立．这是对伽利略相对性原理的推广．它指出，相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于一切物理现象．因此，不论是力学实验还是其他任何物理实验，都不能判定一个惯性系比另一个惯性系更优越，光以太的假设是多余的．(2) 光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ，并与光源的运动无关．一个世纪以来，人们进行了大量相关的实验，这些实验事实只能用相对论来解释和预见．只能在有了这些牢固的实验基础以后，人们才能回过头来说这两个假设是反映客观实际的基本原理．二、洛仑兹坐标变换式爱因斯坦依据光速不变原理结合狭义相对性原理，得到了狭义相对论的坐标变换式，即洛仑兹坐标变换式．洛仑兹坐标变换式是关于一个“点”事件在两个惯性系中的时空坐标之间的变换关系．所谓“点”事件，是指某一时刻发生在空间某点上的事件．我们仍采取导出伽利略变换时的两个惯性坐标系S 和S '系（图5-1所示），相应的坐标轴彼此平行，S '系相对于S 系以恒定速度v 沿x 轴正方向运动．规定两惯性坐标系中观测者所使用的尺和钟完全相同．同样规定，两坐标系原点重合时为计时起点．设某一事件在惯性系S 中的时空坐标为（x 、y 、z 、t ），在惯性系S '中的时空坐标为（x '、y '、z '、t ' ），洛仑兹坐标变换式为2x y y z z v t x t '='=⎪⎪'⎬=⎪⎪-'= （5-5）其逆变换为2x y y z z v t x t =⎪'=⎪⎪'⎬=⎪⎪''+= （5-6）必须注意，洛仑兹变换讨论的不是一个抽象的空间点或某一抽象的时刻，而是一个真实存在的物理事件．一个真实存在的物理事件不能只有空间坐标或时间坐标，而必须同时具有空间坐标和时间坐标．所以在应用洛仑兹变换处理问题时，要特别注意两组时空坐标是否代表同一物理事件的坐标．从（5-5）和（5-6）式可以看到，c 是自然界的一个极限速度．为了使x '和t '保持为实数，v 不能大于c ．这表明两个参考系的相对速度不可能大于光速．由于参考系总是借助于一定的物体而确定的，所以任何物体的速度都不可超过光速．从（5-5）和（5-6）式还可以看到，当S '系相对S 系的速度v c <<时，洛仑兹变换就过渡到伽利略变换．§5-3 狭义相对论的时空观从洛仑兹变换可以得出四个主要结论，它们标志着相对论时空观区别于绝对时空观的特点之所在．一、时间作为“第四维”从洛仑兹变换公式中可以看到，我们必须改变绝对的、普遍的时间概念．由（5-5）组式中的第四式可知，S '系的观测者测得某事件发生的时刻t '不但与S 系的观测者测得的时刻t 有关，而且与位置x 有关，因而，我们不能把空间和时间作为彼此分离的概念，用三个空间坐标和一个独立的时间坐标来表征一个事件，而应用洛仑兹变换“混合在一起”的四个时空坐标来代替．在数学上，时刻可当作第四个空间坐标来看待，因此，有时将时间称为“第四维”．二、同时的相对性按照伽利略变换，S 系中的观测者测到两事件同时发生，则在S '系中的观测者亦测到两事件同时发生，即同时是绝对的．现在讨论洛仑兹变换的情况．设有两个事件1P 和2P ，S 系中的观测者测得其时空坐标分别为（1111,,,x y z t ）和（2222,,,x y z t ）；在S '系中的观测者测得其时空坐标分别为（1111,,,x y z t ''''）和（2222,,,x y z t ''''）．按照洛仑兹变换，有11222212v v t x t x t t --''== 在S 系和S '系测得的时间间隔分别为（21t t ''-）和（21t t -），它们之间的关系为21()()v t t x x t t ---''-=（5-7） 由此可见，在两个相对作匀速直线运动的惯性系中测得的时间间隔，一般说来是不相同的．若两个事件1P 和2P 在S 系中的观测者看来是同时发生的，即21t t =，由（5-7）可得21221()v x x t t --''-= 由上式可以看出，当12x x ≠时，210t t -≠．这一结果表明，在一个惯性系中不同地点同时发生的事件，在相对它运动的任一其他惯性系中的观测者看来，并不同时发生．只有在一个惯性系中同一地点、同一时间发生的两个事件，在相对它运动的另一惯性系看来，才会同时发生．同时是相对的．三、时间间隔的相对性设在S '系中某点x '处先后发生了两个事件1P 和2P，其时刻分别为12,t t ''，时间间隔为21t t ''-．注意到1P 和2P 在S '系中的空间坐标相同，由（5-6）式有 122212v v t x t x t t ''''++==由此可得21t t -=即t ∆=上式表明，在S '系中同一地点先后发生的两个事件，在S 系中的观测者测得其时间间隔，比在S '系中的观测者测得其时间间隔长．通常，把在某一惯性系中同一地点先后发生的两个事件的时间间隔称为固有时间间隔，用0t ∆表示．一般地说，在与该惯性系有相对运动的另一惯性系中测得的这两事件的时间间隔为t ∆= （5-8）t ∆总是大于0t ∆，这个效应叫做时间膨胀效应．时间膨胀效应表明了时间间隔是相对的．仅当两惯性系的相对速度v c <<时，0t t ∆≈∆，绝对时空观中的时间间隔不变，才是近似正确的．如果用钟走的快慢来说明，S 系中的观测者把固定在S 系中的钟和固定在相对它运动的S '系中的钟相对比，将会发现S '系中的钟走慢了．所以这个效应也叫做运动的时钟变慢．应当特别指出，时间膨胀是相对的．S '系中的观测者把固定在S '系中的钟和固定在相对它运动的S 系中的钟对比时，会发现S 系中的钟走慢了．四、长度的相对性如图5-2所示，在S '系中沿x '轴放置一刚性杆AB ，此杆在S '系中静止，但相对S 系则沿x 轴正方向以速度v 运动．在伽利略变换下，从两参考系中测得杆的长度相同．现在根据洛仑兹变换重新研究这个问题．在S 系测量这一运动的杆的长度时，不能让度量的尺子也具有速度v 相对杆静止地度量，因为尺在运动时长度也可能会变化．正确的测量方法是同时测定杆两端在S 系中的坐标1x 和2x ，杆的长度21l x x =-． 图5-2设在S 系，在时刻t 测得杆的两端点A 、B 的坐标为1x 、2x ，即端点A 和S 系x 轴的坐标1x 重合的这一事件的时空坐标为（11,x t ），端点B 和S 系x 轴的坐标2x 重合这一事件的时空坐标为（22,x t ），而且12t t t ==．这两个事件在S '系的观测者看来，其时空坐标分别为（11,x t ''）和（22,x t ''）．由（5-5）式1122122222,11x x vv c c ''==--由此可得212121221x x vc ''-=-由12t t t ==得2121221x x vc ''-=-即221l v c '=- 或 221v l l c '=-上式表明，固定在S '系的杆，在S 系的观测者测得的长度，比在S '系观测者测得的长度短．一般地说，从与杆有相对运动的惯性系中测得的沿速度方向的杆的长度，比与杆相对静止的惯性系中测得的长度短．通常把与杆相对静止的惯性系中测得的杆的长度称为固有长度，记作0l ．在其他沿杆长方向运动的惯性系中测得的长度为l l = （5-9） l 总小于0l ，这个效应称为长度缩短或洛仑兹收缩．长度缩短效应说明空间间隔（长度）是相对的，可因在不同的惯性系中测量而不同．仅当v c <<的时候，0l l ≈，绝对时空观中的长度不变才是近似正确的．应当指出，由（5-5）式y y '=，z z '=，可以看到，如果杆沿y '轴或z '轴放置，杆长不会缩短．长度缩短也是相对的．两把相同的尺子分别固定于S 系和S '系中，在两个参考系的观测者看来，固定在自己所在的参考系的尺子的长度应为固有长度，因而固定在另一参考系中的尺子应比自己的尺子短些．两个观测者的结论都是正确的．例题5-1 原长为50m 的火箭以3910v =⨯m/s 的速度相对于地面匀速飞行．在地面上的观测者测得飞行中的火箭的长度是多少？解 由题意可知，火箭的固有长度050l =m ，用l 表示地面上观测者测得飞行中的火箭长度，按（5-9）式有50l l ==521501(310)49.999999982-⎡⎤≈⨯-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦m 结果表明，对火箭这样大的速度，长度缩短效应是微乎其微的．例题5-2 在06000h =m 的高层大气中产生了一个μ子，μ子以0.998c 的速度竖直向地面飞来，静止的μ子的平均寿命为6210-⨯s ，问μ子在衰变以前能否到达地面？解 地面上的观测者，按经典理论计算，粒子走过的距离为 8610(0.998310)(210)598.8d v t -=∆=⨯⨯⨯⨯=m10d h <，因此，它似乎不可能到达地面．实际上，μ子的速度与光速c 可以比拟，必须考虑相对论效应．μ子相对地面运动，在地面的观测者看来，它的平均寿命为6631.610st --∆===⨯地面上的观测者所计算的μ子可飞行的距离为286(0.998310)(31.610)9461md v t-=∆ =⨯⨯⨯⨯ =20d h >,因此，按μ子的平均寿命，它能到达地面．五、相对论的速度变换公式利用洛仑兹变换可以得到相对论的速度变换公式．用（x ，y ，z ，t ）和（x '，y '，z '，t '）分别表示运动质点P 在S 系和S '系中的时空坐标，用（,,x y z u u u ）和（,,x y z u u u '''）分别表示质点P 在S 系和S '系中的速度分量．对（5-5）式的4个分式两边取微分，并考虑到惯性系S 和S '之间的相对速度v 是常数，则有d d x v x t -'== d d y y '=d d z z '=22d d d 1d v v x t x t t --'== 按速度定义d d d ,,d d d x y z x y z u u u t t t ''''''==='''和 d d d ,,d d d x y z x y z u u u t t t === 即可得到222d d 1d d 1d d 1x x x y xz xu v x u u vt c y u t cz u t c⎫⎪'-'==⎪'⎪-''=='⎪-⎪''=='-⎪⎭ （5-10） 上式就是相对论的速度变换公式．其逆运算可根据相对性原理，将v 换成v -，带撇的量和不带撇的量互换而得到222111xx xy xz xu v u u v cu cu c ⎫⎪'+=⎪'⎪+=⎪+⎪=+⎪⎭（5-11） 应当注意，相对论的速度变换关系中虽然S 系和S '系相对速度的方向沿x 轴方向，但不仅速度的x 分量要变换，速度的y 分量和z 分量也要变换．当v c <<时，（5-10）和（5-11）式将过渡到速度变换式．例题5-3 飞船A 和飞船B 各以0.8c 和0.6c 的速度相对于地面分别向右和向左飞行．由飞船B 测得飞船A 的速度多大？解 现在涉及三个客体，选飞船A 为运动物体，飞船B 为S '系，地球为S 系．飞船A 相对地面的速度为0.8x u c =，S '系相对S 系的速度为0.6v c =-（式中负号表示S '系相对于S 系的速度沿x 轴的负方向），飞船A 相对于飞船B 的速度为x u '，根据（5-10）式，有220.8(0.6)0.9460.8(0.6)11x x x u v c c u c u v c c c---'===⨯--- §5-4 相对论质量、动量和能量一、相对论质量动量守恒定律是自然界的普遍规律之一．在相对论力学中，我们仍把动量守恒定律作为一条基本定律，而且定量仍用m =p v 的形式定义．可以证明，要使动量守恒定律在洛仑兹变换下保持不变，则质点的质量m 不再是一个与其速率v 无关的常量，而是随速率增大而增大，即m = (5-12)式中0m 是由相对质点静止的观测者测得的质量，称为静止质量．（5-12）式表明，当质点以一定速率相对观测者运动时，观测者测得该质点的质量m 大于静止质量0m ．因此，质点的质量也是相对的．（5-12）式称为相对论的质速关系式．若物体的运动速度v c <<时，0m m =，即物体低速运动时，其质量与速率无关，等于静止质量．这就是经典力学中的质量概念．二、相对论质点动力学方程由质点相对论动量的定义和（5-12）式可得质点的相对论动量p 与其速度v 的关系为m ==p v （5-13） 可以证明，对洛仑兹变换保持形式不变的相对论动力学方程为d d ]d d t t ==p F （5-14）显然，因为m 随v 而改变，所以不能像经典力学那样，把质点动力学方程写成m =F a的形式．但在v c <<的情况下，（5-13）和（5-14）式都与静电力学中对应的关系相同，说明经典力学是相对论力学在低速条件下的近似．三、质能关系式在相对论力学中，我们仍把力定义为动量的时间变化率，即d d()d d m t t==p v F 而且，我们仍定义物体的动能为在合外力F 作用下，使物体由静止到达末速度为v 时，合外力所作的功．由此可导出相对论的动能表达式．设物体在力F 的作用下沿曲线s 运动，在元位移d s 上物体动能的增量为d()d d d d()d K m E m t=⋅=⋅=⋅v F s s v v 2d d d d m m mv v v m =⋅+⋅=+v v v v 由（5-12）式可得032222d d (1)m v v m v c c=- 代入上式并化简，即得2d d K E c m =当物体的速度由零增加到v ，质量由0m 增加到m ，物体的动能020d d v m K K m E E c m ==⎰⎰ 220K E mc m c =- （5-15） 这就是相对论的动能表达式．容易证明，当v c <<时，即当物体的速度远小于光速时，则有2012K E m v = 这就是经典力学中的动能表达式．（5-15）式可以写成为220K mc E m c =+ （5-16）爱因斯坦把2mc 称为物体的总能量，20m c 称为物体的静止能量（简称静能）．（5-16）式表明，物体的总能量等于物体的静能与动能之和．用E 和0E 分别表示物体的总能量和静能，即2200,E mc E m c == （5-17）这就是相对论的质能关系式．他揭示了质量和能量这两个物质基本属性的联系，即一定的质量m 相应地联系着一定的能量2E mc =，即使处于静止状态的物体也具有能量200E m c =，当物体和外界没有能量交换时，物体的总能量守恒，同时物体的相对论质量也必定守恒．当物体质量有增量m ∆时，物体的总能量的增量为2()E m c ∆=∆ （5-18）这是质能关系的另一表述形式．它表明，当物体吸收或放出能量时，必定伴随着质量的增加或减少．这是相对论最重要的结论之一．质能关系在近代物理研究中非常重要，对原子核物理以及原子能的利用方面，都具有重要的指导意义．例题5-4 试计算热核反应23311110H H He +n +→过程中释放的能量．已知各粒子静止质量分别为氘核273.343710D m -=⨯kg ，氚核275.004910T m -=⨯kg ，氦核276.642510He m -=⨯kg ，中子271.675010n m -=⨯kg ．解 反应前后，系统的静止质量之差（即质量亏损）为270()()0.03110D T He n m m m m m -∆=+-+=⨯kg在核反应中，与质量亏损相对应的静止能量的减少量即为动能增量，也就是热核反应释放的能量．2120 2.79910K E m c -∆=∆=⨯J1kg 这种核燃料所释放的能量为143.3510K D TE m m ∆=⨯+J/kg 燃烧1kg 优质煤放出的能量约为72.9310⨯J ，还不足这一热核反应释放出的能量的千万分之一． 四、相对论能量与动量的关系由质能关系式可知22202(1)v m m c -= 等式两边同时乘以4c ，并整理可得24222240m c m v c m c =+ 由于m =p v ，上式可写成为2222220()()mc p c m c =+即22220E p c E =+ （5-19）这就是相对论的能量与动量的关系式．这也是相对论最重要的结论之一，在高能物理的研究中具有非常重要的意义．。
物理学中的相对论和狭义相对论
物理学中的相对论和狭义相对论相对论是物理学中一种关于时间、空间、质量和能量等物理量的理论，它是现代物理学的基础，对物质的本质性质产生了深远的影响和重要的启示。
狭义相对论则是相对论的一个分支，主要研究的是相对论的基础理论，如光速不变性、时空的相对性等。
下面，我们将深入了解一下相对论和狭义相对论。
相对论的基本概念相对论是经典物理学与量子力学的桥梁，它对物理学的发展产生了深远的影响。
相对论的基本概念包括：时间的相对性、长度的相对性、物质的相对性、光速的不变性和能量-动量的相对性。
相对论中最基本的概念是时间的相对性，即时间不是一个普遍的或绝对的物理量，而是取决于观察者的参考系。
在相对论的视角下，时间与空间相互关联，形成时空的统一。
这就意味着，两个不同参考系下的事件，可以在时间和空间上发生不同的排序。
长度的相对性是相对论中的另一个基本概念。
同一物体的长度也会因为观察者的不同而发生变化。
在相对论的视角下，物体的长度会随着它的速度而发生变化，这是因为它们越接近光速，它们的相对长度就会越短。
物质的相对性是相对论中最奇妙的概念之一。
它表明，不同的参考系下，物体的质量可能会发生变化。
此外，质量和能量被认为是相互转换的。
根据爱因斯坦的公式，能量等于质量乘以光速的平方，这表明任何物体都可以被视为能量的形式。
相对论中的光速不变性是一个基本的定理，表明在任何参考系中，光速都是相同的。
很长一段时间里，人们认为光速是相对的，而爱因斯坦的理论却彻底改变了这种看法，证明了光速的绝对不变性。
能量-动量的相对性表明，能量和动量同样不是绝对的，而是相对于观察者的参考系。
换句话说，在不同的参考系下，同一物体所具有的能量和动量可以发生变化。
这些变化可能会导致质量、长度和时间等物理量出现异于预期的值。
狭义相对论的基本原理狭义相对论是相对论的一个分支，主要研究相对论的基础理论。
它最初由爱因斯坦提出，是解释光的行为的唯一与时俱进的理论。
狭义相对论的基本原理包括：光速不变性、相对性原理和加速度原理。
牛顿经典力学,狭义相对论和广义相对论的区别
牛顿经典力学，狭义相对论和广义相对论的区别全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：牛顿经典力学是17世纪英国科学家牛顿提出的一套描述物体运动的理论，是经典物理学中最重要的理论之一。
它以三大定律为基础，即牛顿三定律，这些定律描述了物体的运动规律，被广泛应用于多个领域，如工程学、航空航天等。
随着科学的发展和实验数据的积累，牛顿力学在某些情况下已经不能满足对物理现象的描述，这就催生了相对论。
相对论是爱因斯坦在20世纪初提出的一种新的物理学理论，主要包括狭义相对论和广义相对论两部分。
狭义相对论是对运动物体的叙述，其中最著名的是相对论性的质能公式：E=mc²。
相对论在描述高速运动的物体时更为准确，修正了牛顿力学中的一些问题。
而广义相对论则是关于引力的理论，描述了引力如何影响时间和空间的曲率，其中最著名的是黑洞的概念。
那么，牛顿经典力学、狭义相对论和广义相对论之间有哪些区别呢？从描述范围来看，牛顿力学适用于低速运动和小质量物体，而相对论则适用于高速运动和大质量物体。
从基本假设来看，牛顿力学假设时间和空间是绝对的，而相对论假设时间和空间是相对的，取决于观察者的运动状态。
从数学形式来看，牛顿力学是经典的三维向量描述物体的运动，而相对论则采用了四维时空坐标来描述物体的运动。
从应用领域来看，牛顿力学广泛应用于日常生活和工程技术中，而相对论则主要应用于天体物理学和高能物理实验。
牛顿经典力学、狭义相对论和广义相对论各有其适用范围和描述对象，它们在解释物理现象和预测实验结果方面各有侧重点，是物理学中非常重要的理论体系。
科学家们在不断的探索中，相信可以更好地理解这些理论，并将它们应用于更多的领域，推动科学的发展和进步。
第二篇示例：牛顿经典力学，狭义相对论和广义相对论是物理学中三种不同的理论，它们分别描述了不同尺度下的物理现象。
牛顿经典力学是17世纪英国物理学家牛顿提出的一套力学原理，它被认为是经典物理学的基础，并在很长一段时间内被认为是科学世界的主导力学理论。
狭义相对论两个基本原理
狭义相对论两个基本原理第一个基本原理是相对性原理。
相对性原理包含两部分：相对性原理的运动学形式和相对性原理的动力学形式。
相对性原理的运动学形式指出，物理定律在所有等速运动的参考系中都成立，而不论这些参考系之间的相对运动如何。
也就是说，在相对于以一些速度作匀速直线运动的参考系而言，物理现象的规律也同样适用于以其他任意速度作匀速直线运动的参考系中。
这个原理的实质是：物体的运动状态有多种可能，而它们都以相对其他物体的速度来描述。
相对性原理的动力学形式表明，在不受力的惯性系中，物体的运动状态是匀速直线运动或静止。
这意味着，不受力的物体会保持它们的运动状态不变。
从更广义的角度来看，这个原理还暗示了所有非重力的力都必须等效于参考系的运动。
第二个基本原理是光速不变原理。
光速不变原理指出，光在真空中的传播速度对于所有的惯性观察者来说都是相同的，无论观察者的速度如何。
换句话说，不论观察者是静止的还是以任何速度相对于光源运动，他们都会测得光速相同。
这与我们通常对速度相加的直觉不同，但实验证据已经证明了这一点。
这两个基本原理构成了狭义相对论的基础，对于我们理解时空的结构有重要的意义。
首先，相对性原理的运动学形式告诉我们，物体的运动状态是相对性的，即与观察者的运动状态有关。
这进一步推动了我们对时空结构的重新认识，引出了后来对时空几何的研究。
其次，相对性原理的动力学形式告诉我们，仅仅通过观察物体的运动状态，我们无法区分出它们所处的参考系。
这导致了狭义相对论中的质能关系，即质量和能量之间的等效性。
质能关系的著名公式E=mc²描述了质量和能量之间的转换关系，它在核物理和粒子物理研究中具有重要的应用。
综上所述，狭义相对论建立在两个基本原理之上：相对性原理和光速不变原理。
这两个原理引导了我们对物体运动方式和时空结构的新认识，对当代物理学的发展产生了深远的影响。
第5章 狭义相对论基础
special relativity
爱因斯坦: Einstein 爱因斯坦: 现代时空的创始人 二十世纪的哥白尼
第5章 狭义相对论基础 章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 力学相对性原理和伽利略变换 狭义相对论基本概念 洛仑兹变换 相对论时空理论 相对论动力学基础
§ 5-1 力学相对性原理和伽利略变换 在两个惯性系中考察同一物理事件 一.伽利略变换 Galilean transformation 设惯性系S和相对S 设惯性系S和相对S运动的惯性系 t时刻，物体到达P点 时刻，物体到达P
0.90c
解： 选飞船参考系为 S′ 系
地面参考系为 S 系
S
S′
u v′
x x′
x
v′ + u 0.90c + 0.80c x vx = = = 0.99c u ′ 1+ 0.80×0.90 1+ 2 vx c
u = 0.80c v′ = 0.90c x
§5.3 相对论时空理论
一、 长度收缩
length contraction
同样得
vz u v′ = 1− 2 z u c 1− 2 vx c
2
洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换
vx − u v′ = x u 1− 2 vx c 2 vy u v′ = 1− 2 y u c 1− 2 vx c 2 vz u v′ = 1− 2 z u c 1− 2 vx c
v′ + u x vx = u 1+ 2 v′ x c 2 v′ u y vy = 1− 2 u c 1+ 2 v′ x c 2 v′ u z vz = 1− 2 u c ′ 1+ 2 vx c
狭义相对论知识点总结
一、狭义相对论的两个基本假设 1、爱因斯坦相对性原理
在任何惯性系中，一切物理规律都相同。
2、光速不变原理
在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率均为c。
二、洛仑兹变换
x x vt
坐
1 (v)2 c
标
y y
正
z z
变 换
t
t
v c2
x
1 (v)2
c
1、同时的相对性
只有在一个惯性系中同时同地发生的事件，在其它惯性 系中必同时发生．
2、长度的收缩
l l0
1
v2 c2
固有长度（原长）： 相对物体静止的惯性系 测得长度.
注意：测量长度一定是同时读取两端坐标取差。
3、时间的延缓
t
tt0
1
v2 c2
固有时间（原时）： 同一地点发生的两事件 的时间间隔 .
四、狭义相对论动力学基础
1、相对论质量：
m m0
1
v2 c2
m0—静止质量
2、相对论动量： P mv m0 v 1 v2 / c2
3、相对论能量：
静能： E 0 m 0 c 2 总能量：E m c 2 动能： Ek mc2 m0c2
４、狭义相对论力学的基本方程
F
x x vt
1 (v)2
逆
c y y
变
z z
换
t
t
v c2
x
1 (v)2
c
ux
dx dt
ux
1
v c2
v ux
速 度 正 变
uy
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而从实验测得氦核质量MA小于质子和中子的总质量 M，这差额称M=M-MA为原子核的质量亏损。 对 4 于 2 He核
M M M A 0.030 38 u ＝ .030 38 1.660 10 27 kg 0
相对论动力学基础
根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量 之间有一定的关系，当系统质量改变 M 时，一 定有相应的能量改变 E＝Mc 2 由此可知，当质子和中子组成原子核时，将有 大量的能量放出，该能量就是原子核的结合能。所 以形成一个氦核时所放出的能量为
m0v－m0v MV
Mc
2
1
0
2
式中 M 和 V 分别是复合粒子的质量和速度。 显然V=0，这样 M M
0
而
2m0 M0 1 2
相对论动力学基础
这表明复合粒子的静止质量 M0 大于 2m0，两者 的差值
2m 2E 0 －2m K M －2m 0 0 0 2 c2 1
p mv
上式方程满足相对性原理
d m0 ( v) F dt 1 v 2 c 2
在 v c 的条件下：
m0 a F
相对论动能
2. 质量与能量的关系
2.1 相对论动能
设一质点在变力作用下，由静止开始沿X 轴作 一维运动，根据动能定律：
dp E k F x dx dx vdp dt pv pdv
式中 Ek 为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与 动能相应的这部分质量转化为静止质量，从而使 碰撞后复合粒子的静止质量增大了。
相对论动力学基础
h 0 例题5-5 一束具有能量为 h 0 、动量为 c 的光
子流，与一 个静止的电子作弹性碰撞，散射光子 h 的能量为 ，动 量为 h 。试证光子的散射角 满 足下式： c
c e0
0
h0 m0c h mc
2
2
（1）
相对论动力学基础
h0 h （2） mv e0 e c c h e和 从图中可以看出，矢量 mv 是矢量 h 0 e 0 所组成平行四边形的对角线，所以c c 2 2 2 h0 h 2 h0 h cos mv c c c c
E 0.030 38 1.660 10 0.453 9 10 J
11
27
3 10
8 2
J
相对论动力学基础
例题5-4 设有两个静止质量都是 m0 的粒子，以大小 相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一 个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量 和一定速度。
解：设两个粒子的速率都是 v，由动量守恒和能 2 量守恒定律得 2m c
v m0 v m0 v 0 dv 1 v2 c2 1 v2 c2 2 2 E k m c m0 c 2
相对论动能
上式表明：质点以速率 v 运动时所具有的 mc ，与质点静止时所具有的能量 m0 c2 能量 之差，等于质点相对论性的动能
2
E k m0 c (
2
1
2 2
1 v c 2 4 v 3 v 1) 2 m 0 c (1 2 c2 8c4
2 4 0 2 4 0 2 2
由此可得 亦即
h 1 cos 0 m0 c c c h 1 cos 0 m0 c
c 0
h 1 cos 0 m0c
此处 m0 是电子的静止质量，h 为普朗克常量.
hv 0 e0 c
电子
c
c
hv e c
x
mv
相对论动力学基础
证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为 h 0 和 h 0 ,与物质中质量为m 的静止自由电子发生
碰撞。碰撞后，设光子散射开去而和原来入射方向 成 角，这时它的能量和动量分别变为 h 和 h e e 0 和 e 代表在光子运动方向的单位矢量。 c 与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能 量和动量分别变为 mc2 和 m v 即在二者作弹性碰撞时，应满足能量守恒和动量守 恒两个定律，
m0 v 2 2 1 v c
P
p
m0 v 1 v 2 c2
p mv
0
相对论性质量：
1
m0 1 v 2 c2
v c
m
m0 1 v 2 c2
m
m
m0
m0 ——静止质量
0
1
v
c
相对论力学的基本方程
说明： a.在 v c 时，
m m0 。
b.当 v c 时， m 即不论对物体加多大的力， 也不可能再使它的速度增加。 c.当 v c 时，必须 m0 0 即以光速运动的物 体是没有静止质量的。 d. 相对论力学基本方程
相对论动力学基础
将式（4）平方再减去式（3），得到
v 2 m c 1 2 m0 c 4 2h20 1 cos 2m0c 2 h0 － － － c
2 2 4
上式可写成
m c m c － h 0 1 cos 2m0c h0 2 － －
§5-5 狭义相对论动力学基础 1. 相对论力学的基本方程
牛顿力学中，动量
p mv
m ：不随物体运动状态而改变的恒量。
相对论动量必须满足以下两个条件：
a.在洛氏变换下保持不变; b.在 v c 0 的条件下，还原为牛顿力学的 动量形式。
相对论力学的基本方程
由此，得相对论动量：
p
2 2 4
上式可写成
m c m c － h 0 1 cos 2m0c h0 2 － －
2 4 0 2 4 0 2 2
由此可得 亦即
h 1 cos 0 m0 c c c h 1 cos 0 m0 c
c 0
相对论总能量
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
动量与能量的关系
3.动量与能量的关系
m0 v 在相对论中： p mv 1 v2 c2
E mc
2
m0 c 2 2 1 v c
2
2
由以上两式消去 v 可得：
(mc ) (m c ) m v c
2
2
2
2
2
2
0
E E p c
或
m v c h h 2h 0 cos （3）
2 2 2 2 2 0 2 2 2
（1）也可改写为
mc h0－ m0c
2
2
（4）
相对论动力学基础
将式（4）平方再减去式（3），得到
v 2 m c 1 2 m0 c 4 2h20 1 cos 2m0c 2 h0 － － － c
2 2 2
0
2
动量与能量的关系
对于以光速运动的物体： 光子：
m0 0
E pc
m E
E h
c
2
h
c
2
E h p c
E E P C
2 2 0 2
2
E
E0
pc
相对论动力学基础
例题5-3 原子核的结合能。已知质子和中子的质量分 别为: M P 1.0007 28 u
1)
1 m0 v2 在 v c 的条件下： E k 2
Hale Waihona Puke 对论总能量2.2 相对论总能量
2
mc E k m0 c
E mc2
2
E Ek E0
说明： a. 物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当 可观的静能量。 b. 相对论中的质量不仅是惯性的量度，而且 还是总能量的量度。 c. 如果一个系统的质量发生变化，能量必有 相应的变化。 d. 对一个孤立系统而言，总能量守恒，总质 量也守恒。
M n 1.0008 66 u
两个质子和两个中子组成一氦核 4 He，实验测得它的 2 质量为MA=4.0001 50u，试计算形成一个氦核时放出 的能量。(1u=1.66010-27kg) 解: 两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为
M 2 M P 2 M n 4.0031 88 u