狭义相对论速度变换式和动力学基础
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7,狭义相对论基础资料
同时的相对性
(中点）
因光速不变（不论对 或 ）
故
看到： 闪光同时到达 A 、B 壁。
看到： 闪光先到达 B 壁，后到达 A 壁。
设： 光到达 A 为事件 1
对 ：两事件同时发生，
光到达 B 为事件 2 对 ：两事件非同时发生。
即
“ 同时 ” 是相对的。（与惯性系有关）
用洛仑兹变换式判断两事件在不同惯两事件性的变换系中的时空关系
E
天文台
精密的天文观测表明，双星的像是很清晰的两个光点，没有 发现亮弧现象。而且两种方法测周期的结果一样。这只能用 光速与光源运动状态无关的观点，才能得到圆满的解释。
迈克耳孙-莫雷孙实验
迈克耳孙 莫雷实验 寻找 “以太” 失败实
例
根据“以太”观点，充满宇宙的
“以太”是一切运动的绝对参考系。 地球 对 以太
相对论的时空关系，难有生活直接体验，要借助洛仑兹变换式谨慎分析。
（事件1）
（事件2）
对： 对：
若已知
求
根据洛仑兹变换式可求出
下面讨论几种可能遇到的情况：
例
两事件的空间间隔
两事件的时间间隔
要领
同时 同地
同时 同地
同时 异地 异时 异地
异时 同地 异时 异地
异时 异地
要看具体 条件而定
对于有因果关系的关联事件（如：发送与接收，出生与死亡，栽种与收获等）
（地测B） （地测C）
0.9 0.9
（反 向）
C
（A测B） （A测C）
由洛仑兹速度变换
0.9 0.8 0.8 0.9
0.9 0.8
0.8
0.9
0.357
0.988
（反 向）
大学物理上 第4章 狭义相对论基础
物理规律 力学规律
1. 爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展 2.光速不变否定了绝对时空概念。不存在绝对运动或 .光速不变否定了绝对时空概念。 绝对静止。 绝对静止。
10
§4.3
狭义相对论时空观
4.3.1 同时的相对性 由于光速不变， 由于光速不变，在某一个惯性系中同时发生的两 个事件， 个事件，在另一相对它运动的其它惯性系中并不一定 是同时发生的，这个结论称为“同时的相对性” 是同时发生的，这个结论称为“同时的相对性”。
v x = v′ + u x v y = v′y vz = v′ z
y = y′
x
P
x'
ut
o z
o'
x′
u
x
伽利略速度变换 v′ = vx − u x S ' 系 v′ = v y y v' z = v z
z'
S系
r r r v = v '+u
经典时空中速度满足速度叠加原理。 经典时空中速度满足速度叠加原理。
17
.
慢 双生子佯谬
慢 .
.
1971年，美空军用两组Cs（铯）原子钟作实验。 年 美空军用两组 （ 原子钟作实验。 实验值： 实验值：绕地球一周的运动 钟变慢： 钟变慢：203± 10ns ± 理论值：绕地球一周的运动 理论值： 钟变慢： 184 ± 23 ns 钟变慢： 实验值和理论值在误差 范围内是一致的。 范围内是一致的。 实验验证了孪生子效应确实是存在的。 实验验证了孪生子效应确实是存在的。
9
4.2.2 狭义相对论的基本原理 1.狭义相对性原理：一切物理规律在任何惯性系中 1.狭义相对性原理： 狭义相对性原理 都具有相同的形式。 都具有相同的形式。即：物理定律与惯性系的选择无 对物理定律来说，所有惯性系都是等价的。 关，对物理定律来说，所有惯性系都是等价的。 2.光速不变原理：在所有惯性系中， 2.光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中的 光速不变原理 速率相同，与惯性系之间的相对运动无关,也与光源、 速率相同，与惯性系之间的相对运动无关,也与光源、 观察者的运动无关。 观察者的运动无关。 说明： 说明：
1. 爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展 2.光速不变否定了绝对时空概念。不存在绝对运动或 .光速不变否定了绝对时空概念。 绝对静止。 绝对静止。
10
§4.3
狭义相对论时空观
4.3.1 同时的相对性 由于光速不变， 由于光速不变，在某一个惯性系中同时发生的两 个事件， 个事件，在另一相对它运动的其它惯性系中并不一定 是同时发生的，这个结论称为“同时的相对性” 是同时发生的，这个结论称为“同时的相对性”。
v x = v′ + u x v y = v′y vz = v′ z
y = y′
x
P
x'
ut
o z
o'
x′
u
x
伽利略速度变换 v′ = vx − u x S ' 系 v′ = v y y v' z = v z
z'
S系
r r r v = v '+u
经典时空中速度满足速度叠加原理。 经典时空中速度满足速度叠加原理。
17
.
慢 双生子佯谬
慢 .
.
1971年，美空军用两组Cs（铯）原子钟作实验。 年 美空军用两组 （ 原子钟作实验。 实验值： 实验值：绕地球一周的运动 钟变慢： 钟变慢：203± 10ns ± 理论值：绕地球一周的运动 理论值： 钟变慢： 184 ± 23 ns 钟变慢： 实验值和理论值在误差 范围内是一致的。 范围内是一致的。 实验验证了孪生子效应确实是存在的。 实验验证了孪生子效应确实是存在的。
9
4.2.2 狭义相对论的基本原理 1.狭义相对性原理：一切物理规律在任何惯性系中 1.狭义相对性原理： 狭义相对性原理 都具有相同的形式。 都具有相同的形式。即：物理定律与惯性系的选择无 对物理定律来说，所有惯性系都是等价的。 关，对物理定律来说，所有惯性系都是等价的。 2.光速不变原理：在所有惯性系中， 2.光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中的 光速不变原理 速率相同，与惯性系之间的相对运动无关,也与光源、 速率相同，与惯性系之间的相对运动无关,也与光源、 观察者的运动无关。 观察者的运动无关。 说明： 说明：
高中物理奥林匹克竞赛专题——狭义相对论(共32张ppt)
I(xA,yA,zA,tA)
s系 A
. C
s系
.
.
A
C
I(IxB ,yB ,zB ,tB )
B
u
.
B
C
s系 A
.
B
u.
.
.
s系
A
C C B
在 S 系中，两闪电的光信号同时到达 C 而不是 C ，为 不同时事件。（击中 A 先发生）。
爱因斯坦认同为时: 性概念是因参考系而异的，在一个惯性 系中认为同时发生的两个事件，在另一惯性系中看来， 不一定同时发生。同时性具有相对性。
（原时）
yM
M
M
站台系：s 系
c t 2 D
ut 2
u
光信号：
N M N
N
N
N
该两事件为异地事件,
o N1
N2
x 需用两只钟测出其时间
I(x1,t1)
II(x2,t2)
(ct)2D2(ut)2
2
2
间隔Δt=t2-t1 , 为观测时 间
t2D 1
c 1uc22
解得： vx
mrelu m mrel
将
vx
mrelu m mrel
;
vx
mrelu m mrel
代入洛仑兹速度变换：v x
vx 1
u
uv x c2
得
mrel
m m
1
u2 c2
结论：在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯 性系的选择有关，为相对量。
相对论动量 定义：
v c2
x
一对事件的洛伦兹变换关系
x x vt
大学物理狭义相对论基础全部内容
伽利略 变换
洛仑兹 变换
实验检验
绝对时空观
狭义相对论时空观 比 较
相对论动力学基础
广义相对论时空观
学时： 8 （狭义相对论）; 自学*广义相对论简介
重点： 狭义相对论的两条基本原理 洛仑兹坐标变换 狭义相对论时空观（“同时”的相对性、钟慢尺缩） 质速关系，质能关系，能量与动量关系
难点： 狭义相对论时空观 *广义相对论的两条基本原理 *时空的几何化，空间弯曲
—— 牛顿
即：时间先于运动存在。没有时间，无法描述运动； 而没有运动，时间照样存在和流逝。
2. 空间：用以表征物质及其运动的广延性
空间测量：刚性尺 国际单位：米
光在真空中 29979241秒58的时间间隔内传播的
距离。
长度的测量：
长度 = 在与长度方向平行的坐标轴上，物体两端 坐标值之差 注意：当物体静止时，两端坐标不一定同时记录；
物理学家感到自豪而满足，两个事例：
在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只要 做一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据的 小数点后面添加几位有效数字而已。
——开尔芬（1899年除夕）
理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都 已经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何 发展的事去做。
——约利致普朗克的信
同学们好！
物理书都充满了复 杂的数学公式。可是 思想及理念，而非公 式，才是每一物理理 论的开端。
－－爱因斯坦
《物理学的进化》
阿尔伯特.爱因斯坦（1879 — 1955）
?
第八章 狭义相对论 *广义相对论简介
力学相对性原理 对称性扩展
狭义相对性原理 光速不变原理 对称性扩展 广义相对性原理 等效原理
狭义相对论基础
如：动量守恒定律
2.经典力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 （1）同时的绝对性
在同一参照系中，两个事件同时发生 据伽利略变换，在另一参照系中， 在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
同时的绝对性。
经典力学时空观
（2）时间间隔的测量是绝对的 在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为
据伽利略变换，
ax
ax
du dt
ay a y
vz vz
az az
ax a x ay a y az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
a y ay
a x ax 惯性系 a y ay
vz vz
az az
a z az
狭义相对论基础
8.1 经典力学的相对原理和时空观
一. 经典力学的相对性原理
力学现象对所有惯性系，都遵循同样的规律
研究力学规律时，所有的惯性系都是等价的
静止
物块 匀速 以车子为参照系
静止
以地球为参照系 匀速运动
两者的运动规律是相同的 合外力F=0
伽利略相对性原理
两个参考系（约定系统）
如图，S，S'相应坐
hv0 c
e0
hv e
c
电子
x
mv
相对论动力学基础
证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为
和
,与物质中质量为m0的静止自由电子发生碰撞
。碰撞后，设光子散射开去而和原来入射方向成 角
，这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量。
与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能 量和动量分别变为 mc2 和
2.经典力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 （1）同时的绝对性
在同一参照系中，两个事件同时发生 据伽利略变换，在另一参照系中， 在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
同时的绝对性。
经典力学时空观
（2）时间间隔的测量是绝对的 在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为
据伽利略变换，
ax
ax
du dt
ay a y
vz vz
az az
ax a x ay a y az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
a y ay
a x ax 惯性系 a y ay
vz vz
az az
a z az
狭义相对论基础
8.1 经典力学的相对原理和时空观
一. 经典力学的相对性原理
力学现象对所有惯性系，都遵循同样的规律
研究力学规律时，所有的惯性系都是等价的
静止
物块 匀速 以车子为参照系
静止
以地球为参照系 匀速运动
两者的运动规律是相同的 合外力F=0
伽利略相对性原理
两个参考系（约定系统）
如图，S，S'相应坐
hv0 c
e0
hv e
c
电子
x
mv
相对论动力学基础
证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为
和
,与物质中质量为m0的静止自由电子发生碰撞
。碰撞后，设光子散射开去而和原来入射方向成 角
，这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量。
与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能 量和动量分别变为 mc2 和
狭义相对论的动力学
⑥ v > c时, m为虚数而无实际意义. 这阐明：真空中 旳光速c是一切物体运动速率旳极限.
2 动量与速度旳关系
p mv m0 v 1 v2 / c2
相对论中，质点所受旳力定义为：F
dp dt
d dt
mv
经典力学中，质点受力旳定义：
F
dp dt
m
d dt
v
显然，两者不再等效，因而用加速度表达旳牛顿 第二定律在相对论力学中不再成立.
A
B
2. 设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0 = 100m，沿 同一方向匀速飞行，在飞船B上观察到飞船A旳船头、
船尾经过飞船B船头旳时间间隔为0.6×10-7s，则飞船
B相对于飞船A旳速度是
。
解： 在B 船中观察A船旳长度
l l0 1 v c2
在B 船船头观察A船船头船尾飞过旳时间间隔
0
l v
• 爱因斯坦建立旳质能关系式被以为是一种具有划时
代意义旳理论公式，原子能旳利用使人类进入原子
时代。
E m0c2
这个关系式中 c2 旳数值很大，以至微小旳质量变化， 就相应着巨大旳能量变化。
在原子核裂变反应中，1g 235U裂变释放旳结合 能约 8.2 1010 J 。
在原子核聚变反应中，1g 氘和氚聚变释放旳结 合能大约是上述裂变反应释放能量旳3.5倍。
A
A 0.4kg B 0.8kg C 12×10-7kg D 1/12 ×10-7kg
m0c2 36 1015 J
m0
36 1015 9 1016
0.4kg
3. 一种立方体旳静质量为 m０，体积为 V0，当它相 对某惯性系S沿一边长方向以 v匀速运动时，静止在 S 中旳观察者测得其密度为多少？
狭义相对论动力学
14
例： 设一质子以速度 v 0.80c 运动。 求其总
能量、动能和动量。
解 质子的静能 E0 m0c2 938MeV
E mc2
m0c2 1 v2
c2
938 (1 0.82 )1 2
MeV
1563MeV
Ek E m0c2 625MeV p mv m0v 6.68 1019 kg m s1
微子等。
4
5）实验证明质速关系是正确的。
比如，测量电子质量的试验。
10 让电子在加速器中加速， 8
测电子的荷质比e/m发现该 6
值随速度增大而减小。
4
21
6P） 相m对v论 的动m量0v：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 (v / c)2
此时，动量守恒定律在洛仑兹变换 下形式保持不变。
vx
vx 1
u
vxu c2
m1
v10 1
x u v10 xu
c2
m2
v20 1
x u v20 xu
c2
m1
v1x 1
u
v1x u c2
m2
v2x u
1
v2 x u c2
m1v10 x m2v20 x m1v1x m2v2 x S'系中动量不再守恒?！ 1
动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的 普遍规律。
13
五、能量和动量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
光子 m0 0, v c p E c mc
例： 设一质子以速度 v 0.80c 运动。 求其总
能量、动能和动量。
解 质子的静能 E0 m0c2 938MeV
E mc2
m0c2 1 v2
c2
938 (1 0.82 )1 2
MeV
1563MeV
Ek E m0c2 625MeV p mv m0v 6.68 1019 kg m s1
微子等。
4
5）实验证明质速关系是正确的。
比如，测量电子质量的试验。
10 让电子在加速器中加速， 8
测电子的荷质比e/m发现该 6
值随速度增大而减小。
4
21
6P） 相m对v论 的动m量0v：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 (v / c)2
此时，动量守恒定律在洛仑兹变换 下形式保持不变。
vx
vx 1
u
vxu c2
m1
v10 1
x u v10 xu
c2
m2
v20 1
x u v20 xu
c2
m1
v1x 1
u
v1x u c2
m2
v2x u
1
v2 x u c2
m1v10 x m2v20 x m1v1x m2v2 x S'系中动量不再守恒?！ 1
动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的 普遍规律。
13
五、能量和动量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
光子 m0 0, v c p E c mc
狭义相对论基本变换公式
t 2 d 2 (vt)2 2 d2 (vt)2 2d 1 (v )2 ( t )2
c
c
c
c t
t t'
1
v2 c2
( t )2 t
t
t
1
v2 c2
我们对于同一个过程算出的时间不一样都是因为认定了光速相对于你我都是c，这样算出的 时间就是不一样的，加入我们认为光速相对于你我不是c是不是就能算出一样的时间来呢， 嗯，的确是的，但是光速在不同参考系中是不会变的，这受到了迈克尔逊莫雷实验以及后
v
v 1 v2 c2
1 v2 c2
这里有一个需要注意的问题：那就是通过尺缩效应容易得到空间坐标之间的变换关系，之 后，根据光速不变原理可以直接得到时间的关系，也算是第二种推导方法吧，那就是对于 一束光x2+y2+z2=c2t2,在第S'系中的坐标应该是x'2+y'2+z'2=c2t'2,既然光线的传播方程 具有这足这个关系，那么光速就不是不变的了，与假设矛盾，因此要这样求解。
运动参考系的空间坐标 在初始时刻，两个坐标系的原点重合，O=O',此时认为t=t'=0，将 钟对准。假如在另一个时刻将时空定格，空间中的一点在S系中是(x,y,z,t)，在S'系中是 (x',y',z',t')，我们的目标是测量出这两个坐标系之间的变换关系，根据引言可知， y=y',z=z'，这个是不变的，否则就违背了惯性系速度方向不变的假设。下面求x方向的坐 标变换关系。
x x ' vt 1 (v)2 c
根据这个长度的关系我们可以推导出时间的关系：
t 1 (x x
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22届：静质量为2m0 的物体,从静止状态自发 地分裂成两个相同的小物体,以一样的高速率 V朝着相反的方向运动.若与外界无能量交换, 那么每一小物体的质量为多少?每一小物体的 静质量为多少?
m0
关于狭义相对论动量和能量的练习 教材:P287 例1 习题: P299 14-20 14-21 14-23 14-24
物理竞赛书: P211 8.2.1. 8.2.4 8.2.6. P30 1.3.12
五 相对论动力学
相对论质量 m =
m0 1 − u2 c 2 m0v 1− u c
2 2
相对论动量 p = m v =
相对论动力学方程
d (mv m0v ) d F= = dt dt 1 − u 2 c 2
t − ux / c 2 1 − u2 c 2
x=
x ′ + ut ′ 1− u c
2 2
, y = y ′, z = z ′, t =
t ′ + ux ′ / c 2 1− u c
2 2
三
洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换
vx − u v′ x = u 1 − 2 vx c 2 vy u 1− 2 v′y = u c 1 − 2 vx c
第十八ty
相对论速度变换 狭义相对论动力学基础
一 狭义相对论的基本原理
(1)相对性原理：物理定律对一切惯性系等价。 (2)光速不变原理：真空中光速与光源或观察者的 运动无关。
二 洛仑兹变换式
x′ =
x − ut 1 − u2 c 2
, y′ = y , z ′ = z , t ′ =
也可取A为S'系，则u=0.8c 火箭B相对地球(S 系)的速度为vx=-0.6c 于是B相对A的速度为:
vx − u − 0.6c − 0.8c = −0.946c = v' x = (0.8c)( −0.6c) u 1 − 2 vx 1 − 2 c c
故A相对于B的速度为0.946c.
四 相对论的时空观念
v′ x +u vx = u 1 + 2 v′ x c 2 v′y u 1− 2 vy = u c ′ 1 + 2 vx c
vz u 1− 2 v′ z = u c 1 − 2 vx c
2
v′ u z vz = 1− 2 u c 1 + 2 v′ x c
2
例：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行， 如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体 相对飞船速度为0.90c 。 问：从地面上看，物体速度多大？
物理竞赛书: P207 8.1.2 P211 8.2.3. 8.2.4 8.2.5 8.2.7
长度和时间的测量与参照系的选择有关。 (1)动钟变慢效应 ∆t =
τ
1 − u2 c 2
2
(2)动尺缩短效应 l = l 0 1 − u
c2
21届：两个在同一直线上沿相反方向以速度V飞行的飞 船,A(向左飞向),B(向右),飞船A中的观察 v v 者看到相对其静止的中子的寿命为t， B A 那么飞船B中的观察者看到的此中子 地 球 的寿命为多少?A船看到的B船的速度 为多少? v −u v+v 2v
v AB = 0.8c − (−0.6c) = 1.4c
按洛沦兹速度变换
A
0.8c 0.6c 地 球
取地球为S系，火箭B为S´系， B 则S´系相对S系的速度u=-0.6c火 箭A相对S系的速度vx=0.8c.
A
0.8c
0.6c 地 球
火箭A相对S’系的速度为
B
vx − u 0.8c − (−0.6c) = 0.946c v' x = = u (−0.6c)(0.8c) 1 − 2 vx 1 − 2 c c
s
S′ u = 0.80c
v′ x +u vx = u 1 + 2 v′ x c
0.90c + 0.80c υx = 1 + 0.80 × 0.90
0.90c
u = 0.80c
v′ x = 0.90c
= 0.99c
例：火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对于 地球向+x和-x方向飞行。试求由火箭B测 得的A的速度。 解：按伽力略速度变换 v AB = v AD + vDB = v AD − vBD
相对论能量与动量的关系：
2 2 = , = E mc ∆ E ∆ mc 能量
动能 E k = E − E 0 = mc 2 − m 0 c 2 静能 E 0 = m 0 c 2 能量与动量关系 E = p c + m 0 c
2 2 2 2 4
hν h 对于光子 m = 2 , p = , E = hν λ c
v' x =
x
∆t =
τ
u 1 − 2 vx c
2 2
=−
1− u c
=
v 1+ 2 c t
2
=−
v 1+ 2 c
2
4v 2 1− 2 v 2 (1 + 2 )c c
关于狭义相对论时空观的练习 教材:P274 例1 例2 P276 例3 习题: P297 14-1. 14-2. 14-3. 14-9 14-10 14-12 14-13 14-14 14-15 14-17. 14-18.