柯西围道积分公式
柯西积分公式
可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
3-4柯西积分公式及推论
哈 尔 滨 工 程 大 学
§3.4 柯西积分公式及其推论
学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握柯西积分公式 掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 问题的提出
设 f ( z ) 在 以 圆 C :| z z 0 | r0 ( 0 r0 )为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ， f ( z )沿 C 的 积 分 为 零 。 考虑积分
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( 缩 小 )
C
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( z0 ) z z0
C
d z f ( z0 )
C
d z 2 if ( z 0 ).
2. 柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理3.9 (柯西积分公式)
设 D是 以 有 限 条 简 单 闭 曲 线 C为 边 界 的 有 界 区 域 , 设 f ( z )在 D 及 C 所 组 成 的 闭 区 域 D 上 解 析 ， 那 么 在 D内 任 一 点 z， 有
4 dz 2 z 1
sin
z1 1 2
2 sin z 4 z1
z1
dz
z
2 i
4 z1
z 1
2 2
i;
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sin 2)
sin z
z dz
z 1 1 2
4 dz 2 z 1
z 1 1 2
4 z1 z1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
I
2-4柯西公式
2
0
f ( z ei )d
例：计算
1 sin z (1) |z|4 z dz 2i 2 1 (2) dz | z| 4 z 1 z 3
解：(1) sinz在|z|=4内部及|z|=4上解析，由定 理知：
sin z 1 dz 2i sin z z 0 0 |z|4 z 2i 2 1 (2) |z|4 z 1 z 3 dz 1 2 dz dz | z| 4 z ( 1) | z| 4 z 3 1 2i
)( i)
d ，l为圆周|ξ |=2。
i 2i 9 1 5
cos z l ( z i)3 dz ，其中l为绕i一周的围线。 解：设f(z)=cosz在，n=2，得：
cos z 2i e 1 e1 l ( z i)3 dz 2! (cosz) |z i i cosi i 2
t
表示为回路积分。对回路积分进行积分变数的代
t 0
n 换ξ =(z-x)/z，并借以证明 n t
t 0
d n n x ex n (x e ) 。 dx
解：
n n! e x /(1 ) /(1 ) n l ( t )n1 d t 2i
即
f ( ) l z d 2if ( z) f ( ) C a d 2if (a) 1 f ( ) f (a) C a d 2i
( z B) (a B)
或
2. 复连通域上的Cauchy积分公式 设B是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区 域，函数f(z)在B内解析，在 B 上连续，则 对B内任一点 a，有
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
复变函数第三章(2)柯西积分公式
f ( z0 )
zz 2i
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区 域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎 样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。
定理dz定理dz解析所围成的闭区域上处处在曲线外部在曲线解析所围成的闭区域上处处在曲线34解析函数的导数一个解析函数不仅有一阶导数而且有各高阶导数它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示
3.3 柯西积分公式
分析: 设 z 0 D , 若 f ( z ) 在简单正向闭曲线
C 及其所围成的 区域 D 内解析，则 f (z) dz 闭路变形定理 z z0
e
z
0 r 1
C
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
C
( z 1 )( z 2 ) z
dz
2 i
e
( z 1 )( z 2 )
i
z0
-1
0
2
1 r 2
C
e
z
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
定理 3 .2
C1
e
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
e 在区域 D 边界处取得极值
（指数函数为单调函数）
调和函数 u ( x , y ) 在区域 D 边界处取得极值
(2)代数学基本定理
在复数范围内， 至少有一个根。 n 次多项式 p ( z ) a 0 z a 1 z
柯西积分公式及其推论
( K )
而 f ( ) d f ( ) d
C z
K z
f (z) d K z
K
f ( ) f (z) d z
z
D
K
C
2if (z) f ( ) f (z) d
K z
故
f ( ) d C z
2if (z)
K
f ( ) f (z) d z
f ( ) f (z)
z 2 z 1
z1
2i sin1
例2
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
a i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式 2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f
(z0 )
1
2 i
f ( ) d C z0
1
2 i
2 0
f
(z0 R ei Rei
)
Riei d
1 2π
2π 0
f
( z0
R ei )d.
例3 设f (z)在闭圆 z R上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时
f (z) a
而且
f (0) a
试证,在圆 z R内, f (z)至少有一个零点.
设z h D 是D内另一点。
只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0
f (z h)
柯西积分公式的推导
柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。
设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。
柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。
留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。
而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。
推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。
2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。
3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。
对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。
4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。
因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。
5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。
6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。
7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。
8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
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柯西围道积分公式
柯西（KarlFriedrichGauss）是19世纪最重要的数学家之一，他拥有数个重要的发明，其中之一就是柯西围道积分公式。
这个公式的作用是帮助人们解决一些复杂的数学问题，特别是在许多应用概念处理方面，它可以帮助我们计算一个函数的可积分表达式和它的积分。
柯西积分公式，也称为柯西定理，是一种数学工具，用于计算有限下积分或极限和，它提供了一种可靠的方法来计算复杂函数的积分和导数。
它是由德国数学家卡尔弗里德里希高斯（Karl Friedrich Gauss）发明的，他是19世纪最重要的数学家之一，在几何学、物理学、统计学和数学分析等领域都有重大贡献。
柯西积分公式的基本原理是基于它的定义：一个函数的积分是由一个或多个定积分的次数来表示的，它的定积分是指一段闭合的曲线在一个轴上的积分。
这就是柯西定理的基础：某个曲线的积分是由它的围道公式来决定的，这也是柯西积分公式的基础原理。
柯西积分公式可以用来计算一个函数的可积分表达式和它的积分，它是一种用来计算复杂函数积分及其极限和结果的数学工具，也可以用来计算曲线的极限结果。
它的公式是这样的：
∫f(x)dx = a +[f(a + h) + f(a - h)]dh
其中a是积分的上限，h是一个微小的量。
这个公式反映了一个曲线的积分于它的围道关系，是一个非常重要的工具，用来计算一些复杂的数学问题。
柯西积分公式因其简单、实用性和准确性而被广泛应用。
它可以用来检验某些复杂函数的积分结果，也可以用来求解经常出现的微积分问题。
柯西积分公式是一种常用的数学工具，在多层次的应用概念处理中都有重要的作用，它可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，特别是在计算一个函数的可积分表达式和它的积分方面，它有很多用处。
柯西积分公式在研究和应用数学方面也发挥了重要的作用。
它的发明为科学的进步提供了重要的支持，并帮助人们解决了许多复杂的数学问题。
它是19世纪最重要的数学家之一，卡尔弗里德里希高斯（Karl Friedrich Gauss）的最重要发明之一，也是今天数学界最为重要的研究领域之一。
总之，柯西积分公式是一种常用的数学工具，用来计算复杂函数的积分及其极限和结果，它也可以用来检验一些复杂函数的积分结果，同时也可以用来计算曲线的极限结果，它是19世纪最重要的数学家之一，
卡尔弗里德里希高斯（Karl Friedrich Gauss）的最重要发明之一，他的发明对科学的进步提供了重要的支持，也为人们解决了许多复杂的数学问题。