柯西积分公式例题解析

柯西积分公式例题解析
柯西积分公式是复变函数中非常重要的一个定理，它与复积分密切相关。

本文将通过例题解析柯西积分公式的应用。

先回顾一下柯西积分公式的表述：
设 $f(z)$ 是在区域 $D$ 内解析的函数，$gamma$ 是 $D$ 内的一条可求长曲线，$z_0$ 在 $gamma$ 内部。

则有
$$
f(z_0) = frac{1}{2pi i}int_{gamma}frac{f(z)}{z-z_0}dz $$
其中，$frac{1}{z-z_0}$ 称为积分核。

现在来看一个例题：
例1 求函数 $f(z)=frac{1}{z^2+4}$ 沿圆 $left| z-1
ight|=3$ 逆时针方向的积分。

首先，观察一下积分路径，这是一个以 $z_0=1$ 为圆心，半径为$r=3$ 的圆。

因为 $f(z)$ 是解析函数，且 $z_0=1$ 在圆 $left|
z-1
ight|=3$ 内部，所以可以直接使用柯西积分公式进行计算。

根据柯西积分公式，
$$
f(z_0) = frac{1}{2pi i}int_{gamma}frac{f(z)}{z-z_0}dz $$
其中，$gamma$ 表示积分路径，$frac{1}{z-z_0}$ 是积分核。

将 $f(z)=frac{1}{z^2+4}$ 带入上式，得到
$$
f(1) = frac{1}{2pi i}int_{left| z-1
ight|=3}frac{frac{1}{z^2+4}}{z-1}dz
$$
将分母进行部分分式分解，得到
$$
frac{1}{z^2+4}=frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z+2i}-frac{1}{2i}cdot
frac{1}{z-2i}
$$
带回原式，得到
$$
f(1) = frac{1}{2pi i}int_{left| z-1
ight|=3}left(frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z+2i}-frac{1}{2i}cdotfr ac{1}{z-2i}
ight)cdotfrac{1}{z-1}dz
$$
将上式分解成两个积分，
$$
begin{aligned}
f(1) &= frac{1}{2pi i}int_{left| z-1
ight|=3}frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z+2i}cdotfrac{1}{z-1}dz - frac{1}{2pi i}int_{left| z-1
ight|=3}frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z-2i}cdotfrac{1}{z-1}dz &= frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1+2i}cdotint_{left| z-1
ight|=3}frac{1}{z-1}dz -
frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1-2i}cdotint_{left| z-1
ight|=3}frac{1}{z-1}dz
&= frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1+2i}cdot 2pi i -
frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1-2i}cdot 2pi i
&= frac{2}{5}+frac{2}{5}i
end{aligned}
$$
因此，所求积分为 $frac{2}{5}+frac{2}{5}i$。

通过这个例题，我们可以看到柯西积分公式的应用。

需要注意的是，柯西积分公式只适用于解析函数，且积分路径必须在解析函数的定义域内。