复变函数柯西积分总结
复变函数的积分及柯西公式
f z dz u iv dx idy
c c
udx vdy i vdx udy
c c
f x t iy t z t dt
2
三、复变函数积分的性质
(1) f ( z )dz
C Cdz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
3
2.2 柯西定理
单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域 中解析，则沿着中任何一个分段光滑的闭合围道c的积 分为：
2.1 复变函数的积分 一、积分的定义
y
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
1
二、复变函数积分公式
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
复连通区域的柯西定理：如果函数f(z)是复连通区域中 的单值解析函数，则有：
4
2.3 不定积分
5
2.4 柯西公式
a,改记作z，积分变数用������表示，也可写作
推论： 1、模数原理：设f（z）在某闭区域上解析，则|f（z）|只 能在边界线 l 上取极大值。 2、刘维尔定理：如f（z）在全平面解析且有界，则f（z） 必为常数。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ₁ θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点 k并作和式S n=(z k-z k-1)=∆z k记∆z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度={∆S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=∆z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=(z k-z k-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则∑1= (z k-z k-1)有可设ξk=z k，则∑2= (z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i+ udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π)例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t==(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)==(1+i)+ 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ=例题1：例题2：解：=0 解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
复变函数第三章(2)柯西积分公式
f ( z0 )
zz 2i
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区 域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎 样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。
定理dz定理dz解析所围成的闭区域上处处在曲线外部在曲线解析所围成的闭区域上处处在曲线34解析函数的导数一个解析函数不仅有一阶导数而且有各高阶导数它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示
3.3 柯西积分公式
分析: 设 z 0 D , 若 f ( z ) 在简单正向闭曲线
C 及其所围成的 区域 D 内解析，则 f (z) dz 闭路变形定理 z z0
e
z
0 r 1
C
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
C
( z 1 )( z 2 ) z
dz
2 i
e
( z 1 )( z 2 )
i
z0
-1
0
2
1 r 2
C
e
z
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
定理 3 .2
C1
e
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
e 在区域 D 边界处取得极值
（指数函数为单调函数）
调和函数 u ( x , y ) 在区域 D 边界处取得极值
(2)代数学基本定理
在复数范围内， 至少有一个根。 n 次多项式 p ( z ) a 0 z a 1 z
柯西定理知识点总结
柯西定理知识点总结1. 柯西定理的历史柯西定理是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）于19世纪提出的。
柯西在研究函数的积分时发现了这个重要的定理。
柯西定理的最初形式是针对实变函数的，后来被扩展到复变函数上。
柯西定理的推广和应用使得它成为了复分析和复变函数理论中的基本定理之一。
2. 柯西定理的形式柯西定理的最基本形式是指出了复变函数的积分与函数在路径的围成区域上的值之间的关系。
其数学表述如下：设f(z)是一个在区域D上解析的函数，γ是D中的一条简单闭合曲线，那么f(z)在γ上的积分等于0，即：∮γf(z)dz=0。
这个定理表明了在解析函数的积分性质以及在闭合曲线上的积分为0，这个性质对于复变函数的研究和应用有着非常重要的作用。
3. 柯西定理的推论柯西定理的一个重要推论是柯西积分定理（Cauchy's integral theorem）。
柯西积分定理是指出了如果一个函数在一个区域D上解析，那么函数在D上的路径积分只依赖于路径的端点，而与具体的路径无关。
它的数学表述如下：设f(z)是一个在区域D上解析的函数，而γ1和γ2是D中的两条路径，如果γ1和γ2有相同的起点和终点，那么f(z)在γ1上的积分等于f(z)在γ2上的积分，即：∮γ1f(z)dz=∮γ2f(z)dz。
这个定理表明了解析函数的路径积分只与路径的起点和终点有关，而与具体的路径形式无关，这对于复变函数在实际应用中的积分计算提供了便利。
4. 柯西定理的应用柯西定理有着广泛的应用，其中最重要的一个应用就是计算复变函数的积分。
在实际应用中，复变函数的路径积分通常可以通过柯西定理轻松的计算出来，从而简化了计算的过程。
柯西定理在电磁学、物理学、工程学等领域的应用也非常广泛，这些领域中的一些积分问题通过柯西定理可以得到简化和解决。
5. 柯西定理的扩展除了基本的柯西定理和柯西积分定理外，柯西定理还有一些重要的扩展定理，如柯西边界定理（Cauchy's integral formula）、柯西积分公式（Cauchy's integral formula）、柯西不等式（Cauchy's inequality）等。
复变函数柯西定理
复变函数柯西定理
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。
柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。
另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。
(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):
[注：格林定理可以直接证明，亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。
]
以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):
具体而言：
现在：1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用（2），环路积分为零得证。
(II) 另一个角度，可证明如下：
对于解析函数，由柯西-黎曼方程可知：(3)中的实部：udx-vdy 和虚部：vdx+udy 分别是全微分形式，可写作某实函数的全微分:
而实函数全微分的环路积分为零。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
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复变函数柯西积分总结
复变函数柯西积分总结
第三章复变函数的积分
能力要求
会通过转化成两个实变函数第一型曲线积分的方法来计算复变函数的积分。
知道复变函数积分的四条性质，特别注意前三条线性性质。
知道在什么时候可以用实变函数中的牛顿莱布尼茨公式计算复变函数积分。
会用柯西积分公式和高阶导数公式(n=1,2,……)计算积分。
会用复合闭路原理和闭路变形原理简化积分计算。
会判定一个复变函数是不是某一区域D内的调和函数。
会用偏积分法和不定积分法求共轭调和函数。
重点知识点讲解
一、复变函数积分的基本计算法
复变函数的积分是转化成实变函数的第一型曲线积分来计算的，因此我们要先回顾第一型曲线积分的计算步骤。
例题：沿计算积分的值第一步：化参数
积分路径是一条抛物线，它在复平面上的方程是，则。
第二步：把原积分式中的x、y和dz都代掉。
注意积分上下限的变化。
二、积分的性质
最重要的是积分的线性性质（书P74性质前三条），第四条估值不等式能力要求稍高。
三、用性质、定理计算积分、定理回顾
柯西-古萨基本定理
如果函数在单连通域B内处处解析，那么函数沿B内任何一条封闭曲线C域B内处处解析，那么函数沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零。
关键词：处处解析封闭曲线积分为零注意：该定理中的C可以不是简单曲线。
闭路变形原理
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。
关键词：解析函数连续变形不经过不解析点基本定理的推广复合闭路定理
设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，C1，C2，……，Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，……，Cn 为边界的区域全含于D。
如果在D内解析，那么
i)，其中C及Ck均取正方向；
ii)积分路径为C及Ck所组成的符合闭路，C取逆时针，Ck取顺时针。
复合闭路定理告诉了我们被积函数在积分路径所围区域内存在奇点的情况下积分的计算方法：围绕每个奇点画一个小圆作为积分路径，把原积分拆成多个积分的和。
虽然书上那一部分要求我们用73页上的那个结果，但其实我们完全可以用后面的柯西积分公式和高阶导数公式来解决，那是更具一般性的。
柯西积分公式
如果在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C内的任一点，那么|f(z0)1f(z)dz2iCzz0关键词：处处解析正向简单闭曲线
柯西积分公式的功效是把一个复变函数的积分和它在积分路径所围区域内话的次序不可颠倒！
接下来重点讲共轭调和函数的两种求法。
1、偏积分法
求解过程（以知v求u为例）：①求出和
②由柯西-黎曼方程中的得到，这就是偏积分。
当然，也可以用，对y 求偏积分。
③代入，确定。
求积分过程中出现的常数c则要根据题给信息确定。
2、不定积分法求解过程：
①根据复变函数在某一点处的导数公式（见P42）写出的导数表达式。
②把它还原成z的函数，得到与。
③将它们对z积分，即得到
当已知实部时可用上一式，已知虚部时可用下一式。
题目讲解
1、，C为正向圆周|z|=2.解：
柯西积分公式2、求
高阶导数公式3、求解：
高阶导数公式
扩展阅读：关于复变函数积分求解总结
关于求积分的各种方法的总结
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线
1.利用定义求积分
例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.
c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是
xyixdz2cxyixdxiy
202ixxixdxix
202*011iixdx1i3.
2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设fz在单连通区域
D内解析，C为D内任一条周线，则
fzdzc0.
D柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，
DDC上解析，则fzdz0.
c为C之内部，fz在闭域
例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，
c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，
于是，
coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，
coszzidz0.
故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC上连续，则fzdz0.
c例3.计算积分dzz16z3z1.
1分析：被积函数Fzz3z1在C上共有两个奇点z0和z，在z1内
31作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.
解：显然，
1z3z11z33z1
为心，充分小半径r16任作以z0与以z12:zr313的圆周1:zr及
，将二奇点挖去，新边界构成复周线C12C:z1.
dzz3z1z1z3z12dz
12z3z1z3z1
1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12
dzdzz1dz1z31dz221z3
0.3.利用柯西积分公式求积分
设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.
z例4.计算积分2zz1z1cdz的值，其中C:z2
解：因为fz2z2z1在z2上解析，
z1z2，由柯西积分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.
设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则函数fz在区域D内有各阶导数，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c 例5.计算积分coszdzdn1zf2in!fnz.
czi3，其中C是绕i一周的周线.
解：因为cosz在z平面上解析，
所以e1coszczii.
dz32i2!cosz|ziicosi
e2例6.求积分c921d，其中C为圆周2.
解：
c921didc92
5另外,若a为周线C内部一点，则dzdz2icza
zacn0（n1，且n为整数）.
4.应用留数定理求复积分
fz在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,an外解析，在闭域DDC上除a1,a2,an外连续，则fzdz2iResfz.
ck1zakn设a为fz的n阶极点，fzzzan，其中z在点a解析，a0，则
Resfzzaa.
n1!5z2z2n1例7.计算积分zz12dz
解：被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1，
Resfzz05z2z22|z02
25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留数定理可得
5z2z2zz12dz2i220.
例8.计算积分解：fzz13coszz1z3dz.
cosz只以z0为三阶极点，
12Resfzz02!coszz0
由留数定理得coszz1z31dz2ii.
25.用留数定理计算实积分
某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分
02令ze，则cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，
此时有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1
12解：令zei，则cosI2izz，d1dziz，
zzz1dz，其中aa21，aa21，
1,1,1，
应用留数定理得I2a12.
若Rcos,sin为的偶函数，则Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，
0因为此时Rcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.计算taniad （a为实数且a0）
0分析：因为tania1eie2iai2iai11，
直接令e2iaiz，则dze2iai2id，
于是tania解：I11z1iz1.
iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理，当a0时，Ii当a0时，
Ii.5.2计算PxQxdx型积分
例11.计算xdx423xz24.
23424解：函数fz2323z在上半平面内只有zi一个四阶极点，
令ia，zat则fzz3444z4223z44
zaza
ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att
211tt4423t168a32aResfzza1332a43
i5766即Resfzz23i133242i33
故xdx423x242ii57662886.
友情提示：本文中关于《复变函数柯西积分总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，复变函数柯西积分总结：该篇文章建议您自主创作。