直线和平面所成的角与二面角(1)线面角.
线面角的求法总结
线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB 故SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC∴CH即为SC 在面ABC的射影。
∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。
sin ∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）二利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面AB1C1D 所成的角。
解：设点B 到AB1C1D的距离为h,=V A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5∵V B﹣AB1C1设AB 与面A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5三. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α的射影，OC为面α的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，图3θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC所成的角的余弦值。
第七讲直线与平面所成的角二面角
填②③.四边形BFD1E在面ADD1A1和面BCC1B1上的射影 是③，在面DCC1D1、面ABB1A1、面ABCD和面A1B1C1D1上的射 影是②.
线面角、二面角的计算
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，D1C与 平面ABCD所成的角为30°，D1A与BC所成的角为45°.
.
(2)证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA ＝ ∠ CDA ＝ 45°. 由 ∠ BAD ＝ 45° ， 可 得 BG⊥AB ， 从 而 CD⊥AB，
又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.
(3)由(2)及已知，可得AG＝ ，即G为AD的中点．取
EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，因为BC∥AD，所
以BC∥EF.过点N作NM⊥BC，交BC于M，则∠GNM为
二面角B－EF－A的平面角．
连 接 GM ， 可 得 AD⊥ 平 面 GNM ， 故 AD⊥GM. 从 而
BC⊥GM.
由已知，可得GM＝ .由NG∥FA，FA⊥GM，得
NG⊥GM.
在Rt△NGM中，
所以二面角B－EF－A的正切值为
.
谢谢观赏
2．已知正四面体A－BCD的棱长为a.
(1)求AC与平面 BCD所成角的余弦值；
(2)求二面角A－BD－C的平面角的余弦值．
与角有关的综合应用
（2011·浙江卷）如图，在三棱锥P－ABC中，AB=AC，
D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.
（1）证明：AP⊥BC； （2）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2. 求二面角B－AP－C的大小.
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
最小角定理
最小角定理由线面成角与二面角的定义,易得下列不等式,即最小角定理：线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值那么如何证明这个最小角定理呢?有人说这很显然啊,请问真的显然吗?这个知识点背后的原理弄清了吗?线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值1.已知点O 为平面α上一点,过O 的斜线OQ 在平面α上的射影为OP ,OP '为平面α上的任一直线,证明：∠QOP ≤QOP '证明：如图,过点P 作PP '⊥OP ',垂足为点P ',连接QP '.因为QP ⊥面α,则QP ⊥OP '.又PP '⊥OP ',则OP '⊥面QPP ',故而OP '⊥QP '.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=∠⇒OQ OP QOP OP OP POP OQ OP QOP ''cos ''cos cos 线面角≤线线角线面角≤面面角二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值为了方便,我们将问题转化一下,如图所示：设二面角M -AB -N 的度数为∠CBO ,在平面M 上有一条射线AC ,它和平面N 所成角为∠CAO ,证明：∠CBO ≥∠CAO .证明：设CO ⊥面ABN ,则CO ⊥AO ,CO ⊥BO .又∠CBO 是二面角M -AB -N 的平面角,则CB ⊥AB ,OB ⊥AB .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=∠⇒CA COCAO CA CB CAB CB CO CBO sin sin sin 二面角M -AB -N 的平面角为∠CBO ≥∠CAO ；所以,得证.例题讲解例题1：如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练,已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）,若AB =15cm ,AC =25cm ,∠BCM =30°,则tanθ的最大值是______.例题2：例题3：如图，已知三棱锥ABC D -,记二面角D AB C --的平面角是θ，则直线DA 与平面ABC 所成角是1θ，直线DA 与BC 所成角是2θ，则()A例题4：(2017.3嘉兴模考)如图，已知三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，点E 满足EC DE 3=，点P 在棱AC 上运动，设EP 与平面BCD 所成角为θ，则θsin 的最大值为__322________.例题5：例题6：设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（B ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<.,C βαγα<<D ．,αβγβ<<例题9：.如图，棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，则顶点C 1到平面α的距离的最大值是__23(2+_________.例题10：如图正四面体ABCD ，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成的角θ不可能是(D )A .0B .6πC .3πD .2π（11题图）（10题图）例题11：(2017.4金华十校二模)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是线段CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π/3,则点P 的轨迹为(B)A .圆的一部分B .椭圆的一部分C .抛物线的一部分D .双曲线的一部分例题11：正四面体P -ABC 中,D 为AB 的中点,E 为直线AC 上一点,则平面PDE 与平面PBC所成二面角的正弦值的最小值为____32___.例题12：(2017温州模拟)如图,在三棱柱A -BCD 中,平面ABC ⊥平面BCD ,△BAC 与△BCD 均为等腰三角形,且∠BAC =∠BCD =90°,BC =2.点P 是线段AB 上的动点,若线段CD 上存在点Q ,使得异面直线PQ 与AC 成30°的角,则线段PA 的取值范围是_______]36,0(__.例题13：（2015四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为____25_____．。
线面角与二面角
定义1： 定义 ： 垂直于二面角的棱的任 一平面与两个半平面的交线所成 的角叫做二面角的平面角。 的角叫做二面角的平面角。 定义2： 定义 ： 从二面角的棱上任一点 在两个半平面内分别作垂直于棱 的射线， 的射线，则这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 叫做二面角的平面角。 注意1： 注意 ：二面角的平面角与点 或垂直平面）的位置无关系， （或垂直平面）的位置无关系， 只与二面角的张角大小有关。 只与二面角的张角大小有关。 注意2： 注意 ：二面角就是用它的平面 角来度量的。 角来度量的。一个二面角的平面 角多大，我们就说个二面角是多 角多大， 少度的二面角。 少度的二面角。
直线与平面所成角直线与平面所成角直线和平面所成的角直线和平面所成的角当直线与平面垂直时直线与平面所成的角为90当直线是平面的斜线时直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角
直线与平面所成角
制作人： 统计 统计（ ） 制作人：09统计（1）班 陈潇
直线和平面所成的角
当直线在平面内或直线与平面平行时， 当直线在平面内或直线与平面平行时，直线 与平面所成的角为0° 与平面所成的角为 ° 当直线与平面垂直时， 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角 为90 ° 当直线是平面的斜线时， 当直线是平面的斜线时，直线和平面所成的 角是指这条直线和它在平面内的射影 直线和它在平面内的射影所成的 角是指这条直线和它在平面内的射影所成的 锐角. 锐角
5.三棱柱 ABC − A1 B1C1中，AB ⊥ BC , 是矩形， 四边形 BCC1 B1是矩形，四边形 A1 ABB1 是菱形， ∠A1 AB = 60°，BC = 3，AB = 4 是菱形， (1)求证：平面 A1 BC ⊥ 平面A1 ABB1； 求证： ( 2)求直线 A1C和平面 BCC1 B1所成角的正切 .
线面角、面面角
2、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意 O 一点为端点，在两个面上 l 分别引垂直于棱的两条射 O 线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 注：二面角的平面角必须满足： 角的顶点在棱上。 角的两边分别在两个面内。 角的边都要垂直于二面角的棱。 二面角的取值范围（0,π）。
B
A
B
A
1. 相交成90°的两条直线与一个平 面所成的角分别是30°与45°，则这 两条直线在该平面内的射影所成角的 正弦值为( C ) (A) 3 3
6 6 3 (B) (C) (D) 3 2 2
2.如图，正方形ABCD所在平面与正 方形ABEF所在的平面成60°的二面 角 ， 则 异 面 直 线 AD 与 BF 所 成角的余弦值是___________.
(2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值;
(3) 求二面角D-AB-C的平面角的正切值.
5. 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD，BE⊥PC，E为垂足. 求证：平面BDE⊥平面PBC． P
E
D A B
C
2 4
3.将矩形ABCD中的△ ABD沿对角线 BD折起，使A在平面BCD上的射影O在 CD上，若O恰为CD中点，求折后直线 AB与平面BCD所成的角. D C
A D
C B
A
B
E
O
4. 在四面体ABCD中,平面ABD⊥ 平面BCD,△ABD为等边三角形， CD⊥BD，∠DBC＝30o．
(1) 求二面角A-DC-B的大小；
线面角 面面角
线面角
平面的一条斜 线和它在平面内的 射影所成的锐角， 叫做这条直线和这 个平面所成的角。
一直线垂直于平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享
D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
直线和平面所成的角与二面角
直线和平面所成的角与二面角知识要点1．直线与平面所成角的范围若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。
2．公式cosθ=cosθ1·cosθ2。
斜线AB与平面α所成的角为θ1，A为斜足，AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cosθ=cosθ1·cosθ2。
3．公式。
如图所示，在二面角α-l-β中，A∈平面β，B∈平面α，AD⊥l于D，BC⊥l于C，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：。
4．公式S'=Scosθ。
如果平面多边形所在平面与平面所成角为，这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S、S'，那么S'=Scosθ。
5. 向量知识(1)；(2)(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a与b的夹角)(4)若a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。
典型题目例1．如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。
(1)求证：A'F⊥C'E；(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B的大小。
（结果用反三角函数表示）。
(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。
∵，∴ A'F⊥C'E。
(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF的体积，当且仅当，时，取得最大值。
过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,B'D⊥EF,∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角。
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直线和平面所成的角与二面角(1——线面角
一、课题:直线和平面所成的角与二面角(1——线面角二、教学目标:1.掌握直线和平面所成角的概念;
2.理解并且掌握公式:12cos cos cos θθθ=⋅.
三、教学重点、难点:直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用.
四、教学过程: (一复习:
1.直线和平面的位置关系; (平行、相交和直线在平面内
2. 思考:当直线 a 与平面α的关系是a A α= 时, 如何反映直线与平面的相对位置关系呢? (可以用实物来演示,显然不能用直线和平面的距离来衡量 (二新课讲解:
1.平面的斜线和平面所成的角: 已知, 如图, AO 是平面α的斜线, A 是斜足, OB 垂直于平面α, B 为垂足, 则直线 AB 是斜线在平面α内的射影。
设 AC 是平面α内的任意一条直线, 且 BC AC ⊥, 垂足为 C , 又设 AO 与 AB 所成角为1θ, AB 与 AC 所成角为2θ, AO 与 AC 所成角为θ,则易知:
1||||c o s A B A O θ= , 212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ== 又∵ ||||cos AC AO θ=
,
可以得到:12cos cos cos θθθ=⋅, 注意:2(0,
2
π
θ∈(若 22
π
θ=
,则由三垂线定理可知,
O A A C ⊥,即 2
π
θ=;与“ AC 是平面α内的任意一条直线,且 BC AC ⊥,垂足为C ”
不相符。
易得:1cos cos θθ< 又 1, (0,
2
π
θθ∈即可得:1θθ<.
则可以得到:
(1平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角;
(2斜线和平面所成角:一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角,叫做斜线和平面所成角(或叫斜线和平面的夹角。
θ
θ2
θ1O
C
B
A
α
- 2 -
说明:1.若a α⊥,则规定 a 与α所成的角是直角;
2.若//a α或a α⊂,则规定 a 与α所成的角为 0
;
3.直线和平面所成角的范围为:090θ≤≤
;
4.直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值 (12cos cos cos θθθ=⋅ .
2.例题分析:
例 1.如图,已知 AB 是平面α的一条斜线, B 为斜足, , AO O α⊥为垂足, BC 为α内的
一条直线, 60, 45ABC OBC ∠=∠=
,求斜线 AB 和平面α
所成角.
解:∵ AO α⊥,由斜线和平面所成角的定义可知, ABO ∠为 AB 和
α所成角, 又∵ 12cos cos cos θθθ=⋅,
∴ cos cos601cos cos cos 45222
ABC ABO CBO ∠∠===÷=
∠ , ∴ 45BAO ∠=
,即斜线 AB 和平面α所成角为 45
.
例 2.如图,在正方体 1AC 中,求面对角线 1A B 与对角面 11BB D D 所成的角.
〖解〗 (法一连结 11AC 与 11B D 交于
O ,连结 OB , ∵ 111DD AC ⊥, 1111B D AC ⊥,∴ 1AO ⊥平面 11BB D D , ∴1A BO ∠是 1A B 与对角面 11BB D D 所成的角, 在1Rt A BO ∆中, 111
2
A O A
B =
,∴ 130A BO ∠= . (法二由法一得 1A BO ∠是 1A B 与对角面 11BB D D 所成的角,
又∵ 11cos cos 452A BB ∠==
, 11cos 3
B B B BO BO ∠==, O
C B
A
α
1
∴ 11
1
1
cos
cos
cos
A BB
A BO
B BO
∠
∠===
∠
,∴
1
30
A BO
∠= .
说明:求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影, 后求斜线与其射影的夹角。
另外,在条件允许的情况下,用公式
2
1
cos cos cos
θθθ
=⋅求线面角显得更加方便. 例 3.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值. 解:过 A 作 AO ⊥平面 BCD 于点 O ,连接 , ,
CO BO DO ,
∵ AB AC AD
==,∴ O 是正三角形 BCD 的外心,
设四面体的边长为 a
,则 CO =,
∵ 90
AOC
∠= ,∴ ACO
∠即为 AC 与平面 BCD 所成角,
∴ cos ACO
∠=,所以, AC 与平面 BCD
.
五、课堂练习:课本第 45页练习第 1, 2, 3题;第 47页习题 9.7的第 1题.
六、小结:1.线面角的概念;
2.
12
cos cos cos
θθθ
=⋅及应用步骤:
12
, ,
θθθ在图形中所表示的角.
七、作业:课本第 45页练习第 4题、第 47页习题 9.7的第 2题。
补充:1.如图, PA 是平面α的斜线, BAC
∠在平面α内,且满足 90
BAC
∠= ,又已知 60
PAB PAC
∠=∠= ,求 PA 和平面α所成的角.
2.如图,已知 PA ⊥正方形 ABCD
所在平面,且 24,
PC PB PD
===PC 和平面 ABCD 所成的角.
O
D C B A
A
P
C B
D
- 3 -。