空间向量与立体几何专题(含答案)

2011届高考专题复习空间向量与立体几何一、近年考情分析与2011年广东命题走势纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容涉及试题数及分值为：立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．二、广东考题剖析及热点题型讲析热点1 空间几何体的结构、三视图、直观图 1．（08年广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．2．（10年广东6）如图1,△ABC为正三角形,AA＇//BB＇//CC＇,CC＇⊥平面ABC且3AA＇=32 BB＇=CC＇=AB,则多面体ABC-A＇B＇C＇的正视图(也称主视图)是 ( D )3.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.1C.D.【答案】B 本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为.4.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.5．如下图所示，四边形OABC 是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ’A ’B ’C ’，在直观图中梯形的高为（ C ）A 、32 B 、1 C 、22 D 、126.（全国Ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B)273a π (C)2113a π (D) 25a π【答案】B解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知2331,32AP a a OP a =⨯==，所以球的半径R 满足：2222317()()3212R a a a =+=，故22743S R a ππ==球．热点2 点线面的位置关系空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，主要考查平面的基本性质、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查对图形的识别、理解和加工能力。

1.（2009·广东5）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( D )Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④2.（2007年·12）如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)____f =；f(n)=______(答案用数字或n 的解析式表示)答案：(1)2n n +;8;n(n-2)。

3.【2010·浙江理数】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】B4．【2010·宁波市二模】已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（ ）A.B.C.D.【答案】D 依题意，a ⊥α ,则a 平行β或在β内，由于b ⊥β，则，选择D.5.（上海春15）若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c （ ）（A ）一定平行；（B ）一定相交；（C ）一定是异面直线； （D ）平行、相交、是异面直线都有可能 答案：D解析：由直线的位置关系可知,a c 可能平行，可以相交，也可以异面，故选D 。

图46.（江西卷11）如图，M 是正方体1111ABCD A B C D 的棱1DD 的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是：A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质7.（北京卷16）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;1A B 1C 1A CMg空间中的角和距离空间角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角，对这三种角，主要理解它们的概念和范围，在论证的基础上转化为平面角来表示，再用解三角形的方法来解，也可以通过建立坐标系后利用空间向量方法求解。

用空间向量解决立体几何问题的必备知识：(1)设直线AB 是平面α的斜线，向量n 为平面α的一个法向量，则直线AB 与平面α所成角的正弦值等于|cos 〈AB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·n |AB →|·|n |； (2)设二面角的两个半平面α，β的一个法向量分别是n 1，n 2，则二面角的余弦的绝对值等于|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|；具体符号是正是负看二面角的大小．(3)设AB ，CD 是两条异面直线，则它们所成角的余弦值等于|cos 〈AB →，CD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →|AB →|·|CD →| (4)设A 是平面α外一点，O 是平面α内任意一点，n 为平面α的一个法向量，则点A 到平面α的距离是：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AO →·n |n |； (5)设AB ，CD 是两条异面直线，且n ⊥AB →，n ⊥CD →，则这两条异面直线之间的距离是：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |； (6)设P 为直线AB 外一点，则点P 到直线AB 的距离是：d ＝|PA →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →·AB →|AB →|2.1.（2010·广东卷理10）若向量a ρ=（1,1,x ）, b ρ=(1,2,1), c ρ=(1,1,1)满足条件(c ρ－a ρ)·(2b ρ)=-2,则x = .【解析】(0,0,1)c a x -=-v v ，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2c a b x x -⋅=-⋅=-=-v v v，解得2x =．2. 如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，E 、F 分别是AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为（ B ）A.33B.32 C.31 D.61 3. 如图，长方体ABCD —1111D C B A 中，AC 与BD 的交点为M ，设,b D A ,a B A 1111==c A A 1=，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ A ）A. c b 21a 21++-B.c b 21a 21++ C. cb 21a 21+-D. c b 21a 21+--4.【2010·全国卷1文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）A. B. C.D.【答案】D1（2007·广东19）（本小题满分14分）如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=6CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

（1）求V(x)的表达式；（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V （x ）取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

19:解（1）由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC ，96ABC S ∆=22654BEFBDC x S S ∆∆=⋅= 261(9)12x -（036x << （2）261'())4V x x -，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；636x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126F 图6PED BA（3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则,21212BM BF BE BEMB BE AB BC BD AB=====，PM=MF BF PF ====在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠==，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为27；2（2008·广东卷20）（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=o ，45BDC ∠=o ，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD，上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ． （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．解：（1）在Rt BAD ∆中，60ABD ∠=o Q，,AB R AD ∴==而PD 垂直底面ABCD，PA ===PB ===,在PAB ∆中，222PA AB PB +=,即PAB ∆为以PAB ∠为直角的直角三角形。

设点D 到面PAB 的距离为H ,由P ABD D PAB V V --=有PA AB H AB AD PD =g g g g , 即AD PD H R PA ===g，sin 11H BD θ==; (2)//,PE PGEG BC EB GC∴=,而PE DF EB FC =, 即,//PG DFGF PD GC DC=∴,GF BC ∴⊥，GF EG ∴⊥,EFG ∴∆是直角三角形； （3）12PE EB =时13EG PE BC PB ==,23GF CF PD CD ==,即11222cos 45,3333EG BC R R GF PD R ==⨯⨯︒===⨯=, EFG ∴∆的面积211422339EFG S EG GF R R R ∆==⨯⨯=gFCP G E A B 图5D3（2009·广东卷理18）（本小题满分１４分）如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面；（３）求异面直线11E G EA与所成角的正弦值解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+=221212221=⨯⨯+⨯⨯=，又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E . （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ， ∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥， 又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，则62,cos 111111=>=<EAG E EA G E EA G E ，设异面直线11E G EA与所成角为θ，则33321sin =-=θ.4（2010·广东卷理18）（本小题满分14分）如图5，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB=FD=5a ，FE=6a. (1)证明：EB ⊥FD ； (2)已知点Q ，R 分别为线段FE ，FB 上的点，使得FQ=23FE ，FR=23FB ，求平面BED 与平面RQD 所成的二面角的正弦值。