空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a b a b a b ⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ⋅=⇔⊥．（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法．4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a对应的有向线段的起点是A，终点是B，则向量a可以记为AB，其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的方向不确定，是任意的．由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常用到．5、相等向量长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a与向量b相等，记为a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a的相反向量记为－a二、共面向量1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量．2、共面向量定理若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使得p =xa yb +。

3、空间平面的表达式空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使MP xMA yMB =+或对空间任一定点O,有或OP xOA yOB zOM =++（其中1x y z ++=）这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件．三、空间向量基本定理1、定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa yb +zc +2、注意以下问题（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面。

那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底。

a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．3、向量的坐标表示（1）单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k 表示．（2）空间直角坐标系 在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k 以点O 为原点，分别以i 、j 、k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐标系O －xyz,点O 叫原点，向量i 、j 、k 都叫坐标向量．（3）空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设i 、j 、k 为坐标向量，存在唯一有序数组（x ，y ，z ）使a xi y j zk =++，有序数组（x ，y ，z ）叫做a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记为a =(),,x y z 。

对坐标系中任一点A ，对应一个向量OA ，则OA =a xi y j zk =++。

在单位正交基底i 、j 、k 中与向量OA 对应的有序实数组（x ，y ，z ），叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ）.四、空间向量的运算1、空间向量的加法三角形法则（注意首尾相连）、平行四边形法则，加法的运算律：交换律 a b b a +=+结合律 ()()a b c a b c ++=++2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-，即从b 的终点指向a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．3、空间向量的数乘运算（1）定义实数λ与a 的积是一个向量，记为a λ，它的模与方向规定如下：① a a λλ=⋅ ② 当0λ>时，a λ与a 同向；当0λ<时，a λ与a 异向；当0λ=时．0a λ=注意：① 关于实数与空间向量的积a λ的理解：我们可以把a 的模扩大（当λ>1时），也可以缩小（λ< 1 时），同时，我们可以不改变向量a 的方向（当0λ>时），也可以改变向量a 的方向（当0λ<时）。

.② 注意实数与向量的积的特殊情况，当0λ=时，0a λ=；当0λ≠，若0a =时，有0a λ=。

③ 注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．比如a λ+，a λ-无法运算。

（2）实数与空间向量的积满足的运算律设λ、μ是实数，则有()()a a λμλμ= （结合律）()a a a λμλμ+=+ （第一分配律）()a b a b λλλ+=+ （第二分配律）实数与向量的积也叫数乘向量．4、共线向量（1）共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。

若a 与b 是共线向量，则记为a //b 。

注意：零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量定理对空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb（3）空间直线的向量表示式如果直线 l 是经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点 O ，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式=+OP OA ta ，其中向量a 叫做直线 l 的方向向量．注意：①若在 l 上取AB a =，则有(),(1)OP OA t AB OP OA t OB OA t OA tOB =+∴=+-=-+ )(1)B OA t OA tOB -=-+②上式可解决三点P 、A 、B 共线问题的表示或判定． ③当12t =时，1122OP OA OB =+，点P 为AB 的中点，这是中点公式的向量表达式．④ 若P 分AB 所成比为λ，则111OP OA OB λλλ=+++ 5、空间直角坐标系在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴正半轴沿逆时针方向转 900能与 y 轴的正半轴重合。

让右手拇指指向 x 轴正方向．食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。

一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系．在平面上画空间直角坐标系 O －xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。