空间立体几何专题复习《空间角的计算》
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第九节 利用空间向量求空间角)
第九节 利用空间向量求空间角一、基础知识1．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a·b||a||b|， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n||a||n|.3．二面角(1)若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．直线与平面所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．二、常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2.如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.[解题技法]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．[提醒]注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．[解题技法]利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．[解题技法](1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等，也可能互补．所以，两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异．(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀“起点同，棱排前”，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等．。
第27讲空间角的计算(讲义)
第27讲 空间角的计算一、高考要求空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合．二、两点解读重点：①求异面直线所成的角；②求直线与平面所成的角；③求二面角． 难点：二面角的作法与求法．三、课前训练1．正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（B ）（A ）90° （B ）60° （C ）45° （D ）30°2． A 1B 1C 1 ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（A ）（A ）1030 （B ）21（C ）1530（D ）1015 3． 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则1AC 与平面C C BB 11所成角的余弦值为410 4． 已知正四棱锥的体积为12，底面的对角线长为62，则侧面与底面所成的二面角等于(π3) 四、典型例题例1PC PB PA ,,是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（C ）（A ）21 （B ）22 （C ）33（D ）36例2如图，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为___45° ___例3若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于83arctan （结果用反三角函数值表示）． 例4在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线SC 与AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）． 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC ，∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角．在Rt △SCB 中，由BC =13，SB =29，得SC =SB 2 — BC 2 =29—13 = 4．在Rt △SAC 中，由AC =2，SC =4，得cos ∠SCA =2142==SC AC ． ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小为60°．（Ⅲ）解：过点C 作CD ∥BA ，过点A 作BC 的平行线交CD 于D ，连结SD ，则∠SCD 是异面直线SC 与AB所成的角．如图9—65．又四边形ABCD 是平行四边形，DC =AB =1722=+BC AC ，SA =3222=-AB SB ， SD =2222BC SA AD SA +=+=5．图9—65在△SCD 中，cosSCD =,171717425)17(42222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC SC SD DC SC ∴SC 与AB 所成的角的大小为arccos 1717． 例5已知如图斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ．（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离． 解：（Ⅰ）作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角．∵AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，∴∠A 1AD ＝45°为所求．（Ⅱ）作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC ＝2，AC ＝23， ∴DE ＝1，AD ＝A 1D ＝3，tanA 1ED ＝DED A 1＝3． 故∠A 1ED ＝60°为所求．（Ⅲ）作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵B 1B ∥面A 1ACC 1，∴BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，AB ＝2222=-BC AC ，∴BF ＝362=⋅AC BC AB 为所求． 评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．B C 1。
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
数学二轮专题3立体几何第3讲空间角的计算
高考二轮专题析与练 ·数学 ( 理科 )
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第一部分 专题讲练
又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D. 由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED. 又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE， 所以MN∥平面C1DE.
高Hale Waihona Puke 二轮专题析与练 ·数学 ( 理科 )
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第一部分 专题讲练
设平面MPA的法向量为n＝(x，y，z)，又PA＝(0，－2，－2 3)，
则nn··APAM＝＝－22－y－2λ2x＋3z＝2λ0＋，2y＝0.
令z＝1，则y＝－
3，x＝
31－λ＋λ 1，即n＝
31－λ＋λ 1，－
3，1.
∵二面角M－PA－C为30°，∴cos 30°＝|mm|·|nn|＝ 23，
置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．
(2)向量法：建立空间直角坐标系，利用公式|cos
θ|＝
m·n |m||n|
求出异面直线的方
向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹
角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．
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第一部分 专题讲练
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第一部分 专题讲练
3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的 大小θ＝〈A→B，C→D〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面 角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 (或其补角)．
考点08 空间角的求解问题(解析版)
考点08 空间角的求解问题立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。
例如：2022年全国乙卷（理）[18]，2022年全国甲卷（理）[18]，2022年浙江高考[19]，2022年新高考Ⅰ卷[19]，2022年新高考Ⅱ卷[20]，2022年天津高考[17]，2022年北京高考[17]等都对空间几何体的体积进行了考查。
〔1〕平移法求异面直线所成的角求异面直线所成的角的方法为平移法，平移法一般有3种 (1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； (3)补形平移.〔2〕线面角、二面角1.线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.2.二面角的求法：二面角的大小用它的平面角来度量. 平面角的作法常见的有①定义法；①垂面法。
〔3〕利用空间向量求空间中的角与距离 1.异面直线所成角若异面直线1l ，2l 所成的角为θ，则|||||cos |cos b a b a b a ==θ(注意：两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的两向量的夹角的取值范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值)，其中a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量。
2.直线与平面所成角已知直线l 与平面α，A l =α ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成的角，则|||||cos |sin n a n a n a ==θ。
(注意:直线与平面所成角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而向量的夹角的取值范围为[]π,0，所以公式中要加绝对值)。
3.二面角设1n 为平面α的法向量，2n 为平面β的法向量，1n ，2n 的夹角为θ，l =βα ，则二面角βα--l 的大小为θ或θπ-。
设二面角βα--l 的大小为ϕ，则|||||cos ||cos |2121n n ==θϕ①①所示。
立体几何复习专题(空间角)
专题 : 空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（ 1）异面直线所成的角的范围：(0,] 。
2（2）异面直线垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。
两条异面直线 a,b 垂直，记作a b。
（3）求异面直线所成的角的方法：（1）经过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条订交的直线，那么这两条订交直线所成的角即为所求。
平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。
1：三棱柱OAB O1 A1B1，平面 OBB1O1⊥平面OAB，O1B1O1OB 60 , AOB 90 ，且 OB OO12,A1OA 3 ，求异面直线A1 B 与 AO1所成角的余弦。
O BA2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）（ 1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
向来线垂直于平面，所成的角是直角；向来线平行于平面或在平面内，所成角为0角。
直线和平面所成角范围：0，。
2（ 2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的全部角中最小的角。
P（ 3）公式：已知平面的斜线 a 与内向来线 b 订交成θ角，a且 a 与订交成 1 角，a在上的射影 c 与 b 订交成 2 角，A1c则有 cos1 cos cos 2O2。
B b由（ 3）中的公式相同能够获得：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。
考点二：直线和平面所成的角C例 2.如图，在三棱柱 ABC ABC 中，四边形 A ABB 是菱形，四边形BCC B 是矩形，A BC B AB,C B 2,AB 4, ABB 600，C求 AC 与平面 BCC B 所成角的正切。
A B3：（ 1）在1200的二面角P a Q 的两个面P与 Q 内分别有两点A、B ，已知点 A 和点 B 到棱的距离分别为2cm,4 cm ，且线段AB10cm。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
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空间立体几何专题复习《空间角的计算》
学习目的：能求异面直线所成的角、直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.
一.基础知识梳理
1.写出异面直线所成的角的定义及其范围
2.写出直线与平面所成的角的定义及其范围
3.写出二面角及其平面角的定义及其范围
4.上述三种角的求法分别是怎样的？
二.经典题型
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为.
2.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于
3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1-AB-C的平面角等于．
4.如图，VA=VB=AC=AC=2，AB=2，BC=3，求二面角V-AB-C大小.
5.已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为.
6.已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．。