概率论与数理统计试题AB两卷及答案

1 n ≥ 1.29 ⇒ ， 5 n ≥ 41.6 因此至少应取 n = 42 .
6、设 H 0 : σ 2 = 1.6 2 ， H1 : σ 2 ≠ 1.62 ，
由于 X = 52.83，所以
P(B | A) = P( AB) − P( A)P( A)P(B | A)
.
P( A)P( A)
= P( A)P(B) − P(A)P( A)P(B | A) = P(B | A)
考生的平均成绩为 70 分 .四、证明题
[ ] 1. P(B) = P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A) = P( A) + P(A) P(B | A) = P(B | A) = P(AB) ， P( A)
所以 P( AB) = P( A)P(B) .
( ) 2.
E(S
2
)
=
λ
于 50 的概率。（ Φ(1) = 0.8413， Φ(2) = 0.9772 ）
3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 6 ”的概率。 5
4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2，0.3，0.4，各部件 的状态相互独立，求需要调整的部件数 X 的期望 EX 和方差 DX。
。
装
2.设随机变量 X 服从参数为二项分布，且 P{X = 0} = 1 ，则 p =
。
2
3.设 X ~ N (3,σ 2) ,且 P{X < 0} = 0.1，则 P{3 < X < 6} =
4.已知 DX=1，DY=2，且 X 和 Y 相互独立，则 D(2X-Y)＝
5.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则随机变量 X 2 服从的分布是
。
（A） 1 x
∑ （B）
1 n −1
n i =1
Xi
∑ （C）
1 n −1
n i=1
X
2 i
（D） x
三、计算题（满分 60 分） 1.某商店拥有某产品共计 12 件，其中 4 件次品，已经售出 2 件，现从剩下的 10 件产品中任取一件，
求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布 N（40，100），随机地取 5 个元件，求恰有两个元件寿命小
于 50 的概率。（ Φ(1) = 0.8413，
Φ(2) = 0.9772 ）
3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 6 ”的概率。 5
4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2，0.3，0.4，各部件 的状态相互独立，求需要调整的部件数 X 的期望 EX 和方差 DX。
订
1.已知事件 A，B 满足 P( AB) = P( AB) ，且 P( A) = 0.4 ，则 P(B) =
。
（A）0.4， （B）0.5， （C）0.6， （D）0.7
2.有γ个球，随机地放在 n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为
。
（A） γ ! nγ
（B）
C
r n
γ! nγ
∫5 1dx = 3 .
25 5
3、
fX
(x)
=
⎧1 ⎩⎨0
0< x <1
，
其它
fY
(y)
=
⎧1 ⎩⎨0
0< y <1 其它
由于
X
与Y
相互独立，因此
f (x, y)
=
f X (x) fY (y)
=
⎧1 ⎩⎨0
所以
0 < x < 1,0 < y < 1 ， 其它
∫ ∫ P⎨⎧X ⎩
+Y
<
4⎫
5
⎬ ⎭
（C） n! γn
(D)
Cγn
n! γn
3.设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ce−|x| ，则 c＝
。
线
（A）－ 1 （B）0 2
（C） 1 2
（D）1
4.掷一颗骰子 600 次，求“一点” 出现次数的均值为
。
（A）50 （B）100 （C）120 （D）150
5.设总体 X 在 ( µ − ρ , µ + ρ ) 上服从均匀分布，则参数 µ 的矩估计量为
X1,⋯
X
n
是
X
的简单随机样本，试证：
1 2
X + S2
是 λ 的无
偏估计。
2000 级概率论与数理统计试题 B 卷答案
一、填空题（满分 15 分）
1、 0.5
1
2、1 − 2−3
3、0.4
4、6 5、 F (1, n)
二、填空题（满分 15 分）
1、C 2、D
3、C
三、计算题
4、B
5、D
1、应用贝叶斯公式，P＝0.9523 2、当原方程有实根时，解得 k > 2 或 k < −1，因此所求概率为
。
（A） 1 x
∑ （B）
1 n −1
n i =1
Xi
∑ （C）
1 n −1
n i=1
X
2 i
（D） x
三、计算题（满分 60 分） 1.某商店拥有某产品共计 12 件，其中 4 件次品，已经售出 2 件，现从剩下的 10 件产品中任取一件，
求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布 N（40，100），随机地取 5 个元件，求恰有两个元件寿命小
概率论与数理统计试题
考试时间：120 分钟 试卷总分 100 分
一、填空题（满分 15 分）
装
1.已知 P(B) = 0.3, P( A ∪ B) = 0.7 ,且 A 与 B 相互独立，则 P( A) =
2.设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且 P{X = 0} = 1 ，则 λ = 3
给出检验过程。（ t0.025 (35) = 2.0301， t0.025 (36) = 2.0281 ） 四、证明题
1.设 A，B 是两个随机事件，0<P(A)<1， P⎜⎛ B ⎟⎞ = P⎜⎛ B ⎟⎞ ，证明：A 与 B 相互独立。 ⎝ A⎠ ⎝ A⎠
( ) 2.设总体
X
服从参数为
λ
的泊松分布，
X1,⋯
X
n
是
X
的简单随机样本，试证：
1 2
X
+ S2
是 λ 的无
偏估计。
概率论与数理统计试题 A 卷答案
一、填空题（满分 15 分）
1. 3 7
2. ln 3 3. 0.3
二、选择题（满分 15 分）
1. C
2. A 3. C
三、计算题（满分 60 分）
4. 6 5. 2 15
4. B
5. D
1. P =
P( A)P( A)
( ) ( ) 2、∵ E X = λ ， E S 2 = λ ， [ ] ∴ E ax + (1 − a)s 2
= aE(x) + (1 − a)E(s 2 ) = aλ + (1− a)λ =λ,
命题得证。
∑ S 2
=
1 ⎜⎛ n −1⎝
n i=1
X
2 i
−
nX
2
⎟⎞ ⎠
= 1.1925
n
，设 H 0 : X = 70 , H1 : X ≠ 70 ，则
t = X − µ ~ t(n −1) ，故拒绝域为 S n
w
=
⎧ ⎨t
|
t
≥
tα
(35)或 t
≤
−t α
⎫ (35)⎬
,即
⎩
2
2⎭
w = {t | t ≥ 2.0301或t ≤ −2.0301}.由于 t = 1.4 不在拒绝域内，故接受 H 0 ，即可以认为这次考试全体
5.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，假定有 2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以 上，求总体的标准差。
（ Φ(2.055) = 0.98, Φ(2.325) = 0.99)
6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并
。
二、选择题（满分 15 分）
1.抛掷 3 枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是
。
订
（A）0.125， （B）0.25， （C）0.375， （D）0.5
2.有γ个球，随机地放在 n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为
。
（A） γ ! nγ
（B）
C
r n
γ! nγ
（C） n! γn
= P( A)P(A)P(B | A) + P( A)P( A)P(B | A)
及 P( AB) = P( A)P(B) ， 因此
C82
×
6
+
C81C
1 4
×
7
+
C
2 4
×
8
= 0.67
C122 10 C122 10 C122 10
2.
P{X
<
50} =
P⎨⎧< ⎩
50 − 40 ⎫
10
⎬ ⎭
=
Φ(1)
=
0.8413 ,
令Y = x − 40 ，则Y ~ B(5,0.8413) .因此 10
P{Y = 2} = C52 0.84132 (1 − 0.8413)3 = 0.0283.