2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题
2019届广东省深圳实验,珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题(解析版)
广东省六校2019届高三第一次联考理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合，从而求出集合的补集，利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，由几何概型概率公式可得结果.【详解】在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，因为，，则，因为，所以，点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，所以，则的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质可得，，再由平面向量运算的“三角形法则”可得结果.【详解】因为为的中点，点满足，所以，，可得,故选A.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由及可得函数是以4为周期的函数，结合在上有，可得结果.【详解】函数的定义域是，关于原点对称，，函数是奇函数，，，函数是以4为周期的函数，，在上有，，，故选D.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(精编含解析)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M 的纵坐标，弦的长度为，即， 整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在; （2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断; （4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题. 11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)解析
广东省高考数学一模试卷（理科）解析卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的实部为（）A．﹣0 B．0 C．1 D．2【解答】解：==，∴复数的实部为0．故选：B．2．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{3，4}D．{0，3，4}【解答】解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴C U B={x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（C U B）={0，1，2}．故选：A．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x2=x+2”，解得x=2或﹣1．由“x=”，解得x=2．∴“x2=x+2”是“x=”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．6．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，即，∴sinθcosθ=，∴===．故选：C．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．15 C．D．18【解答】解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′﹣ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱﹣V棱锥=3×﹣=18﹣=．故选：C．9．（5分）已知为奇函数，为偶函数，则f（ab）=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）=0，即（2x+）+（2x+）=0，解可得a=﹣1，为偶函数，则g（x）=g（﹣x），即bx﹣log2（4x+1）=b（﹣x）﹣log2（4﹣x+1），解可得b=1，则ab=﹣1，f（ab）=f（﹣1）=2﹣1﹣=﹣；故选：D．10．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=（）A．B．10 C．D．【解答】解：若，可得sinA==，由正弦定理可得b===7，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积为S=absinC=×5×7×=10．故选C．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．24π B．28π C．32π D．36π【解答】解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF∥BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA=DB=DC==2，=，即，解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=EF=，则B（2，0，0），P（﹣，﹣，1），设球心O（0，0，t），则OB=OP，∴=，解得t=﹣1，∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R==3，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）已知a＞0，（ax﹣1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为．【解答】解：（ax﹣1）4（x+2）=（1﹣ax）4（x+2）=（1﹣4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为﹣4a+12a2=1，即12a2﹣4a﹣1=0，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．15．（5分）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为．【解答】解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，取出此2球所得分数之和为3分的概率为p===．故答案为：．16．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若，则双曲线C的离心率为2．【解答】解：由，可得N为PQ的中点，AN⊥PQ，在直角三角形F1AN中，AF1=a+c，AN=，即有∠NF1A=30°，直线PQ的斜率为，AN的斜率为﹣，由F1（﹣c，0），A（a，0），可得直线PQ的方程为y=（x+c），代入双曲线的方程可得（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，PQ的中点N的横坐标为，纵坐标为（+c）=，由k AN==﹣，即为=﹣，即为a2c﹣3a（c2﹣a2）+a3=﹣c（c2﹣a2），化为（c﹣2a）2=0，即c=2a，可得e==2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和S n．且满足．（1）求λ的值；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）因为数列{a n}为等差数列，设a n=An+B，因为{a n}的公差不为零，则，所以，因为，所以An2+（A+2B）n=A2n2+（2AB+λ）n+B2，所以．（2）由（1）知a n=n，所以，所以．18．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元60007000800090000.40.30.20.1获得相应职位概率乙公司职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D（X）=（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1=20002，则E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1=5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM⊂平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANP，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线．（2）以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB⊥AD，AO为∠BAD的平分线，所以，所以，则，所以设平面BPD的一个法向量为，则，可取，设平面PDC的一个法向量为，则由，可取，所以，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＞b，且，所以椭圆C1的方程为．（2）依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y=k（x﹣3），则直线，联立：得（1+9k2）x2﹣54k2x+（81k2﹣9）=0，则同理可得：，所以△PAB的面积为：，当且仅当3（k2+1）=8k，即是面积取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，由题意知，则，解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1．（2）令，则，因为，所以，即g（x）在（0，+∞）上递增，以下证明在g（x）区间上有唯一的零点x0，事实上，，因为，所以，，由零点的存在定理可知，g（x）在上有唯一的零点x0，所以在区间（0，x0）上，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（x0，+∞）上，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=x0时，f（x）取得最小值，因为，即，所以，即＞0．∴f（x）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
完整版2019年广东省高考数学一模试卷理科
2019年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．x，x∈A}，则A∩B＝（{y|y＝2）﹣1．（5分）已知集合A＝{x|x1＜2}，B＝A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）﹣i（i为虚数单位）的虚部为（．（5分）复数z＝）2．DAC．．B．22＝1的焦点坐标为（）5分）双曲线9x﹣16y3．（，）C．（±5，0）D．，（±0）B．（0（0，±5）A．4．（5分）记S为等差数列{a}的前n项和，若a+a＝34，S＝38，则a＝（）1n824n A．4B．5 C．6D．72xx）＝1]，时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2．5（5分）已知函数f（﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x＝17，x＝19，x＝20，x＝21，x＝23，则52341输出的S值及其统计意义分别是（）第1页（共26页）45个数据的方差为S＝4，即A．个数据的标准差为4＝4，即5B．S2020，即5个数据的方差为C．S＝，即5个数据的标准差为20D．S＝20﹣）3＝，则（﹣，8．（5分）已知AB，C三点不共线，且点O满足1612+3B﹣．12A3．＝12＝D．+312C．﹣＝﹣3＝﹣12n）*），则Sa+a＝2＝（（n∈N2n（9．5分）设数列{a}的前项和为S，且a＝，13nnnn1+1．．AD．B．C分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”（510．与另一段是全长ABCB，使得其中较长的一段AC分为两线段问题：将一线段ABAC，把点后人把这个数称为黄金分割数，≈的比例中项，0.618即满足．＝＝CB的两个黄金分割点，在BC，Q为线段称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点PC），则点M落在△APQ内的概率为（△ABC内任取一点M．．B﹣．2CDA．）0（mm＞＝是直线，，，点0ω）ωsin xf5．11（分）已知函数（）＝（x++（＞）PQRy262第页（共页））（＝，则ω+m＝与函数（fx）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|D．．3B．2AC．x的解集中恰有两个正整数，）＜0，若﹣3xf（12．5分）已知函数若f（x）＝（kx（+）ex）则k的取值范围为（[）B．A．（，，]）D．C．，（[，]小题，每小题45分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．二、填空题：本大题共426）13．（5分）（2x+y的展开式中，x y．的系数为14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．．若点D，15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为．2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C是以FF16．（5分）已知为抛物线C：x为圆心，为半1径的圆，直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C，C从左至右依次相交于P，Q，R，S，则1＝题为必考题，证明过程或演算步骤．70分．解答应写出文字说明、第17~21共三、解答题：60必考题：共(一)每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．分．．aAc sin＝cos，的对边分别为，分）△17．（12ABC的内角AB，Ca，bc，已知cA+b+；）求C1（．＝10，，3BDD2（）若在边BC上，且＝DC cos B＝S，求AD ABC△18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2，且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．；ADE⊥平面AB）证明：1（页（共第326页）（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．：＝1（a＞b），（12分）已知点（1，＞（）都在椭圆C0）上．19．的方程；1）求椭圆C（轴y（异于顶点））的直线（2）过点M（0，1l与椭圆C交于不同两点P，Q，记椭圆与A的两个交点分别为A，，若直线AP与A4上．＝S，证明：点S恒在直线yQ交于点2112“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人12分）随着小汽车的普及，20．（报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目次考试机5二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这次都没有通过，则会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则以后每次参加22次参加科目二考试免费，若前，其中前需重新报名）次参加科目二考试的个学员第1科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000通过情况进行了统计，得到如表：考试情况女学员男学员800第1次考科目二人数1200600960第1次通过科目二人数200次未通过科目二人数240第1若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．x（a∈R）））＝（xx﹣ae．（分）已知函数（21．12f（1）讨论f（x）的单调性；第4页（共26页））在（，x1）上的最大值为，记函数y＝F（x2时，F（x）＝f（x）﹣+lnx（2）当a＝m，证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)的参数方程为，（中，曲线xOyCθ为参数）22．（10分）在平面直角坐标系1已知点Q（4，0），点P是曲线?上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，l x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；23，求kB＝两点，若的值．交于）已知直线（2l：y＝kx与曲线CA，2]选修[4-5：不等式选讲）．（a＞0xx（23．已知函数fx）＝|+a|+2|﹣1|（x）的最小值；）求（1famn），的解集为（＜）﹣（）若不等式（2fx50mn，且﹣＝，求的值．第5页（共26页）2019年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．x，x∈A}，则A∩y＝2B＝（）y51．（分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{|A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3}，x，x∈A}＝[y|0＜y＜B＝{y|y＝28}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）2．（5分）复数z．DC．A．B．【考点】A5：复数的运算．【分析】化简复数z为a+bi的形式，即可写出z的虚部．﹣i＝﹣i，＝﹣i解：复数【解答】z＝﹣i﹣＝的虚部为﹣．则z故选：A．【点评】本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题．22＝1的焦点坐标为（）x．（5分）双曲线9﹣16y3，）C．（±5，0）D．（0，±5）0．0．A（±，）B（【考点】KC：双曲线的性质．【分析】直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．第6页（共26页）22的标准方程为：，＝x1﹣16y【解答】解：双曲线9＝，＝b＝，可得ac＝，，0所以双曲线的焦点坐标为（±）．．故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）记S为等差数列{a}的前n项和，若a+a＝34，S＝38，则a＝（）1n284n A．4B．5 C．6D．7【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a}的公差为d，∵a+a＝34，S＝38，4n82∴2a+8d＝34，4a+6d＝38，11联立解得：a＝5，d＝3，1故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2x）＝f（x[﹣2，1]时，55．（分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f （x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．2﹣2x﹣x4；）＝﹣x∈[2，1]时，f（x解：∵【解答】∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．第7页（共26页）【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，A．故选：【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x＝17，x＝19，x＝20，x＝21，x＝23，则52341输出的S值及其统计意义分别是（）第8页（共26页）个数据的方差为4＝4，即5A．S44，即5个数据的标准差为B．S＝，即5个数据的方差为20C．S＝205个数据的标准差为20S D．＝20，即【考点】EF：程序框图．个数5＝23这，20x＝21，xS【分析】根据程序框图，输出的是x＝17，x＝19，x＝52431个数的均值，然后代入方差公式计算即可．据的方差，先求这55这＝23x＝21，x＝x＝17，x＝19，x20，【解答】解：根据程序框图，输出的S是51243个数据的方差，，）＝20＝（17+19+20+21+23∵2222）﹣20+（+（21﹣20）﹣20）19+（﹣20）﹣+（2020）23S∴由方差的公式（＝[172．]＝4．故选：A本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出【点评】这是一个求数据方差的问题，属于基础题．）12O满足316＝，则（﹣﹣CA．8（5分）已知，B，三点不共线，且点．3+3＝A．12＝12B﹣D．12＝﹣﹣+33＝﹣12C．9H：平面向量的基本定理．【考点】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那【分析】项即为答案．269第页（共页）【解答】解：由题意，可知：＝，A＝：对于整理上式，可得：16﹣，12﹣＝3这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．n（n∈N*），则S＝（）a}{a的前n项和为S，且a＝2，a+＝29．（5分）设数列13nnnn1+1．D．B．AC．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求出数列的相邻两项，然后求解数列的和即可．【解答】解：由题意，∵a＝2，12，a＝2＝2时，a+n324，＝24时，a+an＝546，＝2时，a+a ＝n6768，2a+a＝时，n＝89810，2a+a＝n＝10时，111012，a+＝2n＝12时，a131212681024＝．+2＝S2+22++2＝+2+2+213．故选：D本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．【点评】分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”10．（5与另一段AC是全长AB分为两线段问题：将一线段ABAC，CB，使得其中较长的一段把点后人把这个数称为黄金分割数，＝＝≈0.618CB的比例中项，即满足．C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）第10页（共26页）．．BD．﹣2AC．CF：几何概型．【考点】，＝，再结合几何概型中的面积型可得：BQ理解【分析】先阅读题意，“黄金分割”＝（：BC，S：S＝PQCP，所以＝PQ＝BQ+CP﹣BC）＝（a ABCAPQ△△﹣2，﹣2）a：a＝内的概率为落在△APQABC＝，得解．内任取一点M，则点M则在△，＝a解：设【解答】BC 的两个黄金分割点，为线段BC由点P，Q，BQ＝＝，CP所以＝（BCBQ+CP﹣所以）a，PQ＝＝（BC＝：﹣2）aaPQ＝﹣2，：S：S ABCAPQ△△由几何概型中的面积型可得：内的概率为，M，则点M落在△APQ＝在△ABC内任取一点．故选：B本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．【点评】）0m＞m，R是直线y＝（Px）＝f（x sin（ω＞+）+（ω0），点，Q分）已知函数（11．5＝|＝QR||2|的图象自左至右的某三个相邻交点，x（（mω，则+＝）与函数f）且PQ2611第页（共页）．D C．A．B．32【考点】H2：正弦函数的图象．＝，得到周期T，然后计算ω，利用P，PQ|＝|QR|Q的对称性，求出【分析】根据|P点的横坐标，代入求解即可．＝，＝|QR|【解答】解：∵2|PQ|QR|，|PQ|＝＝，|∴＝|PQ+|QR则T+＝||＝π，即＝π，即ω＝2，+x sin（2即f（x）＝）+，＝，PQ|∵|，＝∴x﹣x12＝+π，2x++2x21+2xm＝sin（＝＝1．得x）+＝0sin，此时+＝11即ω+m＝1+2＝3，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出函数的周期以及利用对称性求出P的坐标是解决本题的关键．x﹣3x，若f（x）＜0）＝（．（5分）已知函数若f（xkx的解集中恰有两个正整数，+）e12则k的取值范围为（），）[A．B（，]．）]，D．[C．（，【考点】52：函数零点的判定定理．）＝，求函数的导数，x）＜，构造函数h（kx0xf【分析】根据由（）＜得（+研究函数的图象，利用数形结合进行求解即可．第12页（共26页）x﹣3x＜e0，得f（x）＝（kx+）【解答】解：由f（x）＜0x＜3x）e，即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数，即（kx+＝，′（x h（x）＝）＝，则h设由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1，由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1，）＝，（1时函数h（x）取得极大值h即当x＝1+，）＝kx设函数g（x作出函数h（x）的图象如图，）＜的解集中有很多整数解，不满足条件．+0，（kx由图象知当k≤的解集中有两个整数解，kx）＜+则当k＞0时，要使，（，＝2＝则这两个整数解为x1和xB（3，，）h（2（）＝，h3））＝，∴A（2，∵，）时，对应的斜率满足2（x）过A（当直线（）B3g，＝，＝＝，得k，3k+，＝2k+k BABA）＜的解集中有两个整数解，+要使，（kx≤，k＜≤k则＜kk，即AB的取值范围是（k，]，即实数故选：A．第13页（共26页）本题主要考查函数与方程的应用，利用不等式转化为两个函数的关系，构造函【点评】数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．分．把答案填在答题卡中的横线上．5分，共204二、填空题：本大题共小题，每小题462y+）．的展开式中，x60y的系数为．13（5分）（2x：二项式定理．【考点】DA42y【分析】根据二项展开式的通项公式，求出含x的项，可得结论．4226244?60＝x，2+（2xy）（的展开式中，故含xxy的项为）y?y解：【解答】60．故答案为：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，【点评】属于基础题．．+y，（14．5分）设xy满足约束条件的最大值为7，则z＝2x【考点】7C：简单线性规划．z的最大值．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出满足约束条件表示的平面区域，x，y【解答】解：画出如图所示，，1，解得点A（3，）由时，A＝0过点zx结合图形知，直线2+y﹣．3+1×＝72yx＝z2+取得最大值为2614第页（共页）故答案为：7．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．．若点D＝AC，＝，中，APAB，AC两两垂直，且AP＝AB（15．5分）在三棱锥P﹣ABC的最小值为AD+DE+EA．PCE分别在棱PB，上运动（都不含端点），则：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【考点】LH【分析】由题意画出图形，可得PB＝PC＝BC＝2，∠APB ＝∠APC＝45°，沿PA剪开，向两侧展开到平面PBC上，连接A′A″，再由余弦定理求解得答案．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，＝45°，APB＝BC＝2，∠＝∠APCPB得＝PC A″，剪开，向两侧展开到平面PBC上，连接A′P沿A＝′A″＝的最小值为+则ADDE+EAA．故答案为：．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．第15页（共26页）2为半为圆心，（p＞0）的焦点，曲线C是以F16．（5分）已知F为抛物线C：xpy＝21则S，从左至右依次相交于P，Q，R径的圆，直线2，与曲线x﹣6y+3p＝0C，C1＝【考点】K8：抛物线的性质．【分析】联立直线与抛物线方程求得点P，S的坐标，利用焦半径公式即可求解．2＝2py（xp＞0）的焦轴交点是抛物线﹣6【解答】解：可得直线2y+3p＝0与yC：x F，点22＝＝，x．?由得，xx﹣﹣pxp0＝，?SP+＝p，|PQ|＝|PF|﹣＝yRS||+＝|SF|﹣＝﹣y＝p．PS．＝∴则故答案为：..【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos A+c sin A＝b+a．C；（1）求＝10，B，3BDBCD2（）若在边上，且＝DC cos＝S．，求AD ABC△第16页（共26页）：正弦定理．【考点】HP）＝（C﹣【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin，进而可），可求C，π），可得C∈﹣＝（﹣﹣，，结合范围C∈（0得C的值．，＝的值，利用三角形的面积公式可求a（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B24ACD，在△＝5＝8，ba﹣19208＝0，解得c＝，又由余弦定理可得3c7+245cb＝，的值．中，由余弦定理可得AD分）（本题满分为12【解答】a，+sin A＝1）∵c cos Ab+c解：（+A∴由正弦定理可得：sin C cos A＝sin B+sin A，sin C sinA，sin C+sin＝sin A cos C+cos A sin+sin CA＝sin（A+C）+sin AC∴sincos A∴，C+sin A cos C sin A＝sin A sin，A≠0∵sin，cos C+1∴sin C＝﹣C∴解得：）＝，sin（﹣，可得：C0，π）∵C∈∈，（﹣），（＝﹣C＝．∴C，可得：＝，可得：sin＝，B（2）∵cos B＝＝可得：a4056，ab＝，ac＝sin B，＝ab＝∴由S sin10C可得：ac＝b，＝，ABC△2222240+ba，+bab﹣＝a﹣又∵由余弦定理可得：c＝224220，c﹣19208）＝（＝+（）40﹣，整理可得：3c+245c∴2，b，＝58a7c49解得：c＝，可得：＝，＝2617第页（共页）＝＝＝∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，属于中档题．18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2，且二面角F﹣AB﹣AC＝C的大小为30°．，2AB＝4（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）推导出DE⊥AD，AD⊥CD，从而CD⊥平面ADE，由此利用AB∥CD能证明AB⊥平面ADE．（2）由AB⊥平面ADE，得∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角，即∠DAE＝30°．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用量法能求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB2，AC＝＝4，222，∴AD⊥CD＝AC，，∴DE⊥ADAD+CD∵AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE，∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角，即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2，∴∠ADE＝120°，第18页（共26页）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，，），，4）4，0，F（﹣1B，），（2，2，0），C（0（﹣E1，0，，）2，02），），＝（﹣3，2，，＝（﹣，＝（﹣3，﹣2的法向量＝（x，yBCF，z），设平面，得＝（1，1，0），则，取x＝1的法向量＝（x，y，z），设平面BCE，），＝（1，则，取x＝11，得设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ，＝，＝θ则cos＝的余弦值为．BC﹣F∴二面角E﹣【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．：＝1（a＞b，＞C，）（）都在椭圆0）上．1219．（分）已知点（1（1）求椭圆的方程；C轴y，记椭圆与PCl0（，1）的直线与椭圆交于不同两点，Q（异于顶点）M2（）过点QAPA，若直线，A的两个交点分别为A与交于点4ySS，证明：点恒在直线＝上．2121：直线与椭圆的综合．KL【考点】第19页（共26页）22＝2得椭圆方程，4，1b）由题意可得，解得a＝【分析】（（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线AP的方程，直线AQ的方程，联立，消x21＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4整理可得y22＝2b，，解得a＝4，【解答】解：（1）由题意可得+＝1．故椭圆C的方程为证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x，y），Q（x，y），211222+2kx﹣3＝0可得（k，+2）x y由，消＝﹣，xx∴x+x，＝﹣2211∵A（0，2），A（0，﹣2），21﹣）x+2，x+2x＝?+2＝（yA∴直线P的方程为k＝1+）﹣2，2＝（k yA则直线Q的方程为﹣＝x2＝，可得，消由x＝y得＝＝可整理第20页（共26页）4，＝+4+4＝上y＝4Q交于点S，则点S恒在直线P直线A与A21本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查【点评】了运算求解能力，属于中档题“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人分）随着小汽车的普及，（1220．报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目次考试机55次参加科目二考试的机会（这二为场地考试．在一次报名中，每个学员有次都没有通过，则会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则以后每次参加次参加科目二考试免费，若前2需重新报名），其中前2次参加科目二考试的个学员第1元的补考费，某驾校对以往2000科目二考试都需交200通过情况进行了统计，得到如表：女学员男学员考试情况1200800次考科目二人数第1第1600960次通过科目二人数200240次未通过科目二人数第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．2621第页（共页）（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，设A表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，B表示女学员在ii第i 次参加科目2考试中通过，（1）设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，分析可得PB）A+AB（）＝P AB+A，由互斥事件和相互独立事件的概率公+B（M21211212式计算可得答案；，依次求出对应的概率，即1200可取的值为（2）根据题意，X400、600、800、1000、的分布列，由期望公式计算可得答案．可得X表示女学解：根据题意，设【解答】A表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，B ii员在第i次参加科目2考试中通过，＝1P＝，（A）＝1﹣则P（A﹣）＝＝，P（B）＝）＝＝，P（A2112，是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，）根据题意，设事件M（1+M则P（）＝P×＝+×+×××+BB+AB（A+AAB）22111212＝××；×（2）根据题意，X可取的值为400、600、800、1000、1200，＝，）＝×（PX＝400＝，×××+600P（X＝×）＝＝800）＝××××+×+××X P（＝＝×××+×＝P（X1000×）＝×＝××1200P（X＝；）＝×则X的分布列为12001000800400X600 第22页（共26页）P×××+600×故EX＝400+1000+1200＝×510.5（元）+800【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．x（a∈R）ax﹣）e．21．（12分）已知函数f（x）＝（（1）讨论f（x）的单调性；）在（，x1）上的最大值为，记函数y＝F（x时，F（x）＝f（）﹣x+lnx（2）当a＝2m，证明：﹣4＜m＜﹣3．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．x，x∈R）]e．即可出单调性．f′（x）＝[x﹣（a﹣1（【分析】1）x（，1）．F′（x﹣x+lnx，x∈）x2时，F（）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e2（）当a＝x），进而得出极大值点．＝（x﹣1）e﹣﹣11+＝（x x，x∈R．1x﹣（a﹣）]e【解答】（1）解：f′（x）＝[可得函数f（x）在（﹣∞，a﹣1）内单调递减，在（a﹣1，+∞）内单调递增．x（，1）．lnx，x∈2+lnx＝（x﹣）e﹣x+x2（2）证明：当a＝时，F（x）＝f（）﹣xx），11+＝（x′（x）＝（x﹣1）e﹣﹣F（，1∈），＝，即x＝﹣lnxx令F′（）＝0，，解得：x000x（，1∈）＝e）上单调递增，﹣在x令g（x）＝﹣2＜0，g（1）＝ge（﹣1＞0．（，1）x∈，∴0可知：x＝x，函数g（x）取得极大值即最大值，0．）3，﹣x21＝2﹣x﹣（4（﹣∈）+﹣x）＝（（Fx2）00003．＜﹣m＜∴﹣4本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点及其应用，考查【点评】23第26页（共页）了推理能力与计算能力，属于难题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)的参数方程为，（θ为参数）10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C22．（1已知点Q（4，0），点P是曲线?上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，l x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；23，求k的值．两点，若＝y＝kx与曲线C交于A，B（2）已知直线l：2【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．22＝4；设出+yM1）消去θ得曲线C的普通方程为：x的坐标后利用中点公式（【分析】1得到P 的坐标后代入C德轨迹C的直角坐标方程，再化成极坐标方程；21（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．22＝4，+yθ得曲线C的普通方程为：x【解答】解：（1）消去122＝4，即（xy）﹣2）上，所以（2x﹣4）+（24，设M（xy）则P（2x﹣，2y）在曲线C12222﹣4x+3＝0，+y＝1，即x+y2﹣4ρcosθ+3＝C轨迹的极坐标方程为：ρ0．2（2）当k＞0时，如图：取AB的中点M，连CM，CA，2222，①AB）＝在直角三角形CMA中，CM1＝CA﹣﹣（AB22222，②AB﹣＝4﹣（AB）＝中，在直角三角形CMOCMOC＝4﹣OM，，CM＝由①②得AB＝，∴OM＝＝．＝＝k＝﹣．k＜当k0时，同理可得k＝±．综上得第24页（共26页）【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．：不等式选讲][选修4-5．＞0）﹣a|+2|x1|（a23．已知函数f（x）＝|x+）的最小值；f（x（1）求的值．，求n﹣ma＝，且（x）﹣5＜0的解集为（m，n）（2）若不等式f：绝对值不等式的解法．【考点】R5）去绝对值变成分段函数可求得最小；（1【分析】）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．（2+1．）的最小值为a∴x＝1时，f（x解：【解答】（1）f（x）＝，2）如图所示：（﹣，，∴﹣）3x时，f（）﹣5＜0的解集为（a﹣﹣42+1当a＜5＜a+2即＜a＜3符合，＝，∴a+3a＝﹣＝＝1﹣+，﹣）+1，∴﹣xfa05+22当a≤即＜≤时，（）的解集为（﹣≠．．a综上可得＝32625第页（共页）本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．【点评】2626第页（共页）。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)(精华版)
2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题 .给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合 ， B ={ x | x ﹣ 1≥0} ，则 A ∩ B 为（ ）A ． [ 1， 3]B ． [ 1， 3）C ． [ ﹣3，∞）D ．（﹣ 3，3]2．已知复数 ，则 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 55．已知 ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合 A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取 一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为 （ ）A ． 6B ．32C ． 33D ． 347．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0D．f （a）﹣f（b）≥08．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.59．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A．B．C．D．a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，则函数f（x）=a x2﹣10．已知2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（）A．B．C．D．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（）A．20 B．21 C．22 D．23f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个12．设函数整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为1 的正三角形ABC中，设，，则．=14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为．15．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：．=二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角A，B，C，且A，B，C 都为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无合计与教育有关关男 30 10 40女 35 5 40合计 65 15 80“师范类毕业生 （ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 ”？从事与教育有关的工作与性别有关 参考公式： （n=a +b +c +d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．ABC ﹣ A 1B 1C 1 底边长为 2，E ，F 分别为 BB 1，AB 的中点． 19．正三棱柱 （ I ）已知 M 为线段 B 1A 1 上的点，且 B 1A 1=4B 1M ，求证：EM ∥面 A 1F C ； （ II ）若二面角 E ﹣ A 1C ﹣F 所成角的余弦值为 AA 1 的值．，求C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 ，且过点+ e= 20．已知椭圆 2 2 ，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， O 作 l 1 求 λ的最小值．21．已知函数发 f （x ） =（ x+1）lnx ﹣ ax+2．（ 1）当 a=1 时，求在 x=1 处的切线方程；（ 2）若函数 f （x ）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围； ，n ∈ N * ．（ 3）求证： 四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值． 23．已知函数 f （ x ）=| x +a |+| x ﹣2|（ 1）当 a=﹣3 时，求不等式 f （ x ）≥ 3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={ x| x﹣1≥0} ，则A∩B为（）A．[ 1，3] B．[ 1，3）C．[﹣3，∞）D．（﹣3，3]【考点】交集及其运算．A 和B，由此能求出A∩B．【分析】分别求出集合【解答】解：∵集合={ x| ﹣3≤x＜3} ，B={ x| x﹣1≥0} ={ x| x≥1} ，∴A∩B={ x| 1≤x＜3} =[ 1，3）．故选：B．2．已知复数，则z在复平面内对应的点在）（A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数= +i= ，则z 在复平面内对应的点在第一象限．故选：A．3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】 解：由 p ：对? x ∈R ，都有 f （ x ）≥M ，推不出 M 是最小值， 比如 x 2≥﹣ 1，故充分性不成立；由 q ： M 是函数 f （x ）的最小值，推出 p ：对 ? x ∈R ，都有 f （ x ）≥ M ；必要性成立，故选： B ．a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5【考点】 等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除 C ；然后可令 a n =n 一个具体的 数列进而可验证 D 、 A 不对，得到答案．【解答】 解：∵ 1+8=4+5∴ a 1+a 8=a 4+a 5∴排除 C ；若令 a n =n ，则 a 1a 8=1?8＜20=4?5=a 4a 5∴排除 D ，A ．故选 B5．已知，则等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得）的值，再利sin（α+用两角和差的三角公式求得cosα=cos[ （α+ ）﹣] 以及sinα=s[i（nα+ ）﹣] 的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵，∴sin （α+）= = ，而）﹣）cos ）sin cosα=c o[（sα+] =c o（sα++sin（α+，=∴sinα=s[i（nα+ ）﹣] =sin（α+ ）cos ﹣co s（α+ ）sin ，==sin αcos +cosαsin +sinα=sinα+cosα=﹣则，故选：A．6．已知集合A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．6B．32 C．33 D．34【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了 3 个重复的情况，进而计算可得答案．113【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C3A3 =36，C2但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36﹣3=33 个，故选C．7．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f （a）﹣f（b）≥0【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，=﹣f（x），=∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R 上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】线性回归方程．【分析】由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得 a 的值．【解答】解：由题意可知：产量x 的平均值为= =4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7 +0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由=3.5，解得：a=4.5，=表中 a 的值为 4.5，故选：D．9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 f （ x ），则函数 f （x ）的单调递增区间（ ）A ．B ．C ．D ．y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【考点】 函数 【分析】 由周期公式可求函数 的周期 =π，利用三 T= 角函数的图象变换规律可求函数 f （ x ）解析式，令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤ 2k π+ ， k ∈Z ，可得函数 f （x ）的单调递增区间．=π，T= 【解答】 解：∵函数 的周期 ∴将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的 函数为 f （x ） =2sin[ 2（ x ﹣ ）+ ] =2sin （2x ﹣ ），∴令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤2k π+ ，k ∈Z ，可得： k π﹣ ≤x ≤k π+ k ∈ Z ，[ k π﹣ ，k π+ ∴函数 f （x ）的单调递增区间为： ] ，k ∈Z ． 故选： A ．10．已知 a ∈{ 0，1， 2} ， b ∈{ ﹣1， 1， 3，5} ，则函数 f （x ）=a x 2﹣ 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 古典概型及其概率计算公式．n=3× 4=12，再求出函数 f （x ）=a x 2﹣ 【分析】 先求出基本事件总数 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率．【解答】解：∵a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，∴基本事件总数n=3×4=12，函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数，①当a=0时，f（x）=﹣2b x，符合条件的只有：（0，﹣1），即a=0，b=﹣1；②当a≠0 时，需要满足，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），（2，1），共4种，∴函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p= ．故选：A．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的n 等于（《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的）A．20 B．21 C．22 D．23【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被 3 除余2，②被 5 除余2，最小两位数，故输出的n 为22，故选：C．12．设函数f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，对【分析】设g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下﹣1方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a≥0，求得 a 的取值范围．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，【解答】解：设则g′（x）=e x（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴x=﹣，取最小值﹣3e﹣，∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直线h（x）=ax﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a，﹣1∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a＞0，∴a＞，a＜1，∴a 的取值范围（，1）．故选：C．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为 1 的正三角形ABC 中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D 为BC的中点，∴，∵，∴，∴）== =﹣，故答案为：﹣．14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象知，当直线y=2x﹣z经过A 时，直线的截距最大，此时z 最小，经过点 B 时，直线的截距最小，此时z 最大，由得A（3，4），此时z 最小值为z=6﹣4=2，故答案为：215．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，对角线长为，可得外接球的直径，即可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为边长为 1 的正方形，高为1，一条侧棱垂直底面，将其扩充为正方体，对角线长为，∴外接球的直径为，∴球的表面积为=3π．3π．故答案为：16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果设函数计算：．= 76【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x 的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f（2﹣x）=8，由此能够求出所给的式子的值．【解答】解：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），∴g（2﹣x）+g（x）=8，故设=m，则g（）+g（）+g（）+ +g（）=m，两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，76．故答案为：二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）A，B，C，且A，B，C 都17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解bc=4，又得b+c=5，联立即可解得b，c 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2 ﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．【解答】（本题满分14 分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直角三角形，∴bc=4，又∵b+c=5，∴解得或（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8 ﹣8cosA，∴，∴，所以．，当时取到∴△ABC面积的最大值是18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无 合计与教育有 关 关男 30 10 4035 5 40女 合计 65 15 80（ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 “师范类毕业生 从事与教育有关的工作与性别有关 ”？参考公式： （n=a +b +c+d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．【考点】 离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型 随机变量及其分布列．【分析】（1）利用 k 2 计算公式即可得出．（ 2）由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率． （ 3）由题意知 X 服从 ，即可得出 E （X ）．k 2= 【解答】 解：（1）由题意得 ＜3.841．=故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”（2）由图表知这80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．（3）由题意知X 服从，则．19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1 底边长为2，E，F 分别为BB1，AB 的中点．（I）已知M 为线段BB1A1=4B1M，求证：EM∥面A1F C；1A1 上的点，且II）若二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为（AA1 的值．，求【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取B1A1 中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM ∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1F C．（I I）以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（I）取B1A1 中点为N，连结BN，则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，则EM∥B N，所以EM∥A1F，因为EM?面A1F C，A1F?面A1F C，故EM∥面A1FC．解：（II）如图，以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA=a．1则，，设平面A1CF法向量，为设平面A1CE法向量．为则，取z=1，得，，取x=a，得；设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，∴，整理，得，∴a= ，a2=故当二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为时，AA1 的值为．C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 e= ，且过点+ 20．已知椭圆 2 2，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， 求 λ的最小值．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】（ Ⅰ）由题意列关于 a ，b ，c 的方程组，求解方程组得 a ，b ， c 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线 l 1 的方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求得AB 的长度，联立直线l2的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合| AB| =λ| CD| 利用换元法求解λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=4，b=2，故；（Ⅱ）联立，化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，△＞0 恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得，∴，把l2：y=kx代入，得，∴，∴= = ，，λ取最小当．值21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．（1）当a=1 时，求在x=1 处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围；，n∈N* ．（3）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f （′1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a 的范围即可；（3）令a=2，得：lnx＞在（1，+∞）上总成立，令，得x= ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，对x 取值，累加ln即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），f ′（x）=ln x+ ，f′（1）=1，f（1）=1，所以求在x=1 处的切线方程为：y=x．（2）f ′（x）=ln x++1﹣a，（x＞0）．（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，当x＞e a时，g′（x）＞0，不成立；（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+ ；令g（x）=lnx+ ，则g′（x）= ，x＞0；则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥2，故a≤2．（3）由（ii）得当a=2 时f（x）在（1，+∞）上单调递增，由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，即lnx＞在（1，+∞）上总成立，令x= 得ln ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，所以ln2﹣ln1＞，ln3﹣ln2＞，，ln（n+1）﹣lnn＞，累加得ln（n+1）﹣ln1＞，即ln（n+1），n∈N*命题得证．四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值．【考点】 简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线 l 的极坐标方 α，把曲线 程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去 C 的参数方程化为直角坐标方程．（ 2 ） 设 点 P （ 2cos α， sin α）， 求 得 点 P 到 直 线 l 的 距 离 ，tan β=，由此求得 d 的最大值．d= ρc o （s θ+ ρ 【解答】 解：（1）∵直线 的极坐标方程为 l ）=2 ，即 cos θ﹣ s in θ）=2 （ ，即 x ﹣ y ﹣ 4 =0．曲线 C 的参数方程为 （ α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去 α，可得 =1．+ （ 2）设点 P （ 2cos α， sin α）为曲线 C 上任意一点，则 点 到 直 线 的 距 离 P l d===，其中，cos β=，s inβ=，即tan β=，故当co s（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．23．已知函数f（x）=| x+a|+| x﹣2|（1）当a=﹣3 时，求不等式f（x）≥3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立，由此求得求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即| x﹣3|+| x﹣2| ≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{ x| x≤1或x≥4} ．（2）原命题即f（x）≤| x﹣4| 在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a|+ 2﹣x≤4﹣x在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a| ≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a 的取值范围为[ ﹣3，0] ．第31 页（共31 页）精品资料精品学习资料第 31 页，共 31 页。
广东省六校届高三第一次联考试题目数学理共10页
广东省六校2019届高三第一次联考试题数学（理）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ⋂=ðA ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．21,04x R x x ∀∈-+≤ C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥4．已知3log,2321==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为A ．22B ．2C ．212-D ．212+5．函数21()log f x x x =-A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,36．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ等于ab 1-A ．()2||a b aa b ⋅-- B ．()2||a a ba b ⋅--C ．()||a b aa b ⋅-- D ．()||a a ba b ⋅-- 8．已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i≠，设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A ．216个B ．108个C ．48个D ．24个 第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．10．在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 /100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学(解析版)
9．答案：D
）
1
B．
4
9 C．
4
1 D．
4
解析：由 f (x) f (2 x) 可知函数 f (x) 关于直线 x 1 对称，由 f (x) f (x) 可知函数 f (x) 关于原点
(0, 0) 对称，所以函数 f (x) 是双对称函数，所以是周期函数，周期T 4 ，
1 7 1 1 1 所以 f 2019 f f f ．
1．答案：A
2
2
x 1
解析：由 ≤1 ，得： 1≤ 0, ≥ 0 ，解得 x ≥1或 x 1，即 A (, 1) [1, ) ，
x 1
x 1
x 1
则 R A [1,1) ．由 2x 1，得 x 0 ，即 B (, 0) ，所以 R A B [1, 0) ．
2．若复数 z 满足 zi 1 2i ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
2
O
1
P' 2
A T
Q2
4 ax2 bx 满足 f (1 x) f (1 x) 22 0 ，则 f (x) 的单调递减区间是
．
16．答案： (1,3) （注意：写闭区间也给分） 知识点：①若 f (x) 关于点 (a,b) 对称，则 f (a x) f (a x) 2b ；
x
15．已知点 P(1, 2) 及圆 (x 3)2 ( y 4)2 4 ，一光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于
点T ，则 PQ QT 的值为
．
15．答案： 4 3
解析：点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1, 2) ，如图，连接 PP, PQ ，由对称性可知，PQ 与圆相切于点T ，
n 3n
14
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，
，
所以，
，
由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而
，故轨迹 方程为：
．
（2）当直线 斜率不存在时，
，
或
，
，
此时弦长
．
当直线 斜率存在时，设 的方程为：
，
由 由△
消去 得：
，
恒成立，
设
、
，可得：
，
，
，
令8
，则 ，
，
，
．
综上，弦长 的最大值为 ． 【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置 关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为
(万元)．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则
【答案】
16.已知函数 【答案】(-1,3)
满足
，则 的单调递减区间是______________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，
纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 的极
坐标方程为
．
（1）求曲线 的参数方程；
（2）已知点 在第一象限，四边形 长最大时点 的坐标．
是曲线 的内接矩形，求内接矩形
示的空间直角坐标系，则
、
、
、
显然，
是平面 的一个法向量，
所在直线为
轴，建立如图丙所
，则
设
是平面
，
设平面 与平面
的一个法向量，则
，即
所成二面角为 ，可以看出， 为锐角，所以，
，不防取 ，则
，所以，
平面 与平面
, 所成二面角的余弦值为 ．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
17.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 ；
（2）若
，
，求△ 的面积．
【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内 角和定理，化简即可求出结果. （2）根据同角三角关系，确定 和 ，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
6600
概率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元）；
若采用方案二，200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
7000
概率
0.2
0.3
7600 0.5
即为
，
恒成立，解绝对值不等式，
①当
时，不等式化为
②当 ③当
时，不等式化为 时，不等式化为
综上，不等式
的解集为
，解得
；
，解得
；
，无解；
．
（2）当
时，
，
即为
恒成立，
，即
，即
，在
上恒成立，
所以，只需
，解得 ，
所以 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.
18.如图甲，设正方形
的边长为 3，点 、 分别在 、 上，且满足
，
．如图乙，
将直角梯形 沿 折到
的位置，使得点 在平面 上的射影 恰好在 上．
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生 25 元的收入，用 2017 年的统计数据，分别估计 该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润 日收入 日维护费用）． 【答案】（1）3.95 万元（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，列出电动汽车地方财政补贴的分布列，根据加权平均数的计算方法，即可求得结果. （2）根据题设条件分别列出两种方案的分布列，估算企业在两种方案下新设备产生的日利润. 【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
广东省 2019 届高三六校第一次联考试题 理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.已知集合
，
A.
B.
C.
【答案】A
，则 D.
（）
2.若复数 满足
，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
3.记 为等差数列 的前 项和，若
23.已知 （1）当
，
．
时，求不等式
的解集；
（2）若
，且当
时，
恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） 【解析】
（2）
【分析】
（1）当 时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；
（2）根据
化简函数 ，将
恒成立，问题转化为
令
为其子集，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时，不等式
数），
，则 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若 满足约束条件 【答案】25
则
的最大值为______________．
14.若 【答案】240
，则
的展开式中常数项为______________．
15.已知点
及圆
的值为______________．
，
A.
B.
C.
D.
【答案】D
，则 （ ）
4.在区间
上随机取两个实数 ，记向量
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
的概率为（
）
5.已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 与双曲线
的左、右两支分别交于 M、N 两点，
且
都垂直于 x 轴（其中 分别为双曲线 C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
函绝对值的不等式的解法：
（1）定义法；即利用
去掉绝对值再解
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；
（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如
）；
（4）图象法或数形结合法；
（5）不等式同解变形原理。
及
，且在 上有
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
10.抛物线
上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长度为 ，则点 的纵坐标的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
11.已知三棱锥
中，
则三棱锥
A.
B.
C.
【答案】D
，
，
，
，且二面角
的大小为 ，
外接球的表面积为（
）
D.
12.已知数列 满足
．设
， 为数列 的前 项和．若 （常
，
设曲线 上的点为 ，变换后的点为
由题可知坐标变换为
，即
代入曲线 的普通方程，整理得
曲线 的普通方程为
，
曲线 的参数方程为
( 为参数).
（2）设四边形
的周长为 ，设点
， ，
且
，
，
，
且当
．
时， 取最大值，此时
，
所以，
，
，此时
.
【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问 题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.
D.
【答案】D
6.在△ 中， 为 的中点，点 满足
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
8.已知 是函数 成立，则
A.
B.
C.
【答案】B
的最大值，若存在实数 的最小值为（ ）上的函数 满足
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于 中档题． 19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 的行业标准，予以地方财政补贴．其补 贴标准如下表：
2017 年底随机调査该市 1000 辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程 ，得到频率分布直方图如上图所示．用 样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：