四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级数学下学期周考试卷(4)(含解析) 新人教版

2015-2016学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级（下）周考数学试卷（4）一．填空题1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x= ．2．已知=k，a+b+c≠0，则y=kx+b的图象一定经过第象限．3．已知锐角α满足关系式2sin2α﹣9sinα+4=0，则sinα的值为．4．如果关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．5．某山路的路面坡度为i=0.5，沿此山路向上前进100米，升高了米．6．直线y=kx+6与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k= ．7．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=4，AC=5，当AD= 时，这两个直角三角形相似．8．为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将1200m长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高DF=4m，堤面加宽2m，则完成这一工程需要的石方数为m3．9．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tanB=．AC上有一点E，满足AE：CE=2：3．那么tan∠ADE的值是．10．设△ABC的重心为G，且AG=6，BG=8，CG=10．则S△ABC= ．二．解答题11．计算：（﹣8）0+（）﹣1++|1﹣tan60°|．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．13．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值；（3）当k为何值时，矩形变为正方形？14．一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？15．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．设BE=m，CD=n．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE．16．如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8，现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N，以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．（1）求直线AM的解析式；（2）将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动，如图③，设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；①当x=2，与x=10时，求S的值；②求S与x之间的函数关系式．2015-2016学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级（下）周考数学试卷（4）参考答案与试题解析一．填空题1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x= 1 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设x2+3x=y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．【解答】解：设x2+3x=y，方程变形得：y2+2y﹣3=0，即（y﹣1）（y+3）=0，解得：y=1或y=﹣3，即x2+3x=1或x2+3x=﹣3（无解），故答案为：1．【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．已知=k，a+b+c≠0，则y=kx+b的图象一定经过第一、三象限．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据比例的性质得=k==，由于k＞0，根据一次函数与系数的关系即可得到图象一定经过第一、三象限．【解答】解：∵ =k，a+b+c≠0，∴=k==，∴一次函数为y=x+b，∴一次函数y=x+b的图象一定经过第一、三象限．故答案为一、三．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：直线y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k ＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．3．已知锐角α满足关系式2sin2α﹣9sinα+4=0，则sinα的值为．【考点】解一元二次方程-因式分解法；锐角三角函数的定义．【分析】把2sin2α﹣9sinα+4=0看作关于sinα的一元二次方程，利用因式分解法解方程得到sinα=或sinα=4，然后根据锐角三角函数的定义确定sinα的值．【解答】解：（2sinα﹣1）（sinα﹣4）=0，2sinα﹣1=0或sinα﹣4=0，解得sinα=或sinα=4（不合题意舍去），所以sinα=．故答案为．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了锐角三角函数．4．如果关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是m ≥0，m≠2 ．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=16m﹣8（m﹣2）≥0，解之得m≥﹣2，且m≠2，m≥0，∴m≥0，m≠2，故答案为：m≥0，m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．某山路的路面坡度为i=0.5，沿此山路向上前进100米，升高了20米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图：AC=100，AB：BC=1：2，根据勾股定理得：AB2+BC2=AC2，即AB2+（2AB）2=1002，∴AB=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6．直线y=kx+6与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k= ±．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；锐角三角函数的定义．【分析】设直线与x轴、y轴的交点为A、B，可求得A、B的坐标，在Rt△AOB中，由三角函数可得到关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：如图，设直线y=kx+6与x轴、y轴的交点为A、B，令y=0可得kx+6=0，解x=﹣，令x=0可得y=6，∴A（﹣，0），B（0，6），∴OA=||，OB=6，在Rt△AOB中，tan∠ABO=，∴=，解得k=±，故答案为：±．【点评】本题主要考查函数图象与坐标轴的交点，利用k表示出三角函数值是解题的关键．7．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=4，AC=5，当AD= 或时，这两个直角三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】先利用勾股定理计算出BC=3，再分类讨论：由于∠B=∠ACD=90°，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当AB：CD=BC：AC时，△ABC∽△DCA；当AB：AC=BC：CD时，△ABC∽△ACD，然后分别利用比例性质求出CD，再利用勾股定理计算对应的AD的长．【解答】解：在Rt△ABC中，BC==3，∵∠B=∠ACD=90°，∴当AB：CD=BC：AC时，△ABC∽△DCA，即4：CD=3：5，解得CD=，此时AD==；当AB：AC=BC：CD时，△ABC∽△ACD，即4：5=3：CD，解得CD=，此时AD==；综上所述，当AD=或时，这两个直角三角形相似．故答案为或．【点评】本题考查了相似三角形判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；注意利用对应边的变换进行分类讨论．8．为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将1200m长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高DF=4m，堤面加宽2m，则完成这一工程需要的石方数为144000 m3．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】由题意可知，要求的石方数其实就是横截面为ABCD的立方体的体积．那么求出四边形ABCD的面积即可．【解答】解：∵Rt△BFD中，∠DBF的坡度为1：2，∴BF=2DF=8，∴S△BDF=BF×FD÷2=16．∵Rt△ACE中，∠A的坡度为1：2.5，∴CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10．S梯形AFDC=（AE+EF+CD）×DF÷2=28．∴S四边形ABCD=S梯形AFDC﹣S△BFD=12．那么所需的石方数应该是12×12000=144000（立方米），故答案为：144000．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tanB=．AC上有一点E，满足AE：CE=2：3．那么tan∠ADE的值是．【考点】解直角三角形．【分析】作EF⊥AD于F，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，则tanC==，设AD=3t，DC=4t，利用勾股定理计算出AC=5t，由AE：CE=2：3得AE=2t，然后利用EF∥CD得到△AEF ∽△ACD，根据相似比可得到AF=t，EF=t，则FD=AD﹣AF=t，在Rt△DEF中，根据正切的定义得到tan∠FDE==，所以tan∠ADE=．【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tanC==设AD=3t，DC=4t，∴AC==5t，而AE：CE=2：3，∴AE=2t，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴==，即==，∴AF=t，EF=t，∴FD=AD﹣AF=t，在Rt△DEF中，tan∠FDE===∴tan∠ADE=．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．10．设△ABC的重心为G，且AG=6，BG=8，CG=10．则S△ABC= 72 ．【考点】三角形的重心．【分析】延长AG到G'，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG≌△CDG′，所以CG'=BG=8，根据重心的性质可求得DG=DG′=3，则GG'=6，又CG=10，所以△CGG'是直角三角形，并可求得其面积，从而得出△BGC的面积，即可求得△ABC的面积．【解答】解：延长AG到G'，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG≌△CDG′，∴CG'=BG=8，∵DG=AG=3，∴DG=DG′=3，∴GG'=6，∵CG=10，∴△CGG'是直角三角形，∴S△GBC=S△CGG′=×8×6=24，∴S△ABC=3S△GBC=72．故选C．【点评】此题考查了三角形重心的性质与全等三角形的判定与性质，以及三角形面积问题的求解等知识．此题难度适中，解题时要注意数形结合思想的应用．二．解答题11．计算：（﹣8）0+（）﹣1++|1﹣tan60°|．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1+3++1﹣（1﹣），然后去括号合并即可．【解答】解：原式=1+3++1﹣（1﹣）=1+3++1﹣1+=2+4．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD 于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD 的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△求解．MND【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值；（3）当k为何值时，矩形变为正方形？【考点】根的判别式；正方形的判定．【分析】（1）根据根的判别式找出△=2k﹣3，结合方程有两个实数根即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；（2）设方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根分别为a、b，由根与系数的关系即可得出a+b=k+1、ab=k2+1，再根据a2+b2=5即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值，结合（1）的结论即可确定k值；（3）当矩形变为正方形时，方程的两根相等，即△=2k﹣3=0，解方程即可得出k的值．【解答】解：（1）△=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=2k﹣3，∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k﹣3≥0，解得：k≥，∴当k≥时，方程有两个实数根．（2）设方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根分别为a、b，则a+b=k+1，ab=k2+1，∵矩形的对角线长为，即a2+b2=5，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（k+1）2﹣2×（k2+1）=5，整理得：k2+4k﹣12=0，解得：k=2或k=﹣6（舍去）．∴当矩形的对角线长为时，k的值为2．（3）当矩形为正方形时，方程两根相等，∴△=2k﹣3=0，解得：k=．∴当k为时，矩形变为正方形．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及正方形的性质，解题的关键是：（1）根据根的判别式得出关于k的一元一次不等式；（2）结合根与系数的关系得出关于k的一元二次方程；（3）结合正方形的性质得出关于k的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式找出方程（或不等式）是关键．14．一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过点B作BM⊥AH于M，过点C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性质求得CK的长，若CK＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．【解答】解：解法一，过点B作BM⊥AH于M，∴BM∥AF．∴∠ABM=∠BAF=30°在△BAM中，AM=AB=5，BM=5过点C作CN⊥AH于N，交BD于K在Rt△BCK中，∠CBK=90°﹣60°=30°设CK=x，则BK=x在Rt△ACN中，∵在A处观测到东北方向有一小岛C，∴∠CAN=45°，∴AN=NC．∴AM+MN=CK+KN又NM=BK，BM=KN∴x+5=5+x．解得x=5∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险答：这艘渔船没有进入养殖场危险；解法二，过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：∴CE∥GB∥FA．∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°∴∠BCA=∠BCE﹣∠ACE=60°﹣45°=15°又∠BAC=∠FAC﹣∠FAB=45°﹣30°=15°∴∠BCA=∠BAC，∴BC=AB=10在Rt△BCE中，CE=BCcos∠BCE=BCcos60°=10×=5（海里）∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险答：这艘渔船没有进入养殖场的危险．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．15．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．设BE=m，CD=n．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE．【考点】相似形综合题．【分析】（1）∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得∠BAE=∠CDA，可证明△ABE∽△DCA；（2）由△ABE∽△DCA，得=，由题意可知CA=BA=，则=，从而得出m=．进而得出自变量n的取值范围为1＜n＜2；（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，再根据m=，得m=n=．可求得点D坐标为（1﹣，0）得出BD，DE，由BD+CE=2BD，得CE的长，从而得出BD+CE=DE．【解答】（1）证明：在△ABE和△DCA中，∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°．∴∠BAE=∠CDA．又∵∠B=∠C=45°∴△ABE∽△DCA．（2）解：∵△ABE∽△DCA，∴=．由题意可知CA=BA=，∴=，∴m=．自变量n的取值范围为1＜n＜2．（3）解：由BD=CE可得BE=CD，即m=n∵m=，∴m=n=．∵OB=OC=BC=1，∴OE=OD=﹣1，∴D（1﹣，0）．∴BD=OB﹣OD=1﹣（﹣1）=2﹣=CE，DE=BC﹣2BD=2﹣2（2﹣）=2﹣2．∵BD+CE=2BD=2（2﹣）=12﹣8，∴CE=（2﹣2）=12﹣8．∴BD+CE=DE．【点评】本题考查了相似形综合题以及函数问题，是难度较大的题目，解答时要认真审题，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．16．如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8，现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N，以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．（1）求直线AM的解析式；（2）将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动，如图③，设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；①当x=2，与x=10时，求S的值；②求S与x之间的函数关系式．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据旋转的性质，求出A（﹣8，4），M（4，8）的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，根据梯形的面积公式解答；②通过图形的面积公式和相似三角形的性质分段进行计算从当0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤10及10＜x≤12四个不同的取值范围表示出S就可以求出结论．【解答】解：（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：A（﹣8，4），M（4，8），设函数解析式为y=kx+b（k≠0），把A（﹣8，4），M（4，8）分别代入解析式得：，解得：，则直线AM解析式为y=x+；（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S△AOB= ABOB=16，OC=2，OA==4，∴=（）2，即=（）2=，解得：S=；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，可得：ON=OC﹣CN=10﹣4=6，BN=OB﹣ON=8﹣6=2，又∵△ONQ∽△OBA，∴=，即=，∴NQ=3，∴S=（QN+AB）BN=×（3+4）×2=7；（3）如图所示：①如图1，当0＜x≤4时，S=S△POC，∵Rt△POC∽Rt△BOA，∴，∴，S=，②如图5，当4＜x≤8时，S=S△POC﹣S△NHO，S=﹣=﹣，③如图4，当8＜x≤10时，S=S△FCO﹣S△BCG﹣S△ENO，=﹣﹣，=﹣x2+18x﹣68④如图2，10＜x≤12时，CO=x，NO=x﹣4，NQ=（x﹣4），BN=12﹣x∴S=S四边形ABNQ=，=﹣x2+2x+12．∴S与x的函数关系式为：S=．【点评】本题考查了一次函数的综合问题，涉及动点问题及二次函数的最值、三角形的面积及梯形面积的计算，相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，综合性较强，灵活运用相似三角形的性质是关键．。