离散数学期末考试试题与答案.
◆对于任意的a，b∊G，若(a,b) ∊ R， ∴ a·b-1∊H，∴(a·b-1)-1=b·a-1∊H， ∴ (b,a) ∊ R，故R是对称的。
◆对于任意的a,b,c∊G，若(a,b) ∊ R，(b,c) ∊ R， ∴ a·b-1∊H且 b·c-1∊H， ∴ (a·b-1)·(b·c-1)=a·c-1∊H， ∴ (a,c) ∊ R，故R是传递的。
则可以说明φ为A→A∪B的双射， 故结论得证。
（如果只用一句话说， A∪B也是可数无限集，可以得2分）
7. (5分) 画出5个顶点的自互补图。证明当n=4k 或4k+1时才 有. 若一个图和它的补图同构，说它是自互补图。
解:（1）
（2）因为n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2个边，所以 自互补图各有n(n-1)/4个边，因此，n=4k或4k+1。
13. (5分) G是一个群,H,K是G正规子群. 证明: H∩K是G正规就有a,b H, a,b K， 因为H, K是群G的子群， 所以，a*b-1H，a*b-1K，因此a*b-1 HK。故 HK是G的子群。
(2) (2分) 对于a HK, gG, 就有a H，aK。 因为H，K是群G的正规子群，所以
6. (4分) 已知: A是可数无限集，B是有限集， 且A∩B=Ø， 求证：|A|=|A∪B|
证明: 不妨记 A={a1, a2, a3, …,an, …} B={b1, b2, b3, …, bm}
作映射 φ: A→A∪B φ(ai)=bi (i=1,…,m) φ(ai)=ai-m (i=m+1,m+2,…)
8. (5分) 证明: G或者G有一个是连通图。
证明：因为G不连通，则G可以分为若干连通子图: G1=（V1，E1），--- ，Gn=（Vn，En） 根据G的补图的构造过程知V1中每个顶点与其它 顶点集V2，--- ，Vn中顶点有边相连。 这样， 在 G的补图中，有
分别属于两个顶点子集Vi与Vj中的任意两个顶点 之间有边直接相连，
离散数学期末考试
2007年元月8日
1. (6分) 已知 A={{a},a,b}, B={{b}, a}, 求 A×B, AB, P(A). 解: A×B={({a},{b}), ({a},a), (a, {b}), (a, a), (b, {b}), (b, a)}
AB=(A-B) ∪(B-A)={{a}, b, {b}} P(A)={Ø, {a}, a, b, {{a}, a}, {{a},b}, {a,b}, A}.
g*a*g-1H,
g*a*g-1K, 从而有g*a*g-1HK， 故HK是G的正规子群。
14. (4分) 已知(G, *)，(A, △)是两个群，f: G→A是群同态的。
证明: (1) f(eG)=eA (eG G是幺元, eA A是幺元). (2) ∀g∊G, f(g-1)=(f(g))-1.
2. (4分) 已知R1,R2是A上的对称关系, R1∘R2对称吗? 证明或 举反例说明.
解: 一般地, R1∘R2≠ R1∘R2.
反例:
R1={(1,3), (3,1)} 对称! R2={(3,2), (2,3)} 对称! R1∘R2 ={(1,2)} 不对称!
3. (6分) G是一个群, H是G的子群. ∀g1,g2∊G, (g1,g2) ∊R g1g2-1 ∊H. 证明R是G上等价关系.
证明: (1) 对于任意的x1,x2∊A, 若g∘f (x1)= g∘f (x2), 即有 g(f(x1))= g(f(x2)). 由于g是单射,故有f(x1)=f(x2). 由于f是单射,故有x1=x2. 因而, g∘f 是单射.
(2) 对于任意z∊C, 存在x∊A, 使得 g∘f (x)=z, 即 g(f(x))=z. 故存在 y=f(x) ∊B, 使得 g(y)=z. 故 g是满射.
证明: (1) (2)
f(eG＊eG)＝f(eG)， 又f(eG＊eG)＝f(eG) △ f(eG)，所以 f(eG) △ f(eG)＝f(eG*eG) ＝f(eG)＝f(eG)△eA， 根据群的左消去律, 有 f (eG) ＝ eA。 对于任意的g∊G，f(g*g-1)＝f(g) △ f(g-1)，
证明: (1) 封闭性 (2) 可以结合性 (3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g (4) 逆元 对于∀g∊G, 在代数运算*下的逆元记为g*-1 于是, g*-1=u·g-1·u
这里, g-1是在代数运算·下的逆元
证明：设 T=(V,E)是一棵树，若T中最多只有一片树叶， 则有
∑d(v) ≥1+2(|V|-1)=2|E|+1, 这与结论 ∑ d(v) =2|E| 矛盾! 矛盾说明 T 不止
一片树叶。
12. (8分) (G, ·)是一个群，取定u ∊ G. ∀g1,g2∊G，定义： g1*g2= g1·u-1·g2. 证明: (G,*)是群。
属于同一个顶点子集Vi的任意两个顶点借助顶点 子集Vj的任意一个顶点连通。
所以，根据连通的定义知：G的补图一定连通 。
9. (4分) 一个有奇数条边、偶数个顶点的欧拉图，但不是哈 密尔顿图。
10 (6分) 画出K4,4，判断K4,4是否平面图. 否!
11. (5分) 证明: 多于一个顶点的树，至少有两片树叶。
4. (6分) A={1,2,3,5,10,15,30}, ∀x,y∊A, x≺yx|y. (1) 画出(A, ≺)的哈斯图 (2) 判断(A, ≺)是格否?分配格吗?有补格?布尔格吗?
30
10
15
2
5
3
1
格? ✔ 分配格? ✔? 有补格? ✘ 布尔格 ✘
5. 已知 f: A→B, g: B→C, f是单射,g是单射,证明g∘f 是单射. 若g∘f是满射,证明g是满射.
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
离散数学期末试卷及答案
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分）在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误：1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2．∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。
( )3．初级回路一定是简单回路。
( )4．自然映射是双射。
( )5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。
( )6．群的运算是可交换的。
( )7．自然数集关于数的加法和乘法<N，+， >构成环。
( )8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )9．设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。
( )10．设A、B、C为任意集合，则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。
( )二、填空题（共10题，每题3分，共30分）11．设p：天气热。
q：他去游泳。
则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号化为。
12．设M(x)：x是人。
S(x)：x到过月球。
则命题“有人到过月球”可符号化为。
13．p↔q的主合取范式是。
14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。
15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。
16．模6加群<Z6，⊕>中，4是阶元。
17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。
.18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度列为。
19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。
20．7阶圈的点色数是。
三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分）21．求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。
22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。
离散数学期末试卷(4套附答案)
一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ） A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐB ．⎤ ｐ∨ｑC ．⎤ ｐ∧ｑD ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ 2．下列句子不是命题的是（ ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的D ．太好了！3．对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元C ．(∃x )的辖域是R(x , y )D ．(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )4．7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（ ）A ．自反的B ．对称的C ．传递的、对称的D ．反自反的、传递的 5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101017. 下列运算不满足．．．交换律的是（ ） A ．a *b =a+2bB ．a *b =min(a ,b )C ．a *b =|a -b |D ．a *b =2ab8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( ) A.<A ，+> B.<A ，-> C.<A ，×> D.<A ，÷> 9. 右图的最大入度是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3第9题图拟题学院（系）： 高密校区 适用专业： 学年 2学期 离散数学 （Ｂ卷） 试题标准答案10. 设有向图D 的节点数大于1，D=（V ,E ）是强连通图，当且仅当（ ） A. D 中至少有一条通路 B. D 中至少有一条回路C. D 中有通过每个结点至少一次的通路D. D 中有通过每个结点至少一次的回路 二、填空题(每空3分，共30分)1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。
离散数学期末考试题(附答案和含解析1)
一、填空2．A ，B ，C4．公式的主合取范式为5 在I 下真值为 1 。
6．设A=｛1，2，3，4｝,A 上关系图如下,则 R^2= ｛(1,1），（1，3）,(2，2）,(2,4)｝ 。
//备注:7．设A=｛a,b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= ｛(a,b),(a,c ）, (a,d ）, (b ，d ）, (c ，d ）} U ｛(a,a)，(b,b)（c ，c)(d ，d ）} .//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性8．图的补图为 。
//补图：给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图。
自补图:一个图如果同构于它的补图，则是自补图9．设A={a ，b ，c ，d ｝ ,A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，＊>的幺元是 a ,有逆元的元素为 a ，b,c ，d ，它们的逆元分别为 a ，b ，c ，d . //备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y A 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c .//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序）二、选择题1、下列是真命题的有（ C 、D ）A ． ；B ．；C ． ；D ．。
2、下列集合中相等的有（ B 、C ）A ．｛4，3｝；B ．｛，3,4｝；C ．｛4,，3，3｝;D ． {3,4｝.3、设A={1，2,3},则A 上的二元关系有（ C ）个.A ． 23 ；B ． 32 ；C ． ；D ． 。
//备注：A 的二元关系个数为:个。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ A )A ．若R ，S 是自反的， 则是自反的；B ．若R ，S 是反自反的， 则是反自反的； XC ．若R ，S 是对称的， 则是对称的； XD ．若R ，S 是传递的， 则是传递的。
X//备注：设R=｛<3，3>,<6，2〉}，S={<2，3〉}, 则={<6，3>} , ={<2,3〉｝5、设A=｛1，2，3，4}，P （A)（A 的幂集）上规定二元系如下，则P （A)/ R=( D ）A ．A ；B ．P(A) ;C ．｛{{1｝｝，｛｛1，2｝},{｛1,2,3}｝,｛{1,2,3，4｝｝｝；D ．{｛}，｛2}，｛2，3｝,{{2，3，4}}，｛A}｝6、设A={,{1}，｛1，3},｛1，2，3}}则A 上包含关系“”的哈斯图为（ C )//例题:画出下列各关系的哈斯图1）P=｛1,2，3，4},〈P,≤〉的哈斯图。
离散数学期末练习题 (带答案)
离散数学复习注意事项：1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。
2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。
把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。
检验一下主要内容的掌握情况。
3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。
离散数学综合练习题一、选择题1．下列句子中，（）是命题。
A．2是常数。
B．这朵花多好看呀！C．请把门关上！D．下午有会吗？2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。
则命题“下雪路滑，他迟到了”可符号化为（）。
A. p q r∨→∧→ B. p q rC. p q r∨↔∧∧ D. p q r3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。
A.p q∧∧⌝ B.p qC.p q→⌝∨⌝ D. p q4．设()Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。
P x:x是鸟，()A. ()(()())Q x⌝∀∧())x P x Q x⌝∀→ B. ()(()x P xC. ()(()())Q x⌝∃∧())x P x Q x⌝∃→ D. ()(()x P x5.设()L x y：x大于等于y；命题“所有整数f x:x的绝对值，(,)P x:x是整数，()的绝对值大于等于0”可符号化为（）。
A. (()((),0))∀→x P x L f x∀∧B. (()((),0))x P x L f xC. ()((),0)∀→xP x L f x∀∧ D. ()((),0)xP x L f x6.设()F x:x是人，()G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。
A．(()())⌝∃→⌝x F x G x∀∧B．(()())x F x G xC．(()())⌝∃∧⌝x F x G x⌝∃∧D．(()())x F x G x7.下列命题公式不是永真式的是（）。
离散数学期末考试题(附答案和含解析3)
A一、单项选择题2.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不是等价关系的是（ D ）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}； B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}；C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}；D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2 >}.3．在公式（）F （x ，y ）→（ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ B ）x ∀∃A ．自由变元；(前面无∀或∃量词) B ．既是自由变元，又是约束变元；C ．约束变元；(前面有∀或∃量词) D ．既不是自由变元，又不是约束变元.4．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ C ）A ．1∈A ；B ．{1，2，3}A ；C ．{{4，5}}A ；D ．∅∈A.⊆⊆5.设论域为{l ，2}，与公式等价的是( A ))()(x A x ∃A.A (1)A (2)； B. A (1)A (2)； C.A (1)∧A (2)；D. A (2)A (1).∨→→6.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是( B )A.13；B.14 ；C.16 ；D.17 .//设一度结点数为n,则有：5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1]解得：n=7, 所以这棵树的结点数为：m=5+2+7=14.7．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ A ）A ．<A ,+>是群；B ．<A ,×>是群；C ．<A ,÷>是群；D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群。
离散数学期末考试题(附答案和含解析)
一、填空2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
//备注：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下，则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。
//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性8．图的补图为 。
//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
//备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y ∈A 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序）二、选择题1、下列是真命题的有（ C 、D ）A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ．}},{{ΦΦ∈Φ； D ．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ B 、C ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
离散数学期末考试题(附答案和含解析1)
一、填空2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B⊕C)-A4．公式的主合取范式为。
5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11112R自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：* a b c dabcda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
∈2n2RS SRPRSRP⌝∨∧∨∧)()()()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝)()(xxPxxP∀→∃}}{{}{aa⊆}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ}},{{ΦΦ∈Φ}}{{}{Φ∈ΦΦ⋃ΦΦ332⨯223⨯SRSR SR SR|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=ΦΦ⊆A CC> , < b , d > , < c , d > }→→⨯→→⇒X c b a ∈∀,,R>c ,a <,>b ,a <∈R a ,c <,>a ,b <∈>R >c ,b <∈⇐R >b ,a <∈R >c ,a <∈R >c ,b <∈Xb a ∈,R>a ,a <∈R >b ,a <∈R>a ,b < ∈∴R >b ,a <∈R >c b,<∈R c b, R >a b,<>∈<∧∈R>c ,a < ∈∴)}()(|{1x g x f G x x =∈且C b a ∈∀,)()(),()(b g b f a g a f ==)()(,)()(1111b g b g b fb f ----==)()()()(1111----===∴b g b g b fb f a f (∴a g b g a g b f a f b ()(*)()(*)()111===---)1-b a ∴Cb ∈-1∴≥2)2(--≤k v k e rkF d e ri i≥=∑=1)(2ke r 2≤2=+-r e v k e e v r e v 22+-≤+-=2)2(--≤k v k e 10,15,5===v e k 2)2(--≤k v k e )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀)(x xP ∀)(c P ))()((x Q x P x →∀)()(c Q c P →)(c Q )(x xQ ∀)()(x xQ x xP ∀→∀⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000001010010134R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案离散数学试题(Ｂ卷答案１）一、证明题(10分）1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ)(（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ（(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧RT∧Ｒ(置换)Ｒ2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ)证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)）x A(ｘ)∨xB（ｘ)xA(x)∨xB(x）xＡ(x)xB(x)二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。
证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R))(P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ）（Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R）m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6三、推理证明题（１0分)1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１）(C∨D) E ?P(2) E（A∧Ｂ) ??P（3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I(4) （A∧B)(R∨S）??P(5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I(6）C∨Ｄ P(7) R∨S T(5)，I2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x))证明(1)ｘP(x) Ｐ（2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS(3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ(４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS(５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I（6）Q(y) Ｔ(５)，I（7)R(ａ) T(5),I(8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I（9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG(10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
离散数学期末考试题(附答案和含解析3)
一、单项选择题2.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不．是等价关系的是（ D ） A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}； B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}； C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}；D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2 >}.3．在公式（x ∀）F （x ，y ）→（∃ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ B ）A ．自由变元；(前面无∀或∃量词)B ．既是自由变元，又是约束变元；C ．约束变元；(前面有∀或∃量词)D ．既不是自由变元，又不是约束变元. 4．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ C ） A ．1∈A ； B ．{1，2，3}⊆A ； C ．{{4，5}}⊆A ； D ．∅∈A. 5.设论域为{l ，2}，与公式)()(x A x ∃等价的是( A )A.A (1)∨A (2)；B. A (1)→A (2)；C.A (1)∧A (2)；D. A (2)→A (1).6.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是( B ) A.13 ； B.14 ； C.16 ； D.17 . //设一度结点数为n,则有：5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1] 解得：n=7, 所以这棵树的结点数为：m=5+2+7=14. 7．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ A ） A ．<A ,+>是群； B ．<A ,×>是群；C ．<A ,÷>是群；D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群。