巧用椭圆三角形焦半径公式解题
用焦半径、焦点弦公式秒杀小题快攻大题
日作，４ Ｃ的平行线 交／４ Ｄ于点Ｅ
（１）证明ｌＥＡＩ＋ＩＥＢＩ为定值 ．
图 ２
（２）由题意得焦准距 枷 ： ：Ｊ，设 ，Ｆ￣ｔ的倾斜角
Ｃ
并 写出点Ｅ的轨迹方程 ；
分 别 为 理，卢，则 由焦 半 径 公 式 ，得 ｂ４Ｆ：ｔ＝＿ ：
（２）设点Ｅ的轨迹 为 曲线 ｃ．，直线Ｚ交Ｃ 于 ，Ⅳ两 点 ，
望 ： 望
１－ｅｃｏｓＯ
’１＋ｅｃｏｓ０— １ －
ｅ２ｃ０ｓ２０。
图 １
注 ：当焦点在Ｙ轴上时 ，将ｃｏｓ 换为ｓｉｎ 即可． 性质３：椭 圆焦点 弦中最短的弦为通径．
二 、焦 半 径 、焦 点 弦公 式 的 巧 妙 使 用
例 １ （２０１７年新 课标 Ｉ卷理 １０）已知Ｆ为抛 物 线Ｃ：
（２）求Ａｌ＋Ａ２的值 ；
例３ （２０１６年新 课标 Ｉ卷
（３）求 △ ＡＣ的 面积 ｓ
理 ２０）如 ２，设 圆 ＋３２＋２ｘ一１５＝０
的最 大值．
图 ３
的圆心为．４，直线 上 Ｂ（１，０）且 与
．
轴不重合 ，ｆ交圆Ａ于ｃ，Ｄ两点 ，过
箩 ： 解 析 ：（１）椭 圆，Ｊ的方程 ：１．（过程略 ）
性质 １：椭 圆焦半径 的长度为 ＿皇 ．
士 ｅ ＣＯ Ｓ
如 图１，过 ４作Ａ 。＿Ｅｌ于点Ａ ，贝Ｕ Ｆ Ｉ＝ｅｌＡＡ１Ｉ＝ｅ［ ＋ＨＥ Ｃ０ｓ（叮ｒ～０）］．
／￣ ＩＡＦＩ： 翌 ．
１＋ｅｃｏｓ０
同理 ：
ｅｐ ·
一
Ｊ
＼、
性质２：椭 圆焦 点弦的
长 度 为 ｔＡＢＩ＝Ｌ４ＦＩ＋ＩＢＦＩ＿
．
巧借焦半径 妙解椭圆题
、想/i法^^2020年第12期中学数学教学参考（下旬)巧借焦半径妙解椭圆题王加义（浙江省杭州学军中学）摘要：椭囲的焦半径有效链接着椭圆上的点与焦点之间的长度问题，在解题中有广泛的应用，通过恰当 运用，可简捷地解决问题，取得事半功倍的效果。
关键词：椭圆；焦半径；离心率文章编号=1002-2171 (2020) 12-0035-02椭圆上任一点到一焦点的连线叫作椭圆的焦半径。
楠圆的焦半径公式如下：已知P U。
，)为椭圆C:$+多=l(a>6>0)上的任意一点，F, ,F2分别为椭圆C的左、右焦点，则 有丨尸^卜《+^…，|户匕丨=^-^。
（其中6为椭圆的离心率）。
利用椭圆的焦半径公式，我们可以简捷解决一些 相关问题。
I求椭圆的方程例 1在椭圆 C:^+#=1U>6>0)中，F,,F2a*" b为椭圆C的左、右焦点，焦距为2 w，0为坐标原点，点P为楠圆C上一点，|OP |=f a，且| P F,丨，|成等比数列，则椭圆C的标准方程为________。
分析：根据条件可知P O为线段F,F2的中线，又 由丨尸厂丨，|厂1&丨，|/^2|成等比数列，可得|/^1卜 |P F2|=|F,F2|2=12。
对于丨P F, |与 |P F2|的长度 问题，可以先利用椭圆的几何性质，结合焦半径公式进 行转化，再结合题目条件建立关系式，进而巧妙求解。
解：如图1所示，过点P作丄:r轴，垂足为H，设 P(x。
，>)。
在 A P H O 中，丨P/f p+ 丨OH丨2= |O P|2,即W+：y§=+a2(①)。
由题意知 c=W，I h h |2=4c2=12,又丨P F, |，丨^2丨，丨P F2 |成等比数列，可得丨丨P F2 | =丨厂巧丨2=12。
根据焦半径公式I丨=a+a。
，|P F2 |=a—d。
，可得(a+a。
）（a—^:。
）=12，即a2—=12，所以^2—4i=12(②）。
焦半径公式在解题中的应用
不 妨 设 Ｆ 、 分 别 是 左 、 焦 点 ， Ｐ 的 。 右 点
坐标 为（ ，ｏ ． Ｙ） 由 Ｐ 。 中点在 Ｙ轴上 ， Ｆ 的 则知 Ｐ 上 Ｆ 轴 ， 又
，
一
（ｏ， ３ 这 口２ ｅ霉， ３） ：， 里 ： ： ，得 且 ，
由椭圆的对称性 ， 不妨 设 Ｐ（ｏＹ ） ｘ， ｏ
似可以得出 ．下面例谈上述公式 的应用 ．
一
例 １ 年 国 考 ）圆 ‘＝ ２（９ 全 高 题椭 ＋ １ ９ ８ 孚
的焦点为 Ｆ， 和 ， Ｐ在椭 圆上 ， 果线段 Ｐ 。 点 如 Ｆ 的 中点在 Ｙ轴上 ， 么 Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｆ Ｉ ） 那 Ｐ 。是 Ｐ ｚ 的（ ． （ ７倍 Ａ）
解
、
求焦半径或焦半径之 比
例 １ （０１ ２ ０ 年上 海高考题 ） Ｆ。 为椭 圆 设 、
（ ５倍 Ｂ）
（ ４倍 ｃ）
（ ３倍 Ｄ）
等＋ １ 两 焦 ，为 圆 的 点． 等＝的 个 点Ｐ 椭 上 一 已
知 Ｐ Ｆ 、 是一个直角三角形 的三个顶点 ， 、。 且 ＩＦ Ｐ 解 ， 求 的值 ．
．
— —
３ ２
８
９一
。
即 ＝， 争 １在 ４财
ＩＰ ＝佩 Ｉ Ｏ
中 ，
本题 的实质 是求 点 Ｐ（ ，ｏ 的纵 坐 Ｙ）
解这 ，３＝ｅ ． 里。 ，５＝ ＝ｃ ，÷
依焦半径公式知
Ｉ Ｐ，ｌ Ｉ＝ ５
√ —
＝
５＝Ｉ ＯＦｔ Ｊ
：ｉ Ｆ Ｉ０是坐标原点 ） Ｏ ，（ ，
点分别 是 、 ， 则
Ｊ ＰＦｌ Ｊ＝ａ ＋ ０ ＰＦ２Ｊ ａ — ｅ ０ ，Ｊ ｘ．
￣（ １ ３＋ １
巧用焦半径公式解题
巧用焦半径公式解题焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。
下面以椭圆为例说明焦半径公式的运用。
椭圆的焦点为是椭圆上任一点，则，这就是椭圆的焦半径公式。
一. 计算焦半径例1. （1998年全国高考题）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍解：的坐标为点横坐标为3故选A二. 求点坐标例2. 在椭圆上求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。
解：设，则根据已知有，代入解得，代入椭圆方程得，故P点坐标是。
三. 求变量范围例3. （2000年全国高考题）椭圆的焦点为，点P为其上动点，当为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
解：设，则为钝角代入解得四. 求最值例4. （1996年希望杯试题）是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。
解：设，则在椭圆上的最大值为4，最小值为1五. 求弦长例5. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。
解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而六. 用于证明例6. 设Q是椭圆上任意一点，求证：以为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。
证明：设，圆C的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。
故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
以上只是简单介绍了椭圆的一种形式的焦半径公式的应用，希望同学们能触类旁通，灵活运用焦半径公式解决其他有关问题，提高解题效率。
运用焦半径公式速解焦点弦问题_马洪炎
在 Rt△MNF 中， | MF | = 于是 | NF | 3 = ， cosα 4 － cos2 α
为定值， 并说明理由． 分析 本题第（ 2 ） 小题 是一个 典 型 的 解 析 几 何 定 图5 值问题， 通常可运用函数的 思想方法解之， 其解题过程可归纳为： 一选， 二求， 三定值． 具体操作程序如下： 一选： 选择参变量． 需要证明为定值的量在通 常情况下应该是变量， 它应该随某一个量的变化而 可选择这个量为参变量． 变化， 二求： 求出函数的解析式． 即把需要证明为定 值的量表示成关于上述参变量的函数 ． 三定值： 化简函数解析式得到定值． 由题目的 结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无 故求出的函数必为常数函数， 因此， 只需对上述 关， 函数的解析式进行必要的化简即可得到定值 ． 1］ 文献［ 介绍的解法 1 （ 复杂解法 ） 选择以直 线 AB 的斜率 k 为目标函数的变量； 解法 2 （ 简捷解 法） 选择线段 AB 的中点 N 的横坐标为目标函数的 变量． 在运用函数的思想方法解决定值问题时， 目 标函数变量的选择显得很重要． 由于角度形式的焦 半径公式与本题相关的线段可直接对话 ， 因此也可 AB x 选择直线 与 轴的夹角 α 为目标函数的变量． 解 π α ＜ ． 不妨设 | AF | ＞ | BF | ， 则由椭圆的焦半径公 2 式可知 b2 3 | AF | = = ； a － ccosα 2 － cosα b2 3 | BF | = = ， a + ccosα 2 + cosα 2 3 + = 从而 | AB | = | AF | + | FB | = 2 － cosα 2 + cosα 12 ． 4 － cos2 α 设 AB 的中点为 N， 则 2 3 2 | FN | = | AF | － | FB | = － = 2 － cosα 2 + cosα 6cosα ， 4 － cos2 α 3cosα | FN | = ． 即 4 － cos2 α （ 2 ） 设直线 AB 与 x 轴的夹角为 α， 则0 ＜
第二讲 椭圆焦半径与焦点弦3(用焦半径的角参公式解题)(教案)【椭圆小题突破】高考数学二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦3――用焦半径的角参公式解题知识点：（1） 若F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，设∠AFx =θ,22||,||,1+cos 1-cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+=（2）若F 为椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0) 左焦点，22||,||,1-cos 1+cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+= 3．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过左焦点F (-2,0)倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则b 2等于（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 法一：坐标法以，为邻边作平行四边形，则且. 所以轴，所以两点关于轴对称，又 设，则，由条件可得直线的方程为 所以,即由点在椭圆上可得，，又代入得，整理得： 解得法二：焦半径坐标形式,a+ex 0=2,a -e =2，a-2a＝2，222201323,a a a b --=⇒=+⇒=法三：焦半径角参形式3233343FA FO OFAB //AB OF AB OF =AB y ⊥A B ，y 2AB OF c ===()11,A x y 11x =-AF ()32y x =+13y =()1,3A -22221x y a b+=22131a b +=22224a b c b =+=+()()2222344b b b b ++=+412b =223b =()1,3A -2222,1cos b a b a c e θ=⇒=-- 2222242201323,c a b a a a b =⇒-=⇒--=⇒=+⇒=（2）已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，直线l ：x =2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |＝( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．3【答案】A 法一：坐标法根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =.所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n =-+=+=.法二：焦半径角参形式11112||,3cos ||21cos cos 21cos 2FA FA θθθθ==⋅⇒=⇒=+法三：焦半径坐标形式 A (2,n ),B (x 0,y 0)，F (1,0), FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(1,n)=3(x 0-1,y 0)，1=3x 0,n=3y 0, |FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，√(3y0)2+1=3(√2−1√2x0)，9y02+1=9(2−2x0+12x02)9(1−12x02)+1=9(2−2x0+12x02)9x 02-18x 0+8=0 (3x 0-4)(3x 0-2)=0 x 0=43或23(舍去)|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3(√2−1√2x0)=3(√2−1√2·43)=√2.（3）如图，椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段FP 交椭圆于点Q ．若OQ ⊥FP ，|FP |=3|FQ |，则椭圆的离心率是（ ）A ．13B ．12 C ．22D ．32【答案】D 法一：坐标法由题意得(,0)F c -，设00(,)Q x y ，因为3FP FQ =，所以023x OF=，得023x c =-， 因为OQ FP ⊥，所以()22000222339y x OF x c c c c ⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，所以023y c =，因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以222242199c ca b+=，化简得，222222429b c a c a b +=，因为222b a c =-，所以222222224()29()c a c a c a a c -+=-，422491540a a c a -+=，得2222(34)(3)0a c a c --=，解得32c a =或3c a =（舍去） 法二：焦半径坐标形式 Q (x 0,y 0)，F (c ,0),|FQ |＝m ,由等面积法知c√(3m )2−c2=3m √c2−m2，m =1√3c ，a+ex 0=1√3c,a+e(-23c )=1√3c,1-23e 2=1√3e,2e 2+√3e −3=0, (2e −√3)(e +√3)=0, e =√32法三：焦半径角参形式设FQ ＝x ，则213,cos .33x cc x x c c cθ=⇒=== ()()22222333332032302313b ca b ac c a ac c a ca c e e =⇒=-⇒--=⇒-+=⇒=-（4）不经过椭圆E ：x 24+y 23=1的焦点的直线l:y=kx+m (km <0)与以坐标原点为圆心､√3为半径的圆相切，且与椭圆E 交于M,N 两点，试判断△MFN 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.法一：用弦长公式求弦长由题意，r =l=()2231m k ∴=+，设()()1122,,,M x y N x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222438430k x kmx m +++-=，由Δ0>，得()2121222438,4343m km x x x x k k -+=-=++，则12MN x =-=2443km k =-+又2122112,222MF x NF x =-=-()221221444243kmMF NF x x k +=-+=++ 2MNF 周长224MN MF NF =++=，2MNF ∴周长为定值4.法二：用圆的切线求弦长()()112212,,,,0,0,P x y Q x y x x >>12112,222PF x QF x =-=-设直线l 与圆的切点为M，1211,22,PM x QM x ====121,122PQ x x += 4Q PF F P Q ++=2MNF ∴周长为定值4.（5）（2018全国Ⅲ20） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24+y 23=1交于A,B 两点，线段AB的中点为M (1,m )(m >0)． （Ⅲ）证明：k <-12；（Ⅲ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列，并求该数列的公差．（Ⅲ）法一：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y=kx+t.由{y =kx +t 3x2+4y2=12，得(3+4k2)x 2+8ktx +4t2−12=0， △＝64k2t2−4 (3+4k2)(4t2−12)=−48(t2−3−4k2)>0，（Ⅲ） x 1+x 2=−8tk 3+4k2，x 1x 2=4t2−123+4k2，−4tk3+4k2=1，得-t =34k +k , 代入（Ⅲ）得(34k+k )2-3-4k2<0,即316k2−12-k2<0, 即16k 4+8k 2-3>0, 即(4k 2-1)(4k 2+3)>0, 即4k 2-1>0,k<-12或k >12. 又M (1,m )(m >0)在直线AB ：y=kx+t 上，所以m =t+k >0. 而-t =34k +k ，所以k <0.所以k <-12. 法二：设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（Ⅲ）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).且x 1+x 2=2.由FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ，得 x 1+x 2+x0=3,x0=1,P (1,± 32) 又y 1+y 2+y 0=0，y 1+y 2=2m ，所以m =-y02>0,P (1,- 32)|AF |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 24)=√x 24−2x 1+4=|2- x12|= 2- x12, 同理|BF |=2-x22，|PF |= 2- x02＝ 32. 所以|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4- x1+x22=3， 2|PF |=3.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或。
运用焦半径公式 速解焦点弦问题
。
在 Ｒ ｔ Ａ Ｍ Ｆ 寺 ，
Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ： ：— ＿
４一Ｃ Ｏ Ｓ
．
Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ｔ
为定值 ， 并说明理由．
分析 本题 第 （ ２ ） 小 题
图 ５
于是
＿ ４ （ 定
评注
直线 Ａ Ｂ与 轴夹角 为 的几何 意义
是一 个 典 型 的解 析 几 何 定
更 加 明确 ， 运算过 程显 得更 简捷． 运用 这 种 解法 ， 不 难 得到 第 （ ２ ） 小题更 一般 的结 论．
值问题 ， 通常可运用 函数 的 思想方 法解 之 ， 其解题过程可归纳为 ： 一选 ， 二求 ，
三定值 ． 具 体操 作程 序 如下 ：
（ ０ ＜ ＜ 詈 ） ， Ｉ Ａ Ｆ Ｉ ＞ Ｉ Ｂ Ｆ Ｉ ， 则
Ｉ ＡＦＩ＝
１
， Ｉ ＢＦ Ｉ
一
＝
ＣＯＳＯＬ
１ Ｃ ＯＳ Ｏ Ｌ ． 十
（ 对 于抛 物线 ＝ ２ ｐ ｙ也有 类 似性 质． ） 推论 ２ 如 图 ３ ， 设Ａ Ｂ是 椭 圆 ＋ Ｙ ＝１ （ 口＞ ｂ＞０ ） 过焦 点 Ｆ的 弦， 直线 Ａ Ｂ 与 的 夹 角 为 Ｏ ｌ
ｅ
（ 定值） ．
值 的量表示成关于上述参变量 的函数． 三定值 ： 化简 函数解析式得到定值． 由题 目的 结论可知要证 明为定值 的量 必与参变量 的大小无
一
结 论１ 过椭圆 ｘ＋ 告＝ １ （ ｏ ＞ ｂ ＞ ｏ ） 的 焦点
Ｆ任作一条与坐标轴 不垂直的直线 １ ， 与椭 圆相交 于 点 Ａ， Ｂ， 线段 Ａ Ｂ 的 中 垂 线 交 轴 于 点 Ｍ， 则
高中数学-椭圆焦半径公式及应用
4 3， cos
1 ， sin 7
因为 a＝ 10， b＝ 8， c＝6，由变式（ 2）得
| PF |
82
10 6× ( 1)
7
所以三角形 PEF的面积
4 3。 7
7
1 S | PF ||EF |sin
2
1 ×7×2×6× 4 3
2
7
24 3
x2 y2 例 7．经过椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左焦点 F1 作倾斜角为 相交于 A，B 两点，若 | AF1| 2| BF1 |，求椭圆的离心率。
椭圆焦半径公式及应用
在椭圆曲线中， 焦半径是一个非常重要的几何量， 与其有关的问题是各类考试 的热点，故值得我们深入研究。
思路 1： 由椭圆的定义有： r1 r2 2a
1
故只要设法用 x0、a、c 等表示出 r1 r2 （或 r1· r2 ），问题就可迎刃而解。
由题意知 r12
x0 c 2
y
2 0
，
例 5. P 是椭圆 x 2 a2
y2 b2
1( a
轴的垂线恰好通过焦点 F，若三角形
___________。
b 0) 上一点， E、 F 是左右焦点，过 P 作 x
PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
解：因为 PF⊥EF，所以由（ 2）式得
| PF|
b2
b2
。
a ccos90° a
再由题意得
2
消去 xP 后，化简即得（ 1） | PE |
b
。
a ccos
而当 大于 90°时，在三角形 PEQ中，
有 cos(
) |PQ| |PE |
c xP | PE |
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巧用椭圆三角形焦半径公式解题
焦半径公式是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。
对于它的代数形式a ±ex 是大家熟知的，本文仅介绍以椭圆焦半径公式的三角形式为例谈谈其应用。
（1）设P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，21,F F 是左、右焦点，1PF 与x 轴所成的角为α，2PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）α
cos ||2
1c a b PF -=；（2）βcos ||22c a b PF +=。
若∠F 1PF 2＝β，且设|PF 1|≥|PF 2|，则 (3)|PF 1|＝2
tan 222βb c a -+ (4)|PF 2|＝2tan 222βb c a --。
（2）设P 是椭圆y a x b
a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（5）||sin PE b a c =+2
α
；（6）||sin PF b a c =-2β。
灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解有关解析几何问题。
一、求焦半径
2
2121211,,||()4745
x y F F F x P PF A B C D +==-例椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交一个交点为则
解析：由公式（1）知，|PF 1|＝2190cos 121cos 02=⋅-=-αc a b ，从而|PF 2|=2
7214=- ，故选C 二、离心率问题
例2、P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。
解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得||c o s PF b a c b a
=+=22
90°。
再由题意得||||EF PF c b a
a c ac c ac a e =⇒=⇒-=⇒+-=⇒22202
22222
＋210e -=。
注意到
0121<<=-e e 解得。
三、三角形面积问题 例3、P 是椭圆x y 22
10064
1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。
解：设PF 的倾斜角为β，则：tan cos sin βββ=-=-=4317437
，，。
因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由公式（2）得7)71(6108||2
=-+=×PF ，所以三角形PEF 的面积
3247
3462721sin ||||21===××××βEF PF S 。
四、最值问题
例4、设F 是椭圆x y 2
2
21+=的上焦点，PF FQ →→与共线，MF FN →→与共线，且PF MF →→·＝0。
求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。
解：设PF 倾斜角为α，则由题意知PF ⊥MF ，所以MF 倾斜角为90°＋α，而a b c ===211，，，
由题意及（5）式得ααα2sin 222)180sin(21
sin 21
||||||-=+-+-=+=°FQ PF PQ 同理得||cos MN =-2222α。
由题意知四边形PMQN 面积 S PQ MN =12
||||αααα2222cos sin 24cos 222sin 22221+=--=·· 22216163284sin cos 8sin 217cos 4αααα
===++- 所以当cos41α=时，S max =
-=321712；当cos41α=-时，S min ()=--32171＝169。
五、存在性问题
例5、设F 1，F 2是椭圆C ：14
822=+x x 的焦点，P 为椭圆上一点，若PF 1⊥PF 2，问这样点P 是否存在，若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由。
解：由公式5知|PF 1|
＝2214||4a a c b PF =+==∴= ，同理|pF 2|＝4，从而有|PF 1|= |pF 2|＝a ，故满足条件的P 点只能是椭圆的上、下两个顶点。
个数为2。