圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用
圆锥曲线焦半径公式及其应用(解析版)
圆锥曲线焦半径公式及其应用一、坐标形式的焦半径公式1.椭圆的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点，21,F F 是其左右焦点，则=1PF 0ex a +，=2PF 0ex a -，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上任意一点，21,F F 是其下上焦点，则=1PF 0ey a +，=2PF 0ey a -，记忆方式：长加短减2.双曲线的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点，21,F F 是其左、右焦点，则①当点P 在右支上时，=1PF a ex +0，=2PF a ex -0，②当点P 在左支上时，=1PF a ex --0，=2PF a ex +-0，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上任意一点，21,F F 是其下、上焦点，则①当点P 在上支上时，=1PF a ey +0，=2PF a ey -0，②当点P 在下支上时，=1PF a ey --0，=2PF a ey +-0，记忆方式：长加短减（3）若弦AB 过左焦点，则=AB a x x e 2)(21-+-；若弦AB 过右焦点，则=AB ax x e 2)(21-+3.抛物线的坐标形式的焦半径公式（1）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +（2）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +-（3）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +（4）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +-例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知21,F F 是椭圆C ：14922=+y x 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6解法1：（基本不等式）由题意知621=+MF MF ，所以21MF MF ⋅9)2(221=+≤MF MF 当且仅当321==MF MF 时等号成立，所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C 解法2：（焦半径公式）设点),(00y x M ，则由题意知355,2,3=====a c e c b a ，所以9959)353)(353(200021≤-=-+=⋅x x x MF MF ，当且仅当00=x 时等号成立所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C例2.（2019年全国Ⅲ卷理）设21,F F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则点M 的坐标为解析：设点),(00y x M ，则由题意知211F F MF =，所以⇒=+c ex a 203832600=⇒=+x x 所以点M 的坐标为)15,3(例3.点),(00y x P 为双曲线C ：132422=-y x 的右支上一点，若点P 到右焦点的距离等于02x ，则=0x 解析：由题意知3,6,24,2====e c b a ，222300002=⇒=-=-=x x x a ex PF 例4.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解法1：51651645tan 0221=⇒⨯===∆P P F PF y y b S ，即点P 到x 轴的距离为516解法2：设点),(00y x P ，不妨设点P 在右支上，则由21PF PF ⊥得2212221F F PF PF =+25269100)335()335(202020=⇒=-++⇒x x x ，所以25256)14(322020=-=x y 5160=⇒y 即点P 到x 轴的距离为516例5.（2011年辽宁卷）已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.43 B.1C.45 D.47解析：设点),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点),(00y x M ，则25341412121=+⇒=+++=+x x x x BF AF ，从而452210=+=x x x ，故选C 例8.（2013年全国Ⅱ卷）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（）A.x y 42=或x y 82= B.x y 22=或x y 82=C.x y 42=或xy 162= D.x y 22=或xy 162=解法1：设点),(00y x M ，则255200p x p x MF -=⇒=+=，即),25(0y pM -，MF 的中点为)2,25(0y B ，以MF 为直径的圆过点)2,0(，所以MF AB 21=，所以4425)22(425020=⇒=-+y y ，又点M 在抛物线上，所以2)25(216=⇒-=p p p 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C解法2：设点),(00y x M ，因为以焦半径为直径的圆与y 轴相切，所以MF 的中点的纵坐标为2，所以40=y ，所以p p x 82160==，所以2528=⇒=+=p pp MF 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C 注：以抛物线的焦半径为直径的圆与y 轴相切二、角度形式的焦半径公式1.椭圆的角度形式的焦半径公式（1）设过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222cos 2c a ab -；（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θsin 2c a b -；=BF θsin 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222sin 2c a ab -；2.双曲线的角度形式的焦半径公式设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右焦点)0,(c F 的弦AB 的倾斜角为α，渐近线xa b y ±=的倾斜角为θ，则（1）当θπαθ-<<时，焦点弦AB 在右支上，=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；=AB α2222cos 2c a ab -，弦AB 在双曲线一支上时，焦点弦最短为通径（2）当θα<≤0或παθπ<<-焦点弦AB 在两支上，=AF a c b -θcos 2；=BF ac b +θcos 2；=AB 2222cos 2a c ab -α，弦AB 交双曲线两支上时，焦点弦最短为实轴长a23.抛物线的角度形式的焦半径公式（1）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点，则=AF θcos 1-p ；=BF θcos 1+p；=AB θ2sin 2p （2）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p py x 于B A ,两点，则=AF θsin 1-p ；=BF θsin 1+p ；=AB θ2cos 2p例1.如图，设过椭圆13422=+y x 的右焦点F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则=ABMF 解法1：（设线韦达定理）略解法2：（点差法）略解法3：（角度形式的焦半径公式）设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以θθθ2cos 412cos 23cos 23-=++-=+=BF AF AB θθθθ2cos 43cos 2cos 2cos -=-=+-==BF AF BFAF AF NF MF ，所以=AB MF 41例2.如图，过椭圆13422=+y x 的左焦点F 任作一直线交椭圆于B A ,两点，若=+BF AF BF AF λ，则=λ解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以=λ3411=+BF AF例2.已知椭圆12322=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥，则四边形ABCD 的面积的最小值为解析：设直线AC 的倾斜角为θ，则θθθ222222cos 334cos 3232cos 2-=-⨯⨯=-=c a ab AC θθ202sin 334)90(cos 334-=+-=BD 所以)sin 3)(cos 3(242122θθ--=⋅=BD AC S ABCD 2596)2sin 3cos 3(24222=-+-≥θθ，所以四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于B A ,两点，若a AB 2=，双曲线的离心率为e ，则[]=e 解析：设θ=∠AFO ，则a b a c a c b a c b AF 2cos 222=+⋅=+=θ所以222sin b a AF a ==θ，又c b=θsin ，所以c b b a =22⇒=-⇒=⇒232234)1(2e e c a b 例4.已知双曲线191622=-y x 的左焦点弦交双曲线左支于B A ,两点，且772=AB ，求直线AB 的方程解析：设AB 的倾斜角为θ，则77216cos 25942cos 222222=-⨯⨯=-=θθa c ab AB 53cos ±=⇒θ所以34tan ±=θ，所以直线AB ：)5(34+±=x y 即02034=+-y x 或02034=++y x例5.已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθ22sin 4sin 2==p AB ，所以θθ202cos 4)90(sin 2=+=p DE 所以16)11(4)cos )(sin cos 1sin 1(4)cos 1sin 1(42222222=+⨯≥++=+=+θθθθθθDE AB 当且仅当4πθ=时等号成立，所以16)(min =+DE AB 三、焦半径定比模型（1）设AB 为焦点在x 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θcos e 11+-λλ；=e 21k+11+-λλ（2）设AB 为焦点在y 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则11sin +-=λλθe ；=e 211k +11+-λλ例1.（2010年辽宁理科）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为060，FB AF 2=，则椭圆的离心率为解析：32121260cos 0=⇒+-=e e 例2.（2010年全国Ⅰ卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ，FD BF 2=，则C 的离心率为解析：设BD 的倾斜角为θ，则311212cos =+-=θe ，又e a c ==θcos ，所以33312=⇒=e e 例3.（2010年全国Ⅱ卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A.1B.2C.3D.2解析：33cos 211313cos 2311cos =⇒=+-=⇒+-=θθλλθe ，所以2tan ==θk例4.（2014年全国Ⅱ卷理）设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且N F MN 15=，则椭圆C 的方程为解析：由题意知a b ab MF 44222=⇒==--------------------------------------①由N F MF N F MN 11145=⇒=，所以531414cos =+-=θe ，又2422cos 121-=-==a c a c MF F F θ，所以532=-⋅a c a c -------------------------------------------------------------------------②联立①②得72,7==b a ，所以椭圆的方程为1284922=+y x。
焦半径公式在解题中的应用
不 妨 设 Ｆ 、 分 别 是 左 、 焦 点 ， Ｐ 的 。 右 点
坐标 为（ ，ｏ ． Ｙ） 由 Ｐ 。 中点在 Ｙ轴上 ， Ｆ 的 则知 Ｐ 上 Ｆ 轴 ， 又
，
一
（ｏ， ３ 这 口２ ｅ霉， ３） ：， 里 ： ： ，得 且 ，
由椭圆的对称性 ， 不妨 设 Ｐ（ｏＹ ） ｘ， ｏ
似可以得出 ．下面例谈上述公式 的应用 ．
一
例 １ 年 国 考 ）圆 ‘＝ ２（９ 全 高 题椭 ＋ １ ９ ８ 孚
的焦点为 Ｆ， 和 ， Ｐ在椭 圆上 ， 果线段 Ｐ 。 点 如 Ｆ 的 中点在 Ｙ轴上 ， 么 Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｆ Ｉ ） 那 Ｐ 。是 Ｐ ｚ 的（ ． （ ７倍 Ａ）
解
、
求焦半径或焦半径之 比
例 １ （０１ ２ ０ 年上 海高考题 ） Ｆ。 为椭 圆 设 、
（ ５倍 Ｂ）
（ ４倍 ｃ）
（ ３倍 Ｄ）
等＋ １ 两 焦 ，为 圆 的 点． 等＝的 个 点Ｐ 椭 上 一 已
知 Ｐ Ｆ 、 是一个直角三角形 的三个顶点 ， 、。 且 ＩＦ Ｐ 解 ， 求 的值 ．
．
— —
３ ２
８
９一
。
即 ＝， 争 １在 ４财
ＩＰ ＝佩 Ｉ Ｏ
中 ，
本题 的实质 是求 点 Ｐ（ ，ｏ 的纵 坐 Ｙ）
解这 ，３＝ｅ ． 里。 ，５＝ ＝ｃ ，÷
依焦半径公式知
Ｉ Ｐ，ｌ Ｉ＝ ５
√ —
＝
５＝Ｉ ＯＦｔ Ｊ
：ｉ Ｆ Ｉ０是坐标原点 ） Ｏ ，（ ，
点分别 是 、 ， 则
Ｊ ＰＦｌ Ｊ＝ａ ＋ ０ ＰＦ２Ｊ ａ — ｅ ０ ，Ｊ ｘ．
￣（ １ ３＋ １
圆锥曲线的焦半径巧用
圆锥曲线的焦半径巧用圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的． 椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点． 则有 左准线方程为 ca x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2 = 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：c a x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………① 又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ． (2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ， 假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π , ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2． ② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k c x y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1， ∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF , 又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※设∠PF 1A =β，则 ,tan 111cx y k PF +==β 设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 211--=-=, 而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111cx y c x y c x y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=． ∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角， 由正切函数的单调性得 λ= 2．显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )，在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ，从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5．则 |P ′H| = x 0-c 21． 故 22||||00c x c x H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立．解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111c c x x c x c cx c x c x c c x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2, 在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x c x c x c x c c x c -+=+-+=， )2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠c x x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x c x -+)2- 1 =cx x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A, ∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1， 所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ，即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF 1N 变为∠PNF 1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ的值，后推证P 点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF 1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法．例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：P n m 211=+． 证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ，如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ n m mn EF +=||， 同理 n m mn EH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合． 故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线．∴ |EF| + |EH| = P =n m mn +2, 故 Pn m 211=+． 图9-6 点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分；⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P-，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P; ⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。
圆锥曲线焦半径与通径的一个统一关系式及其应用
从一个疑惑中所引出的圆锥曲线焦点弦性质吴享平（福建省厦门第一中学 361000）１.“疑惑”的分析与解答文[１]的问题213有如下一道题：题目： 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S ，如果,,b QF a PF ==M 为RS 的中点，则MF 等于 。
问题提出者给出了两种解法：解法１所得结果为｜MF|=ab ；解法２得到结果为｜MF ｜＝)1(4)2)(2(4)(22pb p a p p b a p p ----++， 由于得到了两个不同结果，从而对以上两种解法和题目产生了疑惑，笔者再给出如下的解法３：解法３：（如图１所示）抛物线)0(22>=p px y 的焦点F )0,2(p ,准线l ：2p x -=，设直线PQ 的方程为：2px ty -=,P ),(),,(2211y x Q y x ,则 联立⎩⎨⎧+==222p ty x pxy 消去x 得0222=--p pty y ， 由此可得{pt y y p y y 221221=+-=⋅，于是M ),2(pt p-， (*)1||2222 t p t p p FM +=+=∴，又由)1(2)1](4)[(||2221221t p t y y y y PQ +=+⋅-+= =b a +得(**)212 pba t +=+，将（**）式代入（*）式得2)(||b a p FM +=.所得结果与解法１、解法２所得结果都不相同，难道真是解法或题目有问题吗？事实上，题目本身并没有问题（当然，再加上条件p b a 2≥+会更严密些），解法１、解法２以及笔者的解法３所得结果都是正确的（因为他们是等价的），由于抛抛物线的焦点弦有如下一个性质：性质：对于抛物线)0(22>=p px y ，若存在过焦点F 的弦PQ,使得｜FP ｜＝a ，｜FQ ｜FO xy QR P MS)(图１l＝b （p b a 2≥+），则ba abp +=2. 证明１：（如图２所示）不妨设a b ≥,准线l 与x 轴交于点N ， １）当b a >时过Q 作QG//l 分别交x 轴与直线PR 于E,G 两 点，则QEF ∆与QGP ∆相似，由相似比可得ba b a b EF +-=)(||，于是||FN p =＝ba abEF b +=+2||；２）当a=b 时，由抛物线定义知,p b a ==∴ba abp +=2显然成立。
(完整版)用圆锥曲线的焦半径解题
用圆锥曲线的焦半径解题
圆锥曲线上的点到其焦点的距离称做圆锥曲线的焦半径。
凡是遇到圆锥曲线上的点到其焦点距离的有关问题，可考虑使用焦半径来处理。
一、利用椭圆的焦半径
若椭圆的两个焦点为、是椭圆上任一点，则该椭圆的焦半径。
证明：椭圆相应的准线方程是和，由椭圆的第二定义，得
，整理，得
例1. 已知点P在椭圆上，F
1、F
2
为椭圆的左右两个焦点，
求的取值范围。
解：设P点坐标为，因为P点在椭圆上，所以，故
根据焦半径公式有，，故
又因为，所以，即。
二、利用双曲线的焦半径
若双曲线的焦点坐标是和，是双曲线上任一点，则该双曲线的焦半径，。
证明：双曲线的左右准线方程为和，根据双曲线的第二定义，得：
，整理，得
例2. 双曲线的两个焦点分别为F
1、F
2
、P为双曲线上的任意一点，
求证：成等比数列。
证明：设，则P到中心O的距离，又因为此双曲线为等轴双曲线，所以，由双曲线的焦半径公式，得：
从而
故成等比数列。
三、利用抛物线的焦半径
若抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则该抛物线的焦半径。
证明：由抛物线的准线为，根据抛物线的定义，得。
例3. 已知抛物线的一条焦点弦被焦点分成为m、n的两部分，求证：。
证明：设焦点弦AB的方程为，将其代入抛物线，有。
令、，根据焦半径公式，得
，所以。
故。
与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算(一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。
1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆： （图1) （图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A(x ，y)，A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2,根据椭圆第二定义有:2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径椭圆的焦半径：左加右减.长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。
左边下边都为负，不足都要加。
双曲线：（图3）（图4）双曲线为双支,焦半径可能在一支上，也可能在两支上.在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。
在两支上叫外焦半径。
以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式.设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有:2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--同理，右支2211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径,与椭圆有两点相反,左减右加，半长轴取反。
实轴在y 轴上,可以比照，易得上加下减。
联想特征：左边下边都为负,要减一起减。
可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。
以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：2122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+同理,以右焦点为起点的外焦半径公式：2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=-+⋅=-双曲线外焦半径，与椭圆相同。
圆锥曲线的焦半径公式及其应用
技法点拨圆锥曲线的焦半径公式及其应用■郭海先摘要：利用圆锥曲线的焦半径公式以及圆锥曲线的第二定义解答圆锥曲线类问题，能起到事半功倍之效果。
关键词：椭圆焦半径公式；双曲线的焦半径公式；抛物线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫作圆锥曲线关于该点的焦半径。
利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
一、椭圆的焦半径公式椭圆上的任意一点到焦点F 的长，称为此曲线上该点的焦半径。
根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
1.若P （x 0，y 0）为椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则||PF 1=a+ex 0，||PF 2=a-e x 0.2.若P （x 0，y 0）为椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则||PF 1=a+e y 0，||PF 2=a-e y 0.例1．椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点A （x 1，y 1）、B （4，95）、C（x 2，y 2）到焦点F （4，0）的距离成等差数列，求x 1+x 2的值.解：在已知椭圆中，右准线方程为x =254，设A 、B 、C 到右准线的距离为d 1、d 2、d 3，则d 1=254-x 1、d 2=254-4、d 3=254-x 2.∵|AF |=d 1·e ，|BF |=d 2·e ，|CF |=d 3·e ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.∴2d 2=d 1+d 3，即2（254-4）=2×254-（x 1+x 2），x 1+x 2=8.评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A 、B 、C 三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出x 1+x 2的值。
焦半径公式推导及应用
焦半径公式推导及应用在我们学习圆锥曲线的过程中，焦半径公式可是个相当重要的“小伙伴”。
今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个焦半径公式的推导以及它在解题中的神奇应用。
先来说说啥是焦半径。
简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的一点到焦点的距离。
那对于椭圆来说，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是椭圆上的任意一点。
那焦半径$|PF_1|$和$|PF_2|$咋算呢？咱们一步步来。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴$2a$，所以有$|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
再根据两点间的距离公式，$|PF_1| = \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}$，$|PF_2| = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$。
把这俩式子相加得到：$\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2} + \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2} = 2a$。
经过一番整理和化简（这过程可有点复杂，就不详细展开啦），最终就能得到焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。
这里的$e$是椭圆的离心率，$e = \frac{c}{a}$。
咱再来说说双曲线。
设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是双曲线上的任意一点。
同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长$2a$，所以有$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。
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圆锥曲线的统一焦半径公式
在解题中的应用
宜昌二中 黄群星
我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。
解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。
最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。
一．在椭圆中的运用：
例1：已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （>0）的直
线与C 相交与A,B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r
,求k 的值。
解法一：∵
2e =
∴12
b a = 设椭圆的方程为22
221,4x y b b
+=
右焦点为,0)，
设直线的方程为my x =-
，设1122(,),(,)A x y B x y
222440
x y b my x ⎧+-=⎪⎨
=⎪
⎩222(4)0m y b ⇒++-= ∵3AF FB =u u u r u u u
r
1122,)3(,)x y x y ⇒--=123y y ⇒=-①
122
(4)y y m -+=+ ② 2
122
(4)
b
y y m -⋅=+ ③ 将①带入②得
1224y y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩
∴2221222
94(4)m b b y y m m --⋅==++212m ⇒= k>0, ∴m>0,
∴2
m k ==解法二;
由题意得3AF FB =u u u u r u u u u r
=
cos θ⇒=
∴sin tan k θθ=
==即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。
那么，在什么情况下可以用这个公式呢？
先看这个公式的结构：1cos ep
PF e θ
=
±，其中，e 是离心率，P 为焦准距，θ是过焦点
的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。
二．在双曲线中的运用：
例2：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直
于1l 的直线分别交12,l l 于A,B 两点，已知,,OA AB OB 成等差数列，且,BF FA u u u r u u u r
同向
① 求双曲线的离心率
② 设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。
解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=a ,∵OF 平分角∠AOB ∴OA AF
OB BF
=
设FB=mb,OB=m a ,则有2AB OA OB =+
即12(1)22
b m b a ma e a +=+⇒
=∴= ② 设直线AB 的倾斜角为θ
, cos 5b c θ=
= ∴ 41cos 1cos ep ep
e e θθ
+=+-
4p p
+=
2
a P c c ⇒=-=有∵
6,32
c a c b a ===∴= ∴ 双曲线的方程为
22
1369
x y
-= 评述：双曲线的焦半径公式PF =a ex ±，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公
式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。
三．在抛物线中的使用：
例3：平面上一点P 到点F （1,0）的距离与它到直线x=3的距离之和为4， ① 求点P 的轨迹方程
② 过A 的直线与轨迹C 交与MN 两点，求
MN 得最大值
解：①设P （x,y ）,
34x -= 当3x ≥时，
347x x -=⇒=-
212(4)y x ⇒=--
当3x ≥
时，
341x x -==+
24y x ⇒=
点P 的轨迹方程为2
12(4)(34)y x x =--≤≤ （P=2）
24(03)y x x =≤< (P=6)
② 当0
[0,60]θ∈时，268
1cos 1cos 1cos MN MF FN θθθ
=+=+=
+++
当00
(60,120)θ∈时，2
2641cos 1cos sin MN MF FN θθθ=+=+=+- 当00
[120,180)θ∈时，2681cos 1cos 1cos MN MF FN θθθ
=+=+=
--- 00
00200
8,[0,60]1cos 4
,(60,120)
sin 8,[120,180)1cos MN θθ
θθθθ
⎧∈⎪+⎪⎪∴=∈⎨⎪⎪∈⎪-⎩
当0
[0,60]θ∈时 81613
12
MN <
=
+ 当00
(60,120)θ∈时 1643
MN ≤≤ 当0
[120,180)θ∈时163
MN ≤
综上，当0
60120θθ==或时，163
MN 有最大值
评述：这个题目涉及到两条抛物线，而要求的弦长不一定是来自于直线和同一条抛物线的交点，另外，开口向右的那条抛物线又不是标准方程，所以要用坐标形式的焦半径公式可
谓困难重重，而统一焦半径公式用的参变量与位置无关，所以这个问题它同样迎刃而解。
有时候，一个问题能否解决，解决的速度，解决的水平往往取决于我们选择的工具，就如历史的发展过程中，生产力发展的标志是生产工具。
而公式，是我们数学学习过程中的一个有力的工具，选择好了，就会所向披靡，事半功倍！。