圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线一共线焦半径性质的发现、引申和应用
） ＿ 其 ｅ ＝ ， 人 并 ｅｅ 代 ＋ ｅ Ｘ十 ２＋ ２１２’ ｎ （ Ｉ ） ｅｘ ａ
，
否 也 有 同样 性 质 呢 ？ 即把 上 述 题 目中 的
化 简 得
＋
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椭圆 Ａ ＋ ： （＞ ＞ ） ｘ ｌ０ ６ ０ 改成 双曲线 Ｘ 一 －
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试题 研究 ＞ 识延伸 知
数学教学通讯 （ 师版 ～ 教 ）
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圆锥曲线一共线焦半径性质的 发现 、 引中和应用
傅 建 红
浙江 衢州 第二 中学
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圆 锥 曲线 有 许 多 优 美 的统 一 性 质 ． 比 如 统 一 定 义 ； 统 一 极 坐 标 方 程 ：＝ ｐ
一
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是否 仍为 常数
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性质 的发现
发 现 之 旅 源 于 对 如 下 的 一 个 学 生
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肯 定 的 ． 于椭 圆 、 曲 线 和 抛 物 线 在 南 双
定 坐标 系条件 （ 圆 的左焦 点 ， 椭 或双 曲线的右焦点 ， 或开 口方向为Ｘ 轴正向的
：
— ｅＩ 十 ａ— ＋ｘ
— ｅ， ａ — ＋ ｘ
中 两 共 线 焦 半 径 的倒 数 之 和 为常 数 ． 南 此 引 发 我 们 联 想 ： 曲线 和 抛 物 线 叶 是 双 １
。
解 ． 时 还 能 引 发 学 生 对 圆 锥 曲 线 的好 同
奇 心 和 自主 探 究 意识 ．本 文 探 寻 圆锥 曲 线 的 一 个 共 线 焦 半 径 性 质 ． 把 它 统 一 并
高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
探究圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式
探究圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式作者：范光龙来源：《中学课程辅导·教师通讯》2014年第23期在高中，关于圆锥曲线中的焦半径和焦点弦是学习的重点和难点，也是高考热点话题，我们先来学习圆锥曲线中的焦半径和焦点弦的性质，再来看考情，看看他在高考中的地位和作用。
我们先看抛物线这样的性质。
那么圆锥曲线是否具有上面的性质1。
我们先看以下双曲线。
在双曲线中，F为右焦点，AB为过F的焦点弦，CD为椭圆的右准线，与x轴交于点E。
AD，BC分别垂直准线交准线于D，C。
连接BD交x轴于G，直线AB的倾斜角为θ。
过B作BH垂直于DA的延长线于H，e为双曲线的离心率，p= 为双曲线的焦准距。
我们用平面几何的方法证明，在以上双曲线中，根据相似比，可以得到：EG除以BC等于DG除以DB，而FG除以FB等于DA除以BA，再将DA换成FA除以e，再化简得：FG除以BC等于DG除以DB，从而得到FG等于EG，所以G为EF的中点。
分析：这道题的高考得分率较低，而且得分的学生花的时间较长，非常影响高考总成绩，原因是学生对于圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式非常陌生。
如果我们掌握好圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式的性质，根据条件|AF1|=3|BF1|，和性质2，解方程组，解出|AF1|，然后，|AF1|，|F1F2|，|AF2|用勾股定理，直接算出b的值。
分析：本题如果用正常思路，运算量非常大。
我们可以用条件结合性质2计算出弦长|AB|，再带入性质3，很容易算出结果。
下面我们列举近几年来高考中用到次性质的问题：（1）2007年重庆卷第16题；（2）2008高考江西卷理科第15 题；（3）2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题；（4）2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题；（5）2010年高考辽宁卷理科第20题。
通过以上论述，圆锥曲线的焦半径和焦点弦的性质是非常的重要，所以我们很有必要学好他。
（作者单位：安徽省巢湖市第一中学）。
圆锥曲线全部公式及概念
1. 椭圆l τ + ∑- = i(a>b>O)的参数方程是V Cr Zr 2,2»2准线到中心的距离为L ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =—・通径的一半(焦参数)：丄.C Ca2 22. 椭圆∆τ + l τ = l(rt >∕7>θ)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： Cr Zr| PF l | = e(x + —) = a+ ex , ∖PF 21 = e(-— X) = U-ex ↑ S 斗严；=b 2 tan '丫 F22 223.椭圆的的内外部：(1)点PesyO)在椭圆丄v + L = l(α>b>0)的内部O⅛- + ⅛<l. Cr 泸Cr b'2 2 2 2(2)点 P(X o o to)在椭圆上τ +丄r = l(α>b>O)的外部 <≠>⅛ + ⅛>ι.Cr Zr Cr Zr的距离(焦准距)P = — •通径的一半(焦参数)：— C a5. 双曲线的内外部：(1)点P(X o o tO)在双曲线=Cr Ir/2 2 2 2 ⑵点P(X (P y 0)在双曲线一一二~ = l(α > 0,b > 0)的外部o —⅛■-汙V1・Cr IrCr Zr6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程：Δ1-22 = O^> y = ±-χ・α~ Ir Cr 少a-> 2A χ∙ V r β,V*⑵若渐近线方程为y = ±-x<=>-±- = O=>¾曲线可设为r — — = λ・ a a b Cr Zr2 22 2⑶若双曲线与亠一亠=1有公共渐近线，可设为=T 一亠=λCr XCr Ir(λ>0,焦点在X 轴上；九<0,焦点在y 轴上)・ (4)焦点到渐近线的距离总是b ∙7. 抛物线y 2= 2px 的焦半径公式：拋物线y 2=2px(p>0)焦半径ICFI = X O + -^・ 过焦点弦长IcQl = “+上+心+ £ = “+“ + 〃 . 2 2 28. 拋物线y 2 = IPX JL 的动点可设为P(±-,儿)或P(2∕"[2p∕) P(x , V ),其中y 2= 2PX ・2 P '•、 b A ,ac — b~9. 二次函数y = ax 1 +bx + c = a(x + —)2+ ------------- (a ≠ 0)的图象是抛物线：(1 )顶点坐标为Ia 4aZb 4“C — b~ z. .. ... I . . h ^CIC — /?" +1、 Z -S Λ /V ∙ z t , CT^CIC — b~ — 1 ,—:——)：(2)焦点的坐标为,——； ---------------- ):(3)准线万程是y = IABl = 5J(1+^2)(X 2 "ΛI )2 =I 比 _兀21 Vl +tan 2 a =I y l _y 21 √l + c^t 2ay = kx + b . .α(弦端点ACv 1,y 1X B(X^y 2),由方程<消去y 得到αL +bx + c = O 9 Δ>0, α为直线AB 的圆锥曲线X = Cl COS θ 亠 亠 C• 离心率£ =—= y = bs ∖nθ aV»*■ C 4. 双曲线亠一 — = 1(« > 0.Z? > 0)的离心^e =— a ∕Γa • 2ι2 「，准线到中心的距离为∙，焦点到对应准线 焦半径公式\PF }\ =I e(x + —) I=I a + <?xI, ∖PF 2∖ =I e(-^x) I=I a-ex ∖9 C 两焦半径与焦距构成三角形的面积S λj.ιp l .y = b 2 COt 'F'] F .2 22L = l(">0d>0)的内部 o ⅛-4>l. • - Cr Zr2a 4a2a 4a" 4a10. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切：以拋物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切; 以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切・11. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：IABI = √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2或F(x,y) = O倾斜角，&为直线的斜率，I召I= J(XI +心)‘ _4召心・12.圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F(X,y) = O关于点P(X o,儿)成中心对称的曲线是F(2x0-x t2y0 -y)=0.(2)曲线F(X,y) = 0关于直线Av + Bv + C = O成轴对称的曲线是—2A(Ar + By+ C) 2B(Ax + By + C)x CFa ------ —R——、y --------- -V———)=0・√Γ+歹A" + B'特别地，曲线F(X9 y) = 0关于原点O成中心对称的曲线是F(-x,-y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线X轴对称的曲线是F(X^y) = 0.曲线F(X9 y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F{y.x) = 0.曲线F(X,y) = 0关于直线y = -x轴对称的曲线是F(-y,-x) = 0・13 •圆锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数£,若0 VfVl, M的轨迹为椭圆；若e = ∖9 M的轨迹为抛物线；若e>∖9 M的轨迹为双曲线.注意：J还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定狡2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1)在椭圆中：α是长半轴，〃是短半轴，C是半焦距，其中b2 =a2-C29 f = (Ovwvl)是离心率，—a C• 2. 2是准心距，-L是准焦距，-L是半通径.C a2(2)在双曲线中："是实半轴，b是虚半轴，C是半焦距，其中b2 =c2-a29 e = -∖e>l)是离心率，L是a C准心距，伫是准焦距，冬是半通径.C a(3)在抛物线中：0是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定狡解题吋，你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序(到定点的距离比到定直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少(0 = √Σ)5、在用圖锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式A 2 0的限制. (求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ >0下进行).注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当A>0时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况)：当A = O时，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当AvO时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点.中心.短轴端点所组成的直角三角形•此时Cr =b2+c2・7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论)8、你知道椭圆、双曲线标准方程中aj∖c之间关系的差异吗9、如果直线与双曲线的渐近线平行吋，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与拋扬线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点•此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1・过椭圆二+二=1 (a>b>O)的左焦点F I任做一条不与长轴重合的弦AB, F2为椭圆的右焦点，則AABA的周长是/ b^( )(A)2a (B)4a (C)2b (D) 4b2•设a,beR.a2+2b2 =6,则α + b 的最小值是( )(A) - 2√2 (B)-垃(0-3 (D)-2323. 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A)丄 (B)遇 (C)遇 (D)丄或遇2 23 2 24. 设常数m>0,椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，則m 的值等于( )(A) 2(B) √2(C) 2 或丄 (D) √Σ 或空2 22 25. 过椭圆二+ L = l(°>b> 0)的左焦点片作X 轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点，若ZF i PF. = 60 ,则Cr "椭圆的离心率为()(A)^⑻迟 (C)I(D)I23236. 如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() (A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7. 当关于X, y 的方程X 2Sin^ -y 2COSCr=I 表示的曲线为椭圆时，方程(x+cos α)'+(y+ Sinaf)Jl 所表示的圆的國心在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8. 已知椭圆的焦点为F b F 2,P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 卩到Q,使得I PQ I=I PF 2I,那么动点Q 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9. 已知椭圆—÷-= 1与圆(χ-a)⅛Λ=9有公共点，则a 的取值范围是()9 4 (A)-6<a<6(B)0<a≤5(C)a 2<25(D) ∣a∣≤610•设椭圆的两个焦点分别为F-、F 2,过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPFz 为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是()(A)YZ(B)幺二！ (C) 2-√2(D) √2-l2 2SS11. 在椭圆—÷γ-≈ 1上取三点，其横坐标满足X I +×3=2X 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r b r 2, r 3,则有 α∙ b・I I 7()(A) r b r 2, r 3成等差数列 (B)丄+丄=二 (C) r b r 2,r 3^等比数列 (C)以上都不对 12•已知椭圆C ι- + y 2= 1的右焦点为F,右准线为/,点Ae/ ,线段4F 交C 于点B,若FA = 3FB, »■]2伍若椭圆之+「I 的离心率是、则W*16 •椭圆X 2COs 2 α +y 2=1 (0< a <ΛR, a≠ y )的半长轴= ------- ,半短轴= -------- ,半焦距= -------- ,离心率= ----------------- = --------- ,則该椭圆的离心率的取值范围为 ____________________ ・(A) (0.1)(B) (0.1)(0(0,#)(D)哼,1)13.已知片、耳是椭國的两个焦点，满足・"庁=0的点M 总在椭圆内部•则椭圆离心率的取值范围是()14. 一个椭圆中心在原点，焦点斤、C 在X 轴上，P (2, √J)是椭圆上一点，且1卩斤1、1斥巴I 、IP 耳I 成等差数列，則椭圆方程为()(A) ⅞4- ⑻护汀<C) ⅜÷⅞ = ∙ I 丽二()(A) √2 (B) 2 (C)^(D) 317.已知椭圆⅛4= ↑(a>b>O)的左、 右焦点分别为斤(一c,0),耳(c,0), 若椭圆上存在一点P 使Sin PI71F2 Sin PF l F X是椭圆二+ 2_ = i上的一A,F I,F2是椭圆的焦点，且ZF I MF2=9O o,则ZkFNF?的面积等于9 419•与圆(x+1)2+y2=1相外切，且与IS(X-I)2÷y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是X = 4COSa , …Ir20•设椭圆( L (□为参数)上一点P与X轴正向所成角ZPOx=-, 点P的坐标是y = 2√3 Sin a 321.在平面直角坐标系.9y中，椭E)4÷4 = 1G∕>∕7>O)的焦距为2c,以0为圆心，为半径作圆M ,若过P(Qe) Cr Iy C作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________________22•已知直线/ : y=mx+b,椭圆C: (A ^.I)÷y2=1,若对任意实数叫/与C总有公共点，則a, b应满足的条件“是 _________ •23•椭圆F=4cos0 (。
椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，PFx
p. 2坐标曲线题
题型研究
题型一坐标曲线题
热点题型精讲
坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
类型一溶解类
解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶解，溶质质量分数不变。
解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。
类型二pH曲线
1.溶液稀释时pH的变化
解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加，pH不断减小，但不会小于7。
ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PFe，∴PFe(PFcosp)，其中pFH，〈x轴，FP〉∴焦半径PFep．1ecos
解读：同一反应，催化剂只影响化学反应速率，不影响生成物的质量。若横坐标为反应时间，由图像的斜率可以看出加入催化剂后化学反应速率明显加快，但生成物质量不变。化学反应前后物质总质量不变。
3.催化剂质量曲线
解读：化学反应前后，催化剂的质量不变。
圆锥曲线的焦半径公式及其应用
技法点拨圆锥曲线的焦半径公式及其应用■郭海先摘要：利用圆锥曲线的焦半径公式以及圆锥曲线的第二定义解答圆锥曲线类问题，能起到事半功倍之效果。
关键词：椭圆焦半径公式；双曲线的焦半径公式；抛物线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫作圆锥曲线关于该点的焦半径。
利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
一、椭圆的焦半径公式椭圆上的任意一点到焦点F 的长，称为此曲线上该点的焦半径。
根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
1.若P （x 0，y 0）为椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则||PF 1=a+ex 0，||PF 2=a-e x 0.2.若P （x 0，y 0）为椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则||PF 1=a+e y 0，||PF 2=a-e y 0.例1．椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点A （x 1，y 1）、B （4，95）、C（x 2，y 2）到焦点F （4，0）的距离成等差数列，求x 1+x 2的值.解：在已知椭圆中，右准线方程为x =254，设A 、B 、C 到右准线的距离为d 1、d 2、d 3，则d 1=254-x 1、d 2=254-4、d 3=254-x 2.∵|AF |=d 1·e ，|BF |=d 2·e ，|CF |=d 3·e ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.∴2d 2=d 1+d 3，即2（254-4）=2×254-（x 1+x 2），x 1+x 2=8.评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A 、B 、C 三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出x 1+x 2的值。
运用焦半径公式 速解焦点弦问题
。
在 Ｒ ｔ Ａ Ｍ Ｆ 寺 ，
Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ： ：— ＿
４一Ｃ Ｏ Ｓ
．
Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ｔ
为定值 ， 并说明理由．
分析 本题 第 （ ２ ） 小 题
图 ５
于是
＿ ４ （ 定
评注
直线 Ａ Ｂ与 轴夹角 为 的几何 意义
是一 个 典 型 的解 析 几 何 定
更 加 明确 ， 运算过 程显 得更 简捷． 运用 这 种 解法 ， 不 难 得到 第 （ ２ ） 小题更 一般 的结 论．
值问题 ， 通常可运用 函数 的 思想方 法解 之 ， 其解题过程可归纳为 ： 一选 ， 二求 ，
三定值 ． 具 体操 作程 序 如下 ：
（ ０ ＜ ＜ 詈 ） ， Ｉ Ａ Ｆ Ｉ ＞ Ｉ Ｂ Ｆ Ｉ ， 则
Ｉ ＡＦＩ＝
１
， Ｉ ＢＦ Ｉ
一
＝
ＣＯＳＯＬ
１ Ｃ ＯＳ Ｏ Ｌ ． 十
（ 对 于抛 物线 ＝ ２ ｐ ｙ也有 类 似性 质． ） 推论 ２ 如 图 ３ ， 设Ａ Ｂ是 椭 圆 ＋ Ｙ ＝１ （ 口＞ ｂ＞０ ） 过焦 点 Ｆ的 弦， 直线 Ａ Ｂ 与 的 夹 角 为 Ｏ ｌ
ｅ
（ 定值） ．
值 的量表示成关于上述参变量 的函数． 三定值 ： 化简 函数解析式得到定值． 由题 目的 结论可知要证 明为定值 的量 必与参变量 的大小无
一
结 论１ 过椭圆 ｘ＋ 告＝ １ （ ｏ ＞ ｂ ＞ ｏ ） 的 焦点
Ｆ任作一条与坐标轴 不垂直的直线 １ ， 与椭 圆相交 于 点 Ａ， Ｂ， 线段 Ａ Ｂ 的 中 垂 线 交 轴 于 点 Ｍ， 则
圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用
㊀㊀㊀圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用◉浙江省诸暨市草塔中学㊀金铁强椭圆㊁双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用 设而不求 来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此法求解,必须再要用到 设而求之 才能解决．对于现在的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直观地解题．图１１焦点在x 轴上的椭圆焦半径公式的推导及应用㊀㊀如图１,设椭圆E 为x ２a２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０),F １,F ２为椭圆E 的焦点,P Q 为椭圆E 过点F １的焦点弦．当P Q 垂直于x 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最短的一条,即通径,满足|P Q |＝２b２a;当P Q 垂直于y 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最长的一条,即长轴,满足|P Q |＝２a ．除了这两条特殊的焦点弦,我们任意作一条焦点弦,连接P F ２,构成焦点三角形P F １F ２,令øP F １F ２为α,为焦点弦P Q 的倾斜角．设|P F １|＝x ,则|P F ２|＝２a －x ．在әP F １F ２中由余弦定理得c o s α＝x ２＋(２c )２－(２a －x )２４x c．整理得到x ＝a ２－c ２a －c c o s α＝b２a －c c o s α,即|P F １|＝b ２a －c c o s α．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．同样地,在图１中,若我们连结Q F ２,构成焦点三角形Q F １F ２,可得|Q F １|＝b２a －c c o s (π－α),即|Q F １|＝b２a ＋c c o s α,得到焦点弦|P Q |＝b ２a －c c o s α＋b ２a ＋c c o s α＝２a b２a ２－c ２ c o s ２α．这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．例１㊀设F １,F ２分别为椭圆x ２３＋y ２＝１的左右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F １A ң＝５F ２B ң,则点A 的坐标是．图２解析１:(常规解法)如图２,已知椭圆x ２３＋y ２＝１,则焦点F １(－２,０),F ２(２,０)．因为F １A ң＝５F ２B ң,则F １A ң与F ２B ң共线,即F １A 与F ２B 平行．延长A F １与椭圆交于点C ,由椭圆与两个焦点都关于(０,０)对称,可知C F １ң＝F ２B ң,则F １A ң＝５C F １ң．那么问题就转化到焦点弦A C 了．可验证当点A 在x 轴上时,不满足条件,故设A (x １,y １),C (x ２,y ２),直线A C 为x ＝m y －２,求出A (x １,y １)的坐标．到这里,我们发现,该题目其实不能用 设而不求 ,因为最后问的是x １及y １的值,最后反而是 设而求之 ．联立x ＝m y －２与x ２３＋y ２＝１,消去x ,得到方程(３＋m ２)y ２－２２m y －１＝０．则y １＋y ２＝２２m m ２＋３,y １y ２＝－１m ２＋３．又y １＝－５y ２,解得y ２１＝１．则A (０,１)或A (０,－１)．解析１虽步骤不多,但运算复杂．如果我们用焦半径公式,整个问题就豁然开朗．解析２:(焦半径公式法)首先,利用椭圆与平行线的点对称问题同上解,问题转化到焦点弦A C 中来．设A C 的倾斜角为α,由F １A ң＝５C F １ң,可直接利用公式得到方程b ２a －c c o s α＝５b２a ＋c c o s α,则６c c o s α＝４a ,即c o s α＝２a ３c ＝２３３２＝６３．所以直线A C 的斜率k ＝２２,直线A C 方程为y ＝２２x ＋１,联立椭圆方程x２３＋y ２＝１,易得x ＝０,y ＝１．即A (０,１)．再利用对称性可得A (０,－１)(此时倾斜角α为３５２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀钝角,斜率k＝－１２)．运算可简便很多．综上可知:A(０,１)或A(０,１)．分析公式的本源可得出很简单的结论,焦点弦的弦长及被焦点分开的两段焦半径的比例值其实与椭圆的形状(即a,c的值),与焦点弦所在直线的方向(即斜率k或倾斜角α)存在关系,即a,c,α三个量决定了焦点弦的一切,那我们不妨直接利用这样的代数关系来解决问题,解题就方便多了．２焦点在x轴上的双曲线焦半径公式的应用同样地,该公式也适用于双曲线．例２㊀已知双曲线方程:x２３－y２＝１,左焦点为F,过F作两条相互垂直的直线与双曲线相交于A,B,C,D四点,求四边形A B C D面积的最小值．解析:由条件知,若焦点弦为一条交于双支,一条交于单支,则不能构成四边形,则两条焦点弦都交于左支或都交于双支．(１)若两条焦点弦都交于双支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＜３３,且０＞t a nπ２＋αæèçöø÷＞－３３,不存在这样的α．(２)若两条焦点弦都交于左支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＞３３,且t a nπ２＋αæèçöø÷＜－３３,则αɪπ６,π３æèçöø÷．S A B C D＝|A C| |B D|２＝１２２a b２(a２－c２ c o s２α)２a b２a２－c２ c o s２α＋π２æèçöø÷éëêêùûúú＝３３－４c o s２α２３３－４s i n２α＝６９－４＋１６c o s２α s i n２α＝６５＋４s i n２２αȡ２３．当s i n２２α＝１,即α＝π４时,等号成立,此时四边形A B C D面积的最小值为２３．利用公式直接代入,解题过程简洁明了,优点显而易见．３焦点在y轴上的圆锥曲线焦半径公式如图３,设椭圆T:y２a２＋x２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭圆T的焦点,上准线为y＝a２c,P Q为椭圆T的焦图３点弦,P Q的倾斜角为α,P H与上准线垂直于H,N为上准线与y轴的交点．由|P F１||P H|＝ca,|PH|＝a２c＋(|P F１|s i nα－c),可以得a|P F１|＝c a２c－c＋|P F１|s i nαæèçöø÷,即|P F１|＝b２a－c s i nα．同理,|Q F１|＝b２a＋c s i nα,且|P Q|＝２a b２a２－c２s i n２α．焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式只需把焦点在x轴上的焦半径公式中的c o sα换成s i nα,其他不变．因此,简单总结如下:(１)焦点在x轴上的椭圆或双曲线(双曲线要求焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,即焦点弦的斜率满足k＞ba或k＜－ba时),其焦点弦为P Q,焦点弦的倾斜角为α．P Q被焦点分成P F１与P F２两段,其中较长的一条为|P F１|＝b２a－c c o sα,较短的一条为|Q F１|＝b２a＋c c o sα;当曲线为双曲线时,若其焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,即焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a时,此时较长的一条|P F１|＝b２c c o sα－a,较短的一条|Q F１|＝b２c c o sα＋a(绝对值取决于倾斜角为锐角还是钝角)．(２)焦点在y轴上的椭圆或双曲线,把上述公式中的c o sα换成s i nα即可．唯一有变化的是当焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a;当双曲线的焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,焦点弦的斜率满足k＞ba,或k＜－b a．即α的取值范围要求发生变化,而公式的结构不变,只需把公式中的c o sα换成s i nα,而且,由于αɪ[０,π),s i nαȡ０恒成立,有绝对值的部分可以去掉．参考文献:[１]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学 选修２Ｇ１(A版)[M]．２版．北京:人民教育出版社,２００７．[２]丁益民．数学公式的 二次处理 对学生思维的培养．数学通讯,２０１０(２２):１Ｇ２．F４５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
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解法一：
2
3 10 53
1 3 cos 1 3 cos
5
5
e 3，P 10
5
3
c
a b2
c
3 5 10 3
5
3
3a c 5 a c 10
3
a
c
25 8 15 8
b ( 25)2 (15)2 5 8 82
方程表示椭圆的离心率e 3，焦距15，长轴长 25，短轴长5
圆锥曲线的极坐标方程
极坐标处理二次曲线问题教案
知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离 和一条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相 应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．
ab p
p
p
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，则有 1 1 2
MF NF ep
例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证 1 1 为定 AB CD
值。 证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为 ep ，
1 e cos
焦点弦长公式知：
| PQ |
2 ，| MN |
2
2
1 1 cos2
1 1 cos2 ( 900 ) 1 1 sin2
2
2
2
用他们来表示四边形的面积
S 1 | PQ | | MN |
1
1
2
1 1 sin2 cos2 1 1 sin2 2
24
2 16
即求 1 的最大值与最小值
1 1 sin2 2 2 16
54
直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 的面积．
简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式 |
AB
|
1
2ep e2 cos
2
求弦长，然后
利用公式
SAOB
1 2
|
AB ||
OF
|
sin
AFO
直接得出答案。
变式(2005 年全国高考理科)已知点 F 为椭圆 x2 y2 1的左焦点.过点
5
4
4
解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为 0 ，因此只需
令 0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶
点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，
简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
2
9 cos
，设点
P1
对应的极角为
，则点
P2
与
P3
对应的极角分别
为 1200 、 1200 ， P1 、 P2 与 P3 的极径就分别是 | FP1 |
9、
2 cos
| FP2 |
9 2 cos( 1200 )
与 | FP3 |
9
，因此
2 cos( 1200 )
1 1 1 2 cos 2 cos( 1200 ) 2 cos( 1200 ) ，而在三
F1 作
倾斜角为 60°的直线和椭圆相交于 A，B 两点，| AF1 | 2 | BF1 | ．
（1）求椭圆的离心率 e ； （2）若| AB | 15 ，求椭圆方程
4
当 e＞1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3） ep 1+e sin
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆
当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线
当 e＞1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线
例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例 1.确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
FP1 FP 2 FP3
9
9
9
角函数的学习中，我们知道 cos cos( 1200) cos( 1200) 0 ，因此
1 1 1 2 为定值
FP1 FP 2 FP3 3
极坐标分别表示| FP1 |、| FP2 | 与| FP3 | ，这样一个角度对应一个极径．就 不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半
由三角知识易知：当 sin 2 1时，面积取得最小值 16 ；当 sin 2 0 时，
9
面积取得最大值 2
利用弦长公式解决常量问题
x2
例一．过椭圆 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
的左焦点
F，作倾斜角为
60
的直线 l
交椭圆于 A、B 两点，若 FA 2 FB ，求椭圆的离心率.
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
45
3
A、B 两点，求｜AB｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得
5 2 3cos
所以
A(
1,
3
),
B(
2
,
) 3
又由 AB | 1 2 |
得
|
5 2 3cos
5 2 3cos(
)
|
80 7
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v
加绝对值，但
求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
证明： 1 1 定值。
ab
解：以焦点 F 为极点，以 FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的
极坐标方程为 p ，设 A(a, ), B(b, )
1 cos
将 A,B 两点代入极坐标方程，得 a p ,b
p
1 cos 1 cos( )
则 1 1 = 1 cos 1 cos( ) = 2 （定值）
设椭圆的极坐标方程为 e p 则 FA e p , FB e p ，
1 e cos
1 e cos 60 0
1 e cos 240 0
∴ ep 1 e
ep 2
1 e
，解得 e
2 3
；
2
2
变式求过椭圆 2 的左焦点，且倾斜角为 的弦长 AB 和左焦
3 cos
4
点到左准线的距离。
2
解：先将方程
引论（1）若 ep 1+e cos
则 0＜e＜1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞1 方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若 ep
1-e sin 当 0＜e＜1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线
径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．
推广 1 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？
推广 2 设 P1P2P3 Pn是 椭圆上的 n 个点，且 FP1,FP2,FP3 FPN 圆周角等分
n
则
1 也为定值
i=1 OPi 2
例题：（2003
年希望杯竞赛题）经过椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦点
化为标准形式：
1
3 1 cos
3
则离心率 e 1 ， ep 2 ，
3
3
p2
所以左焦点到左准线的距为 2。
设
A(1,
4
),
B(2
,
5 4
)
，代入极坐标方程，则弦长
AB
1 2
3
2 cos
3
2 cos
5
24 17
4
4
（3）定值问题
例 1. 抛物线 y2 2 px( p 0) 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段，
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，
1、椭圆中， p a 2 c b2 ， MN ep
ep
2ab2 .
c
c
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
若 M、N 在双曲线同一支上， MN ep
6
线，交双曲线于 A,B 两点，求 AB
求｜AB｜ 解： 1
1 2 cos
A(1,
6
),
B( 2 ,
6
)
AB | 1 2 |
| 1
2
1 co（s
）
1
6
2
1 cos(
)
|
6
| 2 2
6
2 2
6
|
附录直角坐标系中的焦半径公式
设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 a ex ，PF2 a ex ；
又设 A 1,1 ,B 2,
+
,C
3
,
2
+
,D
4
,
3 2
+
则代入可得
|
AB
|
1
2ep e2 cos
2
，
|
AB
|
2ep 1 e2 sin2
则
1 1 = 2-e2 AB CD 2ep
注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。 推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。 推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。
ep
2ab2
；
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2