波函数及其物理意义21页PPT
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简谐波的波函数 波长PPT课件
T
2
u 1 200 100(m / s)
T2
向右传播
（2）求绳上质元振动的最大速度并与波速相比较
dy 2102 2 200cos2 (200t 2.0x)
dt
max 2 10 2 2 200 25m / s u
10
三、波函数的物理意义(1）
y(x,t) Acos(t x )
2u
9
P239 18.3
一横波沿绳传播，其波函数为
y 2102 sin 2 (200t 2.0x)
y 2102 cos[2 (200t 2.0x) ]
y Acos[2 ( t x ) ] 2 T
（1）求此横波的波长，频率，速度，和传播方向
T 1 (s) 200Biblioteka 1 200(Hz) 1 (m)
u
yx0 Acos(t )
y
x0
A
cos(t
x
－
2
π(
x
x0
)
)
Acos(t － 2 π(xλ x0 ))
uT
A cos(t － (x x0 ))
y Acos (t x )
u
7
u
二、简谐波波函数的几种形式
y A cos (t x )
u
y A cos(t x )
u 2 2 k u Tu
1.简谐波：简谐振动
传播
u
t t t x0
x
t
x
x0
x
假设 yx0 A cos(t ) (t x x0 )
yx (t) yx0 (t t)
u
yx (t)
A cos[ (t
x
x0 u
)
大学普通物理课件 第21章 - 波动
本章重点：机械波中的简谐波 波的叠加
§21-1 机械波 行波
Mechanical Wave and Travelling Wave
1. 机械波的产生和传播 机械波——机械振动的传播。
机械波产生和传播的条件：
波源 弹性介质
波源——引起介质振动，即产生形变和位移的振(扰)动 系统。锣鼓 琴弦 声带 扬声器纸膜 抖绳的手
O点的振动状态向右传播到 x 点需要时间：t x / u x处的质元开始振动的时刻比原点晚 x / u ，所以 x 处的质元在 时刻 t 的位移应该等于原点在 (t x / u) 的位移，即
y A cos[ (t x u) 0 ]
y A cos[ (t x u) 0 ]
2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导
设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x
正向传播。考察媒质中 x x +x 段质元：
y (x)
y ( x x)
S
F (x)
F ( x x)
x x x x
x
t 时刻两端面的位移如图，则x处微小质元的线应变可表
结论：波形曲线也是余弦函数曲线；
波的传播表现为波形曲线的平移. 波形曲线以波速u向传播方向平移。x ut
[例1] 设波源位于 x 轴的原点处， y (cm) 波源的振动曲线如图所示，已知波速为 2 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。 O 6 t (s) 2 4 （1）画出距波源 15 m处质元的振 2 动曲线； （2）画出 t = 3 s 时的波形曲线。（3）写出 20m 处质元的速度表达式。 解：由图可知
1 G 2 ( SD ) 2 材料发生切变时，单位体积内的弹性势能为：
§21-1 机械波 行波
Mechanical Wave and Travelling Wave
1. 机械波的产生和传播 机械波——机械振动的传播。
机械波产生和传播的条件：
波源 弹性介质
波源——引起介质振动，即产生形变和位移的振(扰)动 系统。锣鼓 琴弦 声带 扬声器纸膜 抖绳的手
O点的振动状态向右传播到 x 点需要时间：t x / u x处的质元开始振动的时刻比原点晚 x / u ，所以 x 处的质元在 时刻 t 的位移应该等于原点在 (t x / u) 的位移，即
y A cos[ (t x u) 0 ]
y A cos[ (t x u) 0 ]
2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导
设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x
正向传播。考察媒质中 x x +x 段质元：
y (x)
y ( x x)
S
F (x)
F ( x x)
x x x x
x
t 时刻两端面的位移如图，则x处微小质元的线应变可表
结论：波形曲线也是余弦函数曲线；
波的传播表现为波形曲线的平移. 波形曲线以波速u向传播方向平移。x ut
[例1] 设波源位于 x 轴的原点处， y (cm) 波源的振动曲线如图所示，已知波速为 2 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。 O 6 t (s) 2 4 （1）画出距波源 15 m处质元的振 2 动曲线； （2）画出 t = 3 s 时的波形曲线。（3）写出 20m 处质元的速度表达式。 解：由图可知
1 G 2 ( SD ) 2 材料发生切变时，单位体积内的弹性势能为：
波函数PPT课件
作代换：px x，px x0，则
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
13
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )
x x0 x x0
x0 x0
(x
x0 )dx
( x x0 )dx 1
( 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/ , dk= dpx/ , 则 性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
e ik ( x x0 )
(x
x0 )
1
2
e dp i
p
x
(
x
x0
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) .
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
ei[
E
x
E
x
]t
px * ( x) px ( x)dx
(
px
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
波函数及其物理意义
2
即：
x A cos ( )dx 1 b / 2 b
2 b/2 2
b A 1 2
2
A
2 b
归一化的波 函数为：
( x, t ) 0
( x b / 2, x b / 2) (b / 2 x b / 2)
2 iE x ( x, t ) exp( t ) cos( ) b b (2)几率密度为：
波的强度是
——表示Φ的共轭复数
dW ( x, y, z, t ) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
dW d dxdydz
dW ( x, y, z , t )
2
dW ( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) d
A
1
1 2)粒子坐标概率密度分布函数为 x x x 1 x2
3） 令 x 0 求出，在x=0处概率密度最大
max (0) 1
例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) b
2 2
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
第二章 薛定谔方程
C 1
( x, y, z, t )
( x, y, z , t ) d
和
2
2
( x, y, z, t ) C ( x, y, z, t )
( x, y, z, t ) 描写的是粒子的同一状态
即：
x A cos ( )dx 1 b / 2 b
2 b/2 2
b A 1 2
2
A
2 b
归一化的波 函数为：
( x, t ) 0
( x b / 2, x b / 2) (b / 2 x b / 2)
2 iE x ( x, t ) exp( t ) cos( ) b b (2)几率密度为：
波的强度是
——表示Φ的共轭复数
dW ( x, y, z, t ) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
dW d dxdydz
dW ( x, y, z , t )
2
dW ( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) d
A
1
1 2)粒子坐标概率密度分布函数为 x x x 1 x2
3） 令 x 0 求出，在x=0处概率密度最大
max (0) 1
例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) b
2 2
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
第二章 薛定谔方程
C 1
( x, y, z, t )
( x, y, z , t ) d
和
2
2
( x, y, z, t ) C ( x, y, z, t )
( x, y, z, t ) 描写的是粒子的同一状态
2020-2021学年高二物理竞赛波函数的物理意义 课件
u
λ
5 – 2 平面简谐波
第十五章 机械波
建立向-x方向传播的简谐波波函数
u
x
o
p
以参考点为原点
P相位比O超前 yP
y0
Ayc0os(t20
) x
y(x, t)
A cos [ ( t
x u
)
0
]
Acos(t
0
2
x)
y(x, t)
A cos [ (t
x) u
0
]“-”沿 “+”沿
正x 向 负x向
解 (1) ω=2πν=200π
y / cm
u=λν=0.04×100=4m/s o
y( x, t) Acos[(t x ) ]
u
0.01cos 200（t x )
4
0.01cos 200 (t 0.25x)m
u
2 2.0 x / cm
5 – 2 平面简谐波
第十五章 机械波
例3 已知平面简谐波的振幅A＝1cm，ν＝100Hz，波长
u
5 – 2 平面简谐波
第十五章 机械波
波线上各点的简谐振动图
5 – 2 平面简谐波
第十五章 机械波
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
2 当 t 一定时，波函数表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
2 (
x1
x2
)
2
1.6 (
2.4
)
4.0
0.4
5 – 2 平面简谐波
波函数及其物理意义
4、波函数需要满足的条件
1). 波函数的单值、有限性、连续
根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到 粒子的几率必须为单值、有限、连续的
因为，粒子的几率在任何地方 ➢ 只能有一个值； ➢ 不可能无限大； ➢ 不可能在某处发生突变。
以上要求称为波函数的标准化条件
2). 波函数的归一性
rv,t
２ 波函数意义的统计解释：
空间某点波函数的强度（模的平方）和 在这点找到粒子的几率成比例．
| (x, y, z,t) |2 w(x, y, z,t) ３ 态函数定义：
物质波 又叫几率波
物质波的强度决定了粒子出现在空间各点的概率．即
已知
(r ,
t
)
,能定出粒子可能出现的空间坐标及其几率
可能坐标 (r1, r2 ,...rn ,...)
此观点 为实验 所否定
.
. ..
. . ..
.
一个个电子通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
2 ) 粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
此观点 为实验 所否定
单个电子不能形成衍射花样
介质中频率不同的波 u 不同，波包应发 散，但未见电子“发胖”
不同介质界面波应反射，折射，但 未见电子“碎片”
波函数的强度
e (r, t) A i/( prEt)
例：求一维自由粒子波函数的强度：
| (x,t) |2 *
三维自由粒子
e e
i(
0
i h
(
E
t
p
x
x
)
0
02
二 波函数的解释
关于粒子性和波动性如何统一的有关看法 （一）历史上两种错误看法 1) 波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应
量子力学中的波函数及其物理意义
量子力学中的波函数及其物理意义波函数是描述量子力学中粒子性质与行为的重要概念。
它可以用数学方式表示，并提供了有关粒子位置、动量和能量等信息。
本文将探讨波函数的定义、性质以及其在量子力学中的物理意义。
一、波函数的定义与性质量子力学中的波函数用Ψ表示，它是一个复数函数，并且必须满足归一化条件。
波函数的平方值|Ψ|²表示了在给定位置上找到粒子的概率密度。
1. 归一化条件波函数必须满足归一化条件，即积分后的平方和为1。
一般来说，波函数在一定区域内的平方和代表了该粒子在该区域出现的概率。
2. 波函数的复数性质波函数是一个复数函数，其中实部和虚部分别表示了粒子的实部和虚部。
这两部分的相对大小和相位关系对波函数的演化和测量结果均有影响。
3. 波函数的连续性波函数必须在整个空间内是连续的，包括可能出现的间断点。
这个条件保证了波函数的物理意义和可解性。
二、波函数的物理意义波函数不是物理量本身，而是通过运算符作用于波函数上得到物理量的期望值。
波函数提供了以下重要信息：1. 粒子的位置分布通过波函数的平方值|Ψ|²，我们可以得到粒子在空间中出现的概率分布。
这反映了粒子的位置不确定性以及可能出现的空间区域。
2. 粒子的动量与能量波函数的动量空间表示称为动量波函数，它提供了粒子动量的概率分布。
从动量空间的角度来看，波函数的形态表现了粒子的动量空间分布。
3. 量子力学的态叠加与变化波函数可以通过超定线性组合的方式表示多个不同态的叠加状态。
这种态的叠加在量子力学中被称为叠加态，可以描述一系列可能发生的物理过程。
4. 测量与波函数塌缩当我们对粒子进行测量时，波函数会发生塌缩。
塌缩后的波函数代表了测量结果所对应的状态。
波函数的塌缩是量子力学中一种重要的随机现象。
三、波函数演化与时间依赖性波函数对时间的依赖性是量子力学中一个重要的研究方向。
根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而发生演化。
波函数的时间演化可以揭示粒子的运动规律和行为。
波函数的物理意义
波函数的物理意义
1 什么是波函数
波函数是一种用于描述粒子的属性的数学概念，是粒子的概括的量子物理特征的一部分。
它有助于在量子物理学中理解粒子的性质，例如能量，动量和偶极矩。
波函数既可以描述能量状态，也可以用来描述粒子的空间分布。
2 波函数的定义
按照经典物理学理论，粒子总是可以定位在一个确定的位置和状态下。
而按照量子理论，粒子是无法精确定位的，但是可以描述它们处于某种可能性状态下，称为波函数。
波函数是用来描述粒子可能存在的态的概率，它代表不同粒子的不同态的概率分布，而粒子的动量和能量对应不同的波函数表示的态。
3 力学波函数
力学波函数是求解物体状态的量子力学方程的基本解法。
它可以用来描述物体的空间分布和动量，以及物体的能量状态，以及它们的相互作用。
在力学上，其原理是：量子力学能量状态和函数必须满足力学方程和它们之间的相互作用，因此力学波函数是描述粒子状态的一种解法，即从物理角度解释物体状态。
4 波函数的物理意义
波函数是量子物理学中一种重要的概念，它可以用来描述粒子的属性和性质。
原子的波函数可以明确地说明原子的能级，因此可以用来预测原子的性质。
而波函数也正是电子结构模型的基石，它可以用来描述原子核周围电子的波动性和分布模式，以及它们之间可能存在的相互作用。
另外，波函数也可以用于求解守恒量，这也是使用量子力学分析物体状态的一种常用方法。
因此，波函数是量子物理学中一个关键概念，它可以用来描述我们宇宙中物体的特征和性质。
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0
0 为波函数的振幅。
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形
式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它描
述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
对三维空间，沿矢径 r方向传播的自由粒子的波
函数为：
(r,t)0ei(Etpr)
3
(r,t)0ei(Etpr)
根据波动理论，波函数的强度正比于02。 利用复指数函数的运算法则，有：
一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波
的表达式为： (x,t)Aco2s(tx)
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量
来代替描述波动性的物理量，有：
2
(xt)0co2h s(Etp)x
根据尤金公式，有：
e i2(EtP)x
(x,t) 0e h
i (Etpx)
1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。
用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍 射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值，在 衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。
2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小。
02 ||2 ＊
＊ 为的复共轭函数。
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的 形式，而是空间和时间和复杂函数。
下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系。
4
2.波函数的物理意义
为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
如果1，2，，n所描写的n 都是体系可能实现的状
态，那么它的线性迭加 cii （ci为任意常数） i 1
所描写的也是体系的一个可能的状态。
用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在 叠加态下观测结果的不确定性。
11
单缝1使通过它的电
S•
1
DP
P1
A
子处于1态；单缝2 使其处于2态。
现的几率，称为几率密度。即： | |2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几 率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。
7
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
播放动画
微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。
如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不 为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值 为1，这个过程称为波函数的归一化过程。
10
量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中 同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不 同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微 观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另 一个基本原理—态迭加原理表现出来。 3.态迭加原理
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说， 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波 是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。
6
注意：在空间某处 r附近找到粒子的几率除和波
函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。
里写在成一 维(空r,间t)量。，波函数写成 (x,t)，在三维空间
1
1.自由粒子的波函数
自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中
作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。
对应的德布罗意波具有频率和波长： E , h
h
P
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。
量子力学：研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数
电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间的 变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化来 描述。
物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。
2.归一化条件
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任
意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以
应有：
9
||2 dV1
V
V | 0|2dV 1这称为波函数的归一化条件。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函 数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是粒 子的同一状态。
原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数 在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大 小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍， 并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
5
同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大 值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒 子的几率最小。
在空综间合某以处上的r波，动波和函粒数子观(r点,t，的)得平到方：正在比某于时粒刻子t，
在该时刻、该地点出现的几率。
玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
波函数模的平方|(r,t)|2代表时刻 t、在r处
8
3.波函数应满足的条件
1.标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几
率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值 的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发 生突变，所以波函数还必须是连续的。
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，
称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连 续可微，且一阶导数也连续可微。
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的，这样，有：
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 ||2 与该点邻近体积元 dV的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
W||2dV* dV * 是 的共轭复数。
由此可见，| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出
0 为波函数的振幅。
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形
式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它描
述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
对三维空间，沿矢径 r方向传播的自由粒子的波
函数为：
(r,t)0ei(Etpr)
3
(r,t)0ei(Etpr)
根据波动理论，波函数的强度正比于02。 利用复指数函数的运算法则，有：
一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波
的表达式为： (x,t)Aco2s(tx)
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量
来代替描述波动性的物理量，有：
2
(xt)0co2h s(Etp)x
根据尤金公式，有：
e i2(EtP)x
(x,t) 0e h
i (Etpx)
1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。
用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍 射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值，在 衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。
2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小。
02 ||2 ＊
＊ 为的复共轭函数。
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的 形式，而是空间和时间和复杂函数。
下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系。
4
2.波函数的物理意义
为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
如果1，2，，n所描写的n 都是体系可能实现的状
态，那么它的线性迭加 cii （ci为任意常数） i 1
所描写的也是体系的一个可能的状态。
用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在 叠加态下观测结果的不确定性。
11
单缝1使通过它的电
S•
1
DP
P1
A
子处于1态；单缝2 使其处于2态。
现的几率，称为几率密度。即： | |2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几 率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。
7
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
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微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。
如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不 为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值 为1，这个过程称为波函数的归一化过程。
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量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中 同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不 同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微 观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另 一个基本原理—态迭加原理表现出来。 3.态迭加原理
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说， 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波 是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。
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注意：在空间某处 r附近找到粒子的几率除和波
函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。
里写在成一 维(空r,间t)量。，波函数写成 (x,t)，在三维空间
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1.自由粒子的波函数
自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中
作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。
对应的德布罗意波具有频率和波长： E , h
h
P
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。
量子力学：研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数
电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间的 变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化来 描述。
物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。
2.归一化条件
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任
意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以
应有：
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||2 dV1
V
V | 0|2dV 1这称为波函数的归一化条件。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函 数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是粒 子的同一状态。
原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数 在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大 小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍， 并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
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同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大 值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒 子的几率最小。
在空综间合某以处上的r波，动波和函粒数子观(r点,t，的)得平到方：正在比某于时粒刻子t，
在该时刻、该地点出现的几率。
玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
波函数模的平方|(r,t)|2代表时刻 t、在r处
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3.波函数应满足的条件
1.标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几
率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值 的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发 生突变，所以波函数还必须是连续的。
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，
称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连 续可微，且一阶导数也连续可微。
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的，这样，有：
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 ||2 与该点邻近体积元 dV的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
W||2dV* dV * 是 的共轭复数。
由此可见，| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出