陕西省咸阳市2020届高考模拟考试试题理科数学(含答案)
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学
注意事项：
1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；
4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.
集合{M x y ==，{}1,0,1,2N =-，则M N =
A ．{0,1}
B ．{1,0,1}-
C ．{1,1}-
D.{0,1,2}
2.已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i + B ．13i -+ C ．13i -D ．13i --
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是
20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家
进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,
,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为1
2
得等比数列，则3a 等于 A.64
B.32
C.2
D.4
5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是
A ．
165 B ． 325
C ．10 D.185
6.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为
A . ②③ B. ②③④
C. ①④
D. ①②③
7. 双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆
222
2:()4
c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为
A. 0x =
B. 0y ±=
C. 0y ±=
D.
0x =
8.函数2
()1
x x f x e =-的大致图像是
A B C D 9.已知AB 是过抛物线2
4y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅= A.2- B. 4- C. 3 D. 3-
10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,,侧棱长为则它的外接球的表面积为
A. 4π
B.8π
C. 16π
D. 20π
11.关于函数2
2tan ()cos 21tan x
f x x x
=
++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为R
B. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88
ππ-
C.函数()f x 的图像关于直线8
x π
=对称
D. 将函数2y x =
图像向左平移
8
π
个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()x
f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为
A. 12e -
B. 1
4e -
C. 1e -
D. 2e -
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13.若向量(1,2)a x =-与向量(2,1)b =垂直，则x =_____ . 14.4
(1)(1)x x -+展开式中,含2
x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3
(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系
为1,02
11,2kt t y t kt
⎧
<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）
实验表明，当药物释放量3
0.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;
(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）
16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b
c cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1
{
}n S n
+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）
为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.
(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的
60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：
19．（本小题满分12分）
如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,2
2,AB DC ABC AB DC BC E ∠===为AB 的中点，沿
DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点
（与点,B C 不重合）.
(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；
（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，它的四个顶点构成的四边形面积为 (I )求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222
x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.
21．（本小题满分12分）
已知函数()(,0),()ln 1x
f x axe a a
g x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;
（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是
2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2
R π
θαρ=+∈,其中
k απ≠()k z ∈.
(I )写出曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；
（Ⅱ）设,,a b c ∈+
R ，且a b c m ++=，求证:
222
1a b c b c a
++≥. B
B
C
D
E
M
N
P
22
()()()()()
n ad bc K n a b c d
a b c d a c b d -==+++++++。
2020届陕西省咸阳市高三下学期4月高考模拟数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省咸阳市高三下学期4月高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =>-，则()⋂=U C A B （ ） A ．(]1,0- B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)0,1【答案】A【解析】直接用补集，交集的概念运算即可. 【详解】{}|0A x x =>，{}|1B x x =>-，{}|0U C A x x =≤，则()(]1,0U C A B =-.故选：A. 【点睛】本题考查交集，补集的运算，是基础题. 2．已知复数41z i=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部. 【详解】 由题意得:44(1)4(1)221(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， ∴z 的虚部为2-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．已知向量()1,3a =,()3,2b =,向量a 在向量b 上的投影等于（ ）A ．B ．9C ．−3D 【答案】D【解析】求出b 以及a b ⋅的值,即可求出向量a 在向量b 上的投影.【详解】 解:由题意知,223213b =+=,13329a b ⋅=⨯+⨯=则913cos ,13a b a a b b ⋅== 故选:D. 【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量a 在另一个向量b 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即cos ,a a b ;另外还可以由向量数量积的运算可知, cos ,a b a a b b⋅=.4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（ ）.A ．66B ．55C ．45D ．38【答案】B【解析】根据三角形数的特征可得通项公式22n n na +=,代入10n =可得选项. 【详解】设数列1,3,6,10,15⋯为数列{}n a ，则121321123n n a a a a a a a n -=-=-=-=，，，，，所以()+11+2+3++2n n n a n ==，即22n n na +=， 所以该堆第10层球的个数为2101010=552a +=，故选：B. 【点睛】本题考查以数学文化为背景的等差数列的通项的求法，找出数列的项之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.5．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（ ）A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为21C ．该组数据的平均数为21D ．该组数据的方差为11【答案】D【解析】通过茎叶图计算出极差、中位数、平均数和方差，由此确定正确选项. 【详解】根据茎叶图可知，数据为14,18,20,20,21,22,23,25,26，所以： 极差为261412-=，A 选项正确. 中位数为21，B 选项正确. 平均数为141820202122232526219++++++++=，C 选项正确.方差为()()()()()()()()2222222211421182120212212122212321252126219⎡⎤-+-+-⨯+-+-+-+-+-⎣⎦ []1106499201416251199=+++++++=≠，D 选项错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据茎叶图计算极差、中位数、平均数和方差，属于基础题. 6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab> B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 【答案】B【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题. 7．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系． 【详解】a β⊂，b αβ=，则“a α”⇒“a b ∥”，反之也成立．∴a β⊂，b αβ=，则“a α”是“a b ∥”的充要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理与判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为（ ）. A ．24 B ．18 C ．12 D ．4【答案】B【解析】由3(21)(2)x x -+展开式中含2x 的项为：()1222332212x C x C x ⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅，计算可得选项. 【详解】3(21)(2)x x -+展开式中含2x 的项为：()122222233*********x C x C x x x x ⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=-=，所以3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为18， 故选：B. 【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，关键在于理解二项式展开式的意义，属于基础题. 9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）. A ．18B ．38C ．12D ．78【答案】D【解析】根据余弦的二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得2(cos sin )2αα-=，再将其两边平方和运用正弦的二倍角公式可得选项. 【详解】因为2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()222cos sin cos )αααα∴-=+，0,sin cos 02πααα⎛⎫∈∴+> ⎪⎝⎭，，2(cos sin )2αα∴-=，cos sin 4αα∴-=，221cos 2sin cos sin 8αααα∴-+=， 11sin 28α∴-=，7sin 28α∴=，故选：D. 【点睛】本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.10．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（ ）.A ．403B ．52C ．203D ．3【答案】A【解析】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得选项. 【详解】抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线221169x y -=的右焦点坐标为(5,0),两焦点的连线的方程为(5)10py x =--， 又双曲线的渐近线方程为34yx ，所以31104p -⨯=- ，解得403p =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，两直线垂直的条件，属于基础题. 11．将函数()cos 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移38π个单位长度单位后得函数()f x 图象，若()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦匀上单调递增C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D【解析】根据三角函数平移关系求出()f x 的解析式，结合()f x 是偶函数求出ϕ，利用三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】解：将函数的图象()(=c s 22)o 2y x ππϕϕ+-＜＜向右平移38π个单位长度单位后得函数()f x 图象， 则33()cos 2cos 284f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若()f x 为偶函数，则3,4k k Z πϕπ-=∈， 即3,4k k Z πϕπ=+∈， ∵22ππϕ-<<，∴当1k -＝时，4πϕ-＝，即3()cos 2cos(2)cos 244f x x x x πππ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，当42x ππ-≤≤时，22x ππ-≤≤，此时()cos2f x x =-不具备单调性，故A ，B 错误，当42ππx ≤≤时，22x ππ≤≤，此时()cos2f x x =-为增函数，故D 正确， 故选：D 【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.12．已知函数()()323132,53log 4,5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】B【解析】首先研究函数()f x 的性质，然后结合函数的图像整理计算即可求得最终结果. 【详解】当5x ≤时，()()()2'2313f x x x x x =--=+-，据此可得函数在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,3-上单调递减，在区间()3,5上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间()5,+∞上单调递减， 绘制函数图像如图所示，注意到()()()()()()30,20,00,10,40,50f f f f f f --><， 故方程()0f t =的解：()()()1233,2,0,1,4,5t t t ∈--∈∈， 则原问题转化为求方程()()1,2,3i f x t i ==时解的个数之和， 由函数图像易知满足题意的零点个数为7个. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分类讨论的数学思想，函数的零点问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组2033030x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为________.【答案】6【解析】先作出不等式组所表示的可行域，再运用目标函数的几何意义得出最值. 【详解】由不等式组作出可行域如下图所示，由2z x y =-，得2y x z =-，由图示可知直线2y x z =-过点C 时，2z x y =-取得最大值，由33030x y x +-=⎧⎨-=⎩得()3,0C ，所以2z x y =-的最大值为22306z x y=-=⨯-=，故答案为：6.【点睛】本题考查不等式组所表示的可行域和线性目标函数的最值求解，正确理解目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.【答案】3【解析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=， 可求得()13f =，可得答案.【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x fx f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=， 又(2)3f -=，所以()()123f f =-=， 所以(2020)3f =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.15．在ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =2sin sin cos sin A B C C =，则ABC 的面积为________.【答案】12【解析】由已知条件和正弦定理可得2cos ab c c =，又由余弦定理可得2223a b c +=，可求得c ，得出ABC ∆是直角三角形，可求得其面积. 【详解】由已知条件2sin sin cos sin A B C C =和正弦定理得2cos ab c c =，又根据余弦定理得22222a b c ab c ab+-⨯=，2223a b c ∴+=，又1,21a b c ==∴=，，ABC ∆∴是直角三角形，11111222ABCSa c ∴=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：12. 【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理进行三角形的边角互转，关键在于正确选择和运用相应的公式，属于中档题.16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为________.【答案】362【解析】通过球的内接体,说明几何体的中心是球的球心,由球的表面积求出球的半径,设出三棱柱的底面边长,通过解直角三角形求得棱长,然后由棱柱的体积公式可得答案. 【详解】如图,因为直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等,6个顶点都在球O 的球面上,所以三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球心,设球心为O ,再设球的半径为r ,由球O 的表面积为56π,得245614r r ππ=∴=，， 设三棱柱的底面边长为a ,则上底面所在圆的半径为33a ,且球心O 到上底面中心H 的距离2a OH =, 22232a r a ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即712r a =,26a ∴=.则三棱柱的底面积为23(2)3466S =⨯=. 1116323662ABC A B C V -∴=⨯=.故答案为: 362.【点睛】本题考查球的内接正棱柱与球的关系,关键在于求得球心的位置和球的半径,考查计算能力,属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足23a =，4720a a +=，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）2332n nn T +=-【解析】(1)根据等差数列的通项公式和性质求出首项、公差,即可得到通项公式, (2)2nn na b =,求得通项,利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1132920a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，2d =，∴()1+2121n a n n =-=-，()21+212n n n S n -==，∴21n a n =-，2n S n =，（2）因为2n n n a b =，所以()2112122nnn n b n -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭， 所以1232313521++++2222n n n n T b b b b -==+++⋯+，① ①式两边同时乘12，得234111352122222n n n T +-=+++…，②所以①-②可得，23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…，2311111112122222222n n n n T +-⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭…，即111121212222n n n n T +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 所以2332n nn T +=-. 【点睛】本题考查等差数列的通项和前n 项和公式的求解，以及运用“错位相减法”求数列的和，属于中档题.18．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且//AB CD ，22CD AB AD ==，AD CD ⊥.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD .根据平面几何知识和线面垂直的判定可证得AE ⊥平面PBD ，再证得//BC AE ，可证明平面PBC ⊥平面PBD .（2）由线面角的定义可得PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角，再以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PDC 和平面PBC 的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角D PC B --的余弦值.【详解】解：（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD . ∵2CD AB =，∴AB DE =.又∵AB AD =，AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥. ∵PD ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PD AE ⊥. ∵PD BD D ⋂=，∴AE ⊥平面PBD .∵AB EC =，//AB EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴//BC AE ， ∴BC ⊥平面PBD .又BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PBD .（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =.设1AD =，则1AB =，2CD =，2PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，2)P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C .∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =.设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，∵(1,1,2)PB =-，(1,1,0)BC =-，则200PB m x y z BC m x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)m =. 设二面角D PC B --的平面角为θ，∴||1cos 2||||211m DA m DA θ⋅===⋅++.由图可知二面角D PC B --为锐角，故二面角D PC B --的余弦值为12.【点睛】本题考查的知识点是空间中的面面垂直关系,运用空间向量求解二面角大小.考查空间想象、推理论证、计算能力，属于中档题.19．已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号i 1 2 3 4 5 6 数学i x 898779817890物理i y 79 75 77 73 72 74（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程.参考数据和公式：ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()ˆ()nniii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx x x nx====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）见解析；（2）129155y x =+ 【解析】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手,从而得到X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（2）利用最小二乘法分别求出ˆb ，ˆa ，由此能求出y 与x 的回归直线方程．【详解】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手.X 的可能取值为：0,1,2P （X ＝0）242625C C ==，P （X ＝1）112426815C C C ==， P （X ＝2）2226115C C ==，X 的分布列为2812()0+1+2=515153E X =⨯⨯⨯（2）84,75x y ==，61i =∑x i y i＝37828，61i =∑x i2＝42476， ∴ˆb=（61i ii x y =-∑6xy ）÷（62216i n x x =-∑） 2378286847542476684-⨯⨯=-⨯ 15=，ˆˆay bx =-=75﹣15×84＝2915， 回归方程为129155y x =+【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查回归直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；定圆22127x y +=【解析】(1)根据椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程中,求出a 、b ,即可得到椭圆C 的方程.(2)根据条件，分直线MN 的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，,当直线MN 的斜率存在时,设直线方程为y kx b =+,联立方程组,令()()1122,,M x y N x y ，，,利用韦达定理,结合12120x x y y +=.推出()227121m k =+,利用直线MN 与圆相切,求出圆的半径,得到圆的方程,即可得到结果. 【详解】解：（1）椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =，解之得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -.∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=，∴20127x =.∴O 到直线MN 的距离为07d x ==，所以22127x y +=. 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+. ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=，∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=.∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+. ∴O 到直线MN的距离为7d ===， 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切. 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,圆与椭圆的以及直线的综合应用,考查分类讨论思想、转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()1ax f x e ax =--（a R ∈且0a ≠）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对任意12,[1,1]x x ∈-，()()2123f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[2,0)(0,2]-【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2) 由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-，又由（1）可知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增.所以只需：22e e 20.(1)e e 20.(2)a a a a -⎧--+≤⎨+-+≤⎩，设2()2a h a e a e =--+，对其求导可得函数的单调性，从而可求得实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由()'()1axaxf x ae a a e =-=-.令'()0f x =，得0x =，当0a <时，(,0)x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.当0a >时，(,0)x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；(0,)x ∈+∞时，'()0 f x >，()f x 单调递增.综上所述，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. （2）由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-，又由（1）知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增.所以只需：222222(1)(0)e 3e 1e 3e e 20.(1)(1)(0)e 3e 1e 3e e 20.(2)a a a a f f a a f f a a --⎧⎧⎧-≤---≤---+≤⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨--≤-+-≤-+-+≤⎪⎩⎪⎩⎩， 设2()2a h a e a e =--+.∵'()1ah a e =-，∴()h a 在区间(0,)+∞上单调递增；在区间(,0)-∞上单调递减. 注意到(2)0h =，所以，当02a ≤≤不等式（1）成立；当2a >时不等式（1）不成立. 又2222(2)2240h ee e e ---=+-+=+-<，∴当20a -≤<不等式（1）也成立，所以，22a -≤≤时不等式（1）成立.此时22a -≤≤，不等式（2）也成立，而当2a <-时，2a ->，由函数()h a 的性质知，不等式（2）不成立.综上所述，不等式组的解为22a -≤≤. 又∵0a ≠，∴实数a 的取值范围为[2,0)(0,2]-.【点睛】本题考查讨论函数的单调性，构造函数证明不等式，关键在于从所证的不等式出发，构造合适的函数，运用求导运算，分析函数的单调性，得出函数的最值或零点，属于难度题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12x C y .（1）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .【答案】（1）2cos ρθ=，()222cos 2sin 2ρθθ+=；（22105. 【解析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程； （2）分别求得点,A B 对应的的极径2123,10p ，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】 （1）曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2211x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线222:12x C y 的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.（2）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为1236cos， 射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22126sin ，解得2210， 所以122103AB . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．已知关于x 的不等式|x ﹣2|﹣|x +3|≥|m +1|有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足a +2b +c ＝M ，求证：111a b b c+≥++． 【答案】（1）M ＝4．（2）见解析【解析】（1）利用绝对值三角不等式得到|x ﹣2|﹣|x +3|最大值，进而根据不等式|x ﹣2|﹣|x +3|≥|m +1|有解，由|m +1|≤5求解.（2）由（1）得到a+2b+c＝4，然后利用“1”的代换，由11+++a b b c＝14[（a+b）+（b+c）]（11+++a b b c），利用基本不等式求解.【详解】（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M＝4．（2）由（1）知正数a，b，c满足a+2b+c＝4，即14[（a+b）+（b+c）]＝1，∴11+++a b b c＝14[（a+b）+（b+c）]（11+++a b b c）＝14（2++++++b c a ba b b c）≥14（≥14×4＝1，当且仅当b c a ba b b c++=++，即a+b＝b+c＝2时，取等号．∴111a b b c+≥++成立．【点睛】本题主要考查不等式有解，不等式证明问题以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试数学(理)试卷
数学（理科）注意事项：1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>-，则()UA B ⋂=（）． A ．(1,0]-B ．(1,1)-C ．(1,)-+∞D ．[0,1) 2．已知复数41z i=+（为虚数单位），则的虚部为（）． A ．2B ．2i C ．2-D ．2i -3．已知向量(1,3)a =，(3,2)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（）．A ．91010B ．9C ．3-D ．913134．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）．A ．66B ．55C ．45D ．385．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（）．A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为21C ．该组数据的平均数为21D ．该组数据的方差为11 6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立的是（）．A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln ln a b >C ．11a b >D ．11ln ln a b >7．已知，b 是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，且a β，b αβ⋂=，则“a α∥”是“a b ∥”的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为（）． A ．24B ．18C ．12D ．4 9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）． A ．18B ．38C ．12D ．7810．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（）． A ．403B ．52C ．203D 8711．将函数cos(2)22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移38π个单位长度后得函数()f x 图像，若()f x 为偶函数，则（）．A ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知函数323132,5()3log (4),5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数(())f f x 的零点个数为（）．A ．6B ．7C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数，满足不等式组2033030x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知定义在上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________．15．在ABC 中内角，，C 所对的边分别为，b ，，若1a =，b =，2sin sin cos sin A B C C =，则ABC 的面积为________．16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，4720a a +=，其前项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （Ⅱ）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且AB CD ∥，22CD AB AD ==，AD CD ⊥．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 1 2 3 4 5 6 数学i x 89 87 79 81 78 90 物理i y797577737274（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．参考公式：ˆˆy bxa =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i n ni ii i x x yy x ynx y b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()1axf x eax =--（a R ∈且0a ≠）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意12,[1,1]x x ∈-，()()2123f x f x e =≤-恒成立，求的取值范围． （二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线22212:C x y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)6πθρ=≥与1C 相交于异于极点的交点为，与2C 的交点为，求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，记实数的最大值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）正数，b ，满足2a b c M ++=，求证111a b b c+≥++． 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．C3．D4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．A11．D12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．614．315．1216．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1132920a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，2d =（4分）∴21n a n =-，2n S n =，（6分）（Ⅱ）（错位相减法）23135212222n nn T -=++++…，① ①式两边同时乘12，得234111352122222n n n T +-=+++…，②-①②可得，23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…，（8分） 2311111112122222222n n n n T +-⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭…， 111121212222n n n n T +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，（10分） 2332n nn T +=-．（12分） 18．解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点，连接AE ，BE ，BD ．∵2CD AB =，∴AB DE =．又∵AB AD =，AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，AE平面ABCD ，∴PD AE ⊥．∵PD BD D ⋂=，∴PE ⊥平面PBD ．（4分） ∵AB EC =，AB EC ∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴BC AE ∥，∴BC ⊥平面PBD ． 又BC平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．（6分）（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =．设1AD =，则1AB =，2CD =，2PD BD ==．以点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ． ∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =．（8分） 设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，∵(1,1,PB =，(1,1,0)BC =-，则00PB m x y BC m x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)m =．（10分） 设二面角D PC B --的平面角为θ， ∴||1cos 2||||2m DA m DA θ⋅===⋅．由图可知二面角D PC B --为锐角，故二面角D PC B --的余弦值为12．（12分） 19．解：（Ⅰ）由题意得X 的可能取值为0，1，2， 6个学生中理科小能手有2人，24262(0)5C P x C ===，1124268(1)15C C P x C ===，（4分） 22261(2)15C P x C ===．（4分） ∴X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．（6分） （Ⅱ）1(898779817890)846x =⨯+++++=，1(797577737274)756y =⨯+++++=，（8分）()()()11222111ˆ5nniii ii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---===--∑∑∑∑（9分） 1291ˆˆ758455ay bx =-=-⨯= ∴回归方程为：129155y x =+．（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =（2分） 解之得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=（4分） （Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -． ∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=， ∴20127x =． ∴O 到直线MN的距离为0d x ==22127x y +=．（6分） 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+．（8分） ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=．∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+．（10分）∴O 到直线MN 的距离为7d ===， 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切．（12分） 21．解：（Ⅰ）由()()1ax ax f x ae a a e '=-=-．（1分） 当0a <时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2分） 当0a >时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0 f x '>，()f x 单调递增．（3分） 综上所述，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增．（4分） （Ⅱ）由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-又由（Ⅰ）知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以只需：222222(1)(0)31320.(1)(1)(0)31320.(2)a a a a f f e e a e e a e f f e e a e e a e --⎧⎧⎧-≤---≤---+≤⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨--≤-+-≤-+-+≤⎪⎩⎪⎩⎩（8分） 设2()2a h a e a e =--+．∵()1ah a e '=-，∴()h a 在区间(0,)+∞上单调递增；在区间(,0)-∞上单调递减． 注意到(2)0h =，所以，当02a ≤≤不等式（1）成立；当2a >时不等式（1）不成立． 又2222(2)2240h ee e e ---=+-+=+-<，∴当20a -≤<不等式（1）也成立，所以，22a -≤≤时不等式（1）成立．此时22a -≤≤，不等式（2）也成立，而当2a <-时，2a ->，由函数()h a 的性质知，不等式（2）不成立．综上所述，不等式组的解为22a -≤≤．（11分）又∵0a ≠，∴实数的取值范围为[2,0)(0,2]-⋃．（12分）（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．解：（Ⅰ）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=，（2分）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，（3分）曲线2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=．（5分）（Ⅱ）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点的极径为12cos6πρ==（6分）射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26πρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得25ρ=，（8分）∴12||5AB ρρ=-=-．（10分） 23．解：（Ⅰ）|2||3||(2)(3)|5x x x x --+≤--+=，（2分） 若不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，则满足|1|5m +≤，（3分） 解得64m -≤≤．∴4M =．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，b ，满足24a b c ++=， ∴11111[()()]4a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，（7分）112(2144b c a b a b b c ++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭．（9分） 当且仅当a c =，2a b +=时，取等号．（10分）。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2020届陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测数学(理)试题(带答案解析)
17．已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面 ，且 ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
2．C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
【详解】
由题意得: ，
的虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
求出 以及 的值,即可求出向量 在向量 上的投影.
【详解】
解:由题意知, ,
则
故选:D.
【点睛】
本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量 在另一个向量 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量积的运算可知, .
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 （ 且 ）.
（1）讨论 的单调性；
（2）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
【详解】
依题意 ，由于 为定义域上的减函数，故 ，故A选项不等式成立.由于 为定义域上的增函数，故 ，则 ，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于 ，故 ，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.
【点睛】
【附加15套高考模拟试卷】陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试(二)数学(理)试题含答案
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试（二）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（ ）.A ．1B ．2C ．4D ．62．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC u u u r u u u rg 的值为（ ）A ．58-B ．18 C ．14 D ．1183．等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．144．若复数z 满足()21213z i i -+=+(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )A ．B ．C ．D ．7．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为()()2,2,1,2,2,1A B -，()()0,2,1,0,0,1C D ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π8．若数列{}n a 满足11a =，22a =，21(3)n n n a a a n --=>，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法错误的是（ ） A ．n T 无最大值 B ．na 有最大值 C ．20194T = D ．20192a =9．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD-的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π10．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=u u u r u u u u r u u u r（ ）A ．0B ．2C ．6D ．1011．若函数3()(3)x f x e x ax a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,)2+∞C ．1(0,)4 D ．1(,)4+∞12．若实数，满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题 含答案
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题注意事项:1.本试卷共4页满分150分时间120分钟;2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号并认真核准条形码上的姓名、准考证号;3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰;4.考试结束,监考员将试题卷答题卡一并收回第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={1,2,3,4,5},集合{|04},B x x <=<则图中阴影部分表示 A.{1.2,3,4}B.{1，2，3}C.{4，5}D.{1，4}2.已知等比数列{a n }的前n 项和为143,2,1,n S a a a ==则4S = A.31 B.15 C.8 D.73.某医院抽调甲、乙、丙三名医生,抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战，其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作,则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为 A.112 B.16 C.15 D.194.已知非零向量a,b 满足||,a b =且−⊥(a b)b 则与a b 的夹角为A.π6B.π4C.π3D.π25.设复数=满足|1i |1z −+=,z 在复平面内对应的点为(),,P x y 则点P 的轨迹方程为()2222.1 1 .(1)1A x y B x y ++=−+= ()()2222.(1) 1 .111C x y D x y +−=−++=6.“22ππα−<<”是“方程2212cos x y α−=表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体。
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z•i=2i+1，则z=（）A. 2+iB. 2-iC. -2+iD. -2-i2.已知集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 03.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则=（）A. （0，1）B. （1，0）C.D.4.已知b＞a＞0，则（）A. |1-a|＞|1-b|B.C. lg a＜lg bD.5.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比数列，则角B的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.函数y=sin x，在[0，π]中随机取一个数x，使的概率为（）A. B. C. D.9.已知x+2y=xy（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知曲线C1：y=sin x，，则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C211.设f（x）为R上的奇函数，满足f（2-x）=f（2+x），且当0≤x≤2时，f（x）=xe x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A. 2e+2e2B. 50e+50e2C. 100e+100e2D. -2e-2e212.已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x•ln x在点（1，0）处的切线的方程为______．14.已知cos2x-sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A=______，b=______．15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出的一个“同域函数”的解析式为______．16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0改写成以下形式：f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1）x+a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0⋮=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0若，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，AB=2，BC=BB1=1．（Ⅰ）求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求二面角D-EB1-C1的余弦值．18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n-1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．20.已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）-g'（x），判断h（x）在（-2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x＞-2时，证明f（x）＞g（x）．21.如图，过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于不同两点A，B，P为拋物线上任意一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N．（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）求证：MF⊥NF．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．23 已知函数f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. C5. A6. C7. D8. C9. B10. D11. A12. A13. x-y-1=015. y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或…16. 017. 解：（I）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴B1C1⊥平面DCC1D1，又B1C1⊂平面DB1C1，∴平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）解：方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．又∵，∴．∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：D（0，0，1），B1（1，2，0），E（0，1，0），．设n=（x0，y0，z0）是平面DEB1的一个法向量，∵，∴，令z0=1，则x0=-1，y0=1．n=（-1，1，1），平面EB1C1的一个法向量，．显然，二面角D-EB1-C1是钝角，∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．18. 解：（I）X的取值为0，1，2，3，，，，．因此X的分布列为X0123P．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，∴事件A发生的概率为：．19. 解：（I）证明：令n=1，则a1=3．∵S n=2a n-2n-1，（n∈N+）①∴S n-1=2a n-1-2（n-1）-1，（n≥2，n∈N+）②①-②得：a n=2a n-2a n-1-2，a n=2a n-1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③-④得：=，∴．20. 解（I）∵，∴∵h（x）在（-2，+∞）内单调递增，又∵，∴h（x）在（-2，+∞）内有且只有一个零点．（II）令H（x）=f（x）-g（x）=e x-ln（x+2），．由（I）可知：存在x0∈（-1，0）使得，即．当x∈（-2，x0）时，H'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，H'（x）＞0.==，∴f（x）＞g（x）．（II）由（I）知，设直线AB的方程为：x-2=my（m∈R）．令P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得：y2-8my-16=0，由根与系数的关系得：y1y2=-16．直线PB方程为：，即===．当x=-2时，∴，同理得：，∴，，∴===，∴，∴MF⊥NF．22. 解：（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．得：∴曲线C的参数方程化为普通方程为：．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．则②-①得，化简得：．即．又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得．∴，∴，即．∴，即又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．23. 解：（I）当a=2时，f（x）=|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2），由f（x）＜0得|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2）＜0．①当x≥2时，原不等式可化为：2（x-2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：-2（x-2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）=（x-2）[|x-a|-（x-a）]．由f（x）≥0得（x-2）[|x-a|-（x-a）]≥0，∴|x-a|≤x-a，∴x-a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（-∞，0]．【解析】1. 解：由z•i=2i+1，得z=．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2. 解：∵集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，∴A∩B={（x，y）|}，作出y=2x和y=x+1的图象如下图：结合图象得y=2x和y=x+1有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．图象得y=2x和y=x+1有两个交点，由此能求出A∩B中元素的个数．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 解：∵平面直角坐标系中，O为坐标原点，，∴sin∠AOx=，cos∠AOx=，∴和x轴的夹角为∠AOx=30°．若绕点O逆时针旋转60°得到向量，∴∠BOx=30°+60°=90°．设=（0，b），则=1•1•cos60°=0+b，∴b=1，即=（0，1），故选：A．由题意求得∠BOx=30°+60°=90°，设=（0，b），再利用两个向量的数量积的定义和公式，求得b的值，可得结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4. 解：b＞a＞0，则|1-a|＜|1-b|，＞，lg a＜lg b，＞．故选：C．由b＞a＞0，利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6. 解：由题意，a，b，c既是等差数列又是等比数列，则a，b，c是常数数列，即a=b=c．故A=B=C，∵180°=A+B+C=3B，∴B=60°．故选：C．本题首先根据a，b，c既是等差数列又是等比数列判断出a，b，c是常数数列，即a=b=c．则有A=B=C，再根据三角形内角和知识可得角B的值．本题主要考查等差数列和等比数列的综合，以及三角形的基础知识．本题属基础题．7. 解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．则A（0，-1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴=（，1，-2），=（-，1，-2），∴cos＜，＞===．故选：D．如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．利用cos＜，＞=即可得出．本题考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：解三角不等式0≤sin x≤（x∈[0，π]，得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得：事件发生的概率为=，故选：C．由三角不等式的解法得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得事件发生的概率本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题9. 解：由x+2y=xy（x＞0，y＞0），可得=1，则2x+y=（2x+y）（）=5+≥5+4=9，当且仅当且=1，即x=3，y=3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题10. 解：结合函数的图象的变换可知，把y=sin x上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得，y=sin，再把，y=sin向左平移个单位可得y=sin=sin（）=sin（+）=cos（）．综上可知，D正确．故选：D．结合正弦函数的图象的变换，结合选项中的变换顺序即可判断》本题主要考查了正弦函数的图象的变换，属于基础试题．11. 解：由f（2-x）=f（2+x），f（x+2）=-f（x-2），f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），故f（x）周期为8的奇函数，f（0）=0，f（1）=e，f（2）=2e2，f（3）=f（1）=e，f（4）=f（0）=0，f（5）=f（-1）=-f（1）=-e，f（6）=f（-2）=-2e2，f（7）=f（-1）=-f（1）=-e，f（8）=f（0）=0，所以f（1）+…+f（8）=e+2e2+e+0-e-2e2-e+0=0f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=0+f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=0+f（1）+f故选：A．先判断函数的周期为8，根据题意，结合奇函数求出f（1）到f（8）的值，代入求出即可．考查函数的周期性和奇偶性的应用，中档题．12. 解：设MN与x轴交于E，因为四边形PQMN为正方形，所以△OEN为等腰直角三角形，所以OE=NE=，由题意可得半径ON=c，所以N坐标（c，c），而N是F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入双曲线方程可得：，而b2=c2-a2，整理可得：c4-4a2c2+2a4=0，离心率e=所以可得：e4-4e2+2=0，解得e2=2+，所以e=，故选：A．由题意画图可得：△ONE为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．13. 解：由f（x）=x lnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），整理得：x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14. 解：因为cos2x-sin2x==，=[-sin2x+cos2x]+，=+，其中cosφ=-，sinφ=．故A=，b=．故答案为：，．由已知结合二倍角公式及辅助角公式先对函数进行化简，然后比对系数即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题．15. 解：因为，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2]．下面求函数y的值域，不妨先求函数y2的值域，令，令g（x）=（x-1）（2-x），x∈[1，2]，所以g（x）∈[0，]，从而得出f（x）∈[0，1]，所以y∈[-1，1]，即函数的值域为[-1，1]．只要满足定义域为[1，2]，且值域为[-1，1]的函数均符合题意，例如y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]……故答案为：y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或……（符合题意即可）分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．本题考查了求函数定义域和值域的方法，再者开放性试题还考查到学生对基本初等函数概念与性质的熟练程度，属于基础题．16. 解：=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1则=0．故答案为：0．=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1x=2-代入即可得出．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. （I）由B1C1⊥平面DCC1D1，即可得平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．可得GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．解三角形即可求二面角D-EB1-C1的余弦值．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：求得平面DEB1的一个法向量和平面EB1C1的一个法向量即可得二面角D-EB1-C1的余弦值．本题考查了面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题．18. （I）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，由此能求出事件A发生的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （I）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）运用等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．20. （I）先对函数h（x）求导，然后结合导数研究单调性，进而结合函数的零点判定定理可求；（II）要证明x＞-2时，f（x）＞g（x），转化为证明H（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，结合导数转化为求函数的最值．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解零点个数，综合考查了导数与函数性质的综合应用．21. （Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）设P，A，B的坐标，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之积，再求直线PA，PB的方程，进而求出M，N的坐标，求出数量积为0可得MF⊥NF．考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合，属于中档题．22. （I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．利用平方关系即可得出．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，．把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的意义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. （Ⅰ）将a=2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x-a|≤x-a，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．。
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1<x<1}，N={x|y=√2x−1}，则M∩N=()A. {x|12≤x<1} B. {x|12<x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|−1<x≤12}2.已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是()A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当4.在正项等比数列{a n}中，若a1，12a3，2a2成等差数列，则a5a3=()A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√25.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35 B. 38 C. 310 D. 3206. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥αB. α⊥β，β⊥γ，则α//γC. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥bD. α//β，β⊥γ，则α⊥γ7. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为( )A. x ±√3y =0B. √3x ±y =0C. x ±3y =0D. 3x ±y =08. 已知函数f(x)=10(x 2+1)x⋅e |x|，则函数f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知抛物线y =18x 2与双曲线y 2a 2−x 2=1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2√3−3B. 3−2√3C. 74D. 3410.正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2√6，则此球的表面积为()A. 18πB. 36πC. 72πD. 9π11.函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在(0,π2)上的单调递增区间是()A. (0,π4) B. (π4,π2) C. (0,π8) D. (π8,π4)12.函数f(x)=ax2+bx+lnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x−2，则b−a=()A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(x,2)，若向量a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则x=______．14.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________．15.已知a>0，b>0，且ℎ=min(a,ba2+b2)，求h的范围______ ．16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2+c2)=3a2+2bc，则sinA=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，S4=24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=1S1+1S2+⋯+1S n，求证：T n<34．18.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=π，点E在AB上，AE=2EB=2，且DE⊥AB.以4DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB=60°．(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(2)求二面角B−EF−C的余弦值．20.如图所示，已知椭圆：C∈(0,π)的离心率为，右准线方程是直线，点为直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，切点分别为、(点在x轴上方，点在轴下方)．(1)求椭圆的标准方程；(2)①求证：分别以、PB为直径的两圆都恒过定点C；②若，求直线的方程．21.设函数f(x)=e x．x−1(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若当x≥2时，f′(x)≥af(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.已知直线l过原点且倾斜角为θ0，θ0≠π，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标2系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(I)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l´过原点且与直线l相互垂直，若l∩C=M，l´∩C=N，其中M，N不与原点重合，求△OMN面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查交集的运算．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N={x|x≥12}；∴M∩N={x|12≤x<1}．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i +i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z−=1+i，故选：A．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查图表，进行推理，属于基础题．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A=0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A=0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A =0.4A ，2015年教育医疗的消费额为0.3×A =0.3A ，0.4A0.3A =43，B 错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A =0.6A ，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A =0.1A ，0.6A 0.1A =6，C 对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A =0.3A ，2015年生活用品的消费额为0.15×A =0.15A ，不相等，D 错； 故选：C ．4.答案：C解析：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，属于基础题．根据等差数列的性质，结合等比数列的通项公式求出等比数列{a n }的公比即可． 解：由于a 1， 12a 3， 2a 2成等差数列， 所以a 3=a 1+2a 2，{a n }是正项等比数列，设公比为q (q >0)，则负值舍去)，所以a5a 3=q 2=3+2√2．故选C ．5.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可． 解：如图所示，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a 和a ，∴S 阴影=S 正方形ABFG +S △BCE −S △ACG =a 2+12⋅2a ⋅2a −12⋅a ⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键．属于基础题．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．解：若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α的关系不确定，故A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交(此时交线与β垂直)，故B错误；若α∩β=a，β∩γ=b，α⊥β，则a与b可能平行，也可能相交，故C错误；若α//β，根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等，结合β⊥γ可得α⊥γ，故D正确．故选：D．7.答案：B解析：解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=√3，可得渐近线方程为y=±√3x.故选B．由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．8.答案：A解析：。
【2020届咸阳二模】理科数学试题及答案解析
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 集合{}1M x y x ==-，{}1,0,1,2N =-，则M N =I A ．{0,1} B ．{1,0,1}- C ．{1,1}- D.{0,1,2}2. 已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i +B ．13i -+C ．13i -D ．13i -- 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于A.64B.32C.2D.45. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测 算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 30x y ±=B. 30x y ±=C. 50x y ±=D.50x y ±=8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅=u u u r u u u rA.2-B. 4-C. 3D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,6,侧棱长为3则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -12()t h 3(/)y mg m 01第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题:第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.若向量(1,2)a x =-r 与向量(2,1)b =r垂直，则x =_____ .14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c 3cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的 男 女 总计 合格 不合格 总计60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===o为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为.(I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案一、选择题： BCDAD CABDC BA二、填空题： 13. 0 14. 2 15. 2， 40 16. 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解: (I ) 等差数列{}n a 的公差为d ,由37618,36a a S +==得5169,12a a a =+=,即1149,2512a d a d +=+=,解得11,2a d ==∴21n a n =-,2135(21)n S n n =+++⋅⋅⋅+-= ……………………6分(Ⅱ)证明:由(I )得2n S n =,∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++ 即 1n T < ……………………12分 18.（本小题满分12分） 解：(I )根据茎叶图可得2240(1041016)3603.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯知有0095以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.……………………6分(Ⅱ)从茎叶图可知, 成绩在60分以下(不含60分)的男女学生人数分别是4人和2人,从中任意选2人,基本事件总数为2615C =,0,1,2X =211224241862(0),(1),(2),1515151515155C C C C P X P X P X ==========……………………12分 19．（本小题满分12分）解:(I )证明: ∵PE EB ⊥,,PE ED EB ED E ⊥=I∴PE ⊥平面EBCD又PE 平面PEB , ∴平面PEB ⊥平面EBCD而BC 平面EBCD , BC EB ⊥, ∴平面PBC ⊥平面PEB 由,PE EB PM MB ==知EM PB ⊥,可知EM ⊥平面PBC又EM 平面EMN , ∴平面EMN ⊥平面PBC ……………………6分0118264()153E X ⨯+⨯+⨯==(Ⅱ)法1：假设存在点N 满足题意，过M 作MQ EB ⊥于Q ，由PE EB ⊥知//PE MQ 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设(02)BN x x =<<，由Rt EBN Rt ERQ ∆∆:得，BN ENRQ EQ=即1x RQ =，得RQ =∴tan MQ MRQ RQx∠==，依题意知cos 6MRQ ∠=，即tan MRQ x∠==1(0,2)x =∈，此时N 为 BC 的中点综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点. ……………………12分法2：假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，不妨设2PE EB ==，显然平面BEN 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r，设(02)BN m m =<<，则(1,0,1),(2,,0)EM EN m ==u u u u r u u u r设平面EMN 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，则由220EM n EN n ⋅=⋅=u u u u r u u r u u u r u u r得(1,0,1)(,,)00(2,,0)(,,)020x y z x z m x y z x my ⋅=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，取2(,2,)n m m =-u u r∴121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 依题意,=,解得1(0,2)m =∈,此时N 为BC 的中点CRBC DE MNPQ综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66，此时N 为BC 的中点. ……………………12分 20.（本小题满分12分）解: （I ）依题意得2221222222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩解得22221a b c ⎧=⎨==⎩ ∴椭圆22:12x C y += ……………………5分 （Ⅱ）法1：设点0(2,)P y ，1122(,),(,),M x y N x y其中222211222,2x y x y +=+=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥得10201211221,122y y y y y y x x x x --⋅=-⋅=--- 即2222111102222020,20x y x y y x y x y y +--=+--= 注意到222211222,2x y x y +=+=，于是110220220,220x y y x y y --=--= 因此1122(,),(,)M x y N x y 满足0220x yy --=由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分法2：设点0(2,)P y ,过点P 且与圆222x y +=相切的直线为,PM PN ,切点分别为,,M N 由圆的知识知, ,M N 是圆以OP 为直径的圆222200(1)()1()22y yx y -+-=+和圆222x y +=的两个交点,由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩消去二次项得直线MN 方程为 0220x y y --=,由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分 21．（本小题满分12分）解: （I ）()(1)(0)xf x a x e a '=+≠当0a >时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞]Z ;当0a <时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞Z ]. ……………………5分 (Ⅱ)法1： ()()(0)f x g x x ≥>，即ln 1ln 1(0)(0)xxx x axe x x x a x xe++≥++>⇔≥> 令ln 1()(0)xx x F x x xe ++=>，则221()(1)(ln 1)(1)(ln )()()x x x xx xe x e x x x x x x F x xe x e +-+++-++'==令()ln x x x ϕ=+，显然()x ϕ在(0,)+∞Z ，注意到11()10,(1)10e eϕϕ=-<=>，于是存在 01(,1)x e∈使得000()ln 0x x x ϕ=+=，可知()F x 在00(0,)(,)x x +∞Z ]∴00max 00ln 1()()1x x x F x F x x e ++=== 综上知,1a ≥ ……………………12分法2:先证1xe x ≥+,令()1xh x e x =--,则0()1xxh x e e e '=-=-,知()h x 在(,0),-∞](0,)+∞Z ,于是()(0)0h x h ≥=,即1x e x ≥+∴ln ln 1x x xxe ex x +=≥++,当且仅当ln 0x x +=时取等号 ∴当1a ≥时, 对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立综上知,1a ≥ ……………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I ）曲线C ：2cos 4sin ρθθ-0=，即22cos 4sin ρθρθ-0= 化为直角坐标方程为：24x y =（Ⅱ）法1：212cos 4sin 04sin cos ρθθαραθα⎧-=⇒=⎨=⎩，即124sin cos OA αρα== 同理2224sin()4cos 2sin cos ()2OB πααρπαα+===+ ∴22114sin 4cos 8161622cos sin sin cos sin 2OAB S OA OB ααααααα∆==⋅==≥当且仅当sin 21α=，即()4k k z παπ=+∈时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………5分 法2：显然12l l ⊥，设直线1:l y kx =，直线21:l y x k=-(0)k ≠ 2212440,0,4x yx kx x x k y kx ⎧=⇒-===⎨=⎩，得124OA x =-=同理24OB k ===∴221111488()1622OABk S OA OB k k k k∆+==⋅==+≥当且仅当1k k=，即1k =±时取等号 即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解：不等式20x m x +-≤，即不等式222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，而0m >，于是x m ≥依题意得1m = ……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a b c ++=，原不等式可化为222a b c a b c b c a++≥++ 法1：∵,,a b c ∈+R ，222a b ab +≥∴22a a b b ≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥- 三式相加得222a b c a b c b c a ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分 法2：由柯西不等式得1a b c =++=≤ （,,a b c ∈+R ，且1a b c ++=）整理得2221a b c b c a ++≥（当且仅当13a b c ===时取等号）……………………10分 法3:不妨设0a b c ≥≥>,则2221110,0a b c c b a ≥≥>≥≥>,由排序不等式知反序和最小,所以222222111111a b c a b c b c a b b c⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅,即222a b c a b c b c a ++≥++ 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分。
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设z •i =2i +1，则z =（ ） A ．2+iB ．2–iC ．–2+iD ．–2–i【点睛】由复数代数形式的乘除运算化简求解． 【答案】B【解析】由题意得z =1+2i i =(1+2i)(−i)−i2=2−i ． 故选B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A ={（x ，y ）|y =2x }，B ={（x ，y ）|y =x +1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【点睛】数形结合得y =2x 与y =x +1有两个交点，即可求出A ∩B 中元素的个数． 【答案】B【解析】由题意得A ∩B ={（x ，y ）|{y =2xy =x +1}；画出y =2x 与y =x +1的图象，如图所示，由图象得它们有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选B ．【点评】本题考查交集，函数的图象，是基础题．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA →=(√32，12)，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →=（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．(√32，−12)D ．(12，−√32)【点睛】先求得∠BOx =90°，设OB →=（0，b ），用两个向量的数量积求得b ，可得结论． 【答案】A【解析】因为OA →=(√32，12)，所以sin ∠AOx =12，cos ∠AOx =√32，所以OA →和x 轴的夹角为∠AOx =30°．若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到OB →，所以∠BOx =30°+60°=90°，所以设OB →=（0，b ），所以OA →⋅OB →=1×1×cos60°=0+12b ，解得b =1，所以OB →=（0，1）. 故选A ．【点评】本题考查向量的坐标表示与数量积，是基础题． 4．已知b >a >0，则（ ） A ．|1–a |>|1–b | B ．(12)a <(12)bC ．lga <lgbD ．1a<1b【点睛】由不等式的基本性质、函数的单调性即可判断． 【答案】C【解析】因为b >a >0，由不等式的性质得|1–a |<|1–b |，A 错误；由y =(12)x 单减得(12)a >(12)b ，B 错误；由y =lgx 单增得lga <lgb ，C 正确. 故选C ．【点评】本题考查不等式的基本性质、函数的单调性，是基础题． 5．椭圆2x 2–my 2=1的一个焦点坐标为（0，−√2），则实数m =（ ） A ．23B ．25C ．−23D ．−25【点睛】由椭圆的标准方程及焦点坐标求解． 【答案】D【解析】因为椭圆的一个焦点坐标为（0，−√2），将椭圆化为标准方程y 2−1m+x 212=1，所以√−1m −12=√2，解得m =−25.故选D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程与简单性质，是基础题．6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列，则角B 的值为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【点睛】先由a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列得a =b =c ，即A =B =C ，可得角B ． 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列，所以a+c=2b 且ac=b 2，解得a =b =c ，即A =B =C ；而180°=A +B +C =3B ，解得B =60°． 故选C ．【点评】本题考查等差、等比数列，是基础题．7．如图，直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =BC ，则异面直线AB 1和BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．−12B ．12C ．−14D ．14【点睛】建立空间直角坐标系，利用cos <AB 1→，BC 1→>=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|即可得出．【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，如图所示；不妨设AA 1=AB =AC =BC =2．则B 1（√3，0，0），C 1（0，1，0），A （0，–1，2），B （√3，0，2）；所以BC 1→=（−√3，1，–2），AB 1→=（√3，1，–2），所以cos <AB 1→，BC 1→>=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=8⋅8=14．故选D ．【点评】本题考查异面直线的夹角，空间向量法求夹角，是基础题． 8．函数y =sin x ，在[0，π]中随机取一个数x ，使y ∈[0，12]的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【点睛】由题意得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤π，由几何概型得：事件y ∈[0，12]发生的概率 【答案】C【解析】因为y =sin x ∈[0，12]，即0≤sin x ≤12，而x ∈[0，π]，解得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤π；由几何概型得：事件y ∈[0，12]发生的概率P =(π6−0)+(π−5π6)π−0=13.故选C ．【点评】本题考查三角不等式的解法，几何概型，是基础题. 9．已知x +2y =xy （x >0，y >0），则2x +y 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【点睛】用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【答案】B【解析】由x +2y =xy （x >0，y >0）得1y+2x=1；所以2x +y =（2x +y ）（1y+2x）=5+2x y+2y x≥5+4=9(当且仅当x =3，y =3时取等号)．所以2x +y 的最小值为9.故选B ．【点评】本题考查基本不等式，是基础题.10．已知曲线C 1：y =sin x ，C 2：y =cos(12x −π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C 2【点睛】结合正弦函数的图象变换即可求解. 【答案】D【解析】由题意得：C 1：y =sin x 上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得y =sin 12x ，再将y =sin 12x 向左平移π3得y =sin 12(x +π3)=sin （12x +π6）=cos （12x −π3）．所以D 正确．故选D ．【点评】本题考查正弦函数的图象变换，是基础题．11．设f （x ）为R 上的奇函数，满足f （2–x ）=f （2+x ），且当0≤x ≤2时，f （x ）=xe x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （100）=（ ） A ．2e +2e 2B ．50e +50e 2C ．100e +100e 2D ．–2e –2e 2【点睛】先得函数的周期为8，再结合奇函数求出f （1）~f （8），代入求出即可． 【答案】A【解析】因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）=0，f （2–x ）=f （2+x ）=– f （x –2），所以f （x +4）=–f （x ），f （x +8）=f （x +4+4）=–f （x +4）=f （x ），所以f （x ）周期为8的奇函数；所以f （1）=e ，f （2）=2e 2，f （3）=f （1）=e ，f （4）=f （0）=0，f （5）=f （–1）=–f （1）=–e ，f （6）=f （–2）=–2e 2，f （7）=f （–1）=–f （1）=–e ，f （8）=f （0）=0；所以f （1）+…+f （8）=e +2e 2+e +0–e –2e 2–e +0=0；所以f （1）+f （2）+f （3）+…+f （100）=0+f （97）+f （98）+f （99）+f （100）=f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=e +e +2e 2+0=2e 2+2e . 故选A ．【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，中档题． 12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2+√2B ．2+√2C ．2−√2D ．√2−√2【点睛】先求得N 的坐标，而N 是以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的交点，代入曲线方程求出a ，c 间的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出双曲线的离心率． 【答案】A【解析】设MN 与x 轴交于E ，因为PQMN 为正方形，所以△OEN 为等腰直角三角形，所以OE =NE =√22ON ；由题意得半径ON =c ，所以N （√22c ，√22c ），而N 是F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的交点，代入双曲线方程得c 22a 2−c 22b 2=1；结合b 2=c 2–a 2，得c 4–4a 2c 2+2a 4=0，即e 4–4e 2+2=0，解得e 2=2+√2，所以e =√2+√2. 故选A ．【点评】本题考查双曲线的性质，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y =x •ln x 在点（1，0）处的切线的方程为 ． 【点睛】求切线斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【答案】x –y –1=0【解析】f （x ）=x ln x ，f （1）=0，所以点（1，0）为切点；y ′=lnx +1，f ′（1）=ln1+1=1，即切线的斜率为1；所以切线方程为y –0=1×（x –1），即x –y –1=0．所以曲线y =x •ln x 在点（1，0）处的切线的方程为x –y –1=0. 故答案为x –y –1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程，是基础题．14．已知cos 2x –sin2x =A sin （ωx +φ）+b （A >0，ω>0），则A = ，b = ． 【点睛】由二倍角公式、辅助角公式化简，然后比对系数即可求解． 【答案】√52，12【解析】由题意得cos 2x –sin2x =1+cos2x 2−sin2x =12cos2x −sin2x +12=√52[−2√55sin2x +√55cos2x ]+12=√52sin(2x +φ)+12(其中cos φ=−2√55，sin φ=√55)．所以√52sin(2x +φ)+12= A sin （ωx +φ）+b ，所以A =√52，b =12． 故答案为√52，12． 【点评】本题考查二倍角公式，辅助角公式，是基础题．15．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出y =√x −1−√2−x 的一个“同域函数”的解析式为 ．【点睛】函数解析式中包含根式，所以不妨将其平方再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．【答案】y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]或y =log √2x −1，x ∈[1，2]⋯⋯【解析】由题意得y =√x −1−√2−x 的定义域为[1，2]；下面求函数的值域，不妨先求函数y 2的值域，令f(x)=y 2=1−2√(x −1)(2−x)，因为x ∈[1，2]，所以（x –1）（2–x ）∈[0，14]，所以f （x ）∈[0，1]，所以y ∈[–1，1]，即函数的值域为[–1，1]；“同域函数”必须满足：定义域为[1，2]且值域为[–1，1]；例如y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]……，所以答案可以为y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]或y =log √2x −1，x ∈[1，2]⋯⋯（符合题意即可）【点评】本题考查函数定义域与值域的求解，基本初等函数，是开放性试题，是中档题． 16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f （x ）=a n x n +a n –1x n –1+a n –2x n –2+…+a 1x +a 0 改写成以下形式：f （x ）=a n x n +a n –1x n –1+a n –2x n –2+…+a 1x +a 0 =（a n x n –1+a n –1x n –2+a n –2x n –3+…+a 1）x +a 0 =（（a n x n –2+a n –1x n –3+…+a 3x +a 2）x +a 1）x +a 0 ⋮=（…（（a n x +a n –1）x +a n –2）x +…+a 1）x +a 0若f(x)=(2+√3)x 5+(1+√3)x 4+(1+√3)x 3+(1+√3)x 2+(1+√3)x −1，则f(2−√3)= ．【点睛】由题意得f(x)=（（（（（2+√3)x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x –1，即可求解． 【答案】0【解析】由题意得f(x)=（（（（（2+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x –1，所以f(2−√3)=0．故答案为0．【点评】本题考查秦九韶算法，理解题意是解题关键，是基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是D 1C 1的中点，AB =2，BC =BB 1=1． （Ⅰ）求证：平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1； （Ⅱ）求二面角D –EB 1–C 1的余弦值．【点睛】（I ）由B 1C 1⊥面DCC 1D 1，可得面DB 1C 1⊥面DCC 1D 1． （II ）方法一：建立空间直角坐标系，用空间向量法求解.方法二：找到GMH 或其补角是二面角D –EB 1–C 1的平面角．解三角形即可． 【解析】（I ）因为ABCD –A 1B 1C 1D 1是长方体，所以B 1C 1⊥平面DCC 1D 1， 又B 1C 1⊂平面DB 1C 1，所以平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1． （II ）方法一（空间向量法）：建立空间直角坐标系，如图所示：则D （0，0，1），E （0，1，0），B 1（1，2，0），，DE →=(0，1，−1)，EB 1→=(1，1，0)． 设m →=（x 0，y 0，z 0）是平面DEB 1的一个法向量，所以{DE →⋅m →=0EB →1⋅m →=0，即{y 0−z 0=0x 0+y 0=0，令z 0=1，则x 0=–1，y 0=1． 所以m →=（–1，1，1），而平面EB 1C 1的法向量D 1D →=(0，0，1)， 所以cos <m →，D 1D →>=m →⋅D 1D→|m →||D 1D →|=13×1=√33． 由图得：二面角D –EB 1–C 1是钝角， 所以二面角D –EB 1–C 1的余弦值为−√33．方法二：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D–EB1–C1的平面角．又∵MH=12A1E=√22，∴cos∠GMH=MHMG=√22√12+(√22)=√33．∴二面角D–EB1–C1的余弦值为−√33．【点评】本题考查面面垂直的判定、二面角的求解，是中档题．18．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为34，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．【点睛】（I）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，求出X的分布列与数学期望．（II）分“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，求出事件A发生的概率．【解析】（I）由题意得：X的取值为0，1，2，3，P(X=0)=(14)3=164，P(X=1)=C31(34)(14)2=964，P(X=2)=C32(34)2(14)=2764，P(X=3)=(34)3=2764．所以X的分布列为X0123P16496427642764EX=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，所以P(A)=2764×164+2764×964=1352048．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，是中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n–2n–1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【点睛】（I）用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）用等比数列的通项公式、错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可求解．【解析】（I）S n=2a n–2n–1，（n∈N+），令n=1，求得a1=3．因为S n=2a n–2n–1①，所以S n–1=2a n–1–2（n–1）–1②；①–②得a n=2a n–2a n–1–2，即a n=2a n–1+2，所以a n+2a n−1+2=2(a n−1+2)a n−1+2=2，所以{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：{a n+2}是首项为a1+2=5，公比为2的等比数列．所以a n+2=5×2n−1，所以n⋅(a n+2)=52⋅n⋅2n，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则T n=52(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n)③2T n=52(1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1)④③–④得：−T n=52(2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1)=52[2(1−2n)1−2−n⋅2n+1]，即T n=5(n−1)2n+5．所以数列{n•（a n+2）}的前n项和为5(n−1)2n+5．【点评】本题考查等比数列，数列的错位相减法求和，是中档题．20．已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）–g'（x），判断h（x）在（–2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x>–2时，证明f（x）>g（x）．【点睛】（I）先对h（x）求导，然后结合导数研究单调性，结合函数的零点可求；（II ）不等式转化为：证明H （x ）=f （x ）–g （x ）>0恒成立，求导即可求解． 【解答】（I ）因为f′(x)=e x ，g′(x)=1x+2(x >−2)，所以ℎ(x)=e x −1x+2(x >−2) 因为h （x ）在（–2，+∞）内单增， ℎ(−1)=1e −1<0，ℎ(0)=1−12>0， 所以h （x ）在（–2，+∞）内有且只有一个零点．（II ）构造函数H （x ）=f （x ）–g （x ）=e x –ln （x +2），H′(x)=e x −1x+2． 由（I ）可知：存在x 0∈（–1，0）使得，H′(x 0)=e x 0−1x 0+2=0即e x 0=1x 0+2． 当x ∈（–2，x 0）时，H '（x ）<0，H （x ）单减； 当x ∈（x 0，+∞）时，H '（x ）>0，H （x ）单增； 所以H(x)min =H(x 0)=ex 0−ln(x 0+2)=ex 0+x 0=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0，所以H （x ）=f （x ）–g （x ）>0， 所以当x >–2时，f （x ）>g （x ）．【点评】本题考查导数在研究函数中的应用，函数与方程，是中档题．21．如图，过抛物线C ：y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B ，P 为拋物线上任意一点（与A ，B 不重合），直线P A ，PB 分别交抛物线的准线l 于点M ，N ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程； （Ⅱ）求证：MF ⊥NF ．【点睛】（Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线求出两根之积，再求P A 、PB 的方程，进而求出M ，N 的坐标，由FN →⋅FM →=0可得MF ⊥NF ． 【解析】（I ）因为抛物线C ：y 2=8x ，所以抛物线的焦点F （2，0），准线l 的方程为x =–2．（II ）由（I ）知，设直线AB 的方程为x –2=my （m ∈R ）． 令P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x −2=my y 2=8x ，消去x 得y 2–8my –16=0，由根与系数的关系得y 1y 2=–16．直线PB 方程为：y−y 0y 2−y 0=x−x 0x 2−x 0，即y =y 2−y 0x 2−x 0(x −x 0)+y 0=y 2−y 0y 228−y 028(x −y 028)+y 0=8y 2+y 0(x −y 028)+y 0=y 2y 0+8x y 2+y 0． 当x =–2时，y =y 2y 0−16y 2+y 0，所以N(−2，y 2y 0−16y 2+y 0)；同理可得M(−2，y 1y 0−16y 1+y 0)； 所以FN →=(−4，y 2y 0−16y 2+y 0)，FM →=(−4，y 1y 0−16y 1+y 0)，所以FN →⋅FM →=16+y 2y 0−16y 2+y 0×y 1y 0−16y 1+y 0=16(y 2+y 0)(y 1+y 0)+(y 2y 0−16)(y 1y 0−16)(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16y 1y 2+16y 02+y 1y 2y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16(−16)+16y 02+(−16)y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=0， 所以FN →⊥FM →； 所以MF ⊥NF ．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，是中档题．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. [选修4––4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数）． （Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2，π6)时，求直线l 的倾斜角． 【点睛】（I ）利用平方关系消去参数即可求解．（II ）解法一：中点化成直角坐标为(√3，1)，将{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1，得(cos 2α+3sin 2α)t 2+(6sinα+2√3cosα)t −6=0，用根与系数的关系、参数的意义即可得出．解法二：中点的直角坐标为(√3，1)．联立直线l 与曲线C ，求得 x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1．由点差法求得直线的斜率．【解析】（I ）{x =2√3cosβy =2sinβ，（β为参数），即{cosβ=x23sinβ=y 2消去参数得x 212+y 24=1；所以曲线C 的普通方程为x 212+y 24=1．（II ）解法一(参数法)：中点极坐标(2，π6)化成直角坐标为(√3，1)，将{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1，得(√3+tcosα)212+(1+tsinα)24=1．所以(cos 2α+3sin 2α)t 2+(6sinα+2√3cosα)t −6=0， 由参数t 的几何意义得t 1+t 2=−6sinα+2√3cosαcos 2α+3sin 2α=0，即−6sinα−2√3cosα=0． 即sinαcosα=−√33，所以tanα=k =−√33； 又α∈（0，π），所以直线l 的倾斜角为5π6．解法二(点差法)：中点极坐标(2，π6)化成直角坐标为(√3，1)．设直线l 与曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， 所以x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1．联立{x 1212+y 124=1x 2212+y 224=1，得x 22−x 1212+y 22−y 124=0，化简得y 2−y 1x 2−x 1=−x 1+x 23(y 1+y 2)=−2√33×2=−√33． 所以k l =tanα=−√33．又α∈（0，π），所以直线l 的倾斜角为5π6．【点评】本题考查参数方程化为普通方程，参数的意义，是中档题． [选修4––5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x–a|（x–2）+|x–2|（x–a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）<0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．【点睛】（Ⅰ）将a=2代入，分类求解；（Ⅱ）用绝对值不等式的性质得|x–a|≤x–a，由此得解．【解析】（I）当a=2时，f（x）=|x–2|（x–2）+|x–2|（x–2），由f（x）<0得|x–2|（x–2）+|x–2|（x–2）<0．①当x≥2时，原不等式可化为2（x–2）2<0，无解；②当x<2时，原不等式可化为–2（x–2）2<0，解得x<2；所以f（x）<0的解集为{x|x<2}．（II）当x∈（0，2）时，x–2≤0；f（x）=|x–a|（x–2）+|x–2|（x–a）=（x–2）[|x–a|–（x–a）]．由f（x）≥0得（x–2）[|x–a|–（x–a）]≥0，因为x–2≤0，所以|x–a|–（x–a）≤0，即|x–a|≤x–a，所以x–a≥0，即a≤x，x∈（0，2），所以a≤0；所以a的取值范围为（–∞，0]．【点评】本题考查绝对值不等式，是基础题．。