备战2021年高考文科数学(新课标Ⅰ卷)1(原卷版)
14．若 ，则 。
15．已知数列 、 为等差数列，其前 项和分别为 、 ， ， 。
16．已知点 为双曲线 ： ( ， )在第一象限上一点，点 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点， ，则双曲线 的离心率为；若 、 分别交双曲线 于 、 两点，记直线 与 的斜率分别为 、 ，则 。(本题第一空2分，第二空3分)
19．（12分）
在直三棱柱 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点。
(1)当 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 体积。
20．（12分）
在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 到直线 的距离为 ，满足 。
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过轨迹 上的纵坐标为 的点 作两条直线 、 ，分别与轨迹 交于点 、 ，且点 到直线 、 的距离均为 ( )，求线段 中点的横坐标的取值范围。
单价 (元)
单位时间内的销售量 (件)
其中价格 (元)恰为公差为 的等差数列 的前 项，且等差数列 的前 项的和为 。
(1)求出 对 的回归直线方程；
(2)请根据(1)中的结果预测，当该款巧克力的单价为 元时，单位时间内的销售量约为多少件？(结果四舍五入)
附：回归直线方程的倾斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
如图所示，在 中， ， ，点 在 上，且 。
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的长。
18．（12分）
七夕将至，某公司市场专员对该公司的一款名为“情意浓浓”的巧克力的单价 (元)和单位时间内的销售量 (件)之间的关系作出价格分析，所得数据如下：
(1)求 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
(2)已知点 ，直线 与圆 相交于 、 两点，求 。
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 。
(1)若 ， ，画出函数 的图像；
(2)若 ， ，求 的解集。
黄金卷10（新课标Ⅰ卷）
ห้องสมุดไป่ตู้文科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
2．设复数 满足 ，则复数 ( )。
A、
B、
C、
D、
3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则( )。
A、
B、
C、
D、
10．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，且 、 、 为等差数列，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
11．在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的半径为( )。
A、
B、
C、
D、
12．已知 、 是函数 ( )在 上的两个零点，则 、 满足( )。
A、
B、
C、
D、
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
21．（12分）
已知函数 ，其中 ， 。
(1)当 时，证明不等式 恒成立；
(2)若 ( )，证明 有且仅有两个零点。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)。在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的极坐标方程为 。
A、
B、
C、
D、
4．若双曲线 ( ， )的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的渐近线方程是( )。
A、
B、
C、
D、
5．函数 的图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
6．古希腊数学家阿基米徳的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为 的圆柱，则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为( )。
A、
B、
C、
D、
7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )。
A、
B、
C、
D、
8．设函数 ，若两条平行直线 与 之间的距离为 ，则函数 零点的个数是( )。
A、
B、
C、
D、
9．已知双曲线 ： ( ， )的左焦点为 ，过原点的直线 与双曲线左、右两支分别交于点 、 ，且满足 ，虚轴的上端点 在圆 内，则该双曲线离心率的取值范围为( )。
备战2021年高考文科数学(新课标Ⅰ卷)1(解析版)
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设内Байду номын сангаас球的半径为 ，则圆柱的面半径为 ，高为 ，
故圆柱的表面积 ，内切球的表面积 ，
∴该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为 ，故选B。
7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
则周期为 ，当 时输出，此时 ，故选C。
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】 ，∴ ，故选A。
3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵ 定义在 上的偶函数，∴ ， ，
又 ， ，
∴ ，∴ ，故选C。
4．若双曲线 ( ， )的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的渐近线方程是( )。
【解析】(1)证明：∵ ， 是 的中点，∴ ，1分
在直三棱柱 中，
∵ 底面 ， 底面 ，∴ ，2分
∵ ，∴ 平面 ，3分
∵ 平面 ，∴ ，4分
在矩形 中，∵ ， ，
∴ ≌ ，∴ ，5分
∴ ，∴ ，∵ ，∴ 平面 ，6分
(2)解：∵ 平面 ， ，又 ， ，8分
七夕将至，某公司市场专员对该公司的一款名为“情意浓浓”的巧克力的单价 (元)和单位时间内的销售量 (件)之间的关系作出价格分析，所得数据如下：
单价 (元)
单位时间内的销售量 (件)
其中价格 (元)恰为公差为 的等差数列 的前 项，且等差数列 的前 项的和为 。
(1)求出 对 的回归直线方程；
新课标Ⅰ高考数学文科试题(含答案)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅰ2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考前须知： 1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合 题目要求的.〔1〕设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，那么AB =〔A 〕{1,3}〔B 〕{3,5}〔C 〕{5,7}〔D 〕{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a=〔A 〕－3〔B 〕－2〔C 〕2〔D 〕3〔3〕为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕56〔4〕△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.a =2c =，2cos 3A =，那么b= 〔ABC 〕2〔D 〕3〔5〕直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，那么该椭圆的离心率为〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕34〔6〕假设将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为〔A 〕y =2sin(2x +π4) 〔B 〕y =2sin(2x +π3) 〔C 〕y =2sin(2x –π4) 〔D 〕y =2sin(2x –π3)〔7〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是28π3，那么它的外表积是〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π 〔8〕假设a>b>0，0<c<1，那么〔A 〕log a c <log b c 〔B 〕log c a <log c b 〔C 〕a c <b c 〔D 〕c a >c b 〔9〕函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔10〕执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,那么输出,x y 的值满足〔A 〕2y x = 〔B 〕3y x = 〔C 〕4y x = 〔D 〕5y x =〔11〕平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，那么m ，n 所成角的正弦值为〔A 〕32〔B 〕22〔C 〕33〔D 〕13〔12〕假设函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，那么a 的取值范围是 〔A 〕[]1,1-〔B 〕11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔D 〕11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每题5分〔13〕设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，那么x =. 〔14〕θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，那么tan(θ–π4)=. 〔15〕设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设，那么圆C 的面积为。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I卷)文科数学试题及解答
1- x x n n普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么球的表面积公式P ( A + B ) = P ( A ) + P (B )S = 4πR 2如果事件 A ，B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 P ( A B ) = P ( A ) P (B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么球的体积公式V = 4πR 33 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径P (k ) = C k P k (1- P )n -k(k = 0，1, 2， ，n ) 一、选择题1．函数 y = + 的定义域为（）A ．{x | x ≤1}B ．{x | x ≥ 0}C ．{x | x ≥1或x ≤ 0}D ．{x | 0 ≤ x ≤1}2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）ssOtO A ．B ．C ．D ．s t Ost Otx 233． ⎛1+ ⎝ x ⎫5⎪ ⎭ 的展开式中 x 2 的系数为（ ）5A ．10B ．5C ．2D ．14．曲线 y = x 3- 2x + 4 在点(1，3) 处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．在△ABC 中， AB = c ， AC = b ．若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =（ ）A ． 2 b + 1c3 3 B ． 5 c - 2b33C ． 2 b - 1c3 3 D ． 1 b + 2c336． y = (sin x - cos x )2-1是（ ）A ．最小正周期为2π 的偶函数B ．最小正周期为 2π 的奇函数C ．最小正周期为 π 的偶函数D ．最小正周期为 π 的奇函数7．已知等比数列{a n }满足 a 1 + a 2 = 3，a 2 + a 3 = 6 ，则 a 7 = （ ）A ．64B ．81C ．128D ．2438．若函数 y = f (x ) 的图象与函数 y = ln +1的图象关于直线 y = x 对称，则 f (x ) =（）A ． e 2 x -2B ． e 2 xC ． e 2 x +1D ． e 2 x -29．为得到函数 y = cos ⎛x +π ⎫的图象，只需将函数 y = sin x 的图像（）3 ⎪πA ．向左平移 6 ⎝⎭π个长度单位 B ．向右平移 6个长度单位 5π C ．向左平移65π 个长度单位D ．向右平移6个长度单位10．若直线 x + y= 1与圆 x 2+ y 2= 1有公共点，则（）a bA ． a 2 + b 2≤1B ． a 2 + b 2≥1C ． 1 + 1≤1a 2b 2D ．1+ a 2 1≥1 b 211．已知三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）1 2 A ．B ．C ．D ．333312．将 1，2，3 填入3⨯ 3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，2则不同的填写方法共有（）⎩A ．6 种B ．12 种C ．24 种D ．48 种2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+ 选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在．试．题．卷．上．作．答．无．效．．3．本卷共 10 小题，共 90 分．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）⎧x + y ≥ 0， ⎪13．若 x ，y 满足约束条件 ⎨x - y + 3≥0，则 z = 2x - y 的最大值为 ．⎪0 ≤ x ≤3， 14．已知抛物线 y = ax 2-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在△ABC 中， ∠A = 90， tan B = 3．若以 A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆4的离心率e = ．16．已知菱形 ABCD 中， AB = 2 ， ∠A = 120，沿对角线 BD 将△ABD 折起，使二面角A - BD - C 为120 ，则点 A 到△BCD 所在平面的距离等于．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）设△ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a ，b ，c ，且 a cos B = 3， b sin A = 4 ． （Ⅰ）求边长 a ；1 2 3 3 1 2 231（Ⅱ）若△ABC 的面积S = 10 ，求△ABC 的周长l ．18．（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=2，AB =AC ．（Ⅰ）证明：AD ⊥CE ；（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C -AD -E 的大小．AC19．（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）在数列{a }中，a =1，a = 2a+ 2n ．n 1 n+1 n（Ⅰ）设bn =an2n-1．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．20．（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取1 只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．B21．（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）已知函数 f (x ) = x 3+ ax 2+ x +1， a ∈ R ．（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）设函数 f (x ) 在区间⎛ - 2 ，-1 ⎫内是减函数，求 a 的取值范围．33 ⎪ ⎝⎭22．（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2 ，经过右焦点 F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2 于 A ，B 两点．已知 OA 、AB 、OB 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程．5 52008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B1 二、13．9 14．2115．216．2三、17．解：（1）由 a cos B = 3与b sin A = 4 两式相除，有：3 = a cos B = a cos B = b cos B = cot B4 b sin A sin A b sin B b 又通过a cos B = 3知： cos B > 0 ，则cos B = 3 ， sin B = 4，5 5则a = 5 ．（2）由 S = 1ac sin B ，得到c = 5 ．2a 2 + c 2 -b 2由cos B =，2ac解得： b = 2 ，最后l = 10 + 2 ．18．解：（1）取 BC 中点 F ，连接 DF 交CE 于点O ，AB = AC ， ∴ AF ⊥ BC ，又面 ABC ⊥ 面 BCDE ， ∴ AF ⊥ 面 BCDE ， ∴ AF ⊥ CE ．tan ∠CED = tan ∠FDC =2 ，2∴ ∠OED + ∠ODE = 90 ，∴∠DOE = 90 ，即CE ⊥ DF ，∴CE ⊥ 面 ADF ， ∴CE ⊥ AD ．（2）在面 ACD 内过C 点做 AD 的垂线，垂足为G ．3DE 2 - DG 2 6 10 ⎛ 10 ⎫n +1 n n n n = CG ⊥ AD ， CE ⊥ AD ， ∴ AD ⊥ 面CEG ， ∴ EG ⊥ AD ，则∠CGE 即为所求二面角． CG =AC CD = 2 3 ， D G = 6， AD 3 3EG = 30 ，3CE = ，CG 2 + GE 2 - CE 2则cos ∠CGE == - ，2CG GE10∴∠CGE = π - arccos 10 ⎪ ．⎝ ⎭19．解：（1） a = 2a + 2n，a n +1 =2n a n2n -1 + 1， b n +1 = b n + 1，则b n 为等差数列， b 1 = 1，b n = n ， a n = n 2n -1 ．（2） S = 1 20+ 2 21+ + (n -1) 2n -2+ n 2 n -12S = 1 21 + 2 22 + + (n -1) 2n -1 + n 2 n 两式相减，得S = n 2n -1 20 - 21 - 2n -1 = n 2n - 2n +1 ． 20次数 1 2 3 4 5 概率0.20.20.20.20.2对于乙：次数 2 3 4 概率0.40.40.20.2 * 0.4 +* **．21．解：（1） f (x ) = x 3+ ax 2+ x +1⎛ -a + a 2 - 3a 求导： f '(x ) = 3x 2+ 2ax +1当a2≤ 3时， ∆ ≤ 0， f '(x ) ≥ 0f (x ) 在R 上递增当a 2> 3， f '(x ) = 0 求得两根为 x =3⎛ -a - a 2 - 3 ⎫⎛ -a - a 2 - 3 -a + a 2 - 3 ⎫ 即 f (x ) 在 -∞， 3 ⎪ 递增， 3 ， 3 ⎪ 递减，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎫ 3 ，+ ∞⎪ 递增⎝ ⎭⎧ -a - ⎪ ⎪ （2） ⎨⎪ -a + ⎪⎩a 2- 3 ≤ - 23 3 ，且 a 2 > 3 a 2 - 3 ≥ -13 3 解得： a ≥ 7422．解：（1）设OA = m - d ， AB = m ， OB = m + d由勾股定理可得： (m - d )2+ m 2= (m + d )2得： d = 1 m ， tan ∠AOF = b， tan ∠AOB = tan 2∠AOF =AB = 44aOA 32 b 由倍角公式∴ a = 4 ，解得 b = 1则离心率e =⎛ b ⎫23 a 2 1- ⎪⎝ ⎭5 ．2（2）过 F 直线方程为 y = - a(x - c )bx 2 - y 2 =与双曲线方程 a 2将a = 2b ， c = b 21联立15 5b 代入，化简有 4b2x 2 - bx + 21 = 0 -a ± a 2- 3 8 51+ b ⎪ ⎛ a ⎫2⎝ ⎭ - =4 = x 1 - x 2 =将数值代入，有4 解得b = 3最后求得双曲线方程为：x 2 y 21． 36 9点评：本次高考题目难度适中，第 12 道选择题是 2007 年北京市海淀区第二次模拟考试题， 新东方在 2008 年寒假强化班教材的 220 页 33 题选用此题进行过详细讲解，在 2008 年春季 冲刺班教材 30 页 33 题也选用此题，新东方的老师曾在多种场合下对此题做过多次讲解．第 19 道计算题也是一个非常典型的题型，在 2007 年 12 月 31 日，新东方在石家庄的讲座上曾 经讲过这类问题的解法，在 2008 年的讲课中也多次提过此题型是重点．其他的题型也都很固定，没有出现偏题怪题，应该说，本次高考题的难度，区分度都非常恰当．⎡ ⎢1+ ⎛ a ⎫2 ⎤ ⎢⎣ ⎝ b ⎭ ⎥⎦⎪ ⎥ ⎣ ( x + x ) - 4 x x 21 2 1 2 ⎦ 5 ⎢ ⎡⎛ 32 5b ⎫228b 2 ⎤ ⎣⎝ 15 ⎪ - 4 ⎭ 5 ⎦。
2021年高考全国乙卷数学(文科)试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2． 故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12， 构成该事件的区域长度为13−0=13， 所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案． 本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52． 故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点， 当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可． 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值． 故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3， 令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33， 所以切线方程为y =±√33(x −4)+1， 因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2021年高考数学全国卷Ⅰ文科试题(全解析)
普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)12 (C)121.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()UN M ⋂=A.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5UM =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂={}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,x +20y -=所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=+1a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求C DA 1B 1C 1D 1 Oz x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =4（9）正方体ABCD -1111A B C D中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）（B（C ）23（D 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACDV V--=,即111133ACD ACDS DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD1=a,则122111sin60)22ACDS AC AD∆==⨯=,21122ACDS AD CD a∆==.所以13133ACDACDS DDDO aS∆∆===,记DD1与平面AC1D所成角为θ,则1sin3DODDθ==,所以cosθ=.【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O；1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，1111cos3O OO ODOD∠===（10）设123log2,ln2,5a b c-===则（A）a b c<<（B）b c a<< (C) c a b<< (D) c b a<<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】a=3log2=21log3, b=In2=21log e,而22log3log1e>>,所以a<b,c=125-222log4log3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a=3log2=321log,b=ln2=21log e, 3221log log2e<<<，32211112log log e<<<；c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA PB•的最小值为(A) 4-+3- (C) 4-+3-+11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析1】如图所示：设PA=PB=x(0)x>,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+.此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--•==+-≥【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (C) 12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2021新高考Ⅰ卷数学真题及答案 (原卷版+答案版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（原卷）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(z(z⃗+i)=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2√2C.4D.4√24.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2 π)5.已知F1,F2是椭圆C：x 29+y24=1的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=A.−65B. −25C.25D.657.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则A. e b <aB. e a <bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (文科)解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1 至3 页,第Ⅱ卷3 至5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A ={1, 3,5, 7}, B ={x 2 x 5},则A B =（）（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设(1 + 2 i)(a + i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（）（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析：(1 + 2i)(a +i) =a - 2 + (1 + 2a)i ,由已知,得a - 2 = 1 + 2a ,解得a =-3 ,故选A. 考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类5 问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2= -1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）【答案】C1 （A ）31 （B ）22（C ）35 （D ）6考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举 法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. （4）△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.已知 a =, c = 2, cos A = 2,则b=（ ）3（A ） 【答案】D 【解析】（B ） （C ）2 （D ）3试题分析：由余弦定理得5 = b 2+ 4 - 2 ⨯ b ⨯ 2 ⨯ 2 ,解得b = 3（ b = - 1舍去）,故选 D.33考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程, 再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1,则该椭4圆的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中, OF = c, OB = b, OD = 1 ⨯ 2b = 1b4 223在Rt∆OFB 中, | OF | ⨯ | OB |=| BF | ⨯ | OD |,且a2 = b2 + c2 ,代入解得a2 = 4c2 ,所以椭圆得离心率得e =1,故选B. 2x考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .（6）若将函数π的图像向右平移1个周期后,所得图像对应的函数为（）y=2sin (2x+ )6 4（A）π（B）π（C）π（D）πy=2sin(2x+ )4y=2sin(2x+ )3y=2sin(2x– )4y=2sin(2x– )3【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是（）3yD BF O（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（8）若a >b > 0 , 0 <c < 1,则（）（A）log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a c<b c（D）c a>c b【答案】B【解析】试题分析：由0 <c < 1可知y = logc x 是减函数,又a >b > 0 ,所以logca < logcb ．故选B.本题也可以用特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）函数y = 2x2 -e x 在[-2, 2]的图像大致为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（10）执行右面的程序框图,如果输入的x = 0, y =1, n=1,则输出x, y 的值满足（）（A）y = 2x （B）y = 3x （C）y = 4x （D）y = 5x【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：x = 0, y = 1, n = 2,第二次循环：x =1, y = 2, n = 3, 2第三次循环：x =3, y = 6, n = 3,此时满足条件x2 +y2 ≥ 36 ,循环结束, x =3, y = 6 ,满足2 2y = 4x ．故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.（11）平面α过正文体ABCD—A1B1C1D1 的顶点Aα//平面CB1D1 ,α 平面ABCD =m ,α 平面ABB1 A1 =n ,则m,n 所成角的正弦值为（）（A）2【答案】A （B）2（C）3（D）13考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.323【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定 角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）若函数 f (x ) = x - 1sin 2x + a sin x 在(-∞, +∞)单调递增,则 a 的取值范围是（）3（A ） [-1,1] （B ） ⎡-1, 1 ⎤（C ） ⎡- 1 , 1 ⎤（D ） ⎡-1, -1 ⎤【答案】C⎣⎢ 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 3⎥⎦ ⎣⎢ 3⎥⎦考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调 性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值 域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分 （13）设向量 a =(x ,x +1),b =(1,2),且 a ⊥ b ,则 x = .【答案】 - 23【解析】试题分析：由题意,a ⋅b = 0, x + 2(x +1) = 0,∴ x = - 2. 3考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a =(x1, y1 ),b =(x2 , y2 ),则a ⋅b =x1 y1+x2y2 .（14）已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4【答案】-43 )= 35,则tan(θ–π4)=.【解析】试题分析：由题意sin⎛θ+π⎫= sin ⎡⎛θ-π⎫+π⎤= cos ⎛θ-π⎫=3,4 ⎪⎢ 4 ⎪ 2 ⎥ 4 ⎪5⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭因为2kπ+3π<θ< 2kπ+ 2π(k ∈Z ),所以2kπ+5π<θ-π< 2kπ+7π(k ∈Z ),2从而sin4 4 4．⎭考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.（15）设直线y=x+2a 与圆C：x2+y2-2ay-2=0 相交于A,B 两点,,则圆C 的面积为【答案】4π考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、⎛l ⎫2r 2 =d 2 + ⎪圆心到弦的距离d 之间的关系：⎝2 ⎭在求圆的方程时常常用到.⎛θ- π ⎫=- 4,因此tan⎛θ- π ⎫=- 4．故填- 4⎝ 4⎪⎭ 5⎝ 4 ⎪ 3 3⎪x ⎩ ⎪ （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】 216000 【解析】试题分析：设生产产品 A 、产品 B 分别为 x 、 y 件,利润之和为 z 元,那么⎧1.5x + 0.5 y 150, ⎪x + 0.3y 90, ⎨5x + 3y 600, ①⎪ 0, ⎪⎩ y 0.目标函数 z = 2100x + 900 y .⎧10x + 3 y = 900 取得最大值.解方程组 ⎨5x + 3y = 600,得 M 的坐标(60,100) .所以当 x = 60 , y = 100时, z max = 2100⨯ 60 + 900⨯100 = 216000 .故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约 束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）.（本题满分 12 分）已知{a n }是公差为 3 的等差数列,数列{b n }满足b =1，b = 1，a b + b = nb ,. 1 2 3 n n +1 n +1n（I ）求{a n }的通项公式； （II ）求{b n }的前 n 项和.【答案】（I ） a = 3n -1（II ） 3 - 1. n2 2⨯ 3n -1（II ）由（I ）和 a b + b= nb ,得b = b n,因此{b }是首项为1,公比为 1的等比数列. n n +1n +1 nn +1 3 n 3记{b n }的前 n 项和为 S n ,则1-1 n( 3) 3 1S n = 1- 1 3= - 2 2 ⨯ 3 n -1 . 考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分 12 分）如图,在已知正三棱锥 P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点 P在平面ABC 内的正投影为点E,连接PE 并延长交AB 于点G.（I）证明G 是AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．4【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为3试题解析：（I）因为P在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE.所以AB ⊥平面PED ,故AB ⊥PG.又由已知可得, PA =PB ,从而G 是AB 的中点.（II）在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥PA , PB ⊥PC ,又EF / / PB ,所以EF ⊥PC ,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.由（I ）知, G 是 AB 的中点,所以 D 在CG 上,故CD = 2 CG . 3 由题设可得 PC ⊥ 平面 PAB , DE ⊥平面 PAB ,所以 DE / / PC ,因此 PE = 2 PG , DE = 1 PC .3 3由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA = 6 ,可得 DE = 2, PE = 2 2.在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF = PF = 2.1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积V = ⨯ ⨯ 2⨯ 2⨯2 = .3 2 3考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度 不大,以中档题为主.（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如 果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集 并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）, n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I ）若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式；（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值；（III ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损 零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？OH ON⎧3800, 【答案】（I ） y = ⎨x ≤ 19, (x ∈ N ) （II ）19（III ）19 ⎩500x - 5700, x > 19,（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46,不大于 19 的概率为 0.7,故 n 的最小值为 19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(4000⨯ 90 + 4500⨯10) = 4050. 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂 题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中,直线 l :y =t (t ≠0)交 y 轴于点 M ,交抛物线 C ： y 2 = 2 px ( p > 0) 于点 P ,M 关于点 P 的对称点为 N ,连结 ON 并延长交 C 于点 H .（I ）求 ； （II ）除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I ）2（II ）没有【解答】试题分析：先确定 N (t p 2t 2 ,t ) , ON 的方程为 y = 2t 2 px ,代入 y 2 t = 2 px 整理得 px 2 | OH | - 2t 2 x = 0 , 解得 x 1 = 0 , x 2 = ,得 H ( p ,2t ) ,由此可得 N 为OH 的中点,即 = 2 .（II ） p | ON | 2把直线 MH 的方程 y - t = p x ,与 y 2 = 2 px 联立得 y 2 - 4ty + 4t 2 = 0,解得 y = y = 2t ,2t1 2 即直线 MH 与C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与C 没有其它公共点.（Ⅱ）直线 MH 与C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下：直线 MH 的方程为 y - t =px ,即 x = 2t ( y - t ) .代入 y 2 = 2 px 得 y 2 - 4ty + 4t 2 = 0 ,解得 2t py 1 = y 2 = 2t ,即直线 MH 与C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、 函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x - 2)e x + a ( x - 1)2．(I)讨论 f ( x )的单调性；(II)若 f ( x )有两个零点,求 a 的取值范围.【答案】见解析(II) (0, +∞)【解析】试题分析：(I)先求得 f '(x ) = (x -1)(e x + 2a ).再根据 1,0,2a 的大小进行分类确定 f ( x )的 单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为(0, +∞).2试题解析：(I)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a). (i)设a ≥ 0 ,则当x ∈(-∞,1)时, f '(x)< 0 ；当x ∈(1, +∞)时, f '(x)> 0 .所以在(-∞,1)单调递减, 在(1, +∞)单调递增. (ii)设a < 0 ,由f '(x)= 0 得x=1 或x=ln(-2a).①若a=-e,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f (x)在(-∞, +∞)单调递增.②若a >-e,则ln(-2a)<1,故当x ∈(-∞, ln (-2a)) (1, +∞)时, f '(x)> 0 ；2当x ∈(ln (-2a),1)时, f '(x)< 0 ,所以f (x)在(-∞, ln (-2a)), (1, +∞)单调递增,在(ln (-2a),1)单调递减.③若a <-e,则ln (-2a)> 1,故当x ∈(-∞,1) (ln (-2a), +∞)时, f '(x)> 0 ,当2x ∈(1, ln (-2a))时, f '(x)< 0 ,所以f (x)在(-∞,1), (ln (-2a), +∞)单调递增,在(1, ln (-2a ))单调递减.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲1 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以 O 为圆心, 2(I)证明：直线 AB 与 O 相切；OA 为半径作圆. (II)点 C ,D 在⊙O 上,且 A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .【答案】(I)见解析(II)见解析在 Rt ∆AOE 中, OE=1 AO ,即O 到直线 AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线 AB 与⊙ O 2相切．（Ⅱ）因为OA = 2OD ,所以O 不是 A , B , C , D 四点所在圆的圆心,设O ' 是 A , B , C , D 四点⎩⎩ 1 2 所在圆的圆心,作直线OO '．由已知得O 在线段 AB 的垂直平分线上,又O ' 在线段 AB 的垂直平分线上,所以OO ' ⊥ AB ．同理可证, OO ' ⊥ CD ．所以 AB // CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系 的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相 似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程⎧x = a cos t在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎨ y = 1+ a sin t （t 为参数,a ＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2：ρ= 4 cos θ.（I ）说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（II ）直线 C 3 的极坐标方程为θ=α0 ,其中α0 满足 tan α0 =2,若曲线C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上,求 a ．【答案】（I ）圆, ρ2 - 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0（II ）1试题解析：⑴⎧x = a cos t ⎨ y = 1 + a sin t （ t 均为参数）,∴ x 2 + ( y - 1)2 = a 2 ① ∴ C 为以(0 ，1)为圆心, a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ,∴ ρ2 - 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 即为C 的极坐标方程 1⑵ C ：ρ= 4cos θ,两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2 = x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ∴ x 2 + y 2 = 4x ,即(x - 2)2 + y 2 = 4②C 3 ：化为普通方程为 y = 2x ,由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ,即为C 3∴1 - a 2 = 0 ,∴ a = 1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数f (x)= x +1 - 2x - 3 .（I）在答题卡第（24）题图中画出y =f (x)的图像；（II）求不等式 f (x)> 1的解集．⎛-∞ 1 ⎫【答案】（I）见解析（II） ，⎪ (1，3) (5，+∞)⎝ 3 ⎭试题解析：⑴如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。
2021年全国高考数学押题试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)
2021年全国高考数学押题试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z⋅(2−3i)=1−i，复数z的虚部是()A. 513i B. 513C. 113D. 113i2.集合A={x|y=ln(x−1)}，集合B={x||x|<2}，则B∩(∁R A)=()A. {x|−2<x≤1}B. {x|−2<x<2}C. {x|2≤x}D. {x|1<x≤2}3.重点高中对数学竞赛非常的重视，现在用茎叶图记录了甲、乙两组某次选拔赛的数学成绩，其中甲组数据的中位数恰是乙组数据的平均数，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 44.函数f(x)=2e x的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点所在的区间可能为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.等比数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，则{a n}的前12项和为()A. 90B. 60C. 45D. 326.在四面体ABCD中，BC=BD=CD=2，AB=2√3，N是棱AD的中点，CN=√3，则异面直线AB与CN所成的角为()A. π3B. π6C. π4D. π27.排球比赛场地为长18米宽为9米的长方形，均分两个半场．现将每个半场的底线两角处分割出两个半径均是2米的四分之一圆的扇形区域(如图)，球员发球后球落在扇形区域称为“优质球”.若某名球员从一侧发球，球一定落在另一半场且落的每一个地方的可能性相同，则该名球员所发的球是“优质球”的概率是()(其中π≈3)A. 19B. 29C. 227 D. 4278. 把函数f(x)=sin(3x +φ)的图象向左平移5π12个单位后，得到函数y =g(x)的图象，若函数y =g(x)是偶函数，则下列数中可能是φ的值的为( )A. 3π4B. π3C. π6D. π49. 已知直线l ：3x +4y =15与圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)相离，过直线l 上的动点P做圆O 的一条切线，切点为C ，若△OPC 面积的最小值是√2，则r =( )A. 1B. 2√2C. 1或2√2D. 210. 如图在正方体ABCD −A′B′C′D′中，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点，点P在底面ABCD 内，且DP//平面C′MN ，D′P 与底面ABCD 所成的角为α，则sinα的最大值为( )A. 13B. √33C. √32D. 2√2311. 已知椭圆C 1和双曲线C 2有公共焦点F 1(−c,0)，F 2(c,0)，C 1和C 2在第一象限的交点为P ，∠F 1PF 2=π3且双曲线的虚轴长为实轴长的√2倍，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √33C. √22D. √212. 已知数列{a n }满足a n+1+a n 2+a n +1=0(n ∈N ∗)，且{a n }中任何一项都不为−1，设数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2021=3a 2022+2a 2022+1，则a 1的值为( )A. 23B. 1C. 32D. −23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ >=______． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥02x −y −3≤0x +y ≥0，则z =x+y+3x+1的最大值是______．15.已知α，β为锐角，且cos(α+β)+2cos(α−β)=sinαsinβ，则tan(α−β)的最大值是______．16.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)为单调函数且对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)−lnx)=1，若方程f(x)=tx+1有两解，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosCcosB =2a−cb．(1)求证：三内角A，B，C成等差数列；(2)若△ABC的面积为3√32，2sinA=3sinC，求△ABC的周长．18.已知如图，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥CD，EB⊥平面ABCD，EF//CD，CD=2，EB=√3，EF=1，BC=√13，且M是AD的中点．(1)求证：FM//平面BDE；(2)求三棱锥C−ABF的体积V．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F在抛物线y2=8x的准线上，且椭圆C经过点A(√6,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y=kx+t与直线l1，l2分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆经过定点F．20.“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92．(1)估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；(2)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．21.已知函数f(x)=x−1+ae x(a∈R,e为自然对数的底数)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2cosθy=√6sinθ(θ为参数)，曲线C2的普通方程为：x2+y2−8x=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线θ=π3与曲线C1，C2分别交于A，B两点(异于极点O)，定点M(√3,0)，求△ABM的面积．23.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+1|．(1)解不等式f(x)<2；(2)若关于x的不等式f(x)+3|x+1|<a2−2a的解集不是空集，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵z⋅(2−3i)=1−i，∴z=1−i2−3i =(1−i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=2+3i−2i+513=513+113i，∴复数z的虚部为113．故选：C．根据已知条件，结合复数虚部的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题主要考查了复数虚部的概念和复数代数形式的乘法运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|−2<x<2}，∴∁R A={x|x≤1}，B∩(∁R A)={x|−2<x≤1}．故选：A．可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，对数函数的定义域，绝对值不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由图可知甲组数据由低到高依次是：79，82，85，94，97，所以甲组数据的中位数为85即乙组数据的平均数为85，所以85═78+80+m+85+87+945，解得m=1，故选：A．由茎叶图确定各数据，然后根据中位数和平均数的定义可求解．本题考查茎叶图，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度．4.【答案】B+5的图象交点的横坐标，【解析】解：函数f(x)=2e x的图象与函数g(x)=1x−5的零点，即求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−1x>0，由于函数ℎ(x)是连续增函数，且ℎ(1)=2e−6<0，ℎ(2)=2e²−112故ℎ(1)ℎ(2)<0，故函数ℎ(x)的零点所在区间是(1,2)，故选：B．−5的零点，根据ℎ(1)ℎ(2)<0，可得题目转化为求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−1x函数ℎ(x)的零点所在区间．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，∴由a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，得a7+a8+a9=12，a10+a11+a12=24，∴{a n}的前12项和为：3+6+12+24=45．故选：C．由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，由此能求出{a n}的前12项和．本题考查等比数列的前12项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：取BD的中点为M，N是棱AD的中点，MN//AB，∴∠MNC(或补角)为异面直线AB与CN所成的角，在△CMN中，MN=12AB=√3，CM=CN=√3，即△CMN是等边三角形，∴∠MNC=π3，故异面直线AB与CN所成的角为π3．故选：A．取BD的中点为M，可得∠MNC(或补角)为异面直线AB与CN所成的角，在△CMN中，可解得∠MNC．本题主要考查异面直线及其所成的角，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，两个扇形区域的面积之和S1=2×(14×π×22)≈6m2，半个场地的面积S=9×9=81m2，则该名球员所发的球是“优质球”的概率P=S1S =681=227；故选：C．根据题意，计算两个扇形区域的面积之和以及半个场地的面积，由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：把函数f(x)=sin(3x+φ)的图象向左平移5π12个单位后，得到函数y=g(x)=sin(3x+5π4+φ)的图象，若函数y=g(x)是偶函数，则5π4+φ=kπ+π2，k∈Z，令k=1，可得φ=π4，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵圆O：x2+y2=r2(r>0)的圆心O(0,0)，当点P与圆心的距离最小时，切线长PC最小，此时△OPC的面积最小，|PO|min=|15|√32+42=3，则|PC|min=√9−r2，此时S△OPC=12|PC|r=12⋅√9−r2⋅r=√2，解得r=1或2√2．故选：C．求出圆心O到直线l的距离，利用勾股定理求得PC的最小值，代入三角形面积公式即可求得r值．本题考查直线与圆的位置关系，明确P到圆心距离最小时△OPC的面积最小是关键，是基础题．10.【答案】D【解析】解：设AD的中点为S，CD的中点为T，因为D′S//C′N，ST//MN，且D′S∩ST=S，C′N∩MN=N，D′S，ST⊂平面D′ST，C′N，MN⊂平面C′MN，所以平面D′ST//平面C′MN，故点P在ST上时，D′P//平面C′MN，不妨设正方体的棱长为1，当点P为ST的中点时，DP取得最小值√24，此时D′P 与底面ABCD 所成的角α=∠D′PD 最大， 此时sinα=DD′D′P =√98=2√23．故选：D ．设AD 的中点为S ，CD 的中点为T ，利用面面平行的判定定理的推论，可得平面D′ST//平面C′MN ，从而得到点P 在ST 上时，D′P//平面C′MN ，设正方体的棱长为1，确定点P 为ST 的中点时，DP 取得最小值D′P 与底面ABCD 所成的角最大，在三角形中由边角关系求解即可．本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：设椭圆的半长轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，双曲线的虚半轴长为b 2， 椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，由定义知：{|PF 1|+|PF 2|=2a 1|PF 1|−|PF 2|=2a 2，可得|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，设|F 1F 2|=2c ，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得：4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)⋅cos π3，化简得：a 12+3a 22=4c 2，∴a 12c2+3a 22c 2=4，即1e 12+3e 22=4，∵b 2=√2a 2，∴c 22−a 22=2a 22，故e 22=3， ∴1e 12+33=4，即e 1=√33．故选：B ．设椭圆的半长轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，双曲线的虚半轴长为b 2，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，由椭圆与双曲线的定义列式可得|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，再由余弦定理得a 12+3a 22=4c 2，求得1e 12+3e 22=4，由已知求得e 2，即可得到椭圆的离心率．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查余弦定理等应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由a n+1+a n 2+a n +1=0，得−a n+1−1=a n (a n +1)，所以−1an+1+1=1a n (a n +1)=1a n −1a n +1，即1a n=1an +1−1a n+1+1，所以S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a1+1−1a 2+1)+(1a 2+1−1a 3+1)+⋯+(1a n+1−1a n+1+1)=1a 1+1−1a n+1+1，则S 2021=1a1+1−1a 2022+1=3a 2022+2a 2022+1；故1a1+1=3a 2022+2a 2022+1=3a 2022+3a 2022+1=3，解得a 1=−23．故选：D ．由a n+1+a n 2+a n +1=0可得−a n+1−1=a n (a n +1)，从而1a n=1an+1−1an+1+1，所以S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1−1a 2+1)+(1a 2+1−1a 3+1)+⋯+(1a n +1−1a n+1+1)=1a 1+1−1a n+1+1，可得S 2021=1a 1+1−1a 2022+1=3a 2022+2a 2022+1；再结合S 2021=3a 2022+2a 2022+1即可求出a 1．本题主要考查数列的递推公式，涉及裂项相消求和法，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．13.【答案】−13【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√5， 所以cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×3√5=−13． 故答案为：−13．根据平面向量的线性和数量积的坐标运算法则，即可得解．本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的线性和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】6【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y =0x −y +1=0，A(−12,12)，由z =x+y+3x+1=y+2x+1+1，其几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−2)连线的斜率加1，而k PA =12+2−12+1=5，则z =x+y+3x+1的最大值是6．故答案为：6．由约束条件作出可行域，由z =x+y+3x+1=y+2x+1+1，其几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−2)连线的斜率加1，则答案可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】√33【解析】解：∵cos(α+β)+2cos(α−β)=sinαsinβ，∴3cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=sinαsinβ，两边同时除以cosα可得，3cosβ+tanαsinβ=tanαsinβ，∴3cosβsinβ+tanαsin 2β=tanα，化简可得，tanα=3tanβ， ∵α，β为锐角，即tanα>0，tanβ>0，∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+3tan 2β=21tanβ+3tanβ≤2√1tanβ⋅3tanβ=√33，当且仅当1tanβ=3tanβ，即tanβ=√33时，等号成立，故tan(α−β)的最大值是√33．故答案为：√33．根据已知条件，运用三角函数的恒等变换，可推得tanα=3tanβ，再结合正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，即可求解．本题主要考查了正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】(0,1e)【解析】解：令f(x0)=1，则f(x)−lnx=x0，所以f(x)=lnx+x0，因为f(x0)=1，所以lnx0+x0=1，解得x0=1，则f(x)=lnx+1，故方程f(x)=tx+1化简可得tx=lnx，则t=lnxx，令g(x)=lnxx ，则g′(x)=1−lnxx2=0时，x=e，故当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x=e时，函数有最大值g(e)=1e，当x→+∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→−∞，作出函数g(x)的图像如图所示：由图可知，实数t的取值范围为(0,1e)，故答案为：(0,1e).由题意可得f(x)=lnx+1，方程f(x)=tx+1可变形得t=lnxx，构造函数g(x)=lnxx(x>0)，利用导数得到该函数的单调性及最值，作出图像，数形结合即可．本题考查函数的图象与性质的综合运用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是较难的题目．17.【答案】解：(1)证明：因为cosCcosB =2a−cb，所以(2a−c)cosB=bcosC，由正弦定理可得(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以cosB=−12，因为B∈(0,π)，所以B=π3，又A+B+C=π，则A+C=2π3，所以2B=A+C，也即A，B，C成等差数列，得证．(2)因为2sinA=3sinC，由正弦定理可得2a=3c①，由S△ABC=12acsinB=12acsinπ3=3√32，可得ac=6，②，由①②可得a=3，c=2，因为b2=a2+c2−2accosB=7，所以b=√7，故△ABC的周长为5+√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得cosB=−12，结合范围B∈(0,π)，可得B的值，进而利用三角形内角和定理即可证明．(2)由已知利用正弦定理可得2a=3c，利用三角形的面积公式可得ac=6，联立解得a，c的值，进而根据余弦定理即可求解b的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取BD的中点N，连接MN，NE，在△ABD中，∵M是AD的中点，∴MN//AB，且MN=12AB，又∵EF//CD，CD//AB，CD=AB，∴EF=12AB，∴MN//EF且MN=EF，则四边形MNEF为平行四边形，∴FM//EN，又∵EN⊂平面BDE，FM⊄平面BDE，∴FM//平面BDE；(2)解：∵EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥BE，又∵BD⊥CD，CD//AB，∴BD⊥AB，∵AB∩BE=B，∴BD⊥平面ABEF，由于CD//平面ABEF，∴C到平面ABEF的距离为BD=√BC2−CD2=3．而S△ABF=12⋅AB⋅BE=12×2×√3=√3，∴V C−ABF=13×3×√3=√3，即三棱锥C−ABF的体积是√3．【解析】(1)取BD的中点N，连接MN，NE，证明四边形MNEF为平行四边形，可得FM//EN，再由直线与平面平行的判定可得FM//平面BDE；(2)由EB⊥平面ABCD，得BD⊥BE，再证明BD⊥AB，可得BD⊥平面ABEF，从而得到C到平面ABEF的距离为BD=√BC2−CD2=3，求出三角形ABF的面积，再由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)抛物线y2=8x的准线为x=−2，由于椭圆C的交点F在x=−2上，所以F点坐标为(−2,0)，又椭圆C经过点A(√6,1)，所以{6a2+1b2=1a2=b2+4，解得a=2√2，b=2，所以椭圆C的方程为x28+y24=1．(2)证明：由(1)知，l1的方程为x=−2√2，l2的方程为x=2√2，直线l：y=kx+t与l1，l2分别交于M，N两点，所以M(−a,−ka+t)，N(a,ka+t)，联立{y=kx+t x28+y24=1，得(1+2k2)x2+4ktx+2t2−8=0，因为直线l与椭圆C相切，所以△=0，即16k2t2−4(1+2k2)(2t2−8)=0，则t2=8k2+4，又MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2+a,ka −t)⋅(−2−a,−ka −t)=4−a 2+t 2+k 2a 2=−4+t 2−8k 2=0， 所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以∠MFN =90°(为定值)，所以MN 为直径的圆经过定点F(−2,0)．【解析】(1)由物线y 2=8x 的方程得准线为x =−2，推出F 点坐标为(−2,0)，又椭圆C 经过点A(√6,1)，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案．(2)由(1)知，l 1的方程为x =−2√2，l 2的方程为x =2√2，则M(−a,−ka +t)，N(a,ka +t)，联立直线l 与椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 相切，得△=0，化简得t 2=8k 2+4，又MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠MFN =90°(为定值)，即可得出答案． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得a =1÷4−(0.0250+0.0475+0.0500+0.0125)=0.1150，所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为(6×0.0250+10×0.0475+14×0.1150+18×0.0500+22×0.0125)×4=13.64． (2)因为0.1150×4×n =92，所以n =920.1150×4=200．故参与主题教育活动的时间在(16,20]的人数为0.0500×4×200=40， 参与主题教育活动的时间在(20,24]的人数为0.0125×4×200=10．则利用分层抽样抽取的人数：在(16,20]内为4人，设为a ，b ，c ，d ，在(20,24]内为1人，设为A ．从这5人中选取3人的事件空间为：{(a,b ，c)，(a,b ，d)，(a,b ，A)，(a,c ，A)，(a,d ，A)， (b,c ，d)，(b,c ，A)，(b,d ，A)，(c,d ，A)}，共10种情况， 其中全是二等奖的有4种情况， 故3人均获二等奖的概率P =410=25．【解析】(1)由频率分布直方图能求出这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值．(2)由频率分布直方图求出n =920.1150×4=200.从而参与主题教育活动的时间在(16,20]的人数为40，参与主题教育活动的时间在(20,24]的人数为10.利用分层抽样抽取的人数：在(16,20]内为4人，设为a ，b ，c ，d ，在(20,24]内为1人，设为A.从这5人中选取3人，利用列举法能求出3人均获二等奖的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)由f(x)=x −1+a e x ，得f′(x)=1−ae x ，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴， ∴f′(1)=0，即1−ae =0，解得a =e ； (2)f′(x)=1−a e x，①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)为(−∞,+∞)上的增函数，所以f(x)无极值； ②当a >0时，令f′(x)=0，得e x =a ，x =lna ， x ∈(−∞,lna)，f′(x)<0；x ∈(lna,+∞)，f′(x)>0； ∴f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，故f(x)在x =lna 处取到极小值，且极小值为f(lna)=lna ，无极大值． 综上，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)在x =lna 处取到极小值ln a ，无极大值．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．(1)求出f(x)的导数，依题意，f′(1)=0，从而可求得a 的值； (2)f′(x)=1−a e x，分①a ≤0;②a >0讨论f(x)的单调性，从而可求其极值．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =√6sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 22+y 26=1；根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2=61+2cos 2θ．曲线C 2的普通方程为：x 2+y 2−8x =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=8cosθ．(2)由于定点M(√3,0)，所以点M 到直线θ=π3的距离d =√3sin π3=32． 故{ρ2=61+2cos 2θθ=π3，解得ρA =2，由于ρB =8cos π3=4， 所以|AB|=|ρA −ρB |=2， 所以S △ABM =12×2×32=32．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={x −2,x ≥12−3x,−1<x <12−x +2,x ≤−1，当x ≥12时，x −2<2，解得：x <4，即12≤x <4， 当−1<x <12时，−3x <2，解得：x >−23，即−23<x <12， 当x ≤−1时，−x +2<2，解得：x >0，即不等式无解， 综上，不等式的解集是(−23,4)；(2)f(x)+3|x +1|=|2x −1|+2|x +1|=|2x −1|+|2x +2|≥3， 结合题意a 2−2a >3，解得：a <−1或a >3， 故a 的取值范围是(−∞,−1)∪(3,+∞)．【解析】(1)求出f(x)的分段函数的形式，通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出f(x)+3|x +1|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是中档题．。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(原卷版+解析版)
为 x 轴上一点，且 PQ OP ，若 FQ 6 ，则 C 的准线方程为______.
15. 函数 f x 2x 1 2 ln x 的最小值为______.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm 12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm ， 20dm 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1 240dm2 ，对折 2 次共可以得到 5dm 12dm ，10dm 6dm ， 20dm 3dm 三种规格的图形，它们的 面积之和 S2 180dm2 ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 n 次，
B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正 确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
A. 2
【答案】B
B. 2 2
C. 4
D. 4 2
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为 l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得 l 的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为 l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 l 2 2 ，解得 l 2 2 .
故选：B.
4.
下列区间中，函数
f
x
（1）证明： OA CD ； （2）若 OCD 是边长为 1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE 2EA ，且二面角 E BC D 的大小为 45 ，求三棱锥 A BCD 的体积.
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(文科)答案
高招全国课标1（文科数学答案）1、B 【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得M N = (-1,1),选B2、【答案】：C 【解析】：由tan α > 0可得:k π <α < k π +2π(k ∈Z )，故2k π <2α <2 k π +π (k ∈Z )， 正确的结论只有sin 2α > 0. 选C3、【答案】：B 【解析】：11111222i z i i i i -=+=+=++，22112222z ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B 4、【答案】：D 【解析】：由双曲线的离心率可得232a a+=，解得1a =，选D. 5、【答案】：C 【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.6、【答案】：A 【解析】：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+ =()111222AB AC AB AC AD +=+=, 选A. 7、【答案】：A 【解析】：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π， 即①正确；y =| cosx |的最小正周期也是π ，即②也正确；cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期为π,即③正确；tan(2)4y x π=-的最小正周期为2T π=,即④不正确.即正确答案为①②③，选A8.【答案】：B 【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B9.【答案】：D 【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.10、【答案】：A 【解析】：根据抛物线的定义可知001544AF x x =+=，解之得01x =. A.11.【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a = 3. 选B12、【答案】：C 【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。