第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

1. 试用施密特法把下列向量组正交化:

(1)⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;

(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----20133

5212; (2)⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛633312321.

4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.

5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.

6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.

7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.

8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .

9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=2135

212b a A 的一个特征向量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;

(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.

10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.

11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.

12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .

13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .

14. 设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.