12-07 玻尔兹曼能量分布定律 等温气压公式
等温压强公式
等温压强公式等温压强公式是描述在等温条件下，气体的压强与体积之间的关系的数学公式。
它是热力学中的基本公式之一，对于理解气体的性质和行为具有重要意义。
在等温条件下，气体的温度保持不变，因此温度可以看作是常数。
根据理想气体定律，等温状态下，气体的压强和体积之间存在着特定的关系。
等温压强公式可以用数学表达式来表示，但在本文中，我们将通过描述来呈现这一公式，以增强文章的可读性。
假设我们有一定量的气体，它被封闭在一个容器中，温度保持不变。
当我们改变容器的体积时，气体的压强也会相应地发生变化。
根据等温压强公式，气体的压强和体积之间存在着反比关系。
当我们减小容器的体积时，气体分子与容器壁的碰撞频率增加，每个分子对容器壁的压力也相应增加。
因此，气体的压强会增加。
相反，当我们增大容器的体积时，气体分子与容器壁的碰撞频率减小，每个分子对容器壁的压力也相应减小，导致气体的压强减小。
这种反比关系可以用等温压强公式来描述，公式的数学形式如下：P1V1 = P2V2其中，P1和V1分别表示初始的压强和体积，P2和V2分别表示改变后的压强和体积。
等温压强公式的应用十分广泛。
它可以用来解释气体的行为，如气体的膨胀和压缩。
在工程领域，等温压强公式也被用来计算和预测气体系统的性能。
例如，在设计汽车引擎时，工程师需要考虑气体在汽缸中的压强和体积变化，以确保引擎的正常运行。
等温压强公式是描述在等温条件下，气体的压强和体积之间关系的重要公式。
通过理解和应用这一公式，我们可以更好地理解气体的行为和性质，为工程和科学领域的研究提供基础。
希望通过本文的描述，读者能够更好地理解等温压强公式的意义和应用。
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式是一种描述理想气体分子速度分布的数学公式。
该公式由奥地利物理学家鲁道夫·玻尔兹曼在19世纪末提出，被广泛应用于热力学和统计物理学领域。
根据热力学玻尔兹曼分布公式，理想气体分子的速度分布可用以下公式描述：
f(v) = 4π( m / 2πkT )^(3/2) * v^2 * exp( -m*v^2 /
2kT )
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
可以看出，该公式与温度和分子质量有关，速度越高的分子出现的概率越小，速度越低的分子出现的概率越大。
热力学玻尔兹曼分布公式的推导过程比较复杂，需要运用到分布函数、分子动力学等概念和方法。
该公式的应用也十分广泛，例如在热力学中用于计算气体的内能、熵等物理量，在化学中用于描述反应速率、碰撞频率等重要参数。
- 1 -。
玻尔兹曼能量分布
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
玻尔兹曼能量分布
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
能量较大的分子数较小 能量较小的分子数较大
分子总是优先占据低能量状态
由麦克斯韦速率分布的归一化条件:
动能与速度有关，势能与位置有关.
系统处于平衡态时, 坐标、速度介于
空间区域: x → x + dx , y → y + dy , z → z + dz
速度区间: vx → vx + dvx , vy → vy + dvy , vz → vz + dvz
玻耳兹曼能量分布律:
内的分子数为
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
解得
dp = γ p dT γ −1T
因为
− m0 gz
p = p0e kT所以d Nhomakorabeap
=
−
p kT
m0 gdz
dT = − γ −1 m0g = − γ −1 Mg
dz γ k
γR
玻尔兹曼能量分布
空气分子平均摩尔质量: M = 29×10-3 kg. mol-1;
比热容比 : γ = 1.4
dT = −9.8 ×10−3 K ⋅ m −1 dz
大学物理
气体动理论
第4讲 玻尔兹曼能量分布
一、玻耳兹曼能量分布
奥地利物理学家玻耳兹 曼(Boltzmann,1844 — 1906), 在麦克斯韦速率分布的基础 上考虑到外力场对气体分子 分布的影响,建立了气体分子 按能量的分布规律.
大学物理-热学习题课和答案解析
2V
D）n 相同，（EK / V ）相同，ρ相同。 nm 不同
8、给定理想气体，从标准状态（ P0 V0 T0 ）开始作绝热膨胀，
体积增大到3倍，膨胀后温度T， 压强P与标准状态时T0 、
P0的关系为：
√ A)T
(1) 3
T0
P
(1) 3
1
P0
B)T
(
1 3
)
1T0
P
(1) 3
P0
C)T
( 1 ) 3
了。则 根据热力学定律可以断定：
① 理想气体系统在此过程中吸了热。
② 在此过程中外界对理想气体系统作了功。 ③ 理想气体系统的内能增加了。 ④ 理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了功。
√ A） ① ③ B） ② ③ C） ③ D） ③ ④ E） ④
7、两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但
i RT
2 ( E )
(Q) p Cp,mRT
(Q )T
RT
ln
V2 V1
( A)
Q0
E CV ,mT
pV
RT
CV ,m
iR 2
CP,m
CV ,m
R
i2 2
R
循环过程：
热机效率
卡诺热机效率
A Q吸 Q放 1 Q放
Q吸
Q吸
Q吸
卡 诺
A Q吸
1 Q放 Q吸
1 T2 T1
卡诺致冷系数
2kT m
2RT M mol
平均速率:
v 8kT 8RT
m
M mol
4、能量均分原理： 每一个自由度的平均动能为： 一个分子的总平均动能为： mol 理想气体的内能：
大学物理 12-7 玻尔兹曼能量分布律
1. 概述
无力场作用) 理想气体 — 自由粒子(无力场作用 无力场作用
ε = εk ε P = 0
氏分布(按动能分布 速率分布 — M氏分布 按动能分布 氏分布 按动能分布) 均匀” 空间分布 — “均匀” 均匀
有力场作用) 实际气体 — 非自由粒子 (有力场作用 有力场作用 按动能分布) 速率分布 — M氏分布(按动能分布 氏分布 按动能分布
对速度积分得： 对速度积分得：dN
x, y, z
= n0e
ε P kT
ε P kT
dxdydz
dV
dV 含各种速率) 含各种速率 x、y、z 处单位空间体积内分子数 (含各种速率 如为重力场大气层 (ε p = mgz)
n=
dNx, y,z
= n0e
~ 与εቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和T 有关
n = n0e
mgz kT
1908 Perin(法国 法国1807-1942)实验验证并测定 值 实验验证并测定k值 法国 实验验证并测定 1926 诺贝尔奖
坐标空间
x x + dx，y y + dy，z z + dz
3 2
m kT dNvx ,vy ,vz ,x, y,z = n0 dvxdvydvzdxdydz e 2πkT 速率空间 坐标空间 n0 — ε P = 0 处单位体积内分子数
εk +ε p
统计意义： 如分子) 统计意义：微观粒子(如分子 占据能量较低状态概率 如分子 >占据能量较高状态概率 占据能量较高状态概率
ε = εk + ε P
不均匀” 按势能分布 按势能分布) 空间分布 — “不均匀” (按势能分布 不均匀
玻尔兹曼定律怎么算
玻尔兹曼分布公式：dP*A=ρ＊A＊dr。
玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各
用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。
试验中某一个结果发生的可能性大小。
若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。
如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。
根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。
热力学理想气体的压强和温度计算
热力学理想气体的压强和温度计算热力学是研究热能与其他形式能量之间转换关系的学科，而理想气体是热力学中常用的模型。
在热力学中，我们经常需要计算理想气体的压强和温度，利用以下公式可以进行求解：1. Boyle定律：根据Boyle定律，理想气体的压强和体积之间存在反比关系，即P1V1 = P2V2。
其中P1和V1表示初始状态下的压强和体积，P2和V2表示变化后的压强和体积。
2. Charles定律：根据Charles定律，理想气体的体积和温度之间存在正比关系，即V1/T1 = V2/T2。
其中V1和T1表示初始状态下的体积和温度，V2和T2表示变化后的体积和温度。
3. 理想气体状态方程：对于理想气体，还存在理想气体状态方程PV = nRT。
其中P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质量，R为气体常量，T为气体的绝对温度。
下面通过一个实例来说明如何使用这些公式进行热力学理想气体的压强和温度计算。
假设有一定质量的理想气体，其初始状态下的压强为P1，体积为V1，温度为T1。
如果将该气体的体积压缩为原来的一半，求压强和温度的变化。
根据Boyle定律，我们可以得到P1V1 = P2V2，其中P2为求解的压强值，V2为压缩后的体积。
由于V2 = V1/2，我们可以将上述方程转化为P1V1 = P2(V1/2)，整理得到P2 = 2P1。
接下来，我们可以利用理想气体状态方程PV = nRT来求解温度的变化。
根据题意，气体的质量n在压缩过程中保持不变。
由于压强的变化为2倍，V的变化为原来的一半，根据状态方程我们可以得到P1V1 = P2V2 = 2P1(V1/2)，即P1V1 = P1V1，两边的式子相等，无论P 和V的变化如何，等号仍然成立。
因此，温度在该过程中保持不变，即T2 = T1。
综上所述，该理想气体在体积压缩一倍的过程中，压强变为初始值的2倍，而温度保持不变。
通过上述例子，我们可以看到如何利用热力学中的公式来计算理想气体的压强和温度。
玻尔兹曼分布律
n » 2.7 ´1025 m-3
对氢气分子取 d » 2 ´10-10 m ，则
Z » 7.95´109 s-1
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可 见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
11/13
例 真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为 1.33× 10-3 Pa。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m。
用宏观量pt表示的分子平均自由程为说明在标准状态下各种气体分子的平均碰撞频率的数量级约为101113估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率10701095常温常压下一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁
§12.8 玻耳兹曼分布律
问题： 麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子 的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。 若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断 地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应 该是容器的线度。 即
l = 10-2 m
v=
8kT πm
= 468.7 m/s
Z = v = 4.68 ´104 s-1 l
13/13
中分子数为 N 。设大气的温度为T ，空气分子的质量μ 。
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
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dNvx ,v y ,vz , x , y , z
m 32 n0 ( ) e 2πkT
( k p ) kT
dvx dvy dvz dxdydz
在坐标x、y、z附近空间体元dV中各种速率的分子数为
dNx , y , z
m 32 n0 ( ) [ e 2πkT -
k
kT
dvx dvy dvz ]e
Байду номын сангаасp
kT
p
kT
dxdydz
得
dN x , y , z n0 e
dxdydz
§12-7 玻尔兹曼能量分布定律 等温气压公式
在坐标x、y、z附近空间分子的数密度为
n n0 e
地球表面附近分子的势能为
p
kT
n
n0
p mgz
n n0 e
mgz kT
T2 T1 T1 T2
式中n0和n分别是z=0和z处分子的数密度 n随m、z、T的改变而变化，可通过实验测定n0和n， 根据上式计算常量k及NA
o
z
§12-7 玻尔兹曼能量分布定律 等温气压公式
二 重力场中等温气压公式
由理想气体物态方程 p=nkT， 得 重力场中等温气压公式
p p0 e
mgz kT
p0 p0 kT RT z ln ln mg p Mg p
§12-7 玻尔兹曼能量分布定律 等温气压公式
一
玻尔兹曼能量分布定律
mv 2 2 kT
m 32 麦氏速率分布 dN N ( ) e 4v 2 dv 2 πkT k m 3 2 kT N( ) e 4v 2 dv 2 πkT 速度处于vx vx +d vx 、vy vy +d vy、 vz vz+d vz， 坐标处于x x+dx、 y y+dy、 z z+dz区间的空间 体积元dV=dxdydz内的分子数为
dNvx ,v y ,vz , x , y , z
m 32 n0 ( ) e 2πkT
( k p ) kT
dvx dvy dvz dxdydz
n0表示势能 p=0处单位体积内所含各种速度的分子数
§12-7 玻尔兹曼能量分布定律 等温气压公式
气体分子在平衡态下，气体分子的玻尔兹曼能量分布律