辽宁省沈阳市2020届高三上学期教学质量检测(一)数学(理)试题及答案
2024届辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测(一模)考试物理试题
2024届辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测（一模）考试物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题下列单位中属于基本物理量单位的是（）A．牛顿B．库仑C．安培D．伏特第(2)题如图所示，有一周期为、沿轴正方向传播的波，当时波恰好传到点，则时，段的波形图为（）A．B．C．D．第(3)题空间存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为，甲图是一放置于纸面内有顺时针方向恒定电流的环形导体环，圆心O处的磁感应强度为零。
乙图是一放置于纸面内有逆时针方向同样大小恒定电流的半环形导体环，空间存在同样的垂直纸面、磁感应强度为的匀强磁场，以下说法正确的是（ ）A．空间匀强磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里B．乙图圆心O处的磁感应强度为C．乙图圆心O处的磁感应强度方向垂直纸面向里D．乙图半环形导体环中电流在圆心O处产生的磁感应强度为第(4)题如图甲所示，挡板OA与水平面的夹角为，小球从O点的正上方高度为的P点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的O点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（ ）A．图乙的函数关系图像对应的方程式B．图乙中的数值C．当图乙中，的值为D．当，图乙中，则平抛运动的时间为第(5)题2023年9月21日，景海鹏、朱杨柱、桂海潮三位神舟十六航天员在中国空间站梦天实验舱向全国青少年进行了第四次太空科普授课，朱杨柱告诉我们“他在空间站里一天能看到16次日出（周期为1.5h）”。
设中国空间站a和北斗系统中某颗中圆卫星b均为赤道上空卫星，中圆卫星b的周期为12h，如图所示，某时刻空间站a和中圆卫星b相距最近，且两者运动方向相同，以下说法正确的是（）A．航天员的速度大于第一宇宙速度B．中国空间站a和中圆卫星b轨道半径之比为C．中国空间站a与中圆卫星b加速度之比为D．从此时刻开始每隔中国空间站a和中圆卫星b再次相距最近第(6)题北京时间2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国海南文昌航天发射场点火发射；12时10分，天舟五号货运飞船仅用2小时便顺利实现了与中国空间站天和核心舱的快速交会对接，如图所示，创造了世界纪录。
2025届辽宁省沈阳市二十中学数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
2025届辽宁省沈阳市二十中学数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．2．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．603．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=4．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 5．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．7257．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．2408．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N9．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．7910．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．712．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21sin ,02A xx B x x x ⎧⎫=>=-<⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B =（ ） A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合,A B ，再由交集的概念求解即可. 【详解】522,Z ,{01},,1666A xk x k k B x x A B πππππ⎧⎫⎛⎫=+<<+∈=<<⋂=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∣∣. 故选：B.2．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，200x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，200x x -≤ D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.3．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >"是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】A【分析】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>即得22a b >，反之，由22a b >推不出ln ln a b >成立，由此可得答案.【详解】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>，继而可得到22a b >； 当22a b >时，比如3,2a b =-=-，推不出ln ln a b >成立， 故“ln ln a b >"是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A4．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}41m m -<<B ．{1m m <-或}4m >C ．{}14m m -<<D ．{0m m <或}3m >【答案】C 【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<， 即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.5．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【分析】根据不等式0ax b +>的解集可得,a b 关系，代入不等式2056ax bx x +>--，然后转化为整式不等式求解即可.【详解】解：因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩， 则()()()()()()()210006110566161ax b ax a x x x x x x x x x x +-->⇔>⇔>⇔-+->---+-+ 所以不等式的解为11x -<<或6x >. 故选：A. 6．函数cos ()22x xxf x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据0x >且趋近0时判断，最后利用()f x 的零点进行判断，即可得到答案 【详解】解：因为cos ()22x x x f x -=-，所以220x x--≠，解得0x ≠， 则()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 由cos ()22x x x f x -=-可得()cos -cos (-)2222x x x xx xf x --==--， 发现()(-)0f x f x +=，故()f x 为奇函数，故B 错误；当0x >且无限接近0时，0cos 0,22x x x ->->，所以此时()0f x >，故A 错误； 因为当cos ()022x xx f x -==-即cos 0x =，解得,Z 2x k k ππ=+∈，所以在x 轴正半轴的第一个零点是2π，第二个零点是32π，第三个零点是52π，第四个零点是72π，第五个零点是92π，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C 错误； 故选：D7．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（ ） A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-= D ．π2αβ-=【答案】C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=， 即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.8．已知不等式ln (1)2ln2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题意，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，进而通过数形结合求得答案. 【详解】由ln (ln4)0x x x k k +-+<可得：(1)ln 4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，()ln4ln 1=--'g x x ，40,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，4,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，则当4e x =时函数()g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当0k ≤时，整数解超过了2个，不满足题意；当0k >时，需满足()()()()2233f g f g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩得：342ln ln 2433≤<k ．故选择：D ．【点睛】本题较难，可却是一道常规题型，一般做法是先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、多选题9．下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是 -1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2 D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值是4-【答案】ABD【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案； 对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案； 对于D ，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->， 所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦211≤-=-， 当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()4111553313y z x x y z ⎡+⎡⎤+=++≥+=⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确； 对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立， 所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-， 因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤--++ 当且仅当2stts=，即s 时取等号， 所以22x y x y x y+++的最大值是4-D 正确， 故选：ABD ．10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：oC ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将满足()()101e (R kt f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln20.7)≈ A ．若()350C f =，则()635C f = B ．若110k =，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟 C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C 所需的时间多 【答案】ABC【分析】由题知()2060e ktf t θ-==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知()2060e ktf t θ-==+，A ：若()350C f =，即3502060e k -=+，所以31e 2k -=，则()()2263162060e2060e206035C 2kkf --⎛⎫=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，A 正确；B ：若110k =，则1102060e 50t -+⋅=，则1101e 2t -=，两边同时取对数得11ln ln2102t -==-，所以10ln27t =≈，所以红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：()3f '表示3t =处的函数值的变化情况，若()350f '=-<，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降，故C 正确；()D:f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间()21t t -比从60C 下降到40C 所需的时间()32t t -少，故D 错误. 故选：ABC ．11．已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞，图象关于y 轴对称，导函数为()'f x ，且当0x <时，()()'f x f x x>，设1a >，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()(411a a f a a a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭B ．()(22f a a a >C ．()()414111af a a a f a a +⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭D ．()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，再由()f x 为偶函数，得()g x 为奇函数，从而判断出()g x 在(0,)+∞上的单调性，再结合选项逐一判断即可.【详解】解：当0x <时，()()'f x f x x >，即()()()()''0f x xf x f x f x x x--=>，所以'()()0xf x f x -<，构造函数()()f x g x x=，则''2()()()0xf x f x g x x -=<， ∴当0x <时，()g x 单调递减，又由题意可得()f x 是偶函数， ∴()g x 是奇函数，则当0x >时，()g x 也单调递减． 对于A ，∵1a >，∴401a a <<=+∴(41a g g a ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即4141a f f a a a ⎛⎫⎪+⎝⎭>+∴()(411a a f a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，故A 正确； 对于B ，∵1a>，∴20a >>，∴()(2g a g <，即()22f f aa()(2f a ，故B 错误；对于C ，∵1a >，()2141011a a a a a -+-=>++，即4101a a a +>>+，∴()411a g a g a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭， 即()411411a f f a a a a a ⎛⎫⎪++⎝⎭<++，∴()()414111af a a a f a a +⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭，故C 错误； 对于D ，∵1a >，()221422420111a a a a a a a a a a -+--==>+++，∴ 4201a a a >>+， ()421a g a g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即()421421a f f a a a aa ⎛⎫⎪+⎝⎭<+，∴()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故D 正确． 故选:AD ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性，难点在于构造函数()g x ，并判断其在定义域上的单调性，属于较难题.12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y =，()R A B ⋂=______. 【答案】()1,2【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得()R A B ⋂.【详解】因为02xx ≤-，等价于()2020x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，解得02x ≤<，由1102x --≥，即121x -≤，即1022x -≤，所以10x -≤，即1x ≤；所以{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{{}1B x y x x ==≤， 所以{}R 1B x x =>，因此，()()R 1,2A B ⋂=. 故答案为：()1,214．若π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得到πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin 26sin 024αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ10sin cos 6sin 0444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππsin 5cos 3044αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,当πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4α+=，所以3π4α=，所以3π22α=，所以3πsin 2sin 12α==-. 当π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即()23cos sin 25αα-=-， 所以()2219cos sin 2sin cos 225αααα+-=，所以181sin 225α-=，则7sin 225α=.因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，所以sin 20α<，故7sin 225α=不符合题意，应舍去， 综合以上sin 21α=-， 故答案为：-115．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【答案】4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，将()2221234x x x x +++转化为关于2x 的代数式，利用换元法，根据2x 的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4上的图象与()0,2上的图象关于2x =对称， 不妨设1234x x x x <<<,如图：可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x .∴121,x x =14322211,4,4x x x x x x ==-=-. ∴()121222222212342342x x x x x x x x x x ++++++=+ ()2222222214421x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭+- 22222112830x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈.令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则原式化为()252830,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，其对称轴为2t =，开口向上，∴()h t 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()4522,2h t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴()2221234x x x x +++的取值范围为4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．已知0a >，若对任意的1[,),e x ∈+∞不等式2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，则实数a 的最小值为_______.【答案】12e【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥恒成立.令()ln g x x x =，判断出()g x 的单调性，转化为2e ax x ≥恒成立.利用分离参数法得到ln ln 2x a x -≥，令ln ln 2()x h x x-=，利用导数求出max ()h x ，即可求出实数a 的最小值. 【详解】1[,),e x ∀∈+∞2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，等价于1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥，令()ln g x x x =，则1[,),ex ∀∈+∞(2e )()0ax g g x -≥，则()1ln g x x '=+，所以当1ex ≥时都有()0g x '≥，所以1[,),e x ∈+∞()g x 单调递增.所以不等式转化为2e ax x ≥，即e 2axx ≥，即ln e ln 2axx ≥，即ln 2x ax ≥，即ln ln 2x a x-≥. 令ln ln 2()x h x x-=，则()221ln ln 2ln 2e ln x xh x x x -='-+=. 当1[,2e),ex ∈都有()0h x '>，所以()h x 单调递增；当()2e,+x ∈∞时，都有()0h x '<，所以()h x 单调递减.所以max ln 2e ln 2ln e 1()(2e)2e 2e 2eh x h -==== 所以12ea ≥，即a 的最小值为12e .故答案为：12e. 【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值.四、解答题17．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos 2αβ+的值；(2)()tan αβ+的值.【答案】(1)14【分析】（1）先由已知条件判断,22βααβ--的范围，再利用同角三角函数的关系求出sin ,cos 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式可求得cos2αβ+，（2）由同角三角函数的关系求出sin 2αβ+，从而可求得tan2αβ+的值，再利用正切的二倍角公式可求得()tan αβ+的值. 【详解】(1)因为2απ<<π，02βπ<<， 所以42πβαπ<-<，422παπβ-<-<，所以sin 2βα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin .sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12==(2)因为3424παβπ+<<，cos 2αβ+=，所以sin2αβ+==所以sin2tan2cos 2αβαβαβ++==+，所以2222tan 2tan()1tan 12αβαβαβ⎛+⨯ ⎝⎭+===+⎛-- ⎝⎭18．已知曲线()321133y f x x ax bx ==+++在点()()1,1f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值． 【答案】(1)()321111513423f x x x x =-++(2)()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()34148f x =极大值，13【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.【详解】(1)()22f x x ax b '=++，结合题意可得()()1213,3690,'⎧=++=⎪⎨'=++=⎪⎩f a b f a b 解得114152a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()321111513423f x x x x =-++，经检验符合题意.(2)由（1）知()2111522f x x x '=-+． 令0fx，解得x ＞3或52x <，令0f x，解得532x <<，故()f x 在50,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()5341248f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，又因为()103f =，()85312f =，185312<，故()f x 在[]0,3上的最小值是13．19．已知()()()()sin ,21(0)2f x x g x f x x f x πωωωω⎫⎛⎫==+-+> ⎪⎪⎝⎭⎭.(1)若函数()g x 的最小正周期为π，求ω的值及()g x 的单调递减区间；(2)若0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()g x =ω的取值范围【答案】(1)1ω=，单调递减区间为：()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)131544ω<.【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得()2sin(2)6f x x πω=+，利用正弦函数的性质即得；（2）由正弦函数的性质可得7283363πωπππ≤+<，进而即得． 【详解】(1)因为())π2sin sin 12sin sin 12g x x x x xx x ωωωωωω⎤⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦2cos 2sin 1x x x ωωω=-+cos22sin 2,6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为最小正周期22T ππω==，又0>ω， 所以1ω=，即()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)因为0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()22,,6636x f x ππωππω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦即sin 26x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以7283363πωπππ≤+<，即13215636πωππ≤<，解得131544ω≤<， 所以实数ω的取值范围是131544ω≤<. 20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=，∴k ≥．21．设函数2(1)()x xa t f x a--=(0a >，且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求t 和a 的值；(2)若x ∀∈R ，2()(1)0-+-<f kx x f x ，求实数k 的取值范围； (3)是否存在实数m ，使函数22()22()xx g x mf x -=+-在区间2[1,log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2,2t a == (2)31k -<< (3)存在，7324m =【分析】(1)直接利用奇函数(0)0f =可得到t 的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a ；(2)利用奇函数的性质可得2()(1)f kx x f x -<-，再由函数单调性脱去“f ”，转化为二次不等式恒成立求解即可；(3)令 22x x t -=-换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出m 即可. 【详解】(1)∵f （x ）是定义域为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=且(0)0f =，∴1(1)(0)01t f --==， ∴ 2t =，此时()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-， 故2t =符合题意，∵函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴132a a --=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-，因为0a >且1a ≠，∴2a =．(2)由（1）知()22x x f x -=-，由2()(1)0-+-<f kx x f x ，得2()(1)-<--f kx x f x ， ∵()f x 为奇函数，∴2()(1)f kx x f x -<-，()22x x f x -=-为R 上的增函数，∴21kx x x -<-对一切x ∈R 恒成立，即2(1)10x k x -++>对一切x ∈R 恒成立， 故2(1)40k ∆=+-<，解得31k -<<． (3)由题意22()22(22)x x x x g x m --=+--设22,x x t -=-则22(22)(22)22x x x x m t mt -----+=-+，∵2[1,log 3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记2()2h t t mt =-+，∴函数2()2h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最大值为1，①若对称轴3825232212m t +=>=， ∴max 317313()12426⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭h t h m m ，不合题意．②若对称轴25212m t =≤， ()max2525212736,873241324m m m h t h m ⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在实数7324m =，使函数g （x ）在[]21,log 3上的最大值为1． 22．已知函数()()2ln f x ax x x a R =--∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当[]1,2x ∈，求函数()f x 的最大值；(3)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ，证明：()()12122ln f x x x x +>-+. 【答案】(1)21y x =-(2)()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分0a ≤、1a ≥和01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；（3）利用分析法可得只需证()()212122+-+>a x x x x ，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，令12(01)x t t x =<<，只需证1ln 21t t t +⋅>-，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】(1)解：当2a =时()22ln f x x x x =--，()141f x x x=--'∴，()12f '∴=，()11f =，∴切线方程为：21y x =-.(2)解：()212121(0)ax x f x ax x x x----'==>，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在[1，2]单调递减，()max 1f x a ∴=-②当1a ≥时，()()()2121210x x x x f x x x-+-'-≥=≥ ()f x ∴在[]1,2单调递增，()max 42ln2f x a ∴=--③当01a <<时，()01f x x =⇒≥， （i2<即318a <<时，()f x ∴在⎡⎢⎣⎦单调递减，2⎤⎥⎝⎦上递增()()(){}max31ln2183max 1,21ln242ln213a a f x f f a a ⎧+⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭∴==⎨+⎛⎫⎪--≤< ⎪⎪⎝⎭⎩（ii2≥即308a <<时，()f x ∴在[]1,2单调递减，()max 1f x a ∴=-，综上：()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.(3)证明：要证()()12122ln f x x x x +>-+，只需证()()()()212121212ln 2ln a x x x x x x x x +-+-+>-+， 只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为2111ln 0ax x x --=，2222ln 0ax x x --=，两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x -----=.整理得()121212ln ln 1x x a x x x x -+=+-.所以只需证()()12121212ln ln 12x x x x x x x x ⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即1211221ln 21x x x x x x +⋅>-，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<， 只需证1ln 21t t t +⋅>-， 只需证()()1ln 210t t t +--<， 设()()()1ln 21n t t t t =+--， 只需证当01t <<时，()0n t <即可.()()221111ln 1,0(01)t n t t n t t t t t t'''-=+-=-=<<<，()n t ∴'在()0,1单调递减，第 21 页 共 21 页 ∴当01t <<时，()()10n t n ''>=，()n t ∴在()0,1单调递增，当01t <<时()()10n t n <=，∴原不等式得证.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2020届2020年1月辽宁省沈阳市一模数学(理)试题(解析版
2020年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两卷.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效.其他试题用黑色水性笔答在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{}2|2B x x =≤，则A B =I ( ) A. {1,0,1}- B. {0,1}C. {0}D. {0,1,2}【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合B ，再根据交集定义求结果.【详解】{}2|2[B x x B =≤∴=Q{,}01A B ∴=I故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.命题:(0,)p x ∀∈+∞，1135x x =，则p ⌝为( )A. (0,)x ∃∈+∞，1135x x≠B. (0,)x ∀∈+∞，1135x x ≠ C. (,0)x ∃∈-∞，1135x x≠D. (,0)x ∀∈-∞，1135x x ≠【答案】A【解析】 【分析】根据全称命题的否定直接判断选择. 【详解】:(0,)p x ∀∈+∞Q ，1135x x =，p ∴⌝：(0,)x ∃∈+∞，1135x x ≠故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题. 3.已知复数z 满足0z z -=，且4z z ⋅=，则z =( ) A. 2 B. 2iC. 2±D. 2i ±【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果. 【详解】设(,)z x yi x y R=+∈,则z x yi =-，0z z -=Q ，且4z z ⋅=，200yi y ∴=⇒=，且22422x yx z +=⇒=±∴=±.故选：C【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数乘法，考查基本分析求解能力，属基础题.4.已知,a b r r 均为单位向量，若,a b r r夹角为23π，则||a b -=r r ( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求,a b r r数量积，再求模的平方，最后得结果.【详解】2111cos 32a b π⋅=⨯⨯=-r r Q 222||1113||2a b a b a b a b -+-⋅∴==++=∴=-r r r r r r r r故选：D【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若实数x ，y 满足不等式组222010y x y x y ≥-⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )A. 4B.23C. -6D. 6【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果. 【详解】作可行域如图，则直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4,故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.已知133a =，122b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.【详解】11111066613629,28,981138a b a b ===>>=∴>=>Q 33log 2log 311c a b c =<=∴>>>Q故选：D【点睛】本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.7.垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小( )A. x x <甲乙，22s s <甲乙B. x x >甲乙，22s s <甲乙 C. x x <甲乙，22s s >甲乙D. x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.【详解】因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以x x <甲乙；因为甲的数据没有乙的数据集中，所以22s s >甲乙.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 8.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是( ) ①若//a α，//αβ，则//αβ ②若//αβ，//βγ，则//αγ ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ A. ①③ B. ②③C. ①②③D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择.【详解】若//a α，//αβ，a 可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证//a α，//αβ； 若//αβ，//βγ，则//αγ； 若a α⊥，b α⊥，则//a b ；若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥或//αβ； 故选：B【点睛】本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.9.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是() A. 丙没有选化学 B. 丁没有选化学C. 乙丁可以两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选化学【答案】D 【解析】 【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【详解】根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学； 又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A ，B 不正确，D 正确．假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科．不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C 不正确． 【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l 与2l ，若点A ，B 为直线1l 上关于原点对称的不同两点，点M 为直线2l 上一点，且AM BM k k a⋅=，则双曲线C 的离心率为( ) A. 1C. 2【解析】 【分析】先求渐近线方程，再设,,A B M 坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线方程为b y x a =±，不妨设12:,:,b b l y x l y x a a==-则可设111122(,),(,),(,)b b bA x xB x x M x x a a a---因此2121221212()(),22AMBMb bx x x x b a a kk b c a e x x x x a a+-+⋅=⋅==∴==∴=---故选：C【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题. 11.如果将函数y x x =+的图象向右平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得到函数3sin cos (0)y x a x a =+<的图象，则tan θ的值为( )A. 2B.12C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先根据左右平移不改变最值求得a ，再根据平移规律列θ等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.2101a a a ==<∴=-Q因为)4y x x x π==+，向右平移θ个单位得到)cos()sin )cos 444y x x x πππθθθ=-+=-+-，而3sin cos 3sin cos y x a x x x =+=-，cos()sin()144ππθθ-=-=-，即1tan()43πθ-=- 从而11()3)]tan ta 211()3n[(44ππθθ--+-==-=-【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A. 20 B. 18 C. 16 D. 14【答案】C 【解析】 【分析】先解()0g x =，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=Q 或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象，零点个数61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知椭圆方程为221(6)36x y m m m +=>+-，则其焦距为________.【答案】6 【解析】 【分析】根据椭圆方程求c ,即得焦距.【详解】2221(6)3(6)93,2 6.36x y m c m m c c m m +=>∴=+--=∴==+-Q故答案为：6【点睛】本题考查根据椭圆方程求焦距，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，972S =.数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-.则72020a b =________.【答案】10- 【解析】 【分析】先根据条件解得等差数列{}n a 公差与首项，即得7a ；再根据12n n b b +=-解得{}n b 通项公式，即得2020b ，最后求积得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由1310a a +=，972S =得112210,93672a d a d +=+=，1714,1610a d a a d ∴==∴=+= 112222n n n n n n b b b b b b ++++=-∴=-∴=Q因为12b =，所以1222020211b b b b =-⇒=-∴=-7202010a b ∴=-故答案为：10-【点睛】本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种. 【答案】432 【解析】 【分析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有552240A =种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有14442192C A =种;因此共有240192432+=种. 故答案为：432【点睛】本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.16.在四面体ABCD 中，若1AD DC AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________. 【答案】73π 【解析】 【分析】先根据底面ACD 面积为定值，确定四面体ABCD 的体积最大时，CB ⊥平面ACD ,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.【详解】因为1AD DC AC ===，所以底面ACD 面积为定值， 因此当CB ⊥平面ACD 时，四面体ABCD 的体积最大.设ACD V 外接圆圆心为1O ,则四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1OO //BC ,且112OO =， 因此外接球的半径R 满足22217()212R =+= 从而外接球的表面积为2743R ππ= 故答案为：73π 【点睛】本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 7a Bb A +=，sin2sin A A =. (1)求A 及a ；(2)若2b c -=，求BC 边上的高.【答案】(1)3a A π==,(2)14【解析】 【分析】(1)根据正弦定理化简可得a ；根据二倍角正弦公式化简可得A ； (2)先根据余弦定理求得bc ，再根据三角形面积公式求BC 边上的高.【详解】(1)cos cos sin cos sin cos sin 77a Bb A ac A B B A a C +=∴+=Qsin sin C C a ∴=∴= 1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23A A A A A A A A ππ=∴=∴=∈∴=Q Q ；(2)由余弦定理得2222222cos 7,7(),74,3a b c bc A b c bc b c bc bc bc =+-∴=+-=-+∴=+=,设BC 边上的高为h .1111sin 3222422414ABC ABC S bc A S ah h ∴==⨯⨯==∴==V V Q .即BC 边上的高为14【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 18.如图，已知ABC V 为等边三角形，ABD △为等腰直角三角形，AB BD ⊥.平面ABC ⊥平面ABD ，点E 与点D 在平面ABC 的同侧，且CE BD P ，2BD CE =.点F 为AD 中点，连接EF .(1)求证：EF P 平面ABC ； (2)求二面角C AE D --的余弦值. 【答案】(1)见解析(2)219- 【解析】 【分析】(1)取AB 中点M ，根据平几知识得四边形CEFM 为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结果； (2)先根据面面垂直得线面垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求各面法向量，根据向量夹角公式得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】(1)取AB 中点M ，连FM,CM.因为点F 为AD 中点，所以1,2FM BD FM BD =P 因为CE BD P ，2BD CE =,所以,FM CE FM CE =P 因此四边形CEFM 为平行四边形,所以,FE CM P因为FE ⊄平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；(2)因为AB BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC I 平面ABD AB =，BD ⊂平面ABD ，所以BD ⊥平面,ABC 因此以AC 中点O 为坐标原点，AC,BO,平行于BD 的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设ABC V 边长为2，则33(1,0,0),(0,,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,,1)A B C E D -因此平面ACE 一个法向量为1(0,1,0)n u r =，设平面ADE 一个法向量为2(,,)n x y z =u u r， 由220,0n AE n AD ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r 得320,02x z x y z +=++=，令12,3x z y =∴=-= 所以212193cos ,41143n n <>==⨯++u u r u r因为二面角C AE D --为钝角，所以二面角C AE D --的余弦值为1919-【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN V 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】(1)24y x =(2)见解析 【解析】(1)先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；(2)先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果.【详解】(1)设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+-u u u r u u u r u u u r Q11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为零，设:1l x my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20.在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了(4)x x ≤个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率p (x ). 【答案】(1)34(2)x 的取值为2或4, 4(2),25p = 72(4)625p =.【分析】(1)先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；(2)先根据比赛规则确定x 的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=， (2)根据比赛规则，x 的取值只能为2或4,对应比分为16:14,17:15.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p =⨯=；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为333222272(4)555555523565p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.已知函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭有三个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2)2a > 【解析】 【分析】(1)先求导数，再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性； (2)根据函数单调性确定零点个数，并用零点存在定理加以论证.【详解】(1)222112(22)1()ln ()1(1)(1)x a x a x f x x a f x x x x x x -+-+⎛⎫'=-∴=-= ⎪+++⎝⎭Q 当2(22)40,02a a ∆=--≤≤≤时，()0f x '≥，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，(0,1(1)x a a ∈--+∞U 时()0f x '>，即()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；(11x a a ∈--时()0f x '<，即()f x 在(11a a --上单调递减；综上：当2a ≤时， ()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时， ()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；在(11a a --+上单调递减；(2)因为单调函数至多一个零点，所以2a >，因为(1)0,111f a a =-<<-所以(10,(10,f a f a ->-< 因为0,();,()x f x x f x →→-∞→+∞→+∞而()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；在(11a a --+上单调递减；所以()f x 在(0,1a -上有且仅有一个零点，在(11a a --上有且仅有一个零点(即1)，在(1)a -+∞上有且仅有一个零点， 所以当2a >时，函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l的参数方程为：321x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值. 【答案】(1)22(2)4x y -+=，250x y --=(2)5± 【解析】 【分析】(1)根据222,cos x y x ρρθ==+将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l 的参数方程为普通方程(2)先化直线l 的参数方程为标准式，再代入曲线C 方程，最后根据参数几何意义求解 【详解】(1)222224cos 4cos 4(2)4x y x x y ρθρρθ=∴=∴+=∴-+=Q322501x t x y y t =+⎧∴--=⎨=-+⎩Q(2)33211x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪∴⎨⎨=-+⎩⎪=-⎪⎩Q代入224x y x +=得21212202t t t t t +-=∴+==-2121121212||||||1111||||||||||||||5t t t t PM PN t t t t t t -+∴-=-==±=±【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23.已知函数()|23||1|f x x x =+--. (1)求不等式()3f x ≤的解集；(2)若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1[7,]3-(2)52a < 【解析】 【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；(2)先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果. 【详解】(1)|23||1|3x x +--≤Q12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩ 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩173x ∴-≤≤即不等式()3f x ≤的解集为1[7,]3-.(2)()2|33||23||1|2|33||23||22|2f x a x x x a x x x a >--∴+-->--∴++->Q 5|23||22||23(22)|525,.2x x x x a a ++-≥+--=∴<∴<Q【点睛】本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.。
辽宁省沈阳市2020届高三数学教学质量监测试题(一)文(含解析)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集•「一「；；,集合也-』.用，：：-门.七，则如图所示阴影区域表示的集合为（）
A.B.
C.廉同D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出■，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果.
【详解】全集--Pi:3,5,囲,集合—〕；，［拥
真假，原命题与逆否命题等价•
7.曲线的方程为，则曲线的离心率为（）
5
B.-
C.込
D.凹
4
1
7
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程求得•的值，再由（_亠炉求得•，则曲线*的离心率可求.
I22
【详解】因为曲线c的方程为〔丄 =1,
|169
所以护三id，於二9,
则r-
—；7,「「：，
双曲线的离心率e=~=\，故选A.
“”、“，”三个字母组成并且“側”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述
三个字母，那么他拼写正确的概率为（
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列举出满足题意字母组合，即可求出结果•
【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是.疣耳，，，‘，拼写正确的组合只有
种弩:匸：r，所以概率为-
故选B.
【答案】C
6. 已知，是空间中的两条不同的直线, 的是()•
A.若曲:：姿，疔亿则陷岡.
B•若’,，则，.
C.若■:门I门，忖：：:詞，则：二」：；.
D.若悄―罠，，，则戸吏.
【答案】D
【解析】
【分析】 由直线计还可以在平面k内判断由直线胡还可以在平面'内判断：；由直线习还可以在平面k内，可以与平面k：斜交，或者与平面h平行判断〔；根据面面垂直的判定定理判断|冷
辽宁省沈阳市第二十中学2022-2023学年高三上学期一模考试数学试题
沈阳市第二十中学2023届高三一模考试数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题1.若集合{},{lg 0},A xx a B x x =<=∣∣ ，且满足A B = R ，则实数a 的取值范围是（）A.(1,)+∞B.[1,)+∞ C.(0,)+∞ D.[0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，由A B = R ，可得出集合A 满足的条件，即可求解.【详解】由题意得，{1}B xx =∣ ，由A B R = ，可得(,1)A -∞⊆，所以1a .故选：B.2.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.1515B.C.53D.153【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，15cos 4α∴==，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.3.函数()sin()0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A. B.32C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据图像求出解析式即可获解.【详解】∵2A =，521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则22T πω==.又∵52122ππϕ⨯+=，22ππϕ-<<，则32ππϕ⎛=-∈- ⎝，∴()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴2sin 23f πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C4.已知sin 20a =︒，9b π=，12c =，则它们之间的大小关系是（）A.c a b <<B.a c b<< C.c b a<< D.b c a<<【答案】A 【解析】【分析】利用当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <得sin 20sin 99a b ππ=︒=<=，而11sin15sin 20244c -==<=︒<︒，11ln 249c b π==<=，从而得到a ，b ，c 三者的大小关系【详解】设()sin f x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00f x f <=所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x x -<即sin x x <sin 20sin99a b ππ=︒=<=，11249c b π==<=，1162sin15sin 20244c -==<=︒<︒a =，所以c a b <<，故选：A ．5.已知函数()ln(1f x x =++，若正实数 a b ,满足(4)(1)2f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.4B.8C.9D.13【答案】C 【解析】【分析】由函数()ln(1f x x =++，知()f x 是奇函数，又因为正实数a ，b 满足(4)(1)2f a f b +-=，所以41a b +=，利用基本不等式求得结果．【详解】解：由函数()ln(1f x x =++，设()(ln g x x =+，知()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，则()()2f x f x +-=，又因为正实数a ，b 满足(4)(1)2f a f b +-=，，所以41a b +=，114()(4)5549a ba b a b b a ++=+++= ，当且仅当16a =，13b =时取到等号．故选：C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题．6.已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=+，则13599a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A.50 B.75 C.100D.150【答案】A 【解析】【分析】由已知得21241n n a a n ++=+，22141n n a a n --=-，两式相减得21212n n a a +-+=，由此代入可求得答案.【详解】解：∵()1121nn n a a n ++-=+，∴21241n n a a n ++=+，22141n n a a n --=-.两式相减得21212n n a a +-+=.则312a a +=，752a a +=，…，99972a a +=，∴1359925250a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=，故选：A.7.已知圆C 的半径为3，AB 是圆C 的一条直径，,M N 为圆上动点，且4MN =，点E 在线段MN 上，则AE BE ⋅的最小值为（）A.3- B.4- C.5- D.6-【答案】B 【解析】【分析】由题意，AC BC =-uuu r uuu r，结合向量数量积的性质()()AE BE AC CE BC CE ⋅=+⋅+ ，展开即可求解．【详解】解：由题意得，AC BC =-uuu r uuu r，2()()AE BE AC CE BC CE AC BC AC CE BC CE CE ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ ，22()AC CE AC BC CE =-+⋅++ ，22AC CE =-+ ，当CE MN ⊥时，||CE 取最小值，此时||min CE == 故AE BE ⋅的最小值为954-+=．故选：B.【点睛】关键点点睛：由2229AE BE AC CE CE ⋅-++=-= ，所以||CE 取最小值时，AE BE ⋅ 取得最小值，分析知当CE MN ⊥时，||min CE == 是本题解题的关键.8.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，若()()1f x f x '>+，()(6)2f x f x +-=，(6)5f =，则不等式()210x f x e ++<的解集为（）A.(,0)-∞B.(0,)+∞ C.(0,3)D.(3,6)【答案】A 【解析】【分析】令()()1xf xg x e+=，根据因为()()1f x f x '>+，得到()0g x '>，得出函数()g x 为R 上的单调递增函数，由题设条件，令0x =，求得()02g =-，把不等式转化为()()0g x g <，结合单调性，即可求解.【详解】令()()1xf xg x e +=，可得()()()()11x xf x f x f xg x e e ''+--⎛⎫'== ⎪⎝⎭，因为()()1f x f x '>+，可得()()10f x f x '-->，所以()0g x '>，所以函数()g x 为R 上的单调递增函数，由不等式()210x f x e ++<，可得()12x f x e +<-，所以()12xf x e+<-，即()2g x <-因为()(6)2f x f x +-=，令0x =，可得(0)(6)2f f +=，又因为(6)5f =，可得(0)3f =-，所以()()00102f g e +==-所以不等式等价于()()0g x g <，由函数()g x 为R 上的单调递增函数，所以0x <，即不等式的解集为(,0)-∞.故选：A.二、多选题9.（多选）已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则（）A.π,π2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭B.3cos 5θ=-C.3tan 4θ=- D.7sin cos 5θθ-=【答案】ABD 【解析】【分析】已知式平方求得sin cos θθ，从而可确定θ的范围，然后求得sin cos θθ-，再与已知结合求得sin ,cos θθ，由商数关系得tan θ，从而可判断各选项．【详解】因为1sin cos 5θθ+=①，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 25θθθθθθ+=++=，所以242sin cos 25θθ=-．又()0,πθ∈，所以sin 0θ>，所以cos 0θ<，即π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=②，故D 正确．由①②，得4sin 5θ=，3cos 5θ=-，故B 正确．sin 4tan cos 3θθθ==-，故C 错误．故选：ABD ．10.已知点P 是ABC 的中线BD 上一点（不包含端点）且AP x AB y AC →→→=+，则下列说法正确的是（）A.21x y +=B.21x y +=C.24x y +≥D.22log log 3x y +≥-【答案】AC 【解析】【分析】可以证明21x y +=.所以选项A 正确，选项B 错误；利用基本不等式证明选项C 正确；利用基本不等式和对数函数的运算和性质证明选项D 错误.【详解】解：因为AP x AB y AC →→→=+，所以2AP x AB y AD →→→=+,又,,B P D 三点共线，所以21x y +=.所以选项A 正确，选项B 错误；21x y +=，所以22422x x y y =+≥=+（当且仅当11,24x y ==时等号成立），所以选项C 正确；因为1218x y xy +=≥≤，（当且仅当11,24x y ==时等号成立）所以22221log log log log 38x y xy +=≤=-，所以选项D 错误.故选：AC11.设正数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n a +=∈N ，则下列说法不正确的是（）A.202120221a a ⋅<B.202120221a a ⋅>C.2022a <D.2022a >【答案】BD 【解析】【分析】根据递推关系先求出n S 公式，再求出{}n a 的通项公式，再逐项判断即可.【详解】依题意211112a a a +=，解得11a =，11S =，并且0n S >，()12n n n S S a n --=≥ ，代入递推公式得：()21112n n nn n S S S S S ---+=-，化简得：2211n n S S --=，{}2nS 是首项为1，公差为1的等差数列，2n S n ∴=，=n S ，当n =1时，11S =也成立，n S ∴=，)12n S n -=≥，=n a ，经检验n =1时，11a =也成立，n a ∴==；对于A，202220211a a = ，故A 正确，B 错误；对于C，2022a =<，故C 正确，D 错误；故选：BD.12.已知函数f (x )是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x >0时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩.下说法正确的是（）A.当2<x ≤4时，|3|11()22x f x --=-B.1(21)()()2nf n n N +=-∈C.存在x 0∈(-∞，0)∪(0，+∞)，使得f (x 0)=2D.函数g (x )=4f (x )-1的零点个数为10【答案】AD【解析】【分析】A.首先设(]2,4x ∈，(]20,2x -∈，代入后求函数的解析式；B.取特殊值，判断；CD 选项，都可以根据图象判断选项.【详解】A.当24x <≤时，022x <-≤，()()3311112212222x x f x f x ---⎡⎤=-=⋅-=-⎣⎦，故A 正确；B.当0n =时，()0111121012f -⎛⎫=-=≠-=- ⎪⎝⎭，故B 不正确；C.如图，画出函数在()0,∞+的图象，函数的最大值是1，所以不存在()(),00,x ∈-∞+∞ ，使()02f x =，故C 不正确；D.()()()14104g x f x f x =-=⇒=，因为函数是偶函数，所以要判断()g x 在()(),00,-∞⋃+∞的零点个数，只需判断()0,∞+的零点个数，根据函数图象，函数在()0,∞+的零点个数，有5个，故在()(),00,-∞⋃+∞的零点个数是10个，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据分段函数，求函数的解析式，以及函数零点问题，重点是理解函数的解析式，并画出函数的图象，并能根据条件求(](]2,4,4,6等区间段的解析式.第II 卷（非选择题）三、填空题13.复数13i3i-+的共轭复数虚部是___________.【答案】1【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法法则化简复数，再得到其共轭复数，从而判断其虚部；【详解】解：()()()()213i 3i 13i 3i 9i 3i i 3i 3i 3i 10-----+===-++-，所以复数13i3i-+的共轭复数为i ，其虚部为1；故答案为：114.等差数列{}n a 中的4a ，2016a 是函数32()641f x x x x =-+-的极值点，则110104log a =______.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】先由题意求出420164a a +=，利用等差中项求出1010a 和对数的运算法则，即可求解.【详解】函数32()641f x x x x =-+-的定义域为R ，导函数函数2()3124f x x x '=-+.因为4a ，2016a 是函数32()641f x x x x =-+-的极值点，所以4a ，2016a 是方程()0f x '=的两根，所以420164a a +=.因为{}n a 为等差数列，所以20161104022a a a ==+，所以110101441log log 22a ==-.故答案为：12-15.如图，在四边形ABCD 中，54,7,cos ,7AB AC BAC B D ∠π===+=．若AC 是DAB ∠的角平分线，则DC 的长为_____．【答案】5．【解析】【分析】在△ABC 中根据余弦定理求得BC ，正弦定理求得角B ，然后根据题目条件中的角的关系，△ACD 中利用正弦定理求得DC .【详解】解：ABC 中，54,7,cos 7AB AC BAC ∠===，由余弦定理得2222252cos 74274257BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以5BC =，又26sin 7BAC ∠==，由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠，所以7267sin 55B ⨯==，又,sin sin 5B D D B π+===，ACD △中，26sin sin 7DAC BAC ∠∠==，由正弦定理得sin sin DC ACDAC D=∠，所以775265DC ⨯==，即DC 的长为5．故答案为：5．【点睛】关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理解得三角形的未知边和角.16.已知函数()ln f x ax e x =+与2l ()n xg x x e x=-的图象有三个不同的公共点，其中e 是自然对数的底数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1,)+∞【解析】【分析】将函数()f x 与()g x 有有三个不同的公共点等价为()()f x g x =，再利用换元法结合导数转化为二次函数的性质即可求解.【详解】解：由题知，()ln f x ax e x =+与2l ()n xg x x e x=-的图象有三个不同的公共点即方程2ln ln x ax e x x e x+=-有三个解，且0x >将方程化简得：ln 1ln 1e x a e x x x+=-令()ln e xh x x=，且()t h x =则()2110t a t a +--+=所以()()21ln e x h x x -'=令()0h x '=得：x e=所以()h x 在()0,e 上单调递增，在),e +∞单调递减所以()()1max h x h e ==当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞所以方程()2110t a t a +--+=的一个根()10,1t ∈，另一个根21t =或20t =或()1,0t ∈-∞当21t =时，方程无意义当20t =时，1a =，10t =，不符合题意则()1,0t ∈-∞，令()()211m t t a t a =+--+则()()0010m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即()101110a a a -+<⎧⎨+--+>⎩解得：1a >所以实数a 的取值范围是：(1,)+∞【点睛】关键点睛：本题的关键是先利用导数求极值，再根据一元二次方程根与系数的关系建立不等式进行求解.四、解答题17.已知数列{}n a 满足：11a =，且112nn na a a +=-．（1）求证：1na 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得221m m a a =+，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析，132n a n=-（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意整理得1112n n a a +-=-，即1na 是等差数列，根据等差数列求通项公式；（2）把（1）中的通项公式代入221m m a a =+求解，注意m 应为正整数．【小问1详解】由112n n n a a a +=-，得112112n n n n a a a a +-==-，∴1112n na a +-=-又111a =，∴数列1na 是以1为首项，2-为公差的等差数列∴()112123nn n a =--=-+∴132n a n=-【小问2详解】∵221m m a a =+，∴1213432m m=+--则22630m m -+=，解得332m =，不符合题意∴不存在正整数m ，使得221m m a a =+.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin 2B Cb a B +=，3BC =，如图所示，点D 在线段AC 上，满足AB AD =.（1）求A 的值；（2）若2BD CD =，求AB CB ⋅的值.【答案】（1）3π；（2）97.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得sin2A，进而得到A ；（2）在ABC 中利用余弦定理可求得DC ，从而求得cos B ，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：sin sinsin sin 2B CB A B +=，BC A π+=- ，sinsin cos 2222B C A A π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，sin 0B ∴≠，cossin 2sin cos 222A A A A ∴==，0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 02A ∴≠，1sin 22A ∴=，26A π∴=，解得：3A π=.（2）AB AD = ，3A π=，ABD ∴ 为等边三角形，设DC x =，则2BD AB AD x ===，在ABC 中，由余弦定理得：2222222cos 4969BC AB AC AB AC A x x x =+-⋅=+-=，解得：377x =677AB ∴=，977=AC ，2227cos 214AB BC AC B AB BC +-∴==⋅，6779cos 37147AB CB AB BC B ∴⋅=⋅=⨯= .【点睛】关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值.19.已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.条件①：π2c a -=；条件②：π3b =；条件③：7π12c =.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数π()()cos 23g x f x x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，若()g x 在区间[0,]m 上单调递减，求m 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析，π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5π24【解析】【分析】（1）由,,a b c 的值或关系，即可得出T ，从而求出ω，再根据零点，即可求出ϕ，A 由图像即可求出.（2）根据正弦函数的单调递减区间，即可求出()g x 的单调递减区间.【小问1详解】选条件①②：因为π2c a -=，所以π22T =，即πT =，则2π2Tω==.由图可知2A =，则()2sin(2)f x x ϕ=+.因为π3b =，2π()2sin 03f b ϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以2π,3k k ϕπ+=∈Z ，即2ππ3k ϕ=-+.因为0πϕ<<，所以π,13k ϕ==，所以π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选条件①③：因为π2c a -=，所以π22T =，即πT =，则2π2Tω==.由题意可知2A =，则()2sin(2)f x x ϕ=+.因为7π7π,()2sin 2126c f c ϕ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，所以7π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π3k ϕ=+.因为0πϕ<<，所以π,03k ϕ==.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选条件②③：因为π7π,312b c ==，所以π44Tc b -==，即πT =，则2π2Tω==.由题意可知2A =，则()2sin(2)f x x ϕ=+.因为7π12c =，7π()2sin 26f c ϕ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以7π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π3k ϕ=+.因为0πϕ<<，所以π,03k ϕ==，所以π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】ππ()2sin 2cos 233g x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πsin 43x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π2π3π2π42π232k x k +≤+≤+，得ππ5ππ242242k k x -+≤≤+.因为函数()y g x =在区间[0,]m 上单调递减，且π5π0,2424⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，此时0k =.所以5π24m ≤，所以m 的最大值是5π24.20.已知数列{}n a 单调递增，其前n 项和为n S ，且12a =，24nn a S n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设231na n nb a =⋅-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）2n a n =；（2）113322n n T n n +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先利用退位相减法得到12n n a a --=，再结合等差数列的定义及通项求解即可；（2）先得到()12321323333nn T n n =⋅+⋅+⋅++⋅- ，再利用错位相减法求出1231323333n n B n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，即可求解.【小问1详解】因为24n n a S n =+，所以当2n ≥时，21114nn a S n --=+-，所以当2n ≥时，221114n n n n na a S S a ----=+=整理得()2212n n a a --=，因为数列{}n a 单调递增，且12a =，所以当2n ≥时，20n a ->，10n a ->，所以当2n ≥时，12n n a a --=，即12n n a a --=所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以()2212n a n n =+-=．【小问2详解】231n n b n =⋅-，所以123n n T b b b b =++++ ()12321323333n n n=⋅+⋅+⋅++⋅- 设1231323333nn B n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，则234131323333n n B n +=⋅+⋅+⋅+⋅ ，所以1231233333nn n B n +-=++++-⋅ ()1313313n n n +-=-⋅-113322n n +⎛⎫=--⎪⎝⎭所以1132322n n B n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以1132322n n n T B n n n +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭．21.已知函数11()ln f x x ax a=+-，a R ∈且0a ≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1[,]x e e∈时，试判断函数()(ln 1)x g x x e x m =-+-的零点个数.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出导函数，根据导函数的符号的到函数的单调性；（2）将问题转化为求方程()ln 1xx e x m -+=根的个数的问题处理，分离参数后转化为判断()()1xh x lnx e x =-+和函数y m =的图象的公共点的个数的问题．通过分析函数()h x 的单调性得到图象的大致形状即可．试题解析：（1）函数的定义域为()0,+∞,∵()11ln f x x ax a =+-,∴()21,ax f x ax-'=①当0a <时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，则当1x 0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a <时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（2）由题意知，函数()()1ln 1,xg x x e x m x e e⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦，的零点个数即方程()1ln 1,x x e x m x e e ⎡⎤-+=∈⎢⎥⎣⎦，的根的个数．令()()ln 1e xh x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()1ln 1e 1.x h x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭'由（1）知当1a =时，()1ln 1f x x x =+-在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭递减，在[]1,e 上递增，∴()()10f x f ≥=.∴1ln 10x x +-≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立.∴()1ln 1e 1010x h x x x ⎛⎫=+-+≥+>⎪⎭'⎝，∴()()ln 1e xh x x x =-+在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.∴()1min112e h x h e e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，()()max e h x h e ==.所以当112em e e<-+或m e >时，函数没有零点；当112ee m e e-+≤≤时函数有一个零点.点睛：研究方程根的个数（函数零点的个数、两函数图象公共点的个数）时，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并根据题目要求，画出函数图象的大致图象，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．22.已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.【答案】（1）20ex y e --=（2）当0a ≤时，()f x 无极值点；当0a >时，()f x 有一个极值点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到()()1xf x x e '=+，()1f e =，()12f e '=，得到切线方程.（2）求导得到()()()1'x x xe a f x x+-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，0a >时必存在00x >，使()00h x =，计算单调区间得到极值点个数.（3）()00f x '=，即00xx e a =，代入得到001ln 0x x -->，设()1ln g x x x =--，确定函数单调递减得到()00,1x ∈，令()1ln g x x x =--，确定单调性得到答案.【详解】（1）当0a =时，()xf x xe =，()()1xf x x e '=+，所以()1f e =，()12f e '=.从而()f x 在1x =处的切线方程为()21y e e x -=-，即20ex y e --=.（2）()()111xf x x e a x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭()()()11x xx xe a a x e x x +-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上是增函数，不存在极值点；②当0a >时，令()xh x xe a =-，()()10xh x x e '=+>，显然函数()h x 在[)0,+∞是增函数，又因为()00h a =-<，()()10ah a a e =->，必存在00x >，使()00h x =，()00,x x ∈，()0h x <，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x x ∈+∞，()0h x >，()0f x '>，()f x 为增函数，所以，0x x =是()f x 的极小值点，综上：当0a ≤时，()f x 无极值点，当0a >时，()f x 有一个极值点.（3）由（2）得：()00f x '=，即00xx e a =，()()()000000000ln 1ln x x f x x e a x x x e x x =-+=--，因为()00f x >，所以001ln 0x x -->，令()1ln g x x x =--，()110g x x'=--<，()g x 在()0,∞+上是减函数，且()10g =，由()()1g x g >得1x <，所以()00,1x ∈.设()ln 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，()111x x x xϕ-'=-=，()0,1x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ为增函数，()()10x ϕϕ<=即()0x ϕ<，即ln 1x x <-，所以ln 1x x ->-，所以()ln 1x x +<，所以10x e x >+>，因为()00,1x ∈，所以0010x e x >+>，00001ln 110x x x x -->-+->，相乘得()()()000001ln 122x ex x x x -->+-，所以()()()()000000001ln 211x f x x e x x x x x =-->+-()()230000212x x x x =-=-，结论成立.【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第21页/共21页。
2020届辽宁省沈阳市高三上学期五校协作体期中联考试题 数学理 PDF版
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17.（本小题满分 12 分）
已知数列 an 满足 a1 1，且 an 2an1 2n n 2, n N ．
3 sin
轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2
的极坐标方程为
sin(
4
)
1．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）射线 OM
：
(
2
)
与曲线 C1 交于点
M，射线 ON
：
4
与曲线 C2
交于点
N，求
1 OM
2
1 ON
2
的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 设函数 f (x) x 2a 2x 3 (a 0) ． a （1）若 g(a) f (0) ，解不等式 g(a)≥5 ； （2）求证： f (x)≥ 2 3 ．
2019—2020 学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考
高三年级理科数学试卷
试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12 题，共 60 分）和第Ⅱ卷（非选择
题，13—23 题，共 90 分）。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
命题人：关锋
得到的回归方程为y^＝bx＋a，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D． a c b
8 －3.0
2020 年辽宁省高三教学质量监测考试理科数学试卷-含答案
作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝
A．4
B．4 2
C．6
D．6 2
12．定义在 R 上的奇函数 f (x)又是周期为 4 的周期函数，已知在区间[－2，0)∪(0，2]上，
f (x)＝aaxx－＋1b，，－0＜2≤x≤x＜2．0 ，则 f (2019)＋f (2020)＝
A．12
B．－12
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
C．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n
D．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
9．已知 tan(α－π4)＝17，则 cos2α＝
A．－275
B．275
C．－2254
D．2245
10．将函数 y＝cos(2x＋φ)(－π2＜φ＜2π)的图象向右平移38π个单位长度单位后得函数 f (x)图
D．c＜b＜a
5．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 A．4π B．7π C．16π D．28π学试题 第 1 页（共 4 页）
6．中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打 结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位古人在从右到左依次
排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，
这位古人共捕鱼
A．89 条
B．113 条
C．324 条
D．445 条
7．同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面向上的次数为 X，则 X 的数学
方差是
A．12
B．34
C．1
D．32
8．已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示平面，下列说法正确的是
辽宁省沈阳市名校2021届高三教学质量监测(一)数学(理)试题(含答案)
高三教学质量监测（一）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回. 第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i 为虚数单位，则复数21i -所对应的点在（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U R =，集合{}|lg A x y x==，}{1,1B =-,则下列结论正确的是（ ）A ．}{1A B =-B ．()(,0)A B =-∞RC ．(0,)AB =+∞D ．}{()1A B =-R3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）A．2xy=B．2xy=C．22x xy -=-D．22x xy-=+4. 已知两个非零向量ba,满足()0a a b⋅-=，且2a b=，则>=<ba,（）A.30B. 60C. 120D.1505. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）6.设等差数列{}na满足27a=，43a=，nS是数列{}na的前n项和，则使得nS0>最大的自然数n是（）A．9 B.10 C.11 D.127. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（）A．)5365sin(π+-=xyB．)5256sin(π-=xyDCBAxyO3πA B43π1-第7题图C ．)5356sin(π+=x y D ．)5365cos(π+-=x y 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是（ ）A ．3-B ．0C 3D ．33369．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810.已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．38-B ．316 C ．38-D ．不能确定11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．36种12.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则x 必满足（ ）A ．012x <<0 B ．012x <<1C ．2220<<x D 023x <<开始 s=0，n=1n ≤2016 s=s+sin3n π n= n +1输出s 结束是否图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________.14.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA l ⊥于点A ，当30AFO ∠=（O 为坐标原点）时,PF =____________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________.16.已知函数()()1,2(),2,12x x f x x ⎧-≥⎪=⎨≤<⎪⎩若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a 的取值范围 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，43π=C ，且)cos(sin 2sin B A A B +⋅=.(Ⅰ)证明：222b a =；(Ⅱ)若ABC ∆的面积是1，求边c .18. (本小题满分12分)已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示.(Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的 交线（不必说明理由）； (Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.19. (本小题满分12分)ACDAB1C1BD1E某中学根据2002—2021年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2021年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m 、31、n ，已知三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，且n m .(Ⅰ)求m 与n 的值；(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点1F 、2F 分别在x 轴上,离心率为21，在其上有一动点A ，A 到点1F 距离的最小值是1.过A 、1F 作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)判断ABCD能否为菱形，并说明理由. (Ⅲ)当ABCD的面积取到最大值时，判断ABCD的形状，并求出其最大值. 21.（本小题满分12分）已知函数axxaxxxf+--=22ln)(（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求a的取值范围；O xy1F2FABCD(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x ，且21x x <.已知0>λ,若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ； (Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.TN23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C向上平移1个单位得到曲线2C .(Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程； (Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知命题“a b c ∀>>，11t a b b c a c +≥---”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“n R ∀∈，14sin cos n n mγγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)求n的取值范围.2021年沈阳市高三教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.D题1A21i-1i=+，其对应的点为(1,1)，故选A.题2D 化简集合A{}|0x x=>，从而A、C错，{}|0RC A x x=≤，故选D.题3C A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或'2ln22ln20x xy-=+>），故选C.题4B 由题2a ab =⋅， 而>=<,cos 22122aa ba ba⋅==⋅，故选B.题5B题6A 解出{}n a 的公差37242d -==--，于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ，可见{}na 是减数列，且650a a >>，065=+a a ，于是92259>⋅=a S ，01026510=⋅+=a a S ，01122611<⋅=a S ，从而该题选A.题7C 不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ，由图知1=A ，3434ππ-=T 125π=， 于是352πωπ=，即56=ω，3π是函数减时经过的零点，于是ππϕπ+=+⋅k 2356，k ∈Z ，所以ϕ可以是53π，选C.题8B 由框图知输出的结果32016sin 32sin3sinπππ+++= s ，因为函数x y 3sin π=的周期是6，所以)36sin 32sin 3(sin 336πππ+++= s 00336=⨯=，故选B. 题9B 依题画出可行域如图，可见ABC ∆及内部区域为可行域， 令x y m -=，则m 为直线:l m x y +=在y 轴上的截距， 由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4，在(2,0)C 处最小值是-2，所以[2,4]m ∈-，所以z 的最大值是4,故选B. 题10A 令点),(00y x P ，因该双曲线的xoyABC渐近线分别是03=-y x，03=+y x，所以=PA 13130+-y x ，=PB 1313++y x ，又AOB APB ∠-=∠cos cos AOx∠-=2cos 3cosπ-=21-=，所以PA PB⋅APBPB PA ∠⋅=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，选A.此题可以用特殊位置法解决：令P 为实轴右顶点，此时323,,,38PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-，选A.题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：14C ；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是++113C 713=C ，故本题的答案是28714=C ，选B.解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种；2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种；3、Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种，总共有28种，故选B题12D 由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，x y 1='，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为x x x g 12)(-='x x 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，3)2ln 230g =-，从而023x << D.二.填空题13.2425 14.43 15.66 16.115(0,)(2-+题13 依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα，所以25242sin =α，答案为2425.题14 令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以233AB =，若),(00y x p ，则033x =，代入24x y =中，则013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43.几何法：如图所示，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形而2434cos30333AF AF PF ==∴==︒，故答案为43. 题15 依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得，nn n a a a 21=-+，即nn a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 题16当1+=ax y 过点)2,2(B 时，则21=a ，满足方程有两个解； 当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时，则251+-=a ，满足方程有两个解；所求范围115(0,)22⎛⎤-+ ⎥ ⎝⎦. 三.解答题 17．解：（Ⅰ）由A B C π+=-，以及正弦定理得，2cosC b a =-， …………………3分又43π=C ，所以2b a =，从而有222b a =.………………………………………6分（Ⅱ）由1sin 2ABCS ab C ∆=214ab ==，所以22ab =22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……9分 由余弦定理知，2222cosCc a b ab =+-224210=++=，…………11分所以10c =.……………………………………………………………………………12分 18．解： 几何解法（Ⅰ）连接1BC 交C B 1于M ，则 直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的 交线，如图所示；……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体1AC 中，所以ACDAB1C1B D1EMM 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ，…………………………6分又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1；……………………8分（Ⅲ）因为在长方体1AC 中，所以11//BC AD ， 平面1ABD 即是平面11D ABC ，过平面EC B 1上点1B 作1BC 的垂线于F ，如平面图①，因为在长方体1AC 中，⊥AB 平面11BCC B ，⊂F B 1平面11BCC B ，所以AB F B ⊥1， B AB BC =⋂1，所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ，如平面图②，连接N B 1，由三垂线定理可知，EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知，在FN B Rt 1∆中，NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角. 因长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，在平面图①中，525211=⨯=F B ，………………………………………………………………………10分1053=FM ，251=M C ，11=E C ，在平面图②中，由1EMC ∆相似1FMN ∆可知EMFM EC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=55=，MB1 平面图①FCMD1C1B AENF平面图②所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=，所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分 空间向量解法：（Ⅰ）见上述. …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C ，)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，)1,1,0(-=CE ，…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x = 所以CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m CE m CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ， 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=，而02421=+-=⋅m BD ，所以m BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,2,0(-=BA ，)1,2,2(1--=BD ，令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x n =, 所以⊥，BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n BD n BA ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ， A CDAB1C1B D1Exyz得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为n m n m ⋅<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos.…………………12分19．解：（Ⅰ）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分 （Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P .这样X 的分布列为： （………………………………每答对两个，加1分）X 01 2 3 4 5 6P41 41 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. ……12分 20．解：（Ⅰ）依题，令椭圆E 的方程为22221x y a b +=，(0)a b >>222c a b =-(0)c >，所以离心率12c e a ==，即2a c =.…………………………2分令点A 的坐标为00(,)x y ，所以2200221x y a b +=，焦点1(,0)F c -，即22100()AF x c y =++2222200022b x x cx c b a =+++-2220022c x cx a a =++0c x aa =+，（没有此步，不扣分）因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a=-时，1min AF a c=-，……………………………3分由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==，所以23b =，于是椭圆E 的方程为22143x y +=.………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -，如图，直线AB 不能平行于x 轴，所以令直线AB 的方程 为1x my =-，1122(,),(,)A x yB x y ，联立方程，22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以，122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分若ABCD 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，于是有12120x x y y ⋅+⋅=，……6分…………………………………………11分Oxy 1F2FABCD又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=，………………………………………………7分得到22125034m m --=+，可见m 没有实数解，故ABCD 不能是菱形. ………………8分（Ⅲ）由题4ABCDAOBSS ∆=，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF =，即1122ABCDSOF y y =⋅-212122()4y y y y =+-⋅，………………………………9分由（Ⅱ）知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.所以，22223636(34)2(34)ABCDm m Sm ++=+222124(34)m m +=+………………………10分2212419(1)61m m =++++因为函数1()9f t t t =+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分即ABCDS的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分 21．解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.…1分 （解法一）转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图. ……………3分xyo1y=lnx y=axA可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<.令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e=，于是1k e =，所以10a e <<.………………………………………6分 （解法二）转化为，函数ln ()xg x x =与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点.又21ln ()xg x x -'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=………3分又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln ()xg x x =与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，只须10a e <<.………………………………6分（解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点，而11()ax g x ax x x -'=-=（0x >）若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增，此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a >时，()0g x '<，xy oe1ea 1所以()g x 在1(0,)a 上单调增，在1(,)a +∞上单调减，从而1()()g x g a =极大1ln 1a =- 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln 10a ->，所以10a e <<. 综上所述，10a e <<……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+.由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立.令12x t x =，(0,1)t ∈，则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. ………………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+,当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>,2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去. 综上所述, 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠,……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分 （Ⅱ）连接TM 、AM, 因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知,sin sin MC TCATM TMC =∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,TAB C D MN所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC =,即,AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+, 所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-=, …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,12TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分与C2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,xyoT因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c +≥---”是真命题， 所以a b c ∀>>，11ta b b c a c +≥---恒成立，又c b a >>，所以)11()(c b b a c a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min)]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(c b b a c b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=c b b a b a c b ，“”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n mγγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第一次模拟考试数学理试题Word版含答案
2019学年度上学期2018—高三第一次模拟考试（数学理科）试卷:高三数学备课组命题人使用时间:9月7日分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合小题，每小题5一、选择题：本大题共12题目要求的.i?复12 D. A.C.B.i?i1?1?BA????已知全集，2.，，则?8x??|U?{x?Zx4,5A3,?5,6?CB U 20}12?AB5,3,???? D. C.2,34,52,3,次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数甲乙两名同学63.??,xx 、据的平均数分别为，标准差分别为，则乙甲乙甲??????x?xx?x A.，B.，乙甲乙甲乙甲乙甲??????x?xx?x D.，， C.乙甲乙甲乙甲乙甲 2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余4.一个棱长为几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是．． D.四棱柱三棱柱 C.四棱锥 A.三棱锥B.下列命题中真命题的是5. 均为假命题；若为假命题，则， A.pp?qq22bm?am b?a“ B.”的充要条件；”是“?1xx??x?1x?1?1221?x1x?，则 C.命题：若的逆否命题为：若，则或或；?2yx??6y?8q:p:xy,x ，则p是或，，q的充分不必要条件. D.对于实数?1???cos2??cos? 6.，则已知???25??237237??．． AC． B． D252525252?x??y,x0?y??1x yx?2z??，则7.若实数满足的最小值为?02y?x2????114?4．C．D A. B.??22)x?lg(y?x?a??0,R?x)g(上．已知函数在8上2a?x的奇函数，且函数是定义在x a的值为单调递增，则实数?12?C．1D B．A．．29.某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6节如两个节目要相邻，且都不排在号位置，则节目单上不同的排序方式有A．192种 B．144种 C．96种 D．72种π???)?Asin(?xf(x)A）的图象如图所示，为了得到（其中＜＞10.函数0，2g(x)?sin3xf(x)的图象的图象，只需将ππ个单位长度 B.向左平移 A.向右平移个单位长44度ππ个单位长度 D.向左平移 C.向右平移个单位长度121222yxCO0)??0,b1(C:??aF P为为双曲线设点的左焦点，点右支上一点，点为11.122ab 0C OPF?30是底角为坐标原点，若的离心率为的等腰三角形，则13?15?111?33? D． B．． A C．225xe x?'????)xf(x?f(x)?e)?(2是自（的导函数为都有，且对任意的实数12．已知函数xffx'2xm????则实数的不等式然对数的底数），且的解集中恰唯一一个整数，，若关于0?fmfx01??的取值范围是93ee3ee(?,0](,0)?(?,],0]?(． B. C．D A.2442e2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）n??243321mx??m，则已知13.的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为．2xy?4yBAFFA在抛物线上，则，点的中点轴上，线段14.已知抛物线的焦点为在?AF．ABCP?32，则该正四面体外接球的表面积在正四面体中，其侧面积与底面积之差为15. ．为cb,,Ca,A,BABC?，的16.图如，设所对的内边角分别为CD?D ABCcosA?bsinB?acosC?c?CAB?外一若点是，且6AD2,??3DCABCD，时，四，则当边形点面积最大值BA?Dsin．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。