2017-2018学年甘肃省兰州市兰州一中高二上学期文科数学期末试卷

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.一、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2017一中文）（5分）设复数12z i =-，则z =（ ） A ．5B C ．2D【分析】直接由复数模的计算公式求解． 【解答】解：12z i =-，z ∴ 故选：B ．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．2．（2017一中文）（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（ ） A ．能被3整除的整数，一定能被6整除B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除【分析】根据命题“若p ，则q ”与它的逆否命题“若p ⌝，则q ⌝”是等价命题，写出答案即可． 【解答】解：∵命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”的逆否命题是 “不能被3整除的整数，一定不能被6整除”； 它们是等价命题． 故选：B ．【点评】本题考查了互为逆否命题的两个命题是等价命题的问题，解题时应根据原命题会写出它的逆否命题，是容易题目．3．（2017一中文）（5分）抛物线216y x =的准线方程是（ ）A.4x =B.4x =-C.164y =D.164y =-【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p 的值，由抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：抛物线的方程为216y x =，其标准方程为2116x y =， 其开口向上，且132p =， 则其准线方程为：164y =-； 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．4．（2017一中文）（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（ ）A.7 B.54C.45D.53【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到,a b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，可得34b a =，即()222916c a a -=，解得53c a =． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．5．（2017一中文）（5分）“1＜m ＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件“13m <<”是“方程22113x y m m +=--表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程22113x y m m+=--表示椭圆， 则满足103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即132m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，即13m <<且2m ≠，此时13m <<成立，即必要性成立， 当2m =时，满足13m <<，但此时方程22113x y m m +=--等价为22111x y +=为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“13m <<”是“方程22113x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键． 6．（2017一中文）（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．A ．22B ．42C ．43D ．23【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把4y =-代入抛物线方程求得0x 进而得到答案．得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将()2,2A -代入2x my =， 得2m =-∴22x y =-，代入()0,4B x -得022x =， 故水面宽为42m ． 故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．7．（2017一中文）（5分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．5 C ．12D ．52-【分析】由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+，由1121,,AF F F F B 成等比数列可得到22215c e a ==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+， ∵1121,,AF F F F B 成等比数列， ∴()()()22c a c a c =-+，∴2215c a =，即215e =， ∴5e =，即此椭圆的离心率为5． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用,a c 分别表示出1121,,AF F F F B 是关键，属于基础题．8．（2017一中文）（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当1n =时，15,42a b ==，满足进行循环的条件， 当2n =时，45,84a b ==满足进行循环的条件， 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件， 当4n =时，404,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．（2017一中文）（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．【解答】解：椭圆的方程为22194x y +=，26,24,a b c ∴===连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2ABF ∆的周长22122l AF BF AB AF AF AB a AB =++=++=+， 当AB 位于短轴的端点时，AB 取最小值，最小值为24b =， 266410l a AB AB =+=+≥+=.故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．10．（2017一中文）（5分）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -= B ．22145x y -=C ．22136x y -= D ．22163x y -= 【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得,a b 间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得,a b 间的另一个等式，联立即可解得,a b 的值，从而确定双曲线方程【解答】解：圆22:650C x y x +-+=的圆心()3,0C ，半径2r =∴双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点坐标为()3,0，即223,9c a b =∴+=，① 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，C ∴222a b =+ ②由①②解得：225,4a b ==∴该双曲线的方程为22154x y -= 故选：A ．【点评】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用11．（2017一中文）（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（ ）A ．12B C ．13D 【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径12,PF PF ，最后在焦点三角形12PF F 中，利用余弦定理计算即可． 【解答】解：依题意，曲线221:162x y C +=的焦点为()()122,0,2,0F F -， 双曲线222:13x C y -=的焦点也为()()122,0,2,0F F -，P 是曲线2C 与1C 的一个交点，设其为第一象限的点 由椭圆与双曲线定义可知1212PF PF PF PF +=-=解得12PF PF = 设12F PF θ∠=则22241cos3θ+-==， 故选：C ．【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题． 12．（2017一中文）（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（ ）A ．B CD 【分析】设A 在第一象限，A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,60,AF AM m BN BF m BAF k ====∠==，当A 在第四象限时，可得k =．【解答】解：设A 在第一象限，如图，设A B 、在准线上的射影分别为,M N ， 过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,2AF AM m BN BF m AE m ====∴=， 又4,60,AB m BAF k =∴∠==，当A 在第四象限时，可得k =故选：B ．【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2017一中文）（5分）已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为_________． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由()12i z +=， 得()()()()2121211112i i z i i i i --====-++-， ∴复数z 的虚部为1-． 故答案为：1-．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 14．（2017一中文）（5分）已知命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>．则p ⌝为__________． 【分析】命题p 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化． 【解答】解：命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>”是全称命题， 否定时将量词对任意的x ∀变为x ∃，再将不等号>变为≤即可． 故答案为：00x ∃>，使得()0011x x e +≤．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．15．（2017一中文）（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围_________． 【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形45PAF ∠<得到AF PF >，求出A 的坐标；求出,AF PF 得到关于,,a b c 的不等式，求出离心率的范围． 【解答】解：APQ ∆是锐角三角形，PAF ∴∠为锐角，双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，45PAF QAF ∴∠=∠<, AF PF ∴>F 为座焦点，设其坐标为(),0c -所以(),0A a 所以2,b AF a c PF a=+= 2b ac a∴<+即2220c ac a --< 解得12ca-<< 双曲线的离心率的范围是()1,2 故答案为：()1,2【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：222c a b =+考查双曲线的离心率问题就是研究三参数,,a b c 的关系．16．（2017一中文）（5分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB 的中点．则直线AB 的方程为__________．【分析】根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()31y k x =-+，联立消元，得到含有参数k 的关于x 的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程.【解答】解：离心率e =，设椭圆()222:30C x y a a +=>， 设()()1122,,,A x y B x y 由题意，设直线AB 的方程为()31y k x =-+，代入2223x y a +=， 整理得()()()2222316313310k x k k x k a +--+--=．①()()2224313310a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，②且()12263131k k x x k -+=+，由()3,1N 是线段AB 的中点，得1232x x +=． 解得1k =-，代入②得212a >，∴直线AB 的方程为()113y x -=--，即40x y +-=【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，利用方程的思想，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2017一中文）（10分）已知a 为实数，命题:p 点()1,1M 在圆()()224x a y a ++-=的内部；命题:q x R ∀∈，都有210x ax ++≥．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围． 【分析】求出命题,p q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可． 【解答】解：由题意得，当p 真时，()()22114a a ++-<，解得11a -<<，当q 真时，则0∆≤，解得22a -≤≤．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题， 则,p q 一真一假，从而当p 真q 假时，有1122a a a -<<⎧⎨><-⎩或 无解；当p 假q 真时，有1122a a a ≥≤-⎧⎨-≤≤⎩或，解得21a -≤≤-或12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2--． …（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．（2017一中文）（12分）设,A B 是抛物线28y x =上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8． （1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．【分析】（1）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，将,A B 的坐标代入抛物线方程可得2211228,8y x y x ==，将两式相减，分析可得21211y y k x x -==-，即可得答案； （2）由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标，即可得直线的方程，联立直线与抛物线的方程可得21240x x -+=，由弦长公式分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ， 则有2211228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-． 又128y y +=， 则21211y y k x x -==-，直线AB 的斜率为1 （2）由题可知()2,0F ，则直线AB 的方程为2y x =-， 代入28y x =消去y 并整理，得21240x x -+=， 有1212x x +=，由弦长公式得1216AB x x p =++=．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的几何性质与标准方程，注意利用点差法分析，求出直线的斜率．19．（2017一中文）（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，渐近线方程为y x =±，且双曲线过点(4,P ． （1）求双曲线的方程；（2）若点()11,M x y 在双曲线上，求12MF MF ⋅的范围．【分析】（1）设双曲线方程为22,0x y λλ-=≠，由双曲线过点(4,P ，能求出双曲线方程． （2）根据向量的数量积以及双曲线的性质即可求出 【解答】解：（1）渐近线方程为y x =±，a b ∴=，设双曲线的方程为()220x y λλ-=≠． 双曲线过点(4,P ， ∴1610λ-=，即6λ=． ∴双曲线的方程为226x y -=．（2）由（1）可知，a b c ==()()12,F F ∴-，()()11121123,,23,MF x y MF x y ∴=---=-,221211112MF MF x y ∴⋅=-++，点()11,M x y 在双曲线上，22116y x ∴=-+，(221211162MF MF x x ∴⋅=-+=，16x ≤-1x(212218MF MF ∴⋅≥=-【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．20．（2017一中文）（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为()1F ，点M 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于两个不同的点,A B ，若AOB ∆（O 是坐标原点）的面积45S =，求直线AB 的方程．【分析】（1）根据题意，设出椭圆的右焦点，由椭圆的定义可得a 的值，计算可得b 的值，将,a b 的值代入椭圆的方程，即可得答案；（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y 以及直线AB 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆的方程，可得()224230m y my ++-=，由根与系数的关系分析可得1212S OP y y =-，结合题意可得45=，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设椭圆C 的方程为()2222:10x y C a b a b +=>>，因为椭圆的左焦点为)1F ，设椭圆的右焦点为)2F ，由椭圆的定义知122MF MF a +=，所以24a =，所以2a =， 从而1b =，所以椭圆C 的方程为 2214x y +=， （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题可设直线AB 的方程为1x my =+．联立直线与椭圆的方程，22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()224230m y my ++-=，则有12122223,44m y y y y m m -+==++，则1212S OP y y =- 又由45S =45=解得21m =，即1m =±．故直线AB 的方程为1x y =±+，即10x y +-=或10x y --=为所求．【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的方程．21．（2017一中文）（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点(),0M m 的直线与开口向右的抛物线有两个交点,A B ，则设该直线的方程为x ty m =+（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0FA FB ⋅<的等价转化；最后通过,m t 的不等式求出m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(),P x y()10x x =>化简得()240y x x =>．（Ⅱ）设过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ．设l 的方程为x ty m =+，由24x ty my x =+⎧⎨=⎩得()22440,160y ty m t m --=∆=+>，于是121244y y t y y m+=⎧⎨⋅=-⎩①又()()()()()()112212*********,,1,,01110FA x y FB x y FA FB x x y y x x x x y y =-=-⋅<⇔--+=-+++<② 又24y x =，于是不等式②等价于()()222222121212121212121102104444164y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎡⎤⋅+-++<⇔+-+-+< ⎪⎣⎦⎝⎭③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数2,4t t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，解得322322m -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围()322,322-+．【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．22．（2017一中文）（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点为F ，过点()0,B b -和点F 的直线与原点的距离为1． （1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q ．若PQ AP λ=，则实数λ的取值范围．【分析】（1）由题意可得2222c a bc a a b c ===+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解得即可，（2）若PQ AP λ=，设直线():2l y k x =+，将直线方程代入椭圆方程（圆方程）求得,P Q 的纵坐标，由坐标之比，结合不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）由题意可得2222c a bc a a b c ==+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解得2,2a b c ==.∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）由题可设直线():2l y k x =+，由()2242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消去x 得()22140k y ky +-=，所以241Q k y k =+，同理2421P k y k =+．又11Q Py PQ AQ AP AQ APAPAPy λ-===-=-．则2221111k k k λ==-++． 20k >，01λ∴<<．【点评】本题考查椭圆的方程和圆的方程的求法，注意运用离心率公式，向量的坐标之比，考查向量共线的坐标以及化简整理的运算能力，属于中档题．。