利用几何画板探索轨迹的教学
巧用几何画板探索椭圆轨迹
（ 斛÷） ＾ ２ ２
方程。
教师 ： “ 以上解法是很典 型的。这里设点Ａ、 的 坐标 ， 但 并不需要求出 ， 只是利用Ａ、 曰 的坐标进行过 渡 。这是解析几何 中常用 的一种求轨迹方法——设 而不求 。 寻找动点之 间的关系是求轨迹问题的关 键。 还有其他解法没有？”
２
看 一个具体 的例子 ： 如图 １ ， 过 椭 圆 ＋ ＝ １ （ 。 ＞ ６ ＞
ａ ｚ ｂ
教师： “ 点Ｐ 与Ａ、 Ｂ 两点的坐标的关系怎样 ？” 学生 ： “ 根 据 中点 坐 标 公 式 得 到 ：ｘ ｌ ＋ Ｘ ２， ｖ ：
２ ｙｌ ＋ ） ， ２ ， ，
一
ｆ Ｆ 严
＼ 、 ．
／
，
＼ ～
图３ 图４ “ 猜猜看 ， 点Ｊ Ｐ 的轨迹是什么？” 不少学生 已经利用几何画板演示 了出来 ：拖 动 主 动 点 Ａ， 得到点Ｐ 的轨迹 是一个 小椭 圆 ， 并 且 这 个
小椭圆的长轴是线段０ 即半焦距 。（ 如 图４ ）
２ ２
于 是 有 二 ： 一 ． — Ｘ ｌ ＋ — ｘ ２ 一娑 ： ｋ ： ＿ ｌ ｙ ＿ ， ｒｘ ２ ， ２ ， Ｘ ＋Ｃ
化简得—— 一＋ —Ｌ ： １ ， 此 即为所求 的轨迹
（ ＿ ｃ ＿ ） ｚ （ ｃ） ｂ ｚ
２ ２０
方 程 。”
，
ｉ
图 １
一 ／
图 ２
；
“ 有ｋ ： ￣ Ｙ ｌ － ｙ， 还有 ： ， ｌ。”
Ｘｌ －Ｘ２ Ｘ＋Ｃ
“ 如何 得 ￣ ｌ Ｊ Ｙ Ｉ － Ｙ ２ ７”
Ｘ１ － Ｘ２
几何画板演示 ：拖动 主动点Ａ在椭圆上转动 或 制作点Ａ 在 椭圆上运动 的动画按钮 ， 跟踪 点Ｍ， 得 到 点Ｍ的轨迹是一个小 圆。如 图２ ， 怎样求 出这个小 圆
信息技术应用用几何画板探究点的轨迹椭圆
• [3]用铅笔尖（M）把细绳拉 紧，在板上移动观察图像
. M.
F1
F2
观察作图过程：
由于绳长固定，所以 M 点到 两个定点F1、F2的距离和为定值。
回顾：我们把平面上到定点的距离 等于定长的点组成的图形叫做圆。
请同学们类比圆的定义归纳总结出 椭圆的定义。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和记为常数 2a
M
F1
F2
MF1 MF2 2a 2c
• 问题1：为什么衬托部分恰好是一个椭圆？ • 问题2：折痕上究竟有几个点在椭圆上？
问题1：为什么形成的空白部分是椭圆？
证明： 过点F2做直线m的垂线交圆于点A 连接AF1交m于点P，连接F2P
直线m垂直平分 AF2
PA PF2
PF2 PF1 PA PF1 AF1 R F1F2
点P在以F1、F2为焦点的椭圆上
A
P
F2
m
F1
问题2：折痕上究竟有几个点在椭圆上？
证明： 在m上任取异于P点的点Q 连接AQ,F1Q,F2Q AQ F2Q
A
P
F2
Q
m
F1
F1Q F2Q AQ F1Q AF1 R
点Q在该椭圆外，点P是唯一的公共点，
即m是椭圆的切线
在生活实践中我们经常用到椭圆，比如木工吊顶时不知道椭圆的两个定点，又 怎么来画椭圆呢？
机械制图中常用到的四心圆法又是如何画椭圆的呢？
MF1 MF2 2a 2c
课堂小结
课堂有限，知识无限。椭圆作为圆锥曲线中 的一种。这节课我们通过两个小游戏，探索 出了它的定义。同学们能否利用这节课学习 到的方法，去探索和发现其他圆锥曲线的美
基于数学活动的探究教学——陶维林老师“轨迹问题的探求”课例研析
练记住技巧 ， 而对技巧的来龙去脉则语焉不详． 对数 点 Ｆ满足 的几何条件 ，轨迹 就透 明了． 刚才研究 的 学教师来说 ，教学生探求轨迹诚然 比教学生机械记 问题 ： Ｃ是定 圆 内一个定点 ， 是 圆上 一个定点 ，
忆解法 更为困难 ； 但是对学 生来说 ， 通过动 手实验 、 探求线段 Ｃ Ｄ的垂直平 分线与半径 Ａ Ｄ交点 Ｆ的轨
么？” 学生的思维活 动从折叠实验操作 活动导 向 将 的过程 ） 刚才 我们在 做什 么呢？实 际上是在进行点
具体问题情境 的数学化 活动 ， 形成轨迹 问题 ｌ并加 的轨迹 的探求 ， 同学 一开始 找几何 条件 ， 合椭 圆 符
以解决 ．
２ 深 入探 究 ， ． 强化 认 识
的定义 ； 然后 ， 发现 主动点 和被动 点之 间有 数学关 系式 ， 找出联络方式 ， 就可 找出点 的轨迹 ． 面来验 下
滑而过 ” 流于形式． ， 本文通过对南 京师范大学 附中 １ 动手 实验 ， ． 进行数 学化 师： 先在 圆形滤 纸上 画一 个点 ，
特 级教师陶维林 的“ 轨迹 问题的探求 ” 例的研析 ， 课
些想法．
一
不要 靠近 圆心 ， 然后 折叠 ， 得 弓形 使
（ 图 １， 如 ）这些折痕 围成一个 什么 图 形？有 同学发 现是椭 圆 ，如果 没看
和发展能力 ，已经成 为数学课 堂教学 的普遍 追求． 胆猜想 、 严密证 明 、 验感 悟 、 想共 鸣 ， 发引导 体 思 启 但是教师倾力创设 的数学探究活 动情境 ， 往往没 有 学生 主动探 轨迹 、 求轨迹． 充 分发挥 出潜在 的启 导功 能 ， 而是 在不 经意 间 “ 一
师： 圆是定的 ， Ｄ在 圆上动 ， 点 许多点 随着它 的 证 ． 几何画板展示 ， （ 拖动 ， 始终是 圆） 变动而变动， Ａ Ｄ的中点 Ｅ的轨迹是什么？大胆猜想．
_几何画板_探索轨迹的好助手_谈_几何画板_的探索轨迹功能
2003年11月安徽教育学院学报N ov .2003第21卷第6期Journal of A nhui Institute of Educati onV o l.21N o .6[收稿日期] 2003-07-18[作者简介] 焦丽筠,安徽教育学院现教中心高级实验师。
《几何画板》探索轨迹的好助手——谈《几何画板》的探索轨迹功能焦丽筠(安徽教育学院现代教育技术中心,安徽合肥230061) [摘 要]本文讨论用《几何画板》探索轨迹的基本思路和方法,轨迹绘制中几何作图交轨法的使用是非常有效的。
[关键词]几何画板;轨迹 [中图分类号]T P 391.41 [文献标识码]A [文章编号]1001-5116(2003)06-0040-03 探索满足某种条件的动点轨迹历来被认为是教学和初数研究中的难点,特别是第三类轨迹问题需要判断轨迹的形状、大小和位置,确定它们往往更多地依赖于探究者的学识、经验和想象力,并且常局限于几种基本轨迹(点、线、线段、圆、圆弧等),其复杂性使施教者往往词穷,探究者不时陷入困惑中。
教育部基础教育司推荐中小学数学教学辅助软件《几何画板》是一款可以较好地帮助我们解决这一问题的教学辅助工具。
《几何画板》是一种动态几何演示软件,它可以使图形在运动变化的过程中保持相关元素既定的几何关系不变,这是《几何画板》有别于其它教学应用软件的最大优点,也是其精髓所在。
借助于《几何画板》的轨迹跟踪功能,我们可以快捷地获得欲求轨迹的基本信息和模拟图形,这给教学和研究带来很大的帮助。
以下我们借助于《几何画板》的基本功能,通过几个基本作图,讨论利用《几何画板》探索轨迹的基本思路和常用方法。
1 单重运动 动点在某一确定的约束条件下运动,称之为单重运动。
一般地说,约束条件通常有关于量的刻画和关于位置关系的刻画,根据《几何画板》轨迹跟踪功能的运用原理,我们首先作出一个在仅满足量的约束条件的路径上运动的点,称之为主动点(控制点),另作一个关于位置关系约束条件的点,称之为被动点(被控制点),再让被动点跟踪主动点的运动变化,那么当主动点在路径上运动时,被动点将画出同时满足关于量和位置关系约束条件的轨迹。
有效利用几何画板，促进数学课堂教学
127美眉 2023.06下教研与美育教学研究有效利用几何画板，促进数学课堂教学何进兰（贵州省铜仁市第十五中学，贵州 铜仁 554300）摘 要：高中数学学科知识抽象性比较强，对学生逻辑思维能力有一定的要求，为加深学生对知识内容的理解，降低其学习难度，教师应结合新课程要求，调整教学理念和方式。
通过应用几何画板这一教学工具，能够让学生直观感悟知识，全面掌握重难点知识，从而提高数学课堂教学有效性。
基于此，本文以高中数学为例，深入探究如何有效利用几何画板，构建高效课堂教学。
关键词：高中数学；几何画板；应用在新课程改革背景下，以往所采用的教学模式已无法满足现代学生发展需求，因而需教师加强对教学手段的改进和创新。
众所周知，高中数学是重要的基础学科之一，也是素质教育的组成部分。
由于该学科知识具有一定的抽象性和复杂性，不少学生在学习中存在一定的困难。
针对这一现象，教师应通过为学生直观呈现数学知识的方式，为其学好课程创造条件。
几何画板为常用的教学工具之一，将其应用在课堂中，可辅助教师为学生呈现具体的教学内容，让其更好理解和掌握。
一、几何画板在高中数学课堂教学中的作用几何画板以“点、线、平面图形”为基础元素，以这些基础元素构成图形、图形、动画，实现图形的变换、运动、轨迹跟踪，并具有文字输入、注释、测量、运算等功能，能够构建函数，测量数据，是一种非常方便的教学手段。
同时，几何画板件具有一定存储空间，使用方便，无需网络，在课堂上更方便即时。
几何画板作为现代化教学工具之一，可在多个方面发挥其优势，如图片处理、图形标记、几何展示等，在推动教学工作中具有重要意义，特别是数学学科。
结合教材内容，本身就涵盖不少图形知识，加之抽象性比较强，不少学生在学习这类知识中存在比较吃力的情况。
而教师若依然只是根据内容对学生讲解，容易让其产生枯燥感，难以激发学生学习积极性，这也导致数学课堂效率并不高。
随着几何画板在高中数学课堂中的应用，有效改变以往说教形式，具体表现在以下几个方面：一是，几何画板为常用的作图工具，操作性比较强。
人教版A版高中数学选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆 信息技术应用《几何画板》探究点的轨迹---椭圆教
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0)
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
3.椭圆的几何性质：
e c (0 e 1) a
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念重温
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内 一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与 OM交于点P，则点P的轨迹是
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
焦半径公式：
焦点在x轴：｜MF1| = a + ex , 左加右减
|MF2| = a - ex
焦点在y轴：｜MF1| = a + ey , 下加上减
|MF2| = a - ey
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
椭圆的第二定义
1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线 l
（F不在 l上） 的距离的比为常数e(0<e<1)的点
M的轨迹，叫椭圆。定点F叫焦点，定直线 l 叫准 线。
2、定义式：
_|_M___F__1_|_ d1
=e
_|_M___F__2_|_ d2
=e
左对左，右对右
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
椭圆的方程与准线方程
x2 a2
+
y2 b2
=1
左对左，右对右
右准线 方程：
x=
a2 c
左准线 方程：
x=-ac2
左准线 左准线 右准线
巧用几何画板让轨迹有“迹”可循——几何动点轨迹问题方法探究
教学研究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀巧用几何画板让轨迹有 迹 可循∗几何动点轨迹问题方法探究◉淄博市临淄区第二中学㊀路渠清◉淄博市临淄区金岭回族镇中心学校㊀桑艺荣㊀㊀摘要:几何动点轨迹问题常因动点的轨迹看不见㊁摸不着,学生在解决时存在很大的困难．初中阶段,动点的轨迹主要分为 直线型轨迹 和 圆弧形轨迹 两种．教师在授课时可以借助几何画板来探寻动点的运动轨迹,让轨迹有 迹 可循．关键词:动点;轨迹;几何画板㊀㊀点动成线,线动成面,面动成体 是初中数学的一个重要数学事实．而 点动成线 应该是几何学发展的基础,在此基础上延伸出的轨迹问题是初中几何的基本问题之一,也是近几年中考的常见题型,重在考查学生对知识的应用能力．解答轨迹问题,需要深入思考,发现并揭示问题的内部规律以及各知识之间的联系,考查的基本题型有利用轨迹求最值㊁判断轨迹并求轨迹的长等,这些问题大都可以利用数形结合思想㊁转化思想将几何问题转化为代数问题进行求解．１题型概述轨迹问题主要分为 直线型轨迹 和 圆弧型轨迹 两类．因为点在运动过程中的轨迹是未知的㊁ 隐形 的,学生往往无从下手．对于学生来说,点的运动轨迹如果单纯用语言来描述,缺乏直观形象,不易接受．因此,教学中如能利用几何画板的动画功能直观地演示出轨迹的运动路径,让其不再 隐形 ,学生解决问题将会容易很多．２典例解析２．１直线型轨迹图１例１㊀如图１,等腰直角三角形A B C 中,斜边A B 的长为２,O 为A B 的中点,P 为A C 边上的动点,O Q ʅO P 交B C 于点Q ,M 为P Q 的中点,当点P 从点A 运动到点C 时,点M 所经过的路径长为．分析:先确定轨迹,在讲解时借助几何画板变换点P 的位置,则点Q 的位置随之发生变化．在P Q 变化的过程中,点M 的运动轨迹是一条端点位于A C 和B C 之间的线段,并且与A B 平行．在基本确定点M 的运动轨迹的基础上,再来进一步探究．如图２,连接O M ,C M ,由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ,可得O M ＝C M ＝１２P Q ,进而判断出点M 在线段O C 的垂直平分线上,即点M 的运动轨迹是әA B C 的中位线(如图３)．图２㊀㊀图３学生在解题时手中并不具备几何画板这一工具,因而可以采用 三点显形法 (即起点㊁过程点和终点三点确定其形状),其基本做法如下:一画:画出动点的起点㊁过程点和终点．二看:观察三点是否在一直线上,在一直线上是线段．三定:线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决．图４四算:常用勾股定理㊁相似三角形等知识进行求解．解析:如图４,连接O C ,易证әA P O ɸәC Q O ,可得O P ＝O Q ,从而可知әO P Q为等腰直角三角形．由此可以确定点M 运动的始㊁末两点分别是A C ,B C 的中点(如图５),则M ᶄM ᵡ的长度即为所求(如图６)．由于M ᶄM ᵡ是әA B C 的中位线,８２∗课题信息:本文系山东省淄博市教育科学 十四五 规划课题 全环境育人背景下 快课 辅助学生学习力提升的策略研究 (课题编号:２０２２Z J Z X ０６３)的研究成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀M ᶄM ᵡ＝１２A B ＝１．故点M 所经过的路径长为１．图５㊀㊀图６图７变式㊀如图７,等腰直角三角形A B C 中,斜边A B 的长为２,O 为斜边A B 上的一个动点,过点O 作O P ʅA C 于点P ,作O Q ʅO P 于点Q ,M 为P Q 的中点,则当点O从点A 运动到点B 时,点M 所经过的路径长为．解析:运用几何画板,变换点O 的位置,点P ,Q 的位置随之变化,点M 的轨迹随之显现,即әA B C 的中位线,其长度为１．故点M 所经过的路径长为１．本题亦可证明四边形O P C Q 为矩形,M 既是P Q 的中点,也是O C 的中点(如图８)．如图９,过点C 作C E ʅA B 于点E ,过M 作MD ʅA B 于点D ,取C E 的中点M ᶄ,连接MM ᶄ．易证әO DM ʐO E C ,则DME C＝O M O C ＝１２,其中C E 的长为定值,则DM 的长也为定值,即点M 到线段A B 的距离为定值．由此可确定点M 的轨迹为әA B C 的中位线．图８㊀㊀图９２．２圆弧型轨迹２．２．１圆弧型轨迹长度问题例２㊀如图１０,在әA B C 中,øA C B ＝９０ʎ,A C ＝B C ,A B ＝４c m ,C D 是中线,点E ,F 同时从点D 出发,以相同的速度分别沿D C ,D B 方向移动,当点E 到达点C 时,运动停止,直线A E 分别与C F ,B C 相交于点G ,H ,则在点E ,F 移动过程中,点G 运动路径的长度为．图１０㊀㊀图１１分析:先确定轨迹．在几何画板中变化点E ,F 的位置,发现点G 的运动轨迹不再是直线,由此可以判断点G 的运动轨迹为圆弧．如图１０,易证әA D E ɸәC D F ,从而øD A E ＝øD C F ．又因为øA E D ＝øC E G ,所以øA D C ＝øA G C ＝９０ʎ．据此可以判断A ,C ,G ,D 四点共圆,点G 的运动轨迹为C D ︵(如图１１)．圆弧型轨迹问题的解题方法如下:一画:画出动点的起点㊁过程点和终点．二看:观察三点是否在同一直线上,若不在同一直线上,则转迹是圆弧．三定:圆弧型轨迹问题常利用 对称性 和 ９０ʎ的圆周角所对弦是直径 等知识确定圆心和半径．四算:常用勾股定理㊁相似三角形等知识来求解．解析:如图１１,点G 的运动轨迹是以A C 为直径的C D ︵,易得C D ︵所对圆心角øC O D ＝９０ʎ,半径O C ＝２．故点G 的运动轨迹的长为９０πˑ２１８０＝２２π．２．２．２圆弧型轨迹最值问题图１２例３㊀如图１２,☉O 的直径A B 的长为１２,长度为４的弦D F在半圆上滑动,D E ʅA B 于点E ,O C ʅD F 于点C ,连接C E ,A F ,则s i nøA E C 的值是,当C E 的长取得最大值时,A F 的长是．分析:先确定轨迹．在几何画板中移动弦D F ,发现点C 的运动轨迹不在一条直线上,由此可以判断点C 的运动轨迹是一个圆弧．如图１３,连接OD ,由题意可得øO C D ＝OE D ＝９０ʎ,则O ,C ,D ,E 四点共圆,即点C 的运动轨迹是以O D 为直径的圆．第二个空求当C E 最大时A F 的长,需要明确C E 是以O D 为直径的圆中的一条弦,当C E ＝O D 时最大(如图１４)．在几何画板中呈现这一特殊情况,分析A F 长度的求法．图１３㊀㊀㊀图１４解析:如图１３,根据勾股定理可求出弦心距O C ＝４２．又在以O D 为直径的圆中øA E C ＝øO D C ,所以s i n øA E C ＝s i n øO D C ＝O C O D ＝４２６＝２２３．如图１４,过点F 作F G ʅA B 于点G ,易证四边形O C F G 是矩形,可得O G ＝C F ＝２,F G ＝O C ＝４２,A G ＝O A －O G ＝４．在R t әA F G 中,由勾股定理可得A F ＝A G ２＋F G ２＝４３．３总结在解决动点问题时,要学会用运动变化的眼光审题,根据图形的性质,探究隐藏在变化过程中不变的量和关系,化动为静,从而画出动点的运动轨迹．几何画板只是我们解题的工具,而不是解题的依据．动点问题千千万,但是万变不离其宗,通过判断动点的运动轨迹再去解决与轨迹有关的问题是永恒的核心,只要把握好这一核心,那么轨迹都将有 迹 可循!Z９２Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
几何画板在高中数学教学中运用的探究与分析
几何画板在高中数学教学中运用的探究与分析一、本文概述随着信息技术的飞速发展，现代教育技术在高中数学教学中扮演着越来越重要的角色。
其中，几何画板作为一种直观、动态的数学教学工具，已经在高中数学教学中得到了广泛的应用。
本文旨在深入探究几何画板在高中数学教学中的运用，分析其在教学实践中的优势与挑战，以期为提高高中数学教学质量提供有益的参考。
本文将首先回顾几何画板的发展历程，介绍其基本功能及其在高中数学教学中的应用场景。
接着，本文将重点分析几何画板在高中数学教学中的应用优势，包括其对学生空间想象能力的培养、对数学概念理解的深化以及对解题技巧的提升等方面的作用。
本文还将探讨几何画板在教学中面临的挑战，如技术门槛、教学资源配置等问题，并提出相应的解决策略。
本文将结合具体的教学案例，对几何画板在高中数学教学中的实际应用进行深入分析，以期为广大高中数学教师提供有益的启示和借鉴。
通过本文的研究，我们期望能够进一步推动几何画板在高中数学教学中的普及和优化，为培养更多具有创新精神和实践能力的优秀人才贡献力量。
二、几何画板的基本功能和特点几何画板是一款专为数学教学设计的互动软件，它以其强大的功能和独特的特点，在高中数学教学中发挥着重要的作用。
几何画板的基本功能十分全面。
它提供了丰富的绘图工具，包括点、线、圆、弧、多边形等基本几何元素，能够轻松绘制各种复杂的几何图形。
它还支持图形的变换操作，如平移、旋转、缩放等，有助于学生对几何变换有直观的理解。
同时，几何画板还具备测量和计算功能，可以测量线段的长度、角度的大小，以及计算各种几何量，如面积、体积等。
几何画板的特点突出。
它是一款动态的几何软件，可以实时显示图形的变化过程，使学生更加直观地理解几何概念。
例如，在探讨圆的性质时，教师可以利用几何画板动态展示圆的生成过程，让学生更好地理解圆的定义和性质。
几何画板还支持互动式教学，教师可以随时修改图形，与学生进行实时的互动讨论，提高学生的学习积极性。
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利用几何画板探索轨迹的教学――研究性学习一得湖北省通山县第一中学李雪松研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。
研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。
研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。
研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。
其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。
下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。
教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。
今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。
问题是数学的心脏，思维从问题开始。
我们先看一个具体的例子：2 2如图1,过椭圆务与1(a b 0)的左焦点F i作弦AB。
现在来研究焦点弦AB有关a b的问题。
轨迹1 过原点0作弦AB的垂线，垂足为M ,求点M的轨迹方程。
图1 图2几何画板演示：拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M,得到点M的轨迹是一个小圆。
如图2“怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般思路，假设弦AB所在直线的斜率为k，则AB的垂线的斜率为1,列k出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M的坐标，最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。
哇！好复杂。
学生们埋头进行着复杂的运算。
其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。
教师：“你为什么不动手做？”学生：“我在想……这个轨迹是一个圆，而且是以OF i为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。
噢，我知道了。
一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。
我有一个很好也很简单的方法：因为0M丄AB，所以|0M|2+|F i M|2= |OF i|2，若设点M的坐标为(x , y)，点F i的坐标为(c, 0)，贝U22x 2 + y 2 + (x - c)2 + y 2 = c 2, 即即 (x |)2 y 2 (|)2。
这就是所求的轨迹方程。
“啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。
马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。
其实这个问题只与原点和 点F1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。
就是’给定两点0与F i ,过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。
’这当然很容易解得。
”教师：“很好。
刚才同学们讨论得很不错。
在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动 点所满足的几何条件， 寻找动点与不动点之间的几何关系。
迹很有用处。
下面我们将问题改变一下：轨迹2 如图3，求弦AB 中点P 的轨迹方程。
“猜猜看，点P 的轨迹是什么？” 不少学生已经利用几何画板演示了出来：几何画板演示：拖动主动点 A ，得到点P 的轨迹是 一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段 OF i 即 半焦距£。
如图4。
2“真是椭圆。
”学生的兴趣被调动起来。
“怎样求这个小椭圆的方程？”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 对这类问题无从下手。
教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为（x ，y ），因此先设 P 点坐标为（x ，y ）。
要建立点P 的坐标（x ，y ）满足的方程，观察图形，这 里有四个点 A （x i ，y i ）、B （X 2，y 2）、P 、F i ,其中点 F i 是定点，A 、B 、P 都是动点，但点A是主动点，引起点 P 运动的原因是由于点 A 在椭圆上运动。
因此要找到点 P 与A 、B 、F 这三个点的坐标之间的关系。
这是解决问题的关键。
”“点P 与A 、B 两点的坐标的关系怎样？”“知道怎样求 生上 了吗？”X i X 2学生很快得到下列解法（经过整理）:设 A （X i ，y i ），B （X 2，y 2）， P （x ，y ）， c 、a 2 b 2，则平面几何的有关结论对求点的轨学生：“根据中点坐标公式得到 X 生尹，“如何将A 、B 、P 、F i 这四点的坐标联系起来? “利用直线的斜率。
”“直线AB 的斜率怎样表示？”“有k 生丄，还有kX 2X i “如何得到 y iy 2 ？”x i x 2“A 、B 两点在哪？满足什么方程？”"在椭圆上。
满足b 2x-j 22 2 2t 2 , 2 2 a y i a b ， bX 22 a y 2X i X 22 b 2。
”y i y 2 ” a 22y * J ，将点A 、B 的横坐标都表示为直线 AB 的斜率k 的函数，消去参数 k 就行了。
” 教师：“很好。
请同学们将解法写出来。
”以下是学生的另一种解法 解法二：假设直线2X ~~2aAB (b 2 y 1)， Y22b 2ckb 2 a 2 k 2 '(经整理)： 的斜率为k ，则直线 AB 的方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程a 2k 2)x 2 2a 2ck 2xa 2b 2 0B(X 2, y 2)， k(x 1 c) / c 、2(x —)整理得2_(c )2 2P(x ，y)，则 k(x 2 c) 2由①②得k2y(g )22a X 1x2X 2 a 2ck 2b 22c)a 2k 2 ，①b 2x八、 ，口2 ，代入 y=k(x+c)得 y a y即为所求的方程。
学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭 圆的形状仍然十分’相似’，也不知有没有必然的联系？”学生：“ (|)2与(赛)2的比例正好等于a 2 : b 2，哇！我发现这两个椭圆的离心率是 样的！因此它们的形状相同。
”教师：“很好。
看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。
(|)2教师：“以上解法是很典型的。
B 的坐标进行过渡。
这是解析几何中常用的一种求轨迹方法 关系是求轨迹问题的关键。
还有其它解法没有？”一学生：“因为直线 AB 经过点F 1,可以设直线 AB 的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联 立解方程组得出 A 、B 两点的坐标……”另一学生：“不必解出A 、B 的坐标，将直线 AB 的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到 的一元二次方程的两根就是点A 、B 的横坐标X1,X2,正好可以利用韦达定理得到 X 乞产,因为点A 、B 都在椭圆上，则,2 2 2 2 2t 2 , 2 2 2 2 2 2 b X 1 a y 1 a b , b x ? a y ? a b ,两式相减得b 2(X 1X 2)(X 1 X 2)a 2(y 1y 2)(y i y 2) 0 ,于是有y i y 2 x i X 2,2b X 1 X 2~2 a 2y 1y 2化简得 (x此即为所求的轨迹方程。
这里设点A 、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用设而不求。
寻找动点之间的刚才所探索的都是弦 AB 上特殊点的轨迹。
同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请 大家根据这个椭圆及弦AB ，自行发现问题，提出问题和解决问题。
”学生们立即投入到探索中。
一位学生：轨迹3 “在弦AB 上任意取一点 Q ,跟踪点Q ,动画……哇！怎么点 Q 的轨迹是这 样的？”不少学生也发现了同样的问题。
教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦 AB 上任取一点 Q ,跟踪点Q ,拖动主动点 A ，取到如下几何图形（如图5〜7 所示）：图5图6 图7“呀！这是什么图形？” “怎么会有这样的图形？”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。
”“该给这个轨迹起个什么名字呢？” 学生们发出惊叹。
拖动点Q ,发现点Q 的轨迹也发生变化。
当点 Q 接近中点P 时，点Q 的轨迹图形接近 于中点P 的轨迹一一小椭圆（如图6），而当点Q 接近于点A 或B 时，轨迹图形就接近于大 椭圆（如图7）。
轨迹4 “老师，我发现，如果将弦AB 的两端A 、B 分别与椭圆长轴两个端点 A i 、A 2连起来，则这两条直线 A 2A 与A iB 的交点C 好象在椭圆的准线上。
”另一个学生叫起来。
“老师，点 Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定 很复杂。
点C 的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。
”教师：“试试看吧。
”采取常规方法“交轨法”求解： 设直线AA 2、BA i 的方程分别为y = k i （x — a ）, y = k 2（x+a ）,将AA 2的方程代入椭圆方程整理得（a 2k j b 2）x 2 2a 3k j x a 4kj a 2b 2 0 ,此方程的两根是 A 、A2的横坐标x i 与a , 故可求得A （xi , y i ）点坐标为同理可求得B （X 2, y 2）点坐标为a 3k ； ab 2 2ab 2 k 2B( 2 2 2， 2 2 2 )。
a 2k 2b 2a 2k ；b 2A(3 2 a k i2| 2a k iab 2£2ab 2k i2 2 2 a k i b,C 、2)C 、2由A 、F 1、B 三点共线可得k AF 1 k BF 1，即 y ix 1 cy 2 , x 2 c '将A 、B 两点坐标代入并整理得 2 2 2 2 2 2a (a+c)k 1 k 2 + a (c-a)k 1k 2 +b (a+c)k 1 + b (c-a)k 2 = 0,将k 1丄 x a ,k 2丄代入上式得 x a a 2(a 、2 c)ya 2(c a)y 2b 2(a c)(x a)2(x a) b 2(c a)(x a)(x a) 0 , 分解因式得 [(a c)(x a) (c a)(x a)][a 2y 2 b 2x 2 a 2b 2] 因为直线 AA 2、 BA I 的交点在椭圆外，所以 b 2x 2 a 2b 2 0 , 故 (a c)(x a) (c a)(x a) 0 ,AA 2、 而这就是椭圆的准线方程。
"同样的道理，直线 A 2B 与A 1A 的交点 D 也在准线上。
” “老师，不管 C 、D 两点在左准线上怎 样运动，/ CF 1D 是一个定值90。
如图9所 示。
”又一个学生发现了一个结论。
同学们利 用上个问题的解决方法，很快证明了出来。
教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 结论出来。
利用几何画板，你们还能探索出什 么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。
轨迹5 “老师，如图10作厶OAB (以下是学生课后提供的解答过程： 设 A(x1, y 1), B(X 2, y 2), G(x , y), AB 中点为M(X 0, y 0),则 2X 0 X 1 X 2 , 2y0 % 即为直线 BA i 的交点的轨迹方程, a 22 2 a yx 1 x 2 ~3~ y 2，2 x 3x 0， 的重心G ,23y 0，其轨迹也是一个椭圆。