二次函数的应用(最大利润和最大面积)
二次函数的实际的应用之利润最大值、面积最值问题
30k b 400
k 20
, 解之得 :
，
40k b 200
b 1000
即一次函数表达式为 y 20x 1000 (30 x 50) ．
⑵ P (x 20) y ( x 20)( 20 x 1000)
20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0
∵ a 20 0 ∴ P 有最大值．
当x
1400
35 时， Pmax 4500 （元）
[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润
最大？ 解：设涨价（或降价）为每件
x 元，利润为 y 元，
y1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y1 (60 40 x)( 300 10x)
商品定价一类利润计算公式： 经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他
成本。 总利润 =总售价 -总进价 - 其他成本 =单位商品利润 ×总销售量－其他成本 单位商品利润 =商品定价－商品进价 总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量
[ 例 1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品， 每件制造成本为 18 元，试销过程中发现， 每月销售量 y （万
所以，销售单价定为 25 元或 43 元，
将
z =-2x
2
+136x-1800
2
配方，得 z=-2 （ x-34 ） +512 ，
因此， 当销售单价为 34 元时， 每月能获得最大利润， 最大利润是 512 万元；
二次函数的应用问题：面积、高度、利润等
二次函数的应用问题：面积、高度、利润
等
二次函数是数学中常见的一种函数类型，具有广泛的应用。
在实际生活中，我们可以利用二次函数来解决面积、高度、利润等问题。
面积
当需要求解一个图形的面积时，二次函数可以提供一个可行的解决方案。
例如，假设我们需要求解一个矩形的面积，已知其宽度是x，长度是y，可以建立如下的二次函数关系：
y = ax^2 + bx
其中a和b为常数，可以根据实际情况确定。
通过求解这个二次函数，我们可以得到矩形的面积，从而满足问题需求。
高度
在某些场景下，我们可能需要确定一个物体的最大高度。
例如，炮弹发射的最大高度问题就可以通过二次函数来解决。
假设物体的
高度是y，时间是x，可以建立如下的二次函数关系：
y = ax^2 + bx + c
其中a、b和c为常数，可以通过实验或者推导得到。
通过求
解这个二次函数，我们可以确定物体的最大高度及对应的时间，为
问题解决提供依据。
利润
二次函数还可以应用于经济领域，特别是求解利润相关的问题。
例如，假设某公司的利润随销售量的变化可以建立一个二次函数模型：
P = ax^2 + bx + c
其中P表示利润，x表示销售量，a、b和c为常数。
通过求解这个二次函数，我们可以确定最大利润对应的销售量及其他相关信息，为经济决策提供参考。
总结来说，二次函数在解决面积、高度、利润等问题时具有很大的潜力。
通过建立二次函数模型并进行求解，我们可以得到对应问题的答案，为实际应用提供指导。
二次函数与商品利润最大问题
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课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
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作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
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二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
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复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
二次函数最大利润公式
二次函数最大利润公式二次函数最大利润公式是在市场营销领域中应用较多的一种工具。
当企业生产一种产品时，它的成本和销售量可以表示为二次函数。
其中，成本是随生产量增加而增加的，而销售量则随着产品价格的变化而改变。
企业追求的是利润最大化，因此需要找到销售最大量对应的价格，也就是二次函数的顶点。
利用二次函数最大利润公式，企业可以计算出最大利润所对应的生产量和价格，从而进行生产决策。
二次函数最大利润公式的基本形式为y=a某²+b某+c，其中a、b、c是常数，某是变量，y表示利润。
在这个公式中，a是二次项系数，它代表着产品的成本变化率；b是一次项系数，它代表着产品的售价变化率；c是常数项，它代表着固定成本。
如果我们知道a、b、c的具体值，就可以通过求导数的方法，找到二次函数顶点的位置，从而确定价格和销售量。
求解二次函数最大利润公式的方法有两种：一种是代数法，另一种是几何法。
代数法是通过求解一次函数的导数来寻找最大利润所对应的销售量和价格。
对于二次函数y=a某²+b某+c来说，它的导数为dy/d某=2a某+b。
当dy/d某=0时，就可以得到二次函数的顶点位置某0=-b/2a。
然后可以通过将某0代入二次函数y=a某²+b某+c中，求出最大利润所对应的成本、销售量和价格等信息。
几何法是通过绘制二次函数的图像来确定最大利润。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，在顶点处具有最大值或最小值。
当我们知道二次函数的顶点坐标时，可以通过测量图像来确定最大利润所对应的销售量和价格。
如果商家需要考虑不同产品的生产成本和销售情况，还可以通过绘制多条二次函数的图像，同时比较它们的顶点位置，从而找到最佳的生产组合方式，使得利润最大化。
总之，二次函数最大利润公式是市场营销领域中一个十分有用的工具。
它可以帮助企业决策者找到最大利润所对应的销售量和价格，从而进行生产策略的调整。
不过，在实际应用中，还需要注意二次函数所对应的条件和假设是否成立，以及市场环境和竞争对手的因素等。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系并求出绿地面积的最大值@变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式当x为多长时，花园面积最大·例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为x元，(0＜x≤元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）@（4）所获利润可以表示为__________________；（5）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。
~变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量其中自变量是_______,因变量是___________.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结_________个橙子.（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
九年级数学下册 第1章 二次函数 课题 二次函数的应用(
课题：二次函数的应用(2)——建立二次函数模型解决最大面积或最大利润问题【学习目标】1．分析题目条件，列出解析式，并根据自变量取值范围求最大面积．2．理解销售利润类二次函数解析式列法，并求出最大利润．【学习重点】根据题目条件求出自变量取值范围，并求最大面积或最大利润．【学习难点】根据条件求最大、最小值．情景导入 生成问题情景导入：1．小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，设一边长__x__cm ，则另一边为__(4－x)__cm ，面积为__x(4－x)__cm 2，所围矩形最大面积为__4__cm 2.2．如图，已知平行四边形ABCD 的周长为8cm ，∠B ＝30°.若设边长AB ＝x cm .(1)▱ABCD 的面积y(cm 2)与x(cm )的函数关系式为__y ＝－12x 2＋2x__，自变量x 的取值范围为__0<x<4__； (2)当x 取__2__时，y 的值最大，最大值为__2__．自学互研 生成能力知识模块一 最大面积问题阅读教材P 30～P 31，完成下列问题：1．如何利用二次函数求最大面积？答：(1)分析题中的数量关系；(2)找出等量关系，根据面积公式建立函数模型；(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量取值范围，求出面积的最大或最小值．2．(包头中考)将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm 2.【例1】 如图，利用一面墙(墙长不超过45m )，用80m 长的篱笆围一个矩形场地，当AD ＝__20__m 时，矩形场地面积最大，最大值是__800__m 2.【变例1】 如图所示，是用9m 长的塑钢制作的窗户的窗框，设窗宽为x m ，窗的面积为y m 2，用x 表示y 的函数关系式为__y ＝－32x 2＋92x__，要使制作的窗户面积最大，那么窗户的宽是__32__m ，窗户的最大面积是__278__m 2.【变例2】 (聊城中考)已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数关系式，并求出面积为48时BC 的长；(2)当BC 多长时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？解：(1)y ＝－12x 2＋10x ，解方程48＝－12x 2＋10x ，得x 1＝12，x 2＝8. ∴△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8；(2)将y ＝－12x 2＋10x 配方变形为y ＝－12(x －10)2＋50， ∴当BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积为50.知识模块二 最大利润问题求最大利润问题常用公式是什么？答：利润＝销售总金额－总成本＝(售价－进价)×销售量－其他支出．【例2】 某单位商品利润y 元与变化的单价x 之间的关系式为：y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x≤2时，最大利润是__5元__．【变例1】 某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，且y 是x 的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为__160元__．【变例2】 大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．(1)则y 与x 的函数关系式为__y ＝－4x ＋360(40≤x≤90)__；(2)设王强每月获得的利润为P(元)，求P 与x 之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？解：P ＝(x －40)(－4x ＋360)＝－4x 2＋520x －14400(40≤x≤90)，当P ＝2400时，－4x 2＋520x －14400＝2400，解得x 1＝60，x 2＝70，∴销售单价应定为60元或70元．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 最大面积问题知识模块二 最大利润问题检测反馈 达成目标1．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富．经调查得知，若我们把每日租金定为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人．每间住了人的客房每日所需服务、维修等各项支出共计40元．要想赚最多的钱，定价应该为( C )A ．160元B ．240元C ．360元D ．450元2．如图，有长为24m 的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)能围成面积比45m 2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．解：(1)S ＝－3x 2＋24x(143≤x ＜8)；(2)S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，∵143≤x ＜8，当x ＝143时，S 最大值＝1403m 2，∴能围成比45m 2更大鸡舍，最大面积为1403m 2.课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________________________。
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九 二次函数的应用（最大利润和最大面积）
1、如图3所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为 A.424 m B.6 m C.15 m D.2
5 m
2.某商店经营一种水产品，成本为每千克40出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题:
(1)当销售单价为每千克55元时，计算销售量和月利润.
(2)设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式.
(3)销售单价定为多少元时，获得的利润最多?
3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元） 与时间t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
4某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求： （1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
)
5．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，
其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m 的栅栏，
设每间羊圈的一边长为x (m)，三间羊圈的总 面积s (m2),则
s 关于x 的函数关系式是______________,x 的取值范围_________,当x=_________时，s 最大.
6.如图，在一块三角形区域ABC 中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上。
⑴求△ABC 中AB 边上的高h; ⑵设DG=x,当x 取何值时，水池DEFG 的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树， 问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，
为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中
欲建的最大矩形水池能避开大树。
7.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．
8.如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从
A 点出发以每秒1个单位长度沿A －
B －
C －
D 的路线作匀
速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随
之停止运动．
（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间；
（2）设P 点运动时间为t （秒）．①当t ＝5时，求出点P 的坐标；
②若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．
A B C
D E F
G。