微积分习题讲解与答案
微积分试题及答案
微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。
因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。
接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。
将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。
答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。
解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。
首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。
根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。
3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。
解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。
首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。
《微积分》课后习题答案详解 八
解：1）A是充分条件，B适用于交错级数，C是必要条件，D是充要条件。选D。
2）因为 绝对收敛，所以 收敛。
且
所以 收敛。
又因为 收敛，所以原级数绝对收敛，选B。
3）因为 绝对收敛。
所以 且 收敛。且
所以
且
所以 收敛。
又因为 （c为常数）
所以 收敛。
所以 绝对收敛。
所以选C。
4）因为
所以 且
所以 收敛。
所以选D。
5）因为 收敛。
所以 收敛。
又因为
所以 绝对收敛。
所以选C。
6）A
7）因为 绝对收敛。
所以 收敛。
所以 收敛， 收敛。
所以选B。
8）
因为 收敛。
所以 收敛。
所以选D。
9）因为 是 中的一部分。且 收敛。
所以 收敛
所以（2）正确。
因为
所以 发散。所以（3）正确
C．若 条件收敛，则 与 的敛散性都不定
D．若 绝对收敛，则 与 的敛散性都不定
（8）设 若 发散， 收敛，则下列结论中正确的是（D）.
A． 收敛， 发散B． 收敛， 发散
C． 收敛D． 收敛
（9）设有以下命题：
①若 收敛，则 收敛；
②若 收敛，则 收敛
③若 ，则 发散；
④若 收敛，则 ， ，则以上命题中正确的是（B）.
收敛．
所以 收敛．
（5）
因为 是发散的．
所以 是发散的．
（6） ，又因为 收敛．
所以原级数收敛．
（7）=
因为 为常数）且 收敛．
所以原式也收敛．
（8）
因为 收敛，所以原式收敛．
微积分课后习题答案知识讲解
习题1 —1解答1. 设 f(x,y)xyx11x，求 f ( x, y), f (, ), f (xy,),- 1 f(x, y) yx y y 解 f( x, y) xy-；f(-,-y x y )1-；f(xy,-) x 2 x y2y ;1 y 丿xyf(x,y) 2xy x 2. 设 f (x, y)In xIn y ，证明：f(xy,uv) f(x,u) f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv) In(xy) In(uv) (Inx In y)(1 nu Inv) Inx Inu In x Inv Iny Inu In y Inv f(x,u) f(x,v) f(y,u) f(y,v)（1）f(x, y),1 x 2 ,y 21;(2)f(x,y)\i'4x 2y .In(1 x 2 2/ y )(3)f(x, y)1 x2 a 22 y b 22z . 2; c (4) f(x, y,z)、x、y -z1 x2 2y2z3.求下列函数的定义域，并画出定义域的图形:解（1）D1,y 1{(x, y) x(2) D(x, y) 0 yx 24.求下列各极限:5.证明下列极限不存在:则 H m 3 lim^3;x 20x 0x y x 0x 2x如果动点P(x, y)沿x 2y 趋向(0,0)，贝y limy 0 x 2y(3) D2x(x,y)~ra(4) D(x, y,z)x0,y2y2y b 2I1zxyJxy(2xy1 xy 1 0 1y 2 0 (1)H xyxxyvxxy\1(1) r X y lim ; x 0 x yy 0lim 飞；0x y 2 (xy)2(1) 证明如果动点P(x,y)沿y2x 趋向(0,0)x yxynxylim 2x 0 x 2y 1 AH xy所以极限不存在。
(2)证明如果动点P(x,y)沿y x趋向(0,0)则limx 0y x 02 2x y~2~2 2 x y (x y)如果动点P(x, y)沿y 2x趋向(0,0)，则limx 0 y 2x 02 2x y~2~2 2x y (x y)"m0-^ 0x 04x x所以极限不存在。
微积分各章习题及详细答案(供参考)
微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。
2(4 3x)22、 lim2)。
xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。
4、 lim xksin10 建立的 k 为。
xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。
x 0在 x 0处连续，则 b 。
x 0。
8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。
9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。
10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。
xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。
12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。
1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。
x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。
xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。
n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。
2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。
1 x1（Ａ） 是比 高阶的无量小； （Ｂ） 是比 低阶的无量小；（ C ）与 是同阶无量小；（ D ）~。
3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分练习100题及其解答
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim
2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ； 解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2
微积分习题讲解与答案
习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=;(3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得 ⎰⎰⎰=++-x y y y d d 12d即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C xy =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。
大一微积分试题及答案详解
大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。
由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。
2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。
3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。
2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。
答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。
3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。
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习题8.11•指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程:(3) x2y 4y (sin x)y = 0⑷^P p= sin 2 rd6解(1)1阶非线性(2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性2•验证下列函数是否是所给微分方程的解/八、亠 sinx (1)xy y = cosx, y =x(2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 • C" - x 2 (C 为任意常数)(3)y 2y ： y = 0, y 二 Ce x(C 为任意常数)(4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2x(C 1 © 为任意常数)(5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy • y 2 =C (C 为任意常数)(6)(xy -x)y xy 2yy 1-2y = 0,y = ln( xy)xcosx — sinx sin x 亠解⑴是，左=x2cosx =右 x x(2) 是，左=(4 — X2)-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右訥-x 2(3) 是，左=Ce x-2Ce x Ce x =0 =右(4) 是，左=G ：e ix C 2 2e 2x )-(「-g re 4x C 2 -e 2x ) i 2(Se 4x C 2e»0=右2x — y(5) 是，左=(x - 2y)2x - y 二右2⑴ x(y ) -2yy xy = 02(2) x y - xy y = 0x — 2y(6)是，左=(xy-x)2xy2—xy3；2xy x^^(xy-x) (xy-x)y亠-2亠xy _ x xy _ x2xy 2_xy3_2xy xy 2 (xy-x)2(xy-x)2=右3•求下列微分方程的解(3)(1 y)dx -(1 -y)dy 二 0解(1) dy = 2dx, y = 2x C (2)y dx 二 cosxdx, y = sinx C 1Jy"dx = f( si x + CJdx,y = _cox + Gx+C 21-y-(1 + y)+2(3)dy 二 dx dy 二 dx1+y』1 + y2解得 -dydy 二 dx • 1 + y即「y 2ln 11 y x Cdx2 2 2解得 ln(1 y ) = ln(1 x ) 64•已知曲线y 二f (x)经过原点，并且它在点 (x,y)处的切线的斜率等于 2x 2，试求这条曲 线的方程。
解已知y —2x 2又知曲线过原点，得C =所求曲线方程为厂»32(y -2y)(xy — x)=0⑴餐2 ;dx⑵d4 二 cosx ； dx(1 y 2)x2(1 x )y整理得1 y 21 x 21. 用分离变量法求下列微分方程的解⑴ y =4x 、y2 2(4) sec xtan ydx sec ytan xdy 二 0整理得 tanx tany =C1 2 1x(1 x)dx 解得 y y2 3由于 y|x=0 = 0 贝V C =-32—y 2x原方程解为 2e = 3 - e 2. 求下列齐次方程的解" y (1) xy = yinx习题8.2匚dx_丄dy-0,y |x- 1(6)y- e y ,y |x~ 02x-y 解（1） 1——dy 二 4xdx解得 y = (x2• C)2dy dxyiny解得 y 二e Cx 10—ydy二10x dx 解得-10_^10x C 即 10x10」=C2sec y tanydy2sec x .dx tan x 解得 in |tan y - in |tan x | C 1由于y|x£=1则与】y323，解得-x 33e 今dy = j e 2xdx 解得 -e-y12xe C 2(3) xy - y -、y2- x 2 = 0x 2dy = (y 2xy x 2 )dx(2) xy‘- yin y = 0⑶八10x yy(i y)dy 二 r 3 Cdy dx-，代入方程得xIn | In u 「1| = In | x | 6I In u -11= C 2 I x |将u 二上回代，即得原方程通解x(2)原式可化为令u =上，代入方程得x(5) y2x 2巴=xy 也 dx dxdx x(x 2y)y 一 y 2二 0, y|xj = 1分离变量得 两边积分得duu x — dx ulnudu dxu(ln u -1)In — 一1 =Cx x分离变量得 两边积分得 arcta ndu 1 uu x 一 =dx(1 - u)du 1 u 2dxu-丄ln(1 u 2^ In |x| C 1 2 整理得dy dx将u = y回代，即得原方程通解2y y 22arctan —— ln(4 + 弋)=In x +C整理得2 arctan — -ln( x2+ y2) = Cx(3)原式可化为业站竹_1dx x \(X 丿令u ='，代入方程得xdu 2x u -1dx分离变量得du dx.u2 -1x两边积分得In | u u2-1 In | x | C1即| u u2-1 C | x |y将U 回代，即得原方程通解x(4)原式可化为; _y+1 dx x x令u ='，代入方程得x+ du 2u x u - u 1dx分离变量得du dx2u -2u 1 x两边积分得y回代，即得原方程通解xx =Ce x_yudx x(1 - u)du 二01 -u令u二'，代入方程得xdu u2u x一dx 1 + 2u1 -uiX =Ce口=l n | x| C1y2（xj y）加0dy =dx—u,则u x d udx u -12xy -xxu原式可化为C<-u=e=cedydx x22xy_yx1 2x分离变量得(1 2u)duu u2两边积分得将u = y回代，即得原方程通解x2y 亠xy = Cx将ylxj =1代入得C=2于是，特解为2y xy =2x习题8.3 1•求下列微分方程的通解(1) -Xy y 二e (2) xyy =x2 3x 21 -2xy 二1⑶(x 1) y 2xy 二4x ⑷y 2x⑸yin ydx (x「In y)dy 二0 ⑹(2x - y2)y =2y解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程翌y=0 dx的通解。
分离变量得dy . dx y两端同时积分，得In|y|—x C1得通解为y = Ce »用常数变易法，把C换成C(x),即卩y 二C(x)e”两边微分，得鱼二C (x)e~x -C(x)e^ dx代入原方程，得C (x)二1两端同时积分，得C(x)二 x C故所求微分方程通解为其中C 为任意常数。
12 ⑵ P(x) ,Q(x) = x 3— xx八x!一= e 」n|x| '■ (x 2 - 3x 2)dx C 1 1 1 3 3 2x 3 — x 2 2x Cx 3 2或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程鱼」=0dx x的通解。
分离变量得dy dx y xC y— x用常数变易法，把 C 换成C(x),即卩C(x)两边微分，得dy C (x)x _ C(x) dx x 2-P(x)dxJ〕Q(x)e 」 P(x)dxJdx + C j两端同时积分，得得通解为In | y|二-In | x | C 1代入原方程，得两端同时积分，得 故所求微分方程通解为 其中C 为任意常数。
2x P(x)二厂,Q(x)-P(x)dx」 JQ(x)e 」C (x) = x 2 3x 2C(xT x-x 2 2x C21 3 xyd4x 2x 2 1P(x)dx」 dx + C jIE L「心1丿 弋皿21)〔4x 2dxC 】亠 4x 3 Cx 2 1 32x2 dx x 21二 e 4x 1 一 2x P( x) 2 ,Q(x) =1x y =e -P(x)dxJ (Q(x)e 」1x 2e xi x 2e x 1 2e x 3 2-x 2x C 2 x雳dxdx + JP(x)dxx Ci_ e xC ln x 2=e引j e E d dx + d12 x =x e 厂1fe^d U\C< x J 丿 1x dx C 「1 1 Ce x十、一，dx , x 1原式可化为 -dy yln y yP(y)111,Q(y) = — yln y yP(y)dydy + Cdx x y1y⑹原式可化为p(yH--,Q(y^--_P(y)dyP(y)dy .J[Q(y)e dy + C2•某种商品的消费量 X 随收入I 的变化满足方程 dX-Xae 1(a 是常数)dI当I =0时，X = X 0，求函数X = X (I )的表达式。
rl V解原式可化为 —— X =ae IP(I ) = -1,Q(I ) = ae 1dl一［P(I)dI 一|P(I )dI则 X =eQ(I)e dI C=e "ae 〔edI C = e I - adI e I 'aI C 丨又当 I =0 时，X =X o ，得 C =X o 则原方程解为^e I 'aI - X 0 1习题8.41•某商品的需求函数与供给函数分别为Q d =a -bP,Q s - c - dP (其中 a,b,c,d,均为正常数)十yJyln y=e1. y Iny_e y1dydy + C_Ln|lny|=e 1 ln|ln y|7dy C1In yInydy C y 1 In ylln 2 <2MJ二 eln|y|y 1 =|y| J — --- dy+C =C 2|y| 丿 刘C假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格P(0) = P0，且在任一时刻t,价格P(t)的(1)求供需相等时的价格P e (均衡价格)(2)求价格P(t)的表达式(3)分析价格P(t)随时间的变化情况解(1)当Q d二Q s时，即a -bP - -c dP，得P = P e 二(2)由于竺=k(Q d—Q s)二k[(a — bP) —(—c dP)]，即dtdP『—ac)方程通解为P = — . ce 上(b d)t = P e ce*b d)tb d已知价格P(0) = P g，代入得C二P° - P e，于是P(t)二P e (P。
-P e)e 山「小(3)由于!imP(t)=t jimiP e +(P。
—R)e」(b切I- P ep=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。