精编公式法解一元二次方程PPT课件_图文.ppt
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解一元二次方程(公式法)(ppt课件)
这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，
一元二次方程的解法公式法ppt课件
无实数根 两个实数根
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 . 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
用配方法解 ax2 bx c （0 a 0）.
对于方程
（1）将常数项移到方程的左边，得
.
（2）方程两边同除以a，得
.
（3）方程两边同时加上_______，得
左边写成完全平方式，右边通分，得 （4）开平方…
∵a≠0, 4a2>0, ∴当b2－4ac≥0时， ∴
∴
特别提醒 推导时必须
写
根的判别式
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 . 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
用配方法解 ax2 bx c （0 a 0）.
对于方程
（1）将常数项移到方程的左边，得
.
（2）方程两边同除以a，得
.
（3）方程两边同时加上_______，得
左边写成完全平方式，右边通分，得 （4）开平方…
∵a≠0, 4a2>0, ∴当b2－4ac≥0时， ∴
∴
特别提醒 推导时必须
写
根的判别式
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
用公式法解一元二次方程 PPT课件
这里的a、b、
程x2+4x=2
c的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac=
= . 42-4×1×(-2) 24
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6, x2= 2 6 .
求根公式 : X=
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1
x2
b 2a
2
7 2
上面这个式子称为一元二次方程的 求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法 称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 :a 5,b 4, c 12
1.变形:化已知
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.方2.程确为定一系般数形: 式;
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
=
= 即 x1=2,
x2= -
例 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3
例4 解方程：x2 3 2 3x
解：原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1,b 2 3,c 3
b2
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
用公式法解一元二次方程课件
例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程 有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式 分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程， 公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是 常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程 有两个相等的实数根（即 一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行， 其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式 中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程 没有实数根，而是有两个 共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个 共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
《公式法》一元二次方程PPT课件
一元二次方程
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2
，x2=-1-
）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1= -2 , = x2 = . = .
2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例
用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
例
用公式法解方程：
x2 – x =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, 求根公式 : X= x2 = =
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x2 =
= -q+(
)2 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
120、人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走。 121、成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践。 122、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。 123、活在当下，别在怀念过去或者憧憬未来中浪费掉你现在的生活。 124、不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。 125、出路出路，走出去了，总是会有路的。困难苦难，困在家里就是难。 126、生命不是要超越别人，而是要超越自己。 127、长得漂亮是优势，活得漂亮是本事。 128、如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 129、你不要一直不满他人，你应该一直检讨自己才对。 130、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑；你对它哭，它也对你哭。 131、要改变命运，首先改变自己。 132、人生就像一个动物园，当你以为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！ 133、把事情办好的秘密就是行动。成功之路就是有条理思考之后的行动！行动！行动！ 134、人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花。 135、没有播种，何来收获；没有辛苦，何来成功；没有磨难，何来荣耀；没有挫折，何来辉煌。——佩恩 136、上天完全是为了坚强你的意志，才在道路上设下重重的障碍。 137、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ——罗曼· 罗兰 138、你硬要把单纯的事情看得很严重，那样子你会很痛苦。 139、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。——梭罗 140、就算全世界都否定我，还有我自己相信我。 141、人的缺点就像花园里的杂草，如果不及时清理，很快就会占领整座花园。 142、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 143、在必要时候需要弯一弯，转一转，因为太坚强容易折断，我们需要更多的柔软，才能战胜挫折。 144、即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。 145、笑对人生，能穿透迷雾；笑对人生，能坚持到底；笑对人生，能化解危机；笑对人生，能照亮黑暗。 146、什么是天才！我想，天才就是勤奋的结果。——郭沫若 147、还能冲动，表示你还对生活有激情，总是冲动，表示你还不懂生活。 148、现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 149、世上只有想不通的人，没有走不通的路。 150、觉得自己做得到和做不到，其实只在一念之间。 151、人的一生就像一篇文章，只有经过多次精心修改，才能不断完善。摘自：读书名言 152、自以为拥有财富的人，其实是被财富所拥有。 153、一个懒惰的少年将来就是一褴褛的老人。 154、坚持最难，但成果也最大。 155、再多一点努力，就多一点成功。 156、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。 157、活着一天，就是有福气，就该珍惜。当我哭泣我没有鞋子穿的时候，我发现有人却没有脚。 158、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 159、机不可失，时不再来。 160、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 161、环境永远不会十全十美，消极的人受环境控制，积极的人却控制环境。 162、学的到东西的事情是锻炼，学不到的是磨练。 163、命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远掌握在自己手中。 164、环境不会改变，解决之道在于改变自己。 165、成大事不在于力量多少，而在能坚持多久。 166、只要路是对的，就不怕路远。 167、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。 168、你能做到的，比想像的更多。 169、天道酬勤。也许你付出了不一定得到回报，但不付出一定得不到回报。 170、成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。 171、在生活中，我跌倒过。我在嘲笑声中站起来，虽然衣服脏了，但那是暂时的，它可以洗净。 172、放弃谁都可以，千万不要放弃自己！ 173、尝试去把别人拍过来的砖砌成结实的地基，生活就不会那么辛苦了。 174、如果我们都去做自己能力做得到的事，我们会让自己大吃一惊。 175、每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 176、上帝从不抱怨人们的愚昧，人们却抱怨上帝的不公平。 177、没有所谓幸运或厄运，每件事情有因必有果。
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2
，x2=-1-
）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1= -2 , = x2 = . = .
2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例
用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
例
用公式法解方程：
x2 – x =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, 求根公式 : X= x2 = =
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x2 =
= -q+(
)2 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
120、人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走。 121、成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践。 122、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。 123、活在当下，别在怀念过去或者憧憬未来中浪费掉你现在的生活。 124、不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。 125、出路出路，走出去了，总是会有路的。困难苦难，困在家里就是难。 126、生命不是要超越别人，而是要超越自己。 127、长得漂亮是优势，活得漂亮是本事。 128、如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 129、你不要一直不满他人，你应该一直检讨自己才对。 130、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑；你对它哭，它也对你哭。 131、要改变命运，首先改变自己。 132、人生就像一个动物园，当你以为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！ 133、把事情办好的秘密就是行动。成功之路就是有条理思考之后的行动！行动！行动！ 134、人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花。 135、没有播种，何来收获；没有辛苦，何来成功；没有磨难，何来荣耀；没有挫折，何来辉煌。——佩恩 136、上天完全是为了坚强你的意志，才在道路上设下重重的障碍。 137、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ——罗曼· 罗兰 138、你硬要把单纯的事情看得很严重，那样子你会很痛苦。 139、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。——梭罗 140、就算全世界都否定我，还有我自己相信我。 141、人的缺点就像花园里的杂草，如果不及时清理，很快就会占领整座花园。 142、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 143、在必要时候需要弯一弯，转一转，因为太坚强容易折断，我们需要更多的柔软，才能战胜挫折。 144、即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。 145、笑对人生，能穿透迷雾；笑对人生，能坚持到底；笑对人生，能化解危机；笑对人生，能照亮黑暗。 146、什么是天才！我想，天才就是勤奋的结果。——郭沫若 147、还能冲动，表示你还对生活有激情，总是冲动，表示你还不懂生活。 148、现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 149、世上只有想不通的人，没有走不通的路。 150、觉得自己做得到和做不到，其实只在一念之间。 151、人的一生就像一篇文章，只有经过多次精心修改，才能不断完善。摘自：读书名言 152、自以为拥有财富的人，其实是被财富所拥有。 153、一个懒惰的少年将来就是一褴褛的老人。 154、坚持最难，但成果也最大。 155、再多一点努力，就多一点成功。 156、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。 157、活着一天，就是有福气，就该珍惜。当我哭泣我没有鞋子穿的时候，我发现有人却没有脚。 158、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 159、机不可失，时不再来。 160、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 161、环境永远不会十全十美，消极的人受环境控制，积极的人却控制环境。 162、学的到东西的事情是锻炼，学不到的是磨练。 163、命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远掌握在自己手中。 164、环境不会改变，解决之道在于改变自己。 165、成大事不在于力量多少，而在能坚持多久。 166、只要路是对的，就不怕路远。 167、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。 168、你能做到的，比想像的更多。 169、天道酬勤。也许你付出了不一定得到回报，但不付出一定得不到回报。 170、成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。 171、在生活中，我跌倒过。我在嘲笑声中站起来，虽然衣服脏了，但那是暂时的，它可以洗净。 172、放弃谁都可以，千万不要放弃自己！ 173、尝试去把别人拍过来的砖砌成结实的地基，生活就不会那么辛苦了。 174、如果我们都去做自己能力做得到的事，我们会让自己大吃一惊。 175、每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 176、上帝从不抱怨人们的愚昧，人们却抱怨上帝的不公平。 177、没有所谓幸运或厄运，每件事情有因必有果。