点集拓扑学练习题(第二章)(答案)
拓扑学导论_朱培勇_第二章习题详解
证明: 记U = {x ∈ n | f (x) > 0} ，对于 ∀x0 ∈U ，因为 f (x0 ) > 0 ，取 ε = f (x0 ) / 2 ≥ 0 ，由已知， ∃δ > 0 使得 ∀x ∈ B(x0 , δ ) 时, 恒有
∪ λ∈Λ Fλ c = (∩ λ∈Λ Fλ )c ∈ T
11. 设 ( X ,T ) 是一个拓扑空间, A ⊂ X , 则 (i) A ∈ T 当且仅当 A = A0 (ii) A 等于包含 A 的一切闭集的交. 证明：（i）必要性. 设 A ∈ T ，因为 ∀x ∈ A ，∃Gx = A ∈T 使得 x ∈ Gx ⊂ A ， 则 x 为 A 的内点，所以， A ⊂ Ao ；而 Ao ⊂ A 是显然的. 所以， A = A0 . 充分性. 设 A = A0 ，则 ∀x ∈ A ，∃Gx ∈ T 有 x ∈ Gx ⊂ A ，故 A = ∪ x∈A Gx . 所以， A∈T . (ii) 设 C ={F | F ⊃ A 且 F 闭于 X }. 因为 ∀F ∈ C ，有 A ⊂ F ，故 A ⊂ F = F ，则 A ⊂ ∩C . 反过来，因为 A ⊂ A ,并且 A ∈ C ，则 ∩C ⊂ A . 从而， A = ∩C .
从而， IntA = ∪ O . (2) 因为 A = X \ Int( X \ A) , 由(1)的证明, 有
Int( X \ A) = ∪{U | U ⊂ X \ A 并且U 开于 X }
故 A = X \ Int( X \ A) = X \ ∪{U | U ⊂ X \ A 并且U 开于 X } = ∩{X \ U | U ⊂ X \ A 并且U 开于 X } = ∩{F | A ⊂ F 并且 F 闭于 X }.
点集拓扑学第二章部分习题参考答案
P73 第2.1节3．设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取14ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴氏平面2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。
（提示：分别用2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证 先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε⊂,即m 在2x ∈对于2的度量1ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量1ρ而言连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ而言是连续的.下面再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε⊂,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量2ρ而言连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ而言是连续的.P73 第2.2节2. 对于每一个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +∈⋃∅是正整数集+的一个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证 显然1,A +∅=∈P .又n A ∅⋂=∅∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ⋂=∈P ,对任意的P 1⊂P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯一开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1⋂P 2也是X 的一个拓扑.举例说明P1⋃P 2可以不是X 的拓扑.证 若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ∅∈P 1,P2,所以,X ∅∈P1⋂P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ⋂∈P 1,P2,所以A B ⋂∈P1⋂P 2;对任意的P '⊂P 1⋂P2,即P '⊂P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1⋂P 2. 因此P 1⋂P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =∅, P{}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =∅,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1⋃P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =∅,因{}{},a b ∈P 1⋃P2,{}{}{},a b a b =⋃∉P1⋃P 2,因此P 1⋃P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或∅,所以()1,fU X -=或∅,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ⊂⊂,则B 是一个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ⋂-≠∅,由{}{}(){}A x A x x -=--,从而{}(){}{}U A x x ⋂--≠∅,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ⊂⊂,所以()()d B d A B ⊂⊂,即()d B B ⊂,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ⊂,()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅.证 “必要性”若Kuratovski 公理成立，则对任意,A B X ⊂，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ⋃=⋃=⋃=⋃-∅；“充分性”若对任意,A B X ⊂，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅，则令A B ==∅，有()()()()()()******c c c c c c ∅⋃∅⋃∅=∅-∅=∅⇒∅=∅；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ⋃⋃=-∅=⇒⊂⇒⊂，并且()()()***c c A c A ⊂，所以()()()***cc A c A =。
点集拓扑试题及答案
点集拓扑试题及答案1. 定义并解释什么是拓扑空间。
拓扑空间是一个有序对(X, T)，其中X是一个非空集合，T是X的子集的集合，满足以下三个条件：(1) 空集和X本身都属于T；(2) T中的任意有限个集合的并集仍然属于T；(3) T中的任意个集合的交集仍然属于T。
2. 简述连续映射的定义。
设f: X → Y是一个映射，其中X和Y是拓扑空间。
如果对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X中的开集，则称f是连续的。
3. 证明如果f: X → Y和g: Y → Z是连续映射，则它们的复合映射g ∘ f: X → Z也是连续的。
证明：设W是Z中的一个开集，我们需要证明(g ∘ f)^(-1)(W)是X中的开集。
由于g是连续的，g^(-1)(W)是Y中的开集。
又因为f是连续的，f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集。
因此，(g ∘ f)^(-1)(W) = f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集，所以g ∘ f是连续的。
4. 什么是紧致性？请给出紧致空间的一个例子。
紧致性是指拓扑空间中的每一个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
一个例子是实数线R上的闭区间[0, 1]，它在标准拓扑下是紧致的。
5. 描述什么是连通空间。
连通空间是指不能被分解为两个非空不相交开集的拓扑空间。
6. 证明如果X是连通空间，并且f: X → R是连续映射，那么f(X)是区间。
证明：设a = inf f(X)，b = sup f(X)。
对于任意的x ∈ X，由于f是连续的，存在一个开邻域U_x ⊆ X使得f(U_x) ⊆ (a, b)。
因为X是连通的，所以X = ⋃x∈X U_x，这意味着f(X) = ⋃x∈Xf(U_x) ⊆ (a, b)。
由于f(X)是闭的，所以f(X) = [a, b]。
7. 什么是分离公理？请举例说明。
分离公理是指对于拓扑空间中的任意两个不同的点，都存在两个不相交的开集分别包含这两个点。
例如，在实数线R的拓扑中，对于任意两个不同的点x和y，可以取开区间(x - 1, x + 1)和(y - 1, y + 1)分别包含x和y，且这两个开区间不相交。
福师大点集拓扑学练习题答案
练习(第二章)参考答案:一、判断题(每小题2分)1、集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × )2、拓扑空间中任两点的距离就是无意义的、( √ )3、实数集合中的开集,只能就是开区间,或若干个开区间的并、( × )4、T 1、T 2就是X 的两个拓扑,则T 1UT 2就是一个拓扑、( × )5、平庸空间中任一个序列均收敛,且收敛于任一个点。
( √ )6、从(X,T 1)到(X,T 2)的恒同映射必就是连续的。
( × )7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都就是连续映射( √ )8.设12, T T 就是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定就是集合X 的拓扑( × )9、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都就是连续映射( √ )10、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( √ )11、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( × )12、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( √ )二.填空题:(每空格3分)1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中Z n ={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为321,,Z Z Z包含3的所有闭集为,...,,,/6/5/41Z Z Z Z包含3的所有邻域为3321}1{,,,Z Z Z Z ⋃设A={1,2,3,4,5}则A 的导集为{1,2,3,4}A 的闭包为{1,2,3,4,5}2、设X 为度量空间,x ∈X,则d({x})=∅3、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集就是____ R ____、4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠5、设A 就是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ; A = ;答案:X ;X6、设A 就是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ; A = ;答案:X ;X7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}三、单项选择题(每题2分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④3、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②4、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②5、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:③6、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q o 就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:①7、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:④8、在实数空间中,整数集Z 的内部Z o 就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:①9、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:②10、在实数空间中,区间[0,1)的边界就是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案:③11、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中错误的就是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③12、已知X 就是一个离散拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中正确的就是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①13、已知X 就是一个平庸拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中不正确的就是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案:④14、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑就是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①15、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:③16、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④17、实数空间R 中的任一单点集就是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②18、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③19、在实数空间R 中,下列集合就是闭集的就是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①20、在实数空间R 中,下列集合就是开集的就是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④21、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数就是() ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④22、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④23、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭答案:③24、设X 就是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭答案:②四、证明题(52分):1. 设X 有拓扑i ni n T T T T 121,,...,=⋂⇒也就是拓扑、证:in i T A i T A i i n i i n i i i i n i in i i T A n i T A n i T T T T T B A n i T B A n i T B A T B A T X n i T X 1~~1111,...1,,...1,~,~)3(,...1,....1,,,,)2(,,,...2,1,,)1(=∈∈====⋂∈⋃⇒=∈⋃⇒=⊂⇒⋂⊂∀⋂∈⋂⇒=∈⋂⇒=∈∴⋂∈∀⋂∈∅∴=∈∅Θ 所以i n i T 1=⋂也就是拓扑、2、度量空间中收敛序列的极限就是唯一的、证:设+∈Z i i x }{→x , +∈Z i i x }{→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=∅、对于B(x,ρ(x,y)/3),存在1N >0,当i>1N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3)对于B(y,ρ(x,y)/3),存在2N >0,当i>2N 时有∈i x B(y,ρ(x,y)/3)取N=max{1N ,2N },则当i>N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=∅、矛盾3、设X 就是一个拓扑空间,B 就是一个基,x ∈X,则B x ={B ∈B|x ∈B}就是点x 处的一个邻域基、见P 、82 定理2、6、74、在欧氏平面R 2中令Y={(0,y)|y ∈R}∪{(x,0)|x ∈R},证明:Y 与实数空间R 不同胚、(提示:用反证法)证:设Y 与实数空间R 同胚、则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚、但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支、而连通性就是拓扑不变的,得到矛盾、所以Y 与实数空间R 不同胚、。
点集拓扑学第二章部分习题参考答案
点集拓扑学第⼆章部分习题参考答案P73 第2.1节3．设(),X ρ是⼀个的度量空间,证明: (1) X 的每⼀个⼦集都是开集;(2) 如果Y 也是⼀个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ?和任意顶的x A ∈,取1 4ε=,则(){},B x x A ε=?,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任⼀映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴⽒平⾯2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。
（提⽰：分别⽤2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε?,即m 在2x ∈对于的度量1ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量1ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.下⾯再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε?,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量2ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.P73 第2.2节2. 对于每⼀个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +是正整数集+的⼀个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证显然1,A +=∈P .⼜n A ??=?∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ?=∈P ,对任意的P 1?P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯⼀开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1P 2也是X 的⼀个拓扑.举例说明P1P 2可以不是X 的拓扑.证若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ?∈P 1,P2,所以,X ?∈P1P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ?∈P 1,P2,所以A B ?∈P1P 2;对任意的P '?P 1P2,即P '?P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1?P 2. 因此P 1?P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =?, P {}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =?,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =?,因{}{},a b ∈P 1?P2,{}{}{},a b a b =??P1P 2,因此P 1?P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或?,所以()1,fU X -=或?,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是⼀个拓扑空间,,A B X ?,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ??,则B 是⼀个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ?-≠?,由{}{}(){}A x A x x -=--,从⽽{}(){}{}U A x x ?--≠?,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ??,所以()()d B d A B ??,即()d B B ?,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ?,()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?.证 “必要性”若Kuratovski 公理成⽴，则对任意,A B X ?，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ?=?=?=?-?；“充分性”若对任意,A B X ?，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?，则令A B ==?，有()()()()()()******c c c c c c =?-?=???=?；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ??=-?=，并且()()()***c c A c A ?，所以()()()***cc A c A =。
拓扑学测试题二
拓扑学测试题二(共9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--测试题二一、（15分）（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；（2）证明：T=是X上的一个拓扑.二、（15分）(1)叙述完备格的定义；（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.三、（10分）设，，求分别在数直线T) 及可数补空间T)中的闭包和内部.四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.五、（10分）设T ), W) 是两个拓扑空间，,,(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是T W连续的当且仅当W, T六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的.答案一、（15分）（1）T称为集合X上的拓扑，若T满足：(a)T,T;(b)T T, T;(c)A T A T.（2）证明：因是可数集，故T,，则是可数集，从而=是可数集,即T; A T,A,是可数集，于是是可数集，从而A=是可数集，即A T.，因此T=是X上的一个拓扑.（3）可数补拓扑是的不是.由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间. 对，则且，因此它是空间.二、（15分）(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.三、（10分）解：在数直线T)中，;可数补空间中，.四、（15分）（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。
（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.五、（10分）（1）,则称在点T W连续的.（2）证明（必要性） W,设. 则，由条件，存在.于是T.（充分性）,则T,从而，且,故是TW连续的.六、（10分）(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在，则是X中开集组成的F的开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.由的任意性知F是闭集.七、（15分）（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：（a）（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则 B B是X的可数开集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有，这样 ,B是X的可数基.八、（10分）证明：设，，则同理设则＝＝.测试题三一、（每题3分，共24分）1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.8.可分空间一定满足公理二、（20分）设是一个度量空间。
河南工业大学理学院谢萍丽老师点集拓扑学试题(含答案)
点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ② ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②3、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②5、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②6、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③7、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②8、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④9、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④10、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①12、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④13、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①14、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④15、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①16、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①17、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③18、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②19、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③20、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④21、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③22、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④23、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④24、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④25、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈U ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈I 答案：③ 26、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③27、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①28、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④29、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①30、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②二、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=11、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;答案：{3}13、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入14、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射15、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射16、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射17、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间18、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集19、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而Y U ∈T ’U ∈T 1, Y U ∈T ’U ∈T 2,故Y U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=I ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.四． 名词解释1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的聚点 答案：设A 是拓扑空间X 的一个子集，如果x X ∈的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点，即({})U A x -≠ΦI ，则称点x 是集合A 的一个凝聚点。
点集拓扑学试题（含答案）
点集拓扑学试题（含答案）三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?；（２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ?,从而()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =?==从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ?=?=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()dA dB ?.答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?，从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '?∈,则x A ?，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=，即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.答案：设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'?=,因此x A ?,从而A A ?,即有A A =，这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述（计算图标）13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称（缩写）2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作（创建，编辑）6、交互结构，交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式（模式工具）13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称（7-8）2、几何画板（几何变换）（移动，旋转）3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题１、如果为视频文件额外配置声音，那么须用声音图标和电影图标。
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练习（第二章）参考答案：
一.判断题（每小题2分）
1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ）
2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ）
3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ）
4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ）
5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。
（V ）
6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。
（X ）
7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ）
8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ）
9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ）
10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ）
11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ）
12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ）
二.填空题：（每空格3分）
1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中
乙={n,n+1,n+2, -},
贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s
包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3
设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_
3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ .
4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______
答案：U (A {x})
5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ；
答案：X ；X
6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ;
答案：X ；X
7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部
为____________ ；_______
答案：{2}
1、已知X {a,b,c,d,e},卜列集族中，(
①T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c, e}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b,d},{ a,b,c,e}} ③T {X, ,{a},{a,b}}
④T
{X, ,{a},{b},{ c},{ d},{e}}
2、已知X {a,b, c,d}，拓扑 T {X, ,{a}}
答案：③
{b,c,d}
答案：④
3、已知 X {a,b, c,d}
,拓扑T
{X, ,{a}},则{a}=(
{a,b}
④{b,c,d}
答案：②
三、单项选择题(每题2分)
)是 X 上的拓扑.
②X
③{b} ,则{b}=(
④
4、 设X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a},{b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集的
个数为（ ） ①
1
②2
③3
④4 答案：②
5、
设X {a,b}，拓扑T {X, ,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
答案：③
③R-Z ④
10、在实数空间中，区间［0,1）的边界是（
① d(A B) d(A) d(B)
6、 在实数空间中，有理数集 Q 的内部Q °是（
R -Q 答案：①
7、 在实数空间中，有理数集 Q 的边界 （Q ）是（ R -Q
答案：④
在实数空间中，整数集 Z 的内部Z 是（
③R-Z
答案：①
9、 在实数空间中，整数集 Z 的边界（Z ）是
答案：②
②[0,1]
③{0,1}
(0,1)
答案：③
11、设X 是一个拓扑空间, A B 是X 的子集，则下列关系中错误的是（
答案：③
12、已知X是- 个离散拓扑空间，
（）
① d(A)② d(A)
③ d(A) A④ d(A)
A是X的子集，则下列结论中正确的是
X A
X 答案：①
③ d(A B) d(A) d(B) ④A
13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是
( )
①若A ,则d(A) ②若A {x。
},则d(A) X A
③若A={x i,x2},则d(A) X ④若A X ,则d(A) X 答案：④
14、设X {a,b,c,d},令 B {{ a,b,c},{ c},{ d}},则由 B 产生的X 上的拓扑是( )
①{X , ,{ c},{ d},{ c, d},{ a, b, c}}
②{X, ,{ c},{ d},{ c, d}}
③{X , ,{ c},{ a, b, c}}
④{X , ,{ d},{ b, c},{ b, d},{ b, c, d}}答案：①
15、离散空间的任一子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③
16、平庸空间的任一非空真子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④
17、实数空间R中的任一单点集是()
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②
18、实数空间R的子集A ={1,丄，1 ,丄，……},则A =()
2 3 4
①© ②R ③A U {0} ④A 答案：③
19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是( )
①整数集②a,b ③有理数集④无理数集答案：①
20、在实数空间R中，下列集合是开集的是()
①整数集Z ②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z 答案：④
已知X {1,2,3}上的拓扑T {X, ,{1}},则点1的邻域个数是（
2. 度量空间中收敛序列的极限是唯一的.
证：设度量空间X中序列{X i}i Z有：lim X i
若X y 则B(x, P x , y )/3) n B(y, p x , y 答案：④
22、已知X {a, b},则X上的所有可能的拓扑有（
② 2个③ 3个答案：④
23、在实数下限拓扑空间R中，区间［a,b）是（
① 开集② 闭集③ 既是开集又是闭集非开非闭答案：③
24、设X 是一个拓扑空间，A,B X , 且满足d(A) A, 则 B 是
① 开集② 闭集既是开集又是闭集非开非闭答案：②
四.证明题（52 分）:
1.设X有拓扑T I,T2,…Tn,
证:
(1) X, T i, 1,2 ,... n , 1T i
(2) A,B i n 1T i , A,B T i , i ...n.
B T i ,i 1...n, n i1 T i
(3) 1T i, T T i ,i 1...n,
所以
~ A T i ,i
T
1...n, ~A
AT
1T i
A T~
A T i ,i 1...n, AT i n 1 T i i 1 T i 也是拓扑.
,lim x i
)/3)=
对于 B(x , P (x ,
y )/3), 存在N i >0,当i > N i 时
有 x i
B(x , P (x , y )/3)
对于 B(y , P (x , y )/3), 存在 N 2>0, 当 i > N 2 时
有 x i
B(y , P (x , y )/3)
取 N=max{N 1, N 2},则当 i > N 时
有 X i B(x , P x , y )/3) n B(y , p x , y )/3)
与 B(x , P x , y )/3) n B(y ,
P x , y )/3)=
.矛盾
3. 设X 是一个拓扑空间，B 是一个基，x € X,则B 二{B € B | x € B}是点x 处的一个 邻域基 . 见 P.82 定理 2.6.7
4. 在欧氏平面R 中令Y={(0,y)|y € R}U {(x,0)|x € R},证明:Y 与实数空间R 不同
胚.( 提示: 用反证法 )
证：设丫与实数空间R 同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分 支, 而 R-{0} 却只有两个连通分支 . 而连通性是拓扑不变的 , 得到矛盾 . 所以 Y 与实 数空间R 不同胚.
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