第十章-偏微分方程数值解法
偏微分方程数值解法
偏微分方程数值解法
偏微分方程数值解法是一种利用计算机技术获取偏微分方程数值解的方法，它主要目标是解决微分方程的精确、快速、可靠的数值解。
偏微分方程数值解法交叉应用于分析数学、力学、电磁学等不同领域的各种模型，能够大大提高解决微分方程的效率。
偏微分方程数值解法大致分为两个方面：一是求解偏微分方程的离散数值解法；二是精确解对分解数值解法，如多阶谱方法、牛顿法和共轭梯度法等。
其中，离散数值解法是把偏微分方程抽象成一系列数值求解问题，并进行递推叠加求解，而精确解对分解数值解法则是通过优化问题方式求解微分方程精确解，以达到精确求解的目的。
偏微分方程数值解法的有效解决的方法，给科学与技术研究带来了很大的帮助。
它不但克服了无法精确解决某些复杂偏微分方程的困难，而且有更快的求解效率，也可以很好地满足实际科技应用的需要。
偏微分方程数值解法的应用已经普遍发挥出重要的作用，不仅可以解决物理科学问题，还可以解决经济学、商业投资、财务分析等复杂的数学模型。
因此，偏微分方程数值解法的应用已在各个领域得到了广泛的应用，为科学与技术研究提供了很大的帮助，在微分方程求解方面产生了重要的影响。
偏微分方程组数值解法
偏微分方程组数值解法
偏微分方程组是描述自然、科学和工程问题的重要数学工具。
由于解析解通常难以获得，因此需要使用数值方法来解决这些方程组。
本文将介绍偏微分方程组的一些数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法和边界元法等。
有限差分法是一种基本的数值方法，将偏微分方程转化为差分方程，然后使用迭代算法求解。
该方法易于理解和实现，但对网格的选择和精度的控制要求较高。
有限元法是目前广泛使用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为变分问题，并通过对函数空间的逼近来求解。
该方法对复杂几何形状和非线性问题有很好的适应性，但需要对网格进行精细的划分，计算量较大。
谱方法是一种高精度的数值方法，它将偏微分方程转化为特征值问题，并使用级数逼近来求解。
该方法在高精度求解、解析性质研究和数值计算效率方面具有优势，但需要对函数的光滑性和周期性有较高的要求。
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，并使用离散化方法求解。
该方法适用于求解边界问题和无穷域问题，但对边界的光滑性和边界积分算子的性质有较高的要求。
总之，在实际问题中选择合适的数值方法需要综合考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。
偏微分方程 数值解
偏微分方程数值解
偏微分方程是描述自然现象和工程问题中的物理量随空间和时
间变化的数学模型。
由于这些方程的解析解很难求解，数值解法成为求解偏微分方程的重要手段之一。
偏微分方程数值解的基本思路是将偏微分方程转化为差分方程，然后通过数值计算得到一组离散解。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法、谱方法等。
有限差分法是偏微分方程数值解的最基本方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差分近似替代，然后通过数值迭代得到离散解。
有限元法则是将连续的区域离散化成若干个小的单元，然后在每个单元内应用一些基函数，通过求解一个线性方程组得到离散解。
谱方法则是利用函数的三角函数展开式，通过对展开系数的求解得到离散解。
对于不同的偏微分方程，选择不同的数值方法可以得到不同的精度和计算效率。
因此，对于偏微分方程数值解的研究是数值计算领域中的一个重要研究方向。
- 1 -。
偏微分方程的数值解方法及源程序
(k , j = 0,±1,±2, L) 将 定 解 区 域 剖 分 成 矩 形 网 格 。 节 点 的 全 体 记 为 R = {( x k , y j ) | x k = kh, y j = jτ , i, j为整数} 。定解区域内部的节点称为内点，记内点
集 R I Ω 为 Ω hτ 。边界 Γ 与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为 Γhτ 。与节点
（7）
ϕ (0) = g1 (0), ϕ (l ) = g 2 (0)
问题（7）中的边界条件 u (0, t ) = g 1 (t ), u (l , t ) = g 2 (t ) 称为第一类边界条件。第二类和 第三类边界条件为
⎡ ∂u ⎤ − λ1 (t )u ⎥ = g1 (t ), 0 ≤ t ≤ T ⎢ ⎣ ∂x ⎦ x =0
⎡ ∂u ⎤ + λ 2 (t )u ⎥ = g 2 (t ), 0 ≤ t ≤ T ⎢ ⎣ ∂x ⎦ x =l 其中 λ1 (t ) ≥ 0, λ 2 (t ) ≥ 0 。当 λ1 (t ) = λ 2 (t ) ≡ 0 时，为第二类边界条件，否则称为第三
类边界条件。 双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程
（15）
求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法， 同步迭代法是最简单的迭代方式。 除 边界节点外，区域内节点的初始值是任意取定的。 例 1 用五点菱形格式求解 Laplace 方程第一边值问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u ⎪ 2 + 2 =0 ∂y ⎨ ∂x 2 2 ⎪u ( x, y ) | ( x , y )∈Γ = lg[(1 + x ) + y ] ⎩
第二十章
偏微分方程的数值解
自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。 这些规 律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。 我们将只含有未知多元 函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。 方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。 如果方程中对于未 知函数和它的所有偏导数都是线性的， 这样的方程称为线性偏微分方程， 否则称它为非 线性偏微分方程。 初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。 对于一个具体的问题， 定解条件与泛定方程总是同时提出。 定解条件与泛定方程作为一 个整体，称为定解问题。 §1 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典 型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
偏微分方程数值解法
偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，其在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
然而，对于大多数偏微分方程而言，很难通过解析方法得到精确解，因此需要借助数值解法来求解。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常见且直观的偏微分方程数值解法。
其基本思想是将偏微分方程中的导数通过差分近似来表示，然后通过离散化的方式转化为代数方程组进行求解。
对于一维偏微分方程，可以通过将空间坐标离散化成一系列有限的格点，并使用中心差分格式来近似原方程中的导数项。
然后，将时间坐标离散化，利用差分格式逐步计算每个时间步的解。
最后，通过迭代计算所有时间步，可以得到整个时间域上的解。
对于二维或高维的偏微分方程，可以将空间坐标进行多重离散化，利用多维的中心差分格式进行近似，然后通过迭代计算得到整个空间域上的解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种重要的偏微分方程数值解法。
其基本思想是将求解区域分割成有限数量的子区域（单元），然后通过求解子区域上的局部问题来逼近整个求解区域上的解。
在有限元法中，首先选择适当的形状函数，在每个单元上构建近似函数空间。
然后，通过构建变分问题，将原偏微分方程转化为一系列代数方程。
最后，通过求解这些代数方程，可以得到整个求解区域上的解。
有限元法适用于各种复杂的边界条件和几何构型，因此在实际工程问题中被广泛应用。
三、谱方法（Spectral Methods）谱方法是一种基于特定基函数（如切比雪夫多项式、勒让德多项式等）展开解的偏微分方程数值解法。
与有限差分法和有限元法不同，谱方法在整个求解区域上都具有高精度和快速收敛的特性。
在谱方法中，通过选择适当的基函数，并利用其正交性质，可以将解在整个求解区域上展开为基函数系数的线性组合。
高等数学中的偏微分方程数值解法
偏微分方程是数学中的一大重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
其求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法要求方程具有可积性，适用于一些简单的方程，但是对于复杂的方程往往无法得到解析解。
而数值解法通过将方程离散化，利用数值计算方法得到数值解，是一种弥补解析解法不足的重要手段。
在高等数学中，偏微分方程数值解法主要包括差分法、有限元法和有限差分法。
其中，差分法是最早应用于求解偏微分方程的数值方法之一。
差分法通过将偏微分方程中的导数用差商的形式来近似表示，将连续的问题转化为离散的问题，再通过计算机程序来进行求解。
差分法的优点是简单易懂、计算速度快，适用于一些较为简单的偏微分方程。
但是差分法的精度受到离散化步长的影响，不适用于一些对精度要求较高的问题。
有限元法是一种更为广泛应用的偏微分方程数值解法。
有限元法通过将求解区域分割成有限多个小区域，用简单形状的基函数来逼近真实解，再通过求解线性方程组得到数值解。
有限元法的优点在于适用于复杂的几何形状、能够处理不规则的边界条件，并且精度较高。
有限元法还具有较好的可扩展性，可以处理大规模的求解问题。
因此，有限元法在工程领域的应用非常广泛。
有限差分法是一种通过计算导数来逼近微分方程的数值解法。
有限差分法基于泰勒展开公式，将微分算子在某点处的展开为有限多个导数的差商的线性组合。
通过将微分算子离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，再通过求解方程组来得到数值解。
有限差分法的优点在于简单易懂，计算速度较快。
但是由于差商的导数逼近误差，有限差分法的精度受到离散化步长的影响，需要选择合适的步长来保证精度。
总的来说，高等数学中的偏微分方程数值解法是研究偏微分方程数值计算的一大热点和难点。
不同的数值方法适用于不同的问题，需要根据具体情况来选择适合的数值方法。
在求解偏微分方程时，还需要注意数值误差对结果的影响，并通过适当选择离散化步长和网格数量等参数来提高数值解的精度。
随着计算机技术的发展，偏微分方程数值解法将会越来越广泛地应用于实际问题的求解中。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是描述物理、化学、工程学等许多科学领域中变化的方程。
由于PDE的求解通常是困难的，因此需要使用数值方法。
本文将介绍偏微分方程的数值解法。
一般来说，求解PDE需要求得其解析解。
然而，对于复杂的PDE，往往不存在解析解，因此需要使用数值解法求解。
数值解法可以分为两类：有限差分法和有限元法。
有限差分法是将计算区域分成网格，利用差分公式将PDE转化为离散方程组，然后使用解线性方程组的方法求解。
有限元法则是将计算区域分成有限数量的单元，每个单元内使用多项式函数逼近PDE的解，在单元之间匹配边界条件，得到整个区域上的逼近解。
首先讨论有限差分法。
常见的差分公式包括前向差分、后向差分、中心差分等。
以一维热传导方程为例，其偏微分方程形式为：$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中，$u(x,t)$表示物理量在时刻$t$和位置$x$处的值。
将其离散化，可得到：$$ \frac{u(x_i,t_{j+1})-u(x_i,t_j)}{\Delta t}=\frac{u(x_{i+1},t_j)-2u(x_i,t_j)+u(x_{i-1},t_j)}{\Delta x^2} $$其中，$x_i=i\Delta x$，$t_j=j\Delta t$，$\Delta x$和$\Delta t$分别表示$x$和$t$上的网格大小。
该差分方程可以通过简单的代数操作化为：$$ u_{i,j+1}=u_{i,j}+\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}) $$其中，$u_{i,j}$表示在网格点$(x_i,t_j)$处的数值解。
由于差分方程中一阶导数的差分公式只具有一阶精度，因此需要使用两个网格点来逼近一阶导数。
偏微分方程数值解法初步分析
偏微分方程数值解法初步分析偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一类重要方程，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
然而，由于其复杂性，解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将初步分析偏微分方程的数值解法。
一、有限差分法有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常用的数值解法，通过将偏微分方程中的导数用差商代替，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
这种方法的基本思想是将求解区域进行网格化，将偏微分方程中的导数用网格点上的函数值表示，然后利用差商逼近导数，将偏微分方程离散为代数方程组。
二、有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用的数值解法，尤其适用于复杂几何形状的求解。
该方法将求解区域划分为有限个小区域，称为单元，然后在每个单元上建立近似函数，通过将偏微分方程转化为变分问题，并将变分问题进行离散化处理，得到一个代数方程组进行求解。
三、特征线方法特征线方法（Method of Characteristics）是一种适用于一阶偏微分方程的数值解法。
该方法通过求解偏微分方程的特征线方程，将偏微分方程转化为常微分方程，在每条特征线上求解，然后将各个特征线上的解进行拼接得到整个解。
四、谱方法谱方法（Spectral Method）是一种数值解法，它利用特定的基函数，如傅里叶级数、切比雪夫级数等，对偏微分方程进行展开，通过系数的求解来得到数值解。
谱方法具有高精度和高收敛速度的优点，尤其适用于解析解存在的情况。
五、数值实验与误差分析在选择适用于某个具体偏微分方程的数值解法时，通常需要进行数值实验和误差分析。
数值实验是指通过计算机模拟的方式，求解偏微分方程并验证数值解的准确性；误差分析是指对数值解与解析解的差异进行分析，从而评估数值解的精度和收敛性。
总结：本文初步分析了偏微分方程数值解法的几种常见方法，包括有限差分法、有限元法、特征线方法和谱方法。
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第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y uxu y x ϕ其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
第二类和第三类边界条件为)()()()(22101t g u t x u t g u t x u lx x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂==λλT t ≤≤0其中0)(1≥t λ，0)(2≥t λ。
当0)()(21≡=t t λλ时，为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
双曲型方程:最简单形式为一阶双曲型方程=∂∂+∂∂xua t u 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程22222xu a t u ∂∂=∂∂描述，它是双曲型方程的典型形式。
方程的初值问题为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<∞->∂∂=∂∂=x x tu x x u x t x u a t u t )()()0,(,0022222ψϕ边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为2222201200,0(,0)(),()0(0,)(),(,)()0t u ua t T x l t x u u x x x x l t u t g t u l t g t t Tϕψ=⎧∂∂==<<<<⎪∂∂⎪⎪∂⎪==≤≤⎨∂⎪⎪==≤≤⎪⎪⎩1.2 差分方法的基本概念差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。
它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。
如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。
因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格；（2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式；（4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。
下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。
设有一阶双曲型方程初值问题。
⎪⎩⎪⎨⎧=+∞<<∞->=∂∂+∂∂)()0,(,00x x u x t x u a tuϕ（1） 选取网格：分，最简单khx x k ==，(0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将D 分成许多小矩形区域。
这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点，h 和τ分别称作x 方向和t方向的步长。
这种网格称为矩形网格。
（2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即2211(,)12(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)2kjk j k j k j k j x x t k j k j k j t x t u x t u x t uh u x h t x h u x t u x t uu x t t θτθττ++-∂''=-+∂-∂''=-+∂其中1,021<<θθ。
方程u ua t x∂∂+=∂∂ 在节点),(j k t x 处可表示为ht x u t x u at x u t x u j k j k j k j k ),(),(),(),(11-+-++τ),(2),(21222j k xj k t t h x u aht x u θτθτ+''++''=),2,1,0,,2,1,0(),(ΛΛ=±±==j k t x R j k其中(,0)()(0,1,2,)k k u x x k ϕ==±±L 。
由于当τ,h 足够小时，在式中略去),(j k t x R ，就得到一个与方程相近似的差分方程1,1,,,0k j k k k jj ju u u u ahτ++--+=此处，j k u ,可看作是问题的解在节点),(j k t x 处的近似值。
同初值条件),2,1,0()(0,Λ±±==k x u k k ϕ结合，就得到求问题的数值解的差分格式。
式)(),(2),(2),(1222h O t h x u aht x u t x R j k x j k t j k +=+''++''=τθτθτ称为差分方程的截断误差。
如果一个差分方程的截断误差为)(pq h O R +=τ，则称差分方 程对t是q 阶精度，对x 是p 阶精度的。
显然，截断误差的阶数越大，差分方程对微分方程的逼近越好。
若网格步长趋于0时，差分方程的截断误差也趋于0，则称差分方程与相应的微分方程是相容的。
这是用差分方法求解偏微 分方程问题的必要条件。
如果当网格步长趋于0时，差分格式的解收敛到相应微分方 程定解问题的解，则称这种差分格式是收敛的。
§2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法本节以Poisson 方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。
2.1 差分格式的建立考虑Poisson 方程的第一边值问题⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y uxu y x ϕ取τ,h线x x k =格。
{(,),,,}k j k j R x y x kh y j k j τ===为整数。
定解区域内部的节点称为内点，记内点集ΩI R 为τh Ω。
边界Γ与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为τh Γ。
与节点),(j k y x 沿x 方向或y方向只差一个步长的点),(1j k y x ±和),(1±j k y x 称为节点),(j k y x 的相邻节点。
如果一个内点的四个相邻节点均属于ΓΩY ，称为正则内点，正内点的全体记为)1(Ω，至少有一个相邻节点不属于ΓΩY的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为)2(Ω。
问题是要求出第一边值问题在全体内点上的数值解。
为简便，记),(),(j k y x j k =，(,)(,)k j u k j u x y =，),(,j k j k y x f f =。
对正则内点)1(),(Ω∈j k ，由二阶中心差商公式44422(42(,)2(4)222(4)22(,)(1,)(,)(,)(1,)12(1,)2(,)(1,)(12(,1)2(,)(,1)(,12x k j kx k j y k j u k j u k j u k j u k j u h h h u x h u k j u k j u k j h u x h uu k j u k j u k j u x y yττ+----∂=-∂+-+-=-∂+-+-=-+∂Poisson 方程2222(,)u uf x y x y∂∂+=∂∂ 在点),(j k 处可表示为22(1,)2(,)(1,)(,1)2(,)(,u k j u k j u k j u k j u k j u k h τ+-+-+-++其中(),(12),(12),(22)4(21)4(244+=+++=ττθτθh O y x u y h x u h j k R j k x j k x为其截断误差表示式，略去),(j k R ，即得与方程相近似的差分方程jk j k j k j k jk j k j k f u u u hu u u ,21,,1,2,1,,122=+-++--+-+τ式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数j k u ,则除了包含正则内点处解u 的近似值外，还包含一些非正则内点处u 的近似值，因而方程个数少于未知数个数。
在非正则内点处Poisson 方程的差分近似不能按上式给出，需要利用边界条件得到。
边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。
（1）直接转移用最接近非正则内点的边界点上的u 值作为该点上u值的近似，这就是边界条件的直接转移。
例如，点),(j k P 为非正则内点，其最接近的边界点为Q点，则有)2(,),()()(Ω∈==j k Q Q u u j k ϕ上式可以看作是用零次插值得到非正则内点处u 的近似值，容易求出，其截断误差为)(τ+h O 。
将上式代入，方程个数即与未知数个数相等。
（2）线性插值这种方案是通过用同一条网格线上与点P 相邻的边界点与内点作线性插值得到非正则内点),(j k P 处u值的近似。