高等几何
大学高等几何课件
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
大学高等几何授课讲义
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
第一章、仿射坐标与仿射变换
复习仿射坐标 及代数表示式
• 正交变换
x'
y
•
所以：
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 已知三点 O(0,0), E(1,1), P(1, 1)求仿射变换T使顺次 变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习：1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
五、课程简介
• 周学时3，一个学期，学习第一章～第六章
• 主要参考书：
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版， 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出 版社出版，2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月； •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
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:vΒιβλιοθήκη v1v2l1
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l2
u
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u1 u2
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A
u1 u2
高等几何(梅学明著)高等教育出版社课后答案
课后答案网1.证明线段的中点是仿射不变性.第一章部分习题及答案B DC B'精品课【高等几何】D'C'B' D'C'图2---3B' D'C'图2 ——4证明设仿射变换T将ABC变为A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E′、C′F′是A′B′C′R的三条中线，如图2 ——4，即三角形的中线是证明取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形A′B′C′,如图仿射不变性。
2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=∠' ' BD3．证明三角形的重心是仿射不变性。
β,设T(D)=D ’,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是' '=CD=证明如图2 ——4所示，设G是ABC的重心，且G′=T（G）。
因为G∈AD，V －1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即' ' =AD=32．证明三角形的中线是仿射不变性。
' ' GD 1同理B' 'E=' '' ' ' '=31∴G′是A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。
V1课后答案网4．角的平分线是不是仿射不变量？答：不是。
如图2 ——6所示。
DBC D'精品课【高等几何】C'B DC B' D' C'如图2 ——7设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
大学高等几何课件第一讲
1.3 仿射不变性与不变量 定理1 间的平行性是 仿射不变 . 性 定理1.1 两条直线 射不变 形；梯 图 形是 仿射不变 形 图 . 推论 平行四边形是仿 述 定义1 , ( 定义1.1 设A,B,C为共线三点 这三点的简比 ABC)定义为下 有向线段 的比 ： AC . BC C在 线段AB上 ,简 ( ABC) < 0, C在 的延长线上 , ( ABC) > 0. 时 比 AB 时 ( ABC) = 在 解析 几何中讲过 线段 定比 的 分割 若点 分割线段 的分割比 , C AB 记 λ,则 为 AC AC λ= =− = −( ABC). CB BC 所 以简 ( ABC)等于点 分割线段 的 比 C AB 分割 比的相反数 .
例如 ，人眼 O处 在 观察水 平面 上的矩 ABCD时 形 ， 从O到矩 形的各 点连线 形成一个 投影棱 。若在 眼 锥 人 和矩 形之间 插入一 个平面 ，该平 面截棱 锥所得四边 形 A′B′C′D′即为 矩形ABCD的截 影。 但直观 上看 截影 ， 和 原矩 形既不 全等 ，又不相似， 那么 截影与 原形究竟 有 何关 系呢？ 这正 是阿尔贝 蒂苦 苦思索 而未 找到答案 的 问题 。 阿 尔贝 蒂还思 考了 以下问题 ：同一 原形的 不同截 影之 间究竟 有何关 ？ 系 这 些问 题成为 研究 射影几何 的出发 。 点
2. 平 π 到平 π ′的 行 影 透 仿 T 面 面 平 பைடு நூலகம் 或 视 射 平行 射影 的方 l要 既 与π 平 又 与 向 求 不 行 不 注： π′ 平行射影方向改变了 就得出另外的从π到π′ . , 的透 视仿 . 射
⇒(i)透 视仿射 保留同 素性(即几 何元素 点与线 保持原 先的种 ). 类 即: 两平面 间的 平行射 影将一 平面上 的点映 射为第 二平面 上的 , 点 将一平 面上的 直线映 第 为 二平面 上的直 . 线 ⇒(ii)透 . 视仿射 保留结 合性 ( 果这两 直线与 直线间 的透视 射有 仿 一个自 对应点 如 条直线 相 , 两平面 , 交线g 交).同 , 在平面 样 到平面 的透视 射下 若 仿 相交 则 为 自对应 点的轨 , 称为 迹 对应轴 对 , 应直线 与 ′或相 a a 交于轴 , 上 或都 与轴平 . 行 平面的 仿射是 有限 由 回的平 行射影 组成的 即仿 , 射是 ⇒平面到 透视仿 射链 .
高等几何(第六章)
0 0
二阶曲线 秩为2
（实、虚、平行、相交、普通直 线、无穷远直线等5种情况）
秩为1
一对重合的普通直线：x12
0
一对重合的无穷远直线：x32 0
5 11
§4 二次曲线的度量性质
➢我们在引入了复元素的仿射平面上讨 论二次曲线的度量性质。
➢在讨论二次曲线的仿射性质时，仿射 不变图形无穷远直线起了至关重要的作 用，那么正交变换下保持不变的元素除 了无穷远直线外还有什么？
➢为什么要讨论圆点呢？ ➢定理4.2 正交变换保持圆点不变。
x'
y'
x x
cos sin
y y
sin cos
a13 a23
或
x' y'
x cos -x sin -
y y
sin cos
a13 a23
前者I(1,i,0)，J(1,-i,0)保持不变， 后者I(1,i,0)，J(1,-i,0)分别变为J，I.
➢定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一的中 心，且为普通点，抛物线的中心为无穷 远点。
二次曲线的中心坐标：
A11 A12
A21 A22
A31 0 A31 A32 0 A32
A13 A23 A33 1 A33
➢例1. 判定二次曲线：x12-2x1x2+x222x1x3+x2x3-x32=0的类型，并求出它的 中心。
直径与共轭直径的关系是相互的。
一直径的方向与该直径的共轭直径的方向(该直 径的极点的方向)称为一对共轭方向。注意抛物线 的情形。
例：过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭 直径。
P
✓过一直径两端点的切线的交点为该直径 的极点即为一个无穷远点。
高等几何学
高等几何学
高等几何学是数学中的一个分支，主要研究空间中点、线、面及其相关性质的数学学科。
与初等几何学不同，高等几何学涉及到更深入的数学概念和方法，如向量空间、线性变换、张量等。
高等几何学的主要内容包括仿射几何、射影几何和欧式几何等。
仿射几何学是研究在仿射变换下不变的几何性质和图形变换的学科，射影几何学是研究在射影变换下不变的几何性质和图形变换的学科，而欧式几何学则是基于欧几里得公理体系的研究。
在高等几何学中，重要的数学概念和方法包括空间中的点和向量、向量运算、平面和直线、平面和直线的方程、投影和截面、二次曲面、二次曲线、变换和群论等。
这些概念和方法的应用，使得高等几何学在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等领域。
此外，高等几何学还涉及到一些重要的定理和公式，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理、欧拉公式等。
这些定理和公式在高等几何学中具有重要的地位，是解决实际问题的重要工具。
总的来说，高等几何学是数学中一个重要的分支，它不仅在理论上具有重要意义，而且在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
通过学习高等几何学，可以深入理解空间中点、线、面的性质和关系，掌握数学中的重要概念和方法，提高解决实际问题的能力。
同时，高等几何学的学习还可以为进一步学习其他数学学科打下坚实的基础。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何讲义第1章
Mox：
x/ y/
x
y
(1.4)
j
M
Oi
x
M/
➢§1 变换与变换群
➢ 例5．平行射影 二平面
、 / 交于直线 ，向量
M
与二平面都不平行．对于
上任意点M，过M作平行
DB
于 的直线，交 /于M/，
则将 M 映成 M/ 的点对应
CE
称为平面 到平面 / 的
平行射影，
向量 为投射方向．
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学 审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观 点，加深理解，举一反三。
➢主 要 内 容
欧氏几何 仿射几何 射影几何
第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿
射坐标及仿射坐标变换
本
重点讨论共点性与共线性
教 材 基
M T M/ T (M)，
并称 M/ 为 M 在 T 之下的象，
M 为 M/ 在 T 之下的原象．
§1 变换与变换群
➢ T(S)：集合 S 的全体元素在T之下的象的集合． ➢ 满射： T( S ) S /； ➢ 单射： S 的不同元素的象元素也不同； ➢ 双射：既是单射又是满射的映射． ➢ 术语约定：两个集合之间的双射称为对应；将集合
到自身的双射称为变换．
➢几种常见变换
➢ 例1．恒等变换 若变换T，将S上每一元素变到自身 ，即
M T T (M) M ， M S，
❖则称为恒等变换(或单位变换)，记为 I．
§1 变换与变换群
➢ 例2．平移变换 将平面上的点 M 按定向量方向 a 移
动到点
M/，使得
M
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第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。
于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。
这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
1872年10月克莱因被聘为爱尔兰根大学正教授。
在当年的大学评议会上，克莱因作了著名的“新近几何研究的比较考察”的演讲，介绍了他用变换群的观点内在地统一各种几何学理论的思想。
这篇演讲稿公开发表后，被人称为克莱因的“爱尔兰根纲领”。
克莱因认为，每种几何学理论都由变换群所刻画，每种几何学理论所要研究的就是几何图形在其变换群下的不变量（即不变性质）；而一门几何学的子几何学理论就是研究原来变换群的子群下的不变量。
例如，在欧几里得几何学中，图形的旋转、反射和平移等变换构成了一个欧几里得变换群。
在这种变换群下图形的不变量是长度、角度以及图形的大小和形状。
又例如，在二维射影几何中，射影变换是指在一个平面上从一点到自身的变换，用射影坐标来表示，每个变换形式为：x′1＝a11x1+a12x2+a13x3；x′2＝a21x1+a22x2+a23x3；x′3=a31x1+a32x2+a33x3。
其中系数aij是实数，系数行列式不等于零。
这些变换组成射影变换群。
射影变换群下的不变量有线性、共线性、交比、调和集以及保持为圆锥曲线不变等。
在此基础上，克莱因论证了欧几里得变换群是射影变换群的子群。
所以，欧几里得几何学是射影几何学的子几何学。
克莱因的几何学群论思想，以简单明了的方式把相当多的几何学统一了起来。
他给已有的多种几何学提供了一个系统的分类方法，并提示了许多可供研究的问题。
它引导以后的几何学家的研究工作达50年之久，对几何学的发展产生了深刻的影响。
射影几何进入中国，应归功于我国数学教育家、几何学家姜立夫（1890—1978）教授。
早在1916年，他就在当时的《科学》杂志上发表《形学歧义》，首先将射影几何介绍给国人。
他亲自从事射影几何等数学课程的教学，他还将大几何学家嘉当阐述正交标架法和外微分法的名著《黎曼几何学》介绍到中国，为我国几何学发展做出了重要贡献。
我国著名数学家苏步青教授在学生时代就发表了《关于Fekete定理的注记》的出色论文。
从1928年起，他陆续发表了《仿射空间曲面论》、《射影曲线概论》、《射影曲面概论》、《射影共轭网概论》等专著和大量论文。
在我国他首先用分析工具研究仿射和射影几何，并在这个领域做出了举世闻名的杰出贡献。
苏先生十分注重人才的培养。
他亲自参加高等几何的教学工作，写出了《射影几何五讲》等教科书，直到八十高龄还为中学数学教师讲授射影几何知识。
苏步青教授是我国几何领域的代表人物。
他的奋斗史是我国几何发展史的重要组成部分。
为我国射影几何发展做出贡献的学者很多。
华东师范大学的孙泽瀛教授在1959年出版的《近世几何学》至今仍是我国师范院校最有影响的射影几何文献。
随着科学的发展，射影几何理论还在不断地发挥重要作用，如齐次坐标被应用于计算机有运算中，射影法被用于X光和CT扫描中的成象技术等。
另外，高等几何与初等几何、解析几何有着非常密切的联系和重要的指导意义，可以说这就是师范院校为什么要开设高等几何这门课的原因。
2、学习本课程的相关课程及参考资料先修课程：本课程是基于运动的基本思想提出的。
高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业本科的基础课程之一，学习者应当有欧几里德几何、解析几何和线性代数等方面的基础知识。
（1）从学习内容讲：本课程主要研究几何图形，自然需要《欧氏几何》、《空间解析几何》课程作为知识铺垫，尤其《空间解析几何》中的二次曲线“不变量”将成为《射影几何》课程的支撑工具。
（2）从研究方法讲：在射影几何中，主要采用的是综合法和分析法。
综合的方法是局限于所考虑的特定图形，能从图形上得到简单的、直观上明显的证明和结论，就是人们常说的“纯几何法”。
解析的方法是通过齐次坐标去解决问题，使得在欧氏平面上增加的无穷远元素可以坐标化，从而为射影几何的解析探讨提供了完善的工具；相应地引入各种射影变换、极点、极线等概念，尤其是从一维向高维的过渡更显得自然与流畅，得到的结果更具有普遍性。
分析法建立在代数学的基础上，因此本课程学习，还需要一定的《高等代数》基础知识，如方程组理论等等。
后续课程：微分几何、几何学续论等。
学习本课程相关参考资料1.朱德祥、朱维宗，高等几何（第二版），高等教育出版社，2009年6月.2.梅向明，高等几何（第二版），高等教育出版社，2009年4月.3.梅向明，高等几何学习指导与习题选解（第二版），高等教育出版社，2009年4月.4.王敬庚、傅若男，高等几何，北京师范大学出版社，1994年2月.5.李文铭、罗增儒、赵临龙等，初等几何教学基础（第二版），陕西科技出版社，2008年6月.3、本课程学习的课时安排课程安排在第五学期，周3学时，共48课时。
具体安排如下：第一章仿射几何学的基本概念（6课时）1.1 平行射影与仿射对应；1.2 仿射不变性与不变量；1.3 平面到自身的透视仿射；1.4平面内的一般仿射；1.5 仿射变换的代数表示；第一章习题。
第二章欧氏平面的拓广（4课时）2.1 中心投影(透视)与理想元素；2.2 齐次坐标；2.3 对偶原理；2.4 复元素；第二章习题。
第三章一维射影几何学（8课时）3.1 平面内的一维基本图形：点列和线束；3.2 点列的交比；3.3 线束的交比；3.4 一维射影对应；3.5 透视对应；3.6 对合对应；第三章习题。
第四章德萨格定理、四点形与四线形（4课时）4.1 德萨格三角形定理；4.2 完全四点(角)形与完全四线(边)形；4.3 帕普斯定理；第四章习题。
第五章射影坐标系和射影变换（12课时）5.1 一维射影坐标系；5.2 平面内的射影坐标系；5.3 射影坐标的特例；5.4 坐标转换；5.5 射影变换；5.6 二维射影几何基本定理；5.7 射影变换的二重元素(或固定元素)；5.8 射影变换的特例；5.9 变换群；5.10 变换群的例证；5.11 变换群与几何学；第五章习题。
第六章二次曲线的射影性质（8课时）6.1 二阶曲线与二级曲线；6.2 二次曲线的射影定义；6.3 帕斯卡与布利安双定理；6.4 关于二次曲线的极与极线；6.5 配极对应；6.6 二次曲线的射影分类；6.7 二次曲线束及其在解联立方程方面的应用；第六章习题。
第七章二次曲线的仿射性质（4课时）7.1 二次曲线的中心和直径；7.2 二次曲线的渐近线；7.3 二次曲线的仿射分类；7.4 例题；第七章习题。
第八章二次曲线的度量性质（2课时）8.1 圆点；8.2 主轴与焦点；第八章习题。
第二节课程主要内容简介1．仿射几何学：主要介绍透视仿射对应和仿射对应及其不变量体系。
（1）以平行投影为基础，建立平面仿射对应和仿射变换，研究平面仿射的性质及其决定条件。
（2）建立了仿射坐标系，导出仿射变换的代数式，讨论了仿射变换下的不变元素（不变点、不变线）。
（3）指出图形在仿射变换下不变的性质是仿射性质，并利用图形的仿射性质解决某些初等几何命题。
2．射影平面：主要介绍中心投影、笛沙格定理、齐次坐标和对偶原理。
（1）通过增加“无穷元素”，建立中心投影概念，将仿射平面拓广到射影平面，揭示欧氏几何、仿射几何、射影几何的关系。
（2）引入齐次坐标，将欧氏几何的普通元素（有限点、线）和无穷元素（无穷点、线）统一起来，形成完整的射影几何平面。
（3）利用对偶原理，揭示了点几何与线几何的内在联系，并且利用对偶原理，给出许多对偶命题，大大简化知识学习的量。
如利用笛沙格定理和笛沙格逆定理的对偶命题关系，可用来解决共点线、共线点的对偶问题。
（4）引进复元素，使射影平面再一次得到扩充，为研究射影平面图形的某些性质提供了保证。
3．一维射影对应：主要介绍一维射影对应、对合、射影坐标系。
（1）给出射影对应的条件：交比不变，并利用调和点列（交比值为-1的点列）的几何模型：完全四边形的调和性，简明扼要地解决初等几何问题。
（2）在二维射影几何中，用代数方法，给出射影变换的射影坐标变换形式。
如射影平面点到点的对应变换：x′1＝a11x1+a12x2+a13x3x′2＝a21x1+a22x2+a23x3x′3=a31x1+a32x2+a33x3其中系数aij是实数，系数行列式不等于零。
此关系式不仅揭示了射影几何包括仿射几何，仿射几何包括欧氏几何的关系，更重要是此变换式，还是研二次曲线度量性质的重要基础。
4．变换群与几何学：主要介绍克莱因的通过变换群对几何学进行分类的思想。
克莱因的“几何不变群”观点，揭示了几何的内在关系：射影几何变换群﹞仿射几何变换群﹞欧氏几何变换群，利用整体上，充分认识几何的结构和规律。