一年级奥数：图形的整体与部分讲解2013
一年级奥数基础题型-图形分与合教学教材
一年级奥数基础题型-图形分与合图形分与合把一个几何图形按照某种要求分成几何图形，就叫做图形的分割。
反过来，按照一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼合，在日常生活和生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的问题。
当你感到分割或拼合图形有困难时，请记住：最好的方法是动画一画，剪一剪，拼一拼。
典型例题例[1]把一个正方形分成形状，大小相等的4份，该怎样分呢？分析把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。
另外，还要考虑把图形分成形状，大小相同的不规则图形，而这些不规则的部分又要恰好能拼合为原图。
解例[2] 如下图，把一块地分给4个小组种植，形状大小要相同（每一块有相同的点数），怎么分？分析图中共有20个点子，把它分成形状大小相同的4块时，每块应有5个点子。
每一竖行最多有4个点子，而最右端的4个点子又是呈正方形排列的，因此，可以想到选择含有4个呈正方形点子，另加1个点子的图形作为单位进行分割。
解例[3]下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎样拼？分析这副拼板共有25个小正方形，如果能拼成一个大正方形，那么这个大正方形每边就有5个小正方形。
根据图形的凹凸情况，可以考虑把①和③拼在一起；再根据凹凸情况，依次拼上④、⑤、②。
解例[4]从上面6块图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚线表示出拼的方法，并标上所选图形的编号。
分析在给出的6块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形，再结合要拼成图形的形状、大小来选取小图形拼合。
解例[5]你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的3个、4个、6个、8个、9个、12个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。
分析等边三角形是一个轴对称的图形，它的3条边都相等，因此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。
解分法见下图(分法不唯一)小结无论是图形的分割还是拼合，都要结合所提供图形的特点来思考。
小学数学竞赛二、图形中的部分与整体
二、图形中的部分与整体同学们，你们先观察一下图1.这是两个面积相等的长方形，你能看出图中阴影部分的面积A与B的大小关系吗？根据三角形的面积公式，图1（a）中的阴影部分面积：A=底×高÷2=长方形的宽×长方形的长÷2=长方形面积的一半同理，图1（b）中的阴影部分面积B也为长方形面积的一半.因为这两个长方形的面积是相等的，所以阴影部分的面积A与B也是相等的.这里，我们是通过观察整体之间的面积关系而得到局部面积之间的关系，所利用的就是长方形这个整体与三角形这个部分之间的关系.类似于这样的问题，在计算几何图形的面积时经常遇到.例1计算图2中阴影部分的面积占长方形总面积的几分之几？分析与解图中ABCD是一个矩形，阴影部分是一个梯形，很明显，只要根据图形中反映出来的数量关系，分别求出它们的面积各是多少，就可知阴影部分（梯形）的面积占总面积（长方形）的几分之几了.由于梯形的面积可以有几种不同的求法，所以该题有几种不同的解法.首先，从图2中看到，长方形的长AD等于4个长度单位，宽AB等于2个长度单位，所以长方形面积=4×2=8（面积单位）阴影梯形EBDG面积=三角形ABD面积-三角形AEG面积=AD×AB÷2-AG×AE÷2=4×2÷2-2×1÷2=4-1=3（面积单位）另外，从图2中看到长方形ABCD被直线EF、GH分成了4个面积相等的小长方形AEOG、EBHO、GOFD、OHCF，每个小长方形的面积占总面积（长例2有5个正方形（如图3），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米.问白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？分析与解根据已知条件，先计算白色部分面积较为简单.白色部分面积=（4×4-3×3）+（2×2-1×1）=10（平方米）从而阴影部分面积为（5×5-10=）15平方米.另外，先作正方形对角线AC和BD，两条对角线相交于O，两条对角线把正方形平均分成4份，如图4.根据图形的对称性，不难看出，要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比，只须计算三角形ABO中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了.为此，可以把图4的三角形AOB，看成是由小梯形组成的，其中最靠近正方形中心的小阴影三角形也可看作是上底为O的梯形.因为这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之比就是这些梯形的上、下底和之比，从小到大5个梯形面积之比为：（0+1）∶（1+2）∶（2+3）∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9因此白色部分面积与阴影部分面积的比是：（3+7）∶（1+5+9）=2∶3所以大正方形内白色部分面积与阴影部分面积之比是2∶3.例3把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形.再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图5所示的图形.如果所作的最小的三角形面积为1，求整个图形的面积.分析与解将图5变形得图6，题目中共出现了大、中、小三种规格的正三角形（如图6所示）.现以最小的正三角形为1份对图6进行分割，就可以看出它共包含了多少份.对图6分割后得图7.从图7中看出，一个大正三角形可分成9个中正三角形；一个中正三角形又可分成9个小正三角形.所以一个大正三角形中含有（9×9=）81个小正三角形.在图6中，除了一个大正三角形外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中含有81+3×9+12=120（个）小正三角形，也就是说它的面积为120.例4把大正三角形每边八等分，组成图8所示的三角形网.如果每个小三角形面积都是1，求图中粗线所围成的三角形的面积.分析与解直接计算三角形的面积较为困难，我们可以将三角形分割成几个容易计算的图形，每个分割的图形面积求出来了，图形的总面积也就知道了.因此先将要计算面积的三角形划分成如图9所示的甲、乙、丙、丁四个三角形.因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，所以，三角形甲是一个面积为8（由8个小三角形拼成）的平行四边形的一半，因此它的面积为4.三角形乙是一个面积为16的平行四边形的一半，它的面积为8.三角形丙是一个面积为10的平行四边形的一半，它的面积为5.三角形丁由9个小三角形拼成，它的面积为9.因此，所求三角形面积为（4+8+5+9=）26.粗线围成的三角形也可看成是一个梯形去掉三个三角形而得到的，如图10.因此，所求三角形面积=（3+5+7+9+11+13）-8÷2-24÷2-12÷2=48-4-12-6=26通过上面几个例题可以看出，计算一个几何图形的面积，如果直接计算有困难时，可以考虑将所求图形分割成几个小的容易计算的图形.有时也可以把所求图形看成是某个大的图形去掉几个小的图形而得到的图形.这种思想方法实际上就是几何图形的分割移补方法.。
奥数讲座(1年级-下)(17讲)
一年级奥数讲座（二）目录第一讲认识图形（一）第二讲认识图形（二）第三讲认识图形（三）第四讲数一数（一）第五讲数一数（二）第六讲动手画画第七讲摆摆看看第八讲做做想想第九讲区分图形第十讲立体平面展开第十一讲做立体模型第十二讲图形的整体与部分第十三讲折叠描痕法第十四讲多个图形的组拼第十五讲一个图形的等积变换第十六讲一个图形的等份分划第十七讲发现图形的变化规律第一讲认识图形（一）1．这叫什么？这叫“点”。
用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。
点在纸上占一个位置。
2．这叫什么？这叫“线段”。
沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。
线段有两个端点。
3．这叫什么？这叫“射线”。
从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。
射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。
4．这叫什么？这叫“直线”。
沿着直尺用笔可以画出直线。
直线没有端点，可以向两边无限延伸。
5．这两条直线相交。
两条直线相交，只有一个交点。
6．这两条直线平行。
两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。
7．这叫什么？这叫“角”。
角是由从一点引出的两条射线构成的。
这点叫角的顶点，射线叫角的边。
角分锐角、直角和钝角三种。
直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。
教室里天花板上的角都是直角。
锐角比直角小，钝角比直角大。
习题一看看想想1．点（1）看，这些点排列得多好！（2）看，这个带箭头的线上画了点。
2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！（1）一根小棍。
可以横着摆，也可以竖着摆。
（2）两根小棍。
可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。
（3）三根小棍。
可以像下面这样摆。
3．两条直线哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？4．你能在自己的周围发现这样的角吗？第二讲认识图形（二）一、认识三角形1．这叫“三角形”。
三角形有三条边，三个角，三个顶点。
2．这叫“直角三角形”。
直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。
一年级图形拼组教材解读
第三单元《图形的拼组》教材解读金风四小郑晓燕单元教材解读这部分内容是在上学期“认识物体和图形”的基础上教学的，通过上学期的学习学生已经能够辨认和区分所学的平面图形（长方形、正方形、三角形、圆）和立体图形（长方体、正方体、球、圆柱）了，这里主要是通过一些操作活动，让学生初步体会长方形、正方形、三角形、圆的一些特征，如，知道正方形的四条边都相等，长方形的对边相等，三角形由三条边组成等。
并感知平面图形间和立体图形间以及平面图形与立体图形间的一些关系。
教学知识点1、体会平面图形的特征2、感知平面图形之间的关系3、感知立体图形之间的关系教学目标1．通过操作活动，使学生体会所学平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形、正方形边的特征。
2．通过观察、操作，使学生初步感知所学图形之间的关系。
教学重、难点1、体会平面图形的特征；感知平面图形之间的关系2、感知立体图形之间的关系教学建议本单元教学的关键是把握好教学目标，既不能在上学期的基础上简单重复，又不能拔高教学要求。
上学期在认识物体和图形时，也有拼摆，但那时只是用所学的形状拼搭一些有趣的图案和事物，使学生加深对所学图形的认识，从中感受数学学习的乐趣，同时体会图形的显著特征。
如，知道球、圆柱容易滚动，长方体、正方体不容易滚动等。
而本单元“图形的拼组”目的是让学生通过摆、拼、剪等活动，体会平面图形的一些特征，并感知平面图形间和立体图形间以及平面图形与立体图形间的关系。
这部分内容安排了3个例题，例1让学生体会平面图形的特征，例2感知平面图形的关系，例3通过拼搭活动，感知立体图形的关系。
一．平面图形的特征。
例1：是一个做风车的手工活动。
活动开始时，先拿出一张长方形纸和正方形纸，让学生沿所标虚线折一折或自己通过活动，体会长方形、正方形边的特征，从而了解到：长方形的对边相等，正方形的四条边都相等。
在此基础上，带着学生用一张长方形纸做出一个风车（见下图）。
在这个过程中，学生既体会了平面图形的特征又看到了它们之间的关系。
小学奥数技巧.03.解几何题技巧附答案
学习奥数的重要性1. 学习奥数是一种很好的思维训练。
奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。
通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。
2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。
奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。
所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助3. 为中学学好数理化打下基础。
等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。
如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。
小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。
4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。
大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。
我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。
（三）解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
一年级奥数 第二讲 长方形、正方形、三角形和圆
第二讲 长方形、正方形、三角形和圆数学书的面、课桌的面、黑板的面都是长方形。
形状如下图。
长方形是由四条线段连接起来的。
这四条线段就是长方形的四条边。
用折纸的办法就会发现，长方形相对的边一样长。
长方形长边的长度叫做长方形的“长”，短边的长度叫做长方形的“宽”。
长方形有四个角，用三角板的直角去量，就会知道，长方形的四个角都是直角。
长方形有四条边，对边相等；长方形有四个角，都是直角。
四条边都相等的长方形叫做正方形。
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
动一动手，用折纸的办法，把长方形剪成正方形。
三角板的面是三角形。
如下图。
三角形是由三条线段连接成的，这三条线段就是三角形的三条边。
在一个三角形中，若有两条边相等，这个三角形就叫做等腰三角形。
上面图中图（2）就是等腰三角形。
三角形有三个角。
在一个三角形中，若有一个角是直角，这个三角形就叫做直角三角形。
图中两个三角形都是直角三角形。
上面图中图（2）不但是等腰三角形，而且是直角三角形，因此这个三角形就叫做等腰直角三角形。
看一看，下面实物中圆的图形。
请你把硬币放在纸上，用左手按住不动，右手拿笔，沿硬币的边画一周，就画出一个圆。
你还可以用圆糖盒等有圆图形的物体，照样描画出圆。
画圆有专门的工具——圆规。
图中，点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。
圆心O不动，半径越长画出的圆就越大。
图中（2）画出以O为圆心的三个同心圆。
例1 说出下图中每个图的名称。
〔解〕在图中，（1）、（2）是长方形；（3）、（6）是正方形；（4）、（8）是直角三角形；（5）、（10）是折线；（7）、（8）是等腰三角形；（8）还是等腰直角三角形；（9）是圆；（11）是三角形；（12）是线段。
例2 数一数，下图中图（1）有几个正方形？图（2）有几个长方形？〔解〕图（1）有4个小正方形，一个大正方形。
共有五个正方形。
图（2）有4个小的长方形，4个中的长方形，一个大的长方形。
共有9个长方形。
例3 仔细数一数，右图中有几个正方形？有几个等腰直角三角形？〔解〕图中有两个正方形。
小学奥数知识课堂详细讲解~第八讲~图形分与合
图形分与合把一个几何图形按照某种要求分成几何图形，就叫做图形的分割。
反过来，按照一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼合，在日常生活和生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的问题。
当你感到分割或拼合图形有困难时，请记住：最好的方法是动画一画，剪一剪，拼一拼。
典型例题例[1]把一个正方形分成形状，大小相等的4份，该怎样分呢？分析把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。
另外，还要考虑把图形分成形状，大小相同的不规则图形，而这些不规则的部分又要恰好能拼合为原图。
解例[2] 如下图，把一块地分给4个小组种植，形状大小要相同（每一块有相同的点数），怎么分？分析图中共有20个点子，把它分成形状大小相同的4块时，每块应有5个点子。
每一竖行最多有4个点子，而最右端的4个点子又是呈正方形排列的，因此，可以想到选择含有4个呈正方形点子，另加1个点子的图形作为单位进行分割。
解例[3]下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎样拼？分析这副拼板共有25个小正方形，如果能拼成一个大正方形，那么这个大正方形每边就有5个小正方形。
根据图形的凹凸情况，可以考虑把①和③拼在一起；再根据凹凸情况，依次拼上④、⑤、②。
解例[4]从上面6块图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚线表示出拼的方法，并标上所选图形的编号。
分析在给出的6块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形，再结合要拼成图形的形状、大小来选取小图形拼合。
解例[5]你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的3个、4个、6个、8个、9个、12个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。
分析等边三角形是一个轴对称的图形，它的3条边都相等，因此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。
解分法见下图(分法不唯一)小结无论是图形的分割还是拼合，都要结合所提供图形的特点来思考。
小学奥数技巧.03.解几何题技巧附答案
学习奥数的重要性1. 学习奥数是一种很好的思维训练。
奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。
通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。
2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。
奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。
所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助3. 为中学学好数理化打下基础。
等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。
如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。
小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。
4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。
大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。
我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。
（三）解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图）中正方形面积为72平方厘米，求右图（）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。