人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案
人教版高中数学选修2-1空间向量的数量积导学案
3.1.3 空间向量的数目积【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量夹角和模的观点及表示方法；2.掌握两个向量的数目积的计算方法，并能利用两个向量的数目积解决立体几何中的一些简单问题．3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点】利用两个向量的数目积解决立体几何中的问题．【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1 预习教材P90~ P92, 解决以下问题复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数目积？复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB BC .2.导学纲要1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a, b ，在空间，作OA a, OB b.，则 AOB 叫做向量 a 与b的夹角，记作⑴范围:a,ba, b =0 时 , a 与 b; a,b =π时 , a 与 b⑵a, bb , a 成立吗？⑶a, b，则称 a 与b相互垂直，记作.2) 向量的数目积：已知向量 a, b ，则叫做a, b的数量积，记作 a b ，即a b.⑴ 两个向量的数目积是数目仍是向量？⑵0 a（选0仍是0）⑶你能说出 a b 的几何意义吗？3)空间向量数目积的性质：（ 1）设单位向量 e ，则a e| a | cos a, e．（ 2） a b a b．（ 3）a a＝.（ 4） cos a ,b=____________4)空间向量数目积知足哪些运算律：_____________________________⑴（a b) c a (b c) 吗？举例说明.⑵若 a b a c ，则b c 吗？为何?⑶若 a b0 ，则a0 或b0 吗？为何？5)对空间的随意愿量a，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要___个向量？这几个向量有何地点关系？⑴ 空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、 3 a3 ，使 a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解叫空间向量的___________.(2) 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底 a, b, c 都叫做 __________. 空间随意一个向量的基底有个 .一个基底能够表示_____个空间向量？(3) 假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，往常用_________表示 .⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i、j 、 k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j zk，则称有序实数组{ x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1, a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴ a＋ b＝_________________；⑵ a－ b＝_________________；⑶ λa＝__________________; (R) ；⑷a· b＝_____________________.6)试用向量方法证明直线与平面垂直的判判定理二、典型例题例 1.1.以下命题中：①若 a b0 ，则 a ， b 中起码一个为 0②若 a 0 且 a b a c ，则 b c③ (a b) c a(b c)④ (3a2b)(3a22 2b) 9 a 4 b正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个2. 已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下边向量中与2e2e1垂直3的是（）A.e1e2B.e1e2C.e1D.e23.若 a,b,c 为空间向量的一组基底，则以下各项中，能组成基底的是（）A. a, a b,a bB.b, a b, a bC.c, a b, a bD.a2b, a b, a b4.设 i、 j、k 为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且 AB i j k ，则点 B 的坐标是5.已知ABC 中，A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 a 3,b 1 , C 30,则 BC CA =6.在三棱锥OABC中， G 是ABC的重心（三条中线的交点），选用OA,OB ,OC 为基底，试用基底表示OG ＝7.已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，当a b 与 a b 的夹角是锐角时，的取值范围是.8.正方体 ABCD A'B'C'D' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向成立空间直角坐标系， E 为 BB1中点，则 E 的坐标是.9.已知向量a,b 知足a 4 ， b 2 ， a b3，则 a b____10.已知对于x 的方程 x2t 2 x t 23t50 有两个实根， c a tb ，且 a1,1,3 , b 1,0, 2 ，当 t＝时， c 的模获得最大值 .例 2如图，在空间四边形ABCD 中，AB 2 ，BC3，BD 2 3，CD 3 ，DABD30 ， ABC 60，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值A CB变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C1中，若AB = 2 BB 1,则 AB 1与 C1 B 所成的角为（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例 3 如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60°角，求 B、 D 间的距离．→→→例 4 在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，－ *6] ·OC＝a，AD＝b，AA′＝c，P是 CA′的中点， M 是 CD′的中点， N 是 C′D′的中点，点Q 是 CA′上的点，且 CQ∶ QA′＝ 4∶ 1，用基底 { a，b，c} 表示以下向量：（1）AP；→；(2)AM(3) AN；→(4)AQ.三、变式训练：课本第92 页练习1-3，94页练习1-3题四、讲堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后稳固1.课本第 98 页 A 组 3、4 题2.已知空间四边形ABCD 中，AB CD ，AC BD ，求证：AD BC .DA CB3.已知 a, b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b, a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是1,2,3 ，求 p 在 a b, a b, c 的坐标 .。
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 3.1.3空间向量的数量积运算学生版
3.1.3 空间向量的数量积运算【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．【学习过程】一、自主学习知识点一 空间向量数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .(2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ) 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c①定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．②范围：〈a ，b 〉∈[0，π]．特别地：当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b . 知识点二 空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0②若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |；若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |④|a ·b |≤|a |·|b |问题1 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA →与BC →的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．探究点1 空间向量的数量积运算例1 已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED →1；(2)BF →·AB →1；(3)EF →·FC →1.探究点2 利用数量积求夹角例2 BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角．探究点3 利用数量积求距离例3 如图所示，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．三、当堂测试1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们互不共线，有下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2.已知正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D →′〉等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1444．已知a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1、e 2分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为________．5．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。
人教版选修2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算导学案
《空间向量的数量积运算》导学案制作人王维审核高二数学组2016-02-29【学习目标】1、理解空间向量夹角的概念及表示方法；2、理解空间向量数量积的概念、运算性质及运算律；3、通过探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题与解决问题的能力.【学习重点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律【学习难点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律的运用【问题探究】探究活动一：两空间向量的夹角探究活动二：空间向量的数量积探究活动三：空间两个向量的数量积的性质探究活动四：空间向量的数量积满足的运算律【预习导航】1、复习回顾：平面向量的数量积运算2、如何进行空间向量的数量积运算？【思考】如何运用空间向量的数量积运算处理有关问题？1•【应用训练】【练习题】1、在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 ,那1、向量a 、b 之间的夹角为30 0，且a = 3 ，b = 4 ，则么它也和这条斜线垂直.a •b = __________， a 2 = __________， b 2= __________，（a + 2b ） (a - b ) = __________.2、已知 a = 2 2夹角.， b =22 ，a • b = 2 ，试求向量 a 与 b的【总结概括】2 、已知l ⊥ n ，m ， n 是平面α求证：l ⊥α.内的两条相交直线，若l ⊥ m ，本节课的收获：【分层作业】 必做题：教材第 98 页习题 第 3,4 题选做题：同步练习册课后作业提升习题2。
高二数学 (新课标人教A版)选修2-1《3.1.3.空间向量的数量积(1)》教案
向量的数量积（2）一、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：① 设<,a b r r >=θ,则a b =r r g （θ的范围为 ）②设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r 则a b =r r g 。
注：①a b r r g 不能写成ab r r ，或a b ⨯r r ②a b r r g 的结果为一个数值。
2）投影：b r 在a r 方向上的投影为 。
3）向量数量积运算律：①a b b a =r r r r gg ②()()()a b a b a b λλλ==r r r r r r g g g ③()a b c a c b c +=+r r r r r r r g g g 注：①没有结合律()()a b c a b c =r r r r r r g g g g二）例题讲练1、下列命题：①若0a b =r r g ，则a r ，b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c =r r r r g g ，则b c =r r③()()a b c a b c =r r r r r r g g g g ④22(32)(32)94a b a b a b +-=-r r r r r r g中正确有个数为 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且a=3,b=1,C=30°,则BC CA u u u r u u u r g = 。
3、若a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且3,1,4a b c ===r r r ，则a b b c a c ++r r r r r r g g g = 。
4、已知2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +r r 在a r 上的投影为 。
考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点：①0a b a b ⊥⇔=r r r r g （用于判定垂直问题）②a =r （用于求模运算问题） ③cos a b a bθ=r r g r r （用于求角运算问题） 二）例题讲练1、已知2a =r ，3b =r ，且a r 与b r 的夹角为2π，32c a b =+r r r ，d ma b =-u r r r ，求当m 为何值时c d ⊥r u r2、已知1a =r ，1b =r ，323a b -=r r ，则3a b +=r r 。
2020年数学选修2-1人教A全册教案导学案--3.1.3空间向量的数量积
3. 1.3．空间向量的数量积教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．4．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）．5．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）．（三）例题分析： 例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：．证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使， ∴，又∵，,a b r r O ,OA a OB b ==u u u r u u u r r r AOB ∠arb r ,a b <>r r 0,a b π≤<>≤r r ,,a b b a <>=<>rr r r ,2a b π<>=r r a r b r a b ⊥rr OA a =u u u r r OA u u u r a r ||a r ,a b r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r ,a b rr a b ⋅r r a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r rr r AB a =u u u r r l e rl l A l A 'B l B 'A B ''u u u u rAB u u u r l e rA B ''u u u u r ||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅u u u u r u u u r r r r r ||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r 2||a a a =⋅r r r ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r ra b b a ⋅=⋅r r r r()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r,m n αl αB ,l m l n ⊥⊥l α⊥α,m n g ,,,l m n g ,,,l m n g r r r r,m n ,m n r r(,)x y g xm yn =+r r rl g xl m yl n ⋅=⋅+⋅r r r r r r 0,0l m l n ⋅=⋅=r r r rl m n m ng g l∴，∴，∴，所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．例2．已知空间四边形中，，，求证：．证明：（法一）．（法二）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，， ∴， ∴，∴，即．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案
第三章第3课时 空间向量的数量积运算学习目标：1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2、 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及简单应用。
3、体会空间问题平面化的数学思想。
预习案一、 教材助读，知识归纳：1、两个向量的夹角：平面向量的夹角定义：b a 两个非零向量，，O 在平面任取一点，OA=OB=b a 作，，b AOB a Ð则叫作，的夹角.取值范围：空间向量的夹角定义：取值范围：<a ®,b ®>=0时，a ®与b ®的方向 ；<a ®,b ®>= 时，a ®与b ®的方向 。
特别地：如果<a ®,b ®>= 则称a ®与b ®互相垂直，并记作 。
思考：对于空间任意两个非零向量a 、b，如何求出其夹角？2.两个向量的数量积平面向量的数量积b b cos b b a a a a 已知两个非零向量，，则，叫做，的数量积.空间向量的数量积变形式：cos<a ®,b ®>= 。
特别地：①零向量与任何向量的数量积为0，即0a ×=0 ②a a × =cos ,a a a a 狁= |a ®|2③0a b a b ^圩=3、空间向量数量积的运算律：①()a b l ×= （数乘的结合律） ②a b ?（交换律)③()a b c ?=（分配律）反馈练练习：1. 已知|a |=22，22b = ，a b × =-2，则a ，b 所夹的角为 。
2.判断正误1）0,=0=0.a b a b ?若则， （ ） 2）()()a b c a b c 鬃=鬃（ ） 3）()222p qp q ? （ ） 课堂探究案二、例题讲解，合作探究： 探究1.问题解决夹角问题例1.如图，在空间四边形ABCD 中，AC=3，AD=23，AB=2，CD=3，BAD=30AC=60B 邪邪，，（1）AD DC AC用、表示。
人教课标版高中数学选修2-1《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。
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第三章第3课时 空间向量的数量积运算
学习目标：
1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法；
2、
掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。
课前预习案
一、 教材助读，知识归纳： 1、两个向量的夹角：
夹角的形成：角AOB ∠叫做向量→
a 与→
b 的夹角，记作：<→
a ,→
b >。
夹角的范围： ≤ <→
a ,→
b > ≤ 。
<→a ,→b >=0时，→a 与→
b 的方向 ；<→
a ,→
b >=π时，→
a 与→
b 的方向 。
特别地：如果<→
a ,→
b >= 则称→
a 与→
b 互相垂直，并记作 。
2、两个向量的数量积
（1）||,,→
=a a OA a OA 记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段
设 （2）已知空间两个非零向量→
a ,→
b ，则〉〈→
→
b a b a ,cos ||||叫做→a ,→
b 的数量积 记作b a ⋅，即：b a ⋅= 。
变形式：cos<→
a ,→
b >= 。
特别地：①零向量与任何向量的数量积为0，即a ⋅0=0 ②a a ⋅=
=〉〈a a a a ,cos |→
a |2
③0=⋅⇔⊥b a b a
3、空间向量数量积的运算律：
①b a ⋅)(λ= （数乘的结合律） ②=⋅b a (交换律)
③
=+⋅)(c b a （分配率）
课堂探究案
一、 例题讲解，合作探究： 探究1，问题解决 垂直问题
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理）
如图，已知PO ，PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，α⊂l ，且OA l ⊥，求证：PA l ⊥。
变式练习1如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 a ，用向量法证明AB ⊥OC 。
.
探究2，问题解决长度问题
已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°，求对角线AC 1的长。
A
A 1
C D
B 1
C 1
D 1
A ⋅l
A αP ⋅
O a
b
B
O
a
b
- 2 -
变式练习2在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AB=4，AD=3，AA 1=5，BAD ∠=90o ，
1BAA ∠=1DAA ∠=60o ，求AC 1的长。
探究3，问题解决 夹角问题
已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB=2，CD=1，求a 、b 所成的角。
二、 知识再现，归纳总结
1空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质． 2两向量数量积的应用： ①利用|→
a |
2
＝→a ·→a （也就是|→
a |=→
→⋅a a ），求解有关线段的长度问题．
②利用→a ⊥→
b ⇔b a ⋅＝0判断两直线的垂直问题(→
a ,→
b 为非零向量)． ③利用cos<→
a ,→
b >=
|
|||→
→→
→⋅b a b
a ，求解有关两直线的夹角问题．
课后练习案
1、已知|a |=2，|b |=3，<→a ,→
b >=60o
，则b a ⋅= |→a -2→
b |= 。
2、已知|a |=22，|b |=2
2
，b a ⋅=-2，则a ，b 所夹的角为 。
3、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，
则AB 1与C 1B 所成角的大小为多少度？
4、线段AB ，BD 在平面
α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥
α，且AB=a,BD=b,AC=c,求C ，D 间的距离。
A C 1
C 1
B A A 1
B 1
C。