《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第四章
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章
1、试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。
答：一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。
同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。
围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。
其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。
因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。
研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。
但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。
一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。
一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。
同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。
围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。
其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。
因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。
首先，肯定数学和逻辑的同一性。
这是因为：(1)数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；(2) 数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；(3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应用逻辑。
高等数学习题答案第四章
高等数学习题答案第四章高等数学学习题答案第四章第四章是高等数学中的一块重要内容，主要涉及到微分和积分的应用。
这一章的学习题难度适中，但需要对基本的微积分概念和公式有一定的掌握。
下面将为大家提供第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4f'(x) = 3x^2 - 4x + 3(2) g(x) = sin(x) + cos(x)g'(x) = cos(x) - sin(x)(3) h(x) = e^x + ln(x)h'(x) = e^x + 1/x(4) k(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 8k'(x) = 6x^2 + 8x - 62. 计算下列函数的不定积分：(1) F(x) = 2x^2 - 3x + 4∫F(x)dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 4x + C(2) G(x) = sin(x) + cos(x)∫G(x)dx = -cos(x) + sin(x) + C(3) H(x) = e^x + ln(x)∫H(x)dx = e^x + xln(x) - x + C(4) K(x) = 3x^2 + 4x - 6∫K(x)dx = x^3 + 2x^2 - 6x + C 3. 计算下列定积分：(1) ∫(0 to π) sin(x)dx= [-cos(x)](0 to π)= -cos(π) - (-cos(0))= 2(2) ∫(0 to 1) x^2dx= [x^3/3](0 to 1)= 1/3(3) ∫(1 to e) 1/xdx= ln(x)(1 to e)= ln(e) - ln(1)= 1(4) ∫(0 to 2π) cos(x)dx= [sin(x)](0 to 2π)= sin(2π) - sin(0)= 04. 求下列函数的极限：(1) lim(x→0) (sin(x)/x)= 1(2) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x= e(3) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)= 2(4) lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2= 1/2以上是第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
数学史答案
一、刘徽在数学上的贡献刘徽在数学上的贡献，主要在其《九章算术注》一书。
《隋书》卷16《律历上》载：“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。
是知《九章算术注》完成于景元四年（263年）。
《隋书》卷34《经籍志三》有《九章算术》十卷、《九章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。
后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。
刘徽这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位。
今述其主要贡献如下：1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。
刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。
刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。
刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。
他算到正192边形时，求得圆周率为3.14的近似值。
他又用几何方法把它化为。
后人即将3.14或叫作“徽率”。
2.关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。
刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。
很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。
刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。
3.十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，刘徽建立了十进分数制。
他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。
数学史试题参考答案
数学史试题参考答案数学史试题参考答案《数学史》试题参考答案一、填空1、泥版文书代数2、刘徽秦九韶3、花拉子米一元二次方程的一般代数解法4、斐波那契算经5、牛顿《流数简论》6、瑞士法国学派7、第五公设罗巴切夫斯基8、变量数学解析几何的发明二、选择A B B D C D A B D C三、简答1、解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。
很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。
但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。
笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。
2、《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有246道题。
每道问题后给以答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。
通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法，它具有如下的特点。
（1）开放的归纳体系（2）算法化的内容（3）模型化的方法3、一个正方体用它的两个中心轴线互相垂直的内切圆柱贯穿，所得到的相贯体；它是公元3世纪的刘徽在注“开立圆术”时提出的概念，并认识到它与其内切球的体积之比为 4 ：，但是不会计算它的体积；6世纪的祖暅用“缘幂势既同，则积不容异”的`原理，求出了它的体积，进而求出了球体积。
4、两个整数a和b，若a是b的因数之和而且b是a的因数之和，则a和 b 互称为亲和数。
如220和284互为亲和数。
五、论述题答：欧几里得《几何原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。
它最大的功绩是第一次把数学用公理的形式表现了出来。
所谓公理和公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。
一门学科如果被表示成公理的形式，即么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。
数学史朱家生版课后题目参考答案第
1.数学的起源于世界xxxx产生的关系11数本（1）班郭奇2011041047“数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。
“数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。
例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。
大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。
然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。
相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。
马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。
当然，这个也只不过是个传说罢了。
数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。
但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。
远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。
后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。
在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。
人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐步发展到现在我们所用的数字。
图形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。
从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。
欧几里得说过“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。
”他的算术来自于普通常识中的非负整数。
而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。
因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。
随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。
【精品】高等数学线性代数习题答案第四章
习题4—11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66］上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′（ξ)=0.解：显然()lnsin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导，且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件。
令cos ()cot 0sin x f x x x '===，则π2x = 即存在ππ5π(,)66ξα=∈，使()0f ξ'=成立。
2。
下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ？[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解:(1）2()1e x f x =-在[]1,1-上连续，在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=-即(1)(1)f f -=() f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件。
令2()20e x f x x '==得0x =，即存在0(1,1)ξ=∈-，使()0f ξ'=。
(2)101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续，又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续，而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续，在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)() f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导，从而()f x 在(0,2)内不可导。
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数学史答案四、简答题1、阿基⽶德在数学上的主要贡献：（1）研究⼤数：《沙粒计算》填满宇宙的沙粒数相当于，他还曾⽤过相当于的⼤数。
（2）⼏何学⽅⾯：发现⼤量⽴体体积公式。
（3）数学⽅法论⽅⾯：他曾⽤“原⼦法”和“穷竭法”计算⾯积和体积；他⾸创⽤“平衡法”证明数学问题（如证明球体积公式）；他还⽤“积分”求和法求⾯积和体积；他通过引⼊特征三⾓形找到求曲线的⼀般⽅法；他把求极值问题归结为求切线问题；他还采⽤类似现在的“插值法”计算螺线长度。
他的这些思想⽅法使他成为微积分的先躯。
后来微积分开创者的许多思想都源于阿基⽶德。
阿基⽶德数学研究的主要特点：①注重联系实际，将数学与⼒学、物理学等实际问题结合；②注重⽅法论，其⽅法中体现了数学思想的深度；③注重论述的精确性、严谨性，成为他那个时代的典范。
2、刘徽的主要数学贡献：（1）算术⽅⾯：①⾸次使⽤⼗进⼩数;②完善齐同术;③其它：刘徽明确提出分数的基本性质：“法实俱长，意亦等也”；他对求最⼤公约数的⽅法进⾏了理论说明；对化带分数为假分数的⽅法进⼀步明确；他还研究了各种⽐例算法。
（2）代数⽅⾯：①⾸次给出正负数定义、记法及性质;②改进解线性⽅程组的“直除法”;③提出解⽅程组的新⽅法;④研究等差数列，并给出求和公式。
（3）⼏何⽅⾯：①提出“割圆术”;②开始⼏何定理的证明;③研究了球体体积;(4)极限思想；（5）创⽴重差术。
3、⽂艺复兴时期欧洲数学的主要进展1.代数⽅程论的发展；2. 符号代数的产⽣；3.三⾓学的确⽴；4.⼏何学的新突破；5. 计算技术的重⼤进步（1）⼗进⼩数的发明（2）对数的发明（3）计算⼯具的产⽣4、举例说明《九章算术》中解线性⽅程组的“直除法”《九章算术》中的“⽅程”，实际是线性⽅程组．例如卷⼋第⼀题：“今有上⽲三秉，中⽲⼆秉，下⽲⼀秉，实三⼗九⽃；上⽲⼆秉，中⽲三秉，下⽲⼀秉，实三⼗四⽃；上⽲⼀秉，中⽲⼆秉，下⽲三秉，实⼆⼗六⽃．问上中下⽲实⼀秉各⼏何？”(⽲即庄稼，秉即捆，实即粮⾷．)依术列筹式如图4．11，它相当于三元⼀次⽅程组其中x，y，z分别为上中下三等⽲每捆打粮⾷的⽃数．按《九章算术》解法，⽤(1)式x的系数3去乘(2)的各项，得6x+9y＋3z＝102．(4)⽤(4)减(1)⼆次，得5y＋z=24．(5)再⽤(3)×3，得3x＋6y+9z＝78．(6)(6)减(1)，得4y＋8z＝39．(7)中把这种⽅法叫“直除法”，即连续相减法．它的原理与现在加减消元法⼀致，只是⽐较烦琐．6．简述卡⽡列⾥不可分量⽅法的基本思想。
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数学分析课本-习题及答案第四章第四章函数的连续性一、填空题1．设>+=<=0 11sin 0 0sin 1)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则=k ；2．函数??≤>-=0sin 01)(x x x x x f 的间断点是；3．函数x x f =)(的连续区间是； 4．函数321)(2--=x x x f 的连续区间是；5．函数)3(9)(2--=x x x x f 的间断点是；6．函数)4)(1(2)(+++=x x x x f 的间断点是；7．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是；8．设=≠-=-00 )(x k x xe e xf x x 在0=x 点连续，则 =k ；9．函数??≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0101 1)(x x x x x f 的间断点是； 10．函数0b a 0)(0)(2≠+??<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；11．函数=≠=-0 0 )(21x a x e x f x，则=→)(lim 0x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；12．如果-=-≠+-=11 11)(2x a x xx x f ，当=a 时，函数)(x f 连续二、选择填空1．设)(x f 和)(x ?在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ?有间断点，则( )A.[])(x f ?必有间断点。
B.[]2)(x ?必有间断点C.[])(x f ?必有间断点D.)()(x f x ?必有间断点 2．设函数bx ea xx f +=)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a3．设xx e e x f 1111)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则A 有可去间断点。
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1.作为世界四大文明古国之一，中国在公元前3000年至公元前1500 年间有哪些数学成就？试讲这些成就和其他文明古国做一比较.据《易.系辞》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契” C 在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。
从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进位制的记数法，出现最大的数字为三万。
算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。
算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当），并以空位表示零。
算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
在几何学方面《史记.夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理（西方称毕氏定理）的特例。
战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。
著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。
墨家还给出有穷和无穷的定义。
《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。
这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
十进制是一种便捷的计数方法，而筹算是一种有效的工具，两者均是中国对世界的重大贡献。
在同时代的各古代文明中，只有中国提出了十进制。
当古希腊伟大学者阿基米德费尽心机地陈述如何用字母系统表示大数时，中国人已“持筹而算”这些大数，甚至“善计者不用筹策了”。
没有看似平常的十进制，便很难顺利表述较大的数字。
世界上目前仍有一些处于原始发展阶段的部族，对于十以上的数字只能统称为“多”，恐怕与没有适当的进位方法有关。
用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，米用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当），并以空位表示零。
算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算直到十五世纪元朝年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
2、中国古代的数学教育可以称得上是世界上最早的，在《周礼》中关于数学教育的论述有哪些？它们都分别阐述了有关数学教育的那些观点?答：我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。
而记载周代教育制度的古老典籍《周礼•地官》中保氏一节称：“保氏掌谏王恶，而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。
”其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺。
（艺：才能、技能）前者为大学所授，后者乃小学所习。
并称：“六年教之数，十年学书计。
”可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。
对数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的。
3.在春秋战国时期产生了哪些重要的，可与古希腊相媲美的数学思想？试将他们做一比较.春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到圭寸建社会的巨大变革，学术思想十分活跃.这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大.数学园地更是生机盎然，朝气勃勃.值得注意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，逐渐懂得把字写在竹片（或木片）上,用绳子穿成册,这就是早期的书.写上字的竹片称为简，或竹简.春秋战国的大批数学成果,便是通过竹简流传下来的.（1）几何与逻辑《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试.《墨经》是以墨翟（约公元前490---前405）为首的墨家学派的著作,包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题.它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色.在这一点上，它同欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)《几何原本》相似，一些几何定义也与《原本》中的定义等价.《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区.在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也.”即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷；若永远达不到这种程度，叫无穷.(2)算术到公元前四、五世纪时,分数已在中国广泛应用了，有些分数还有特殊名称，如叫半，叫少半，叫大半.位值制和整数四则运算已被熟练掌握，《考工记》中还有简单的分数运算，例如(原书中用汉字表示).春秋战国时代，“九九歌”已是家喻户晓的常识了.《管子》等书中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一”起，到“一一如一”止.至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序，则是宋元时代的事情了.(3)对数学中“无限”的认识有限与无限的矛盾，是数学中的一对基本矛盾.对这一问题认识的不断深化，推动着古今数学的发展.战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点.其中“大一”、“小一”可理解为无穷大，无穷小.这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小.书中“一尺之棰,日取其半，万世不竭”的著名命题,可以看作是对“小一”的发挥.一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，永远也取不完.即第一天取，第二天取，第n天取,不管n 多大，总不为0,其中体现了物质无限可分的思想.（4）组合数学的萌芽组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代.春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽.《易经》是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶.“--”是阳爻，“--”是阴爻，合称“两仪”.每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”；每次取三个，生成八卦（图4. 5）;每次取六个，则生成六十四卦.四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n 种元素中每次取r个,共有nr种排列法.例如，在两种卦爻中每次取3个,共有23= 8种排列,这就是八卦.（5）早期的数学工具---算筹与规、矩算筹即用于计算的小竹棍（也有木质、骨质或金属材料的算筹）, 它是中国人创造的计算工具.春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之”（《十发》），“善计者不用筹策” （《老子》）,等等.1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40根,长短一致,约12厘米,是为算筹之实物.4、《九章算术》的主要内容是什么？其具有世界意义的数学成就又答：全书内容丰富，且密切联系实际，《九章算术》全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。
这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。
《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响。
可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。
《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、研究和著述的依据。
5.试阐述刘徽的主要数学成就.刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观.他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人.《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术",即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值。
刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位。
刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数” 的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幕（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等.刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提.他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。
虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。
刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣",这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。
他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
6 、球体积的计算常常被用来衡量各个国家和地区数学发展水平的一把尺子，中国数学家在这方面的成就是非常杰出的。
试阐述从《九章算术》到刘徽、祖氏父子在这方面的工作与成就。
答：《九章算术》第五章“商功”主要论述了各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等。
刘徽一生不仅成就卓著，而且品格高尚。
在学术研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是坚持实事求是，以理服人。