学案1：§9.5 椭 圆

§9.5 椭 圆考纲展示1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想． 考点1 椭圆的定义 第1步 回顾基础 一、自读自填 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 二、连接教材教材习题改编：知甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；乙：P 点的轨迹是椭圆．则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 三、易错问题椭圆的定义：关键在于理解．(1)动点P 到两定点M (0，－2)，N (0,2)的距离之和为4，则点P 的轨迹是________． (2)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 212＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________． 第2步 自主练透典题1 (1)过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．22(2)已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42(3)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 点石成金1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a ＞|F 1F 2|这一条件．2.P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的5个常用结论 (1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ(θ＝∠F 1PF 2)． (3)当P 为短轴端点时，θ最大．(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ ＝sin θ1＋cos θ·b 2＝b 2tan θ2＝c ·|y 0|.当y 0＝±b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2有最大值为bc . (5)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 考点2 椭圆的方程 第1步 回顾基础 一、自读自填(1)已知方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围为________．(2)椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________． 三、易错问题椭圆的标准方程：关注焦点的位置．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于________．第2步 师生共研典题2 (1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．点石成金 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.第3步 跟踪训练1.一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点； (3)经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，()3，5. 考点3 椭圆的几何性质 第1步 回顾基础 一、自读自填椭圆的标准方程和几何性质______≤x ≤______，______≤x ≤______，(1)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．(2)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 三、通性通法1.焦点三角形问题：定义法．若椭圆x 24＋y 23＝1上的点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△F 1PF 2的面积为________．2.直线与椭圆的位置关系：代数法． 直线y ＝x ＋k 与椭圆x 2＋y 24＝1只有一个公共点，则k ＝________. 第2步 师生共研典题3 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.36 C.13 D.16题点发散1 典题3(2)条件变为“若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35”，则椭圆的离心率为________．题点发散2 典题3(2)条件变为“P 到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．题点发散3 典题3(2)条件中方程变为“x 2＋2y 2＝2”，P 是该椭圆上的一个动点．求|PF 1→＋PF 2→|的最小值．点石成金 应用椭圆几何性质的两个技巧与一种方法 1．两个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． 2．一种方法求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c ，从而求解e ，通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率. 第3步 跟踪训练1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 考点4 直线与椭圆的位置关系 第1步 多角探明考情聚焦 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题，主要以解答题的形式出现，考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力． 主要有以下几个命题角度： 角度一由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质典题4 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b 的值．点石成金 解决此类问题的关键是依据条件寻找关于a ，b ，c 的关系式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆的几何性质． 角度二由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质典题5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，短轴的下、上两个端点分别为 B 1，B 2，且FB 1→·FB 2→＝a . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km ＜0)与椭圆C 交于M ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且|AB |2|MN |＝4，问是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．点石成金1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 第2步 课堂归纳 方法技巧1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程． 2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．易错防范1.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2.注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．参考答案考点1椭圆的定义第1步回顾基础一、自读自填椭圆焦点焦距(1)a >c (2)a ＝c (3)a <c 二、连接教材 【答案】必要不充分【解析】∵乙⇒甲，甲⇒/ 乙， ∴甲是乙的必要不充分条件. 三、易错问题 (1)【答案】线段【解析】因为|PM |＋|PN |＝|MN |＝4，所以点P 的轨迹是一条线段． (2)【答案】83【解析】由椭圆定义知，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍， 所以△ABC 的周长是43×2＝8 3. 第2步 自主练透 典题1 (1)【答案】B【解析】因为椭圆的方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义知，△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4. (2)【答案】A【解析】 由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42， ∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立)．(3)【答案】A【解析】 由折叠过程可知，点M 与点F 关于直线CD 对称，故|PM |＝|PF |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝r .由椭圆的定义可知，点P 的轨迹为椭圆． 考点2 椭圆的方程 第1步 回顾基础 二、连接教材(1)【答案】(－3,1)∪(1,5)【解析】方程表示椭圆的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得m ∈(－3,1)∪(1,5)． (2)【答案】y 28＋x 24＝1【解析】设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝2b ，c ＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝b 2＝4，得b 2＝4，则a 2＝8， 所以椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.三、易错问题 【答案】4或8【解析】由 ⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0， 得2<m <10.由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8. 第2步 师生共研典题2 (1)【答案】x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1【解析】解法一：若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝1，2m ＝3×2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝9，n ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81. 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)【答案】y 220＋x 24＝1【解析】解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 解法二：设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)， 将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k＝1， 解得k ＝5或k ＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. (3)【答案】x 2＋3y 22＝1 【解析】设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧ －2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0， 即⎩⎨⎧ x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1， 解得b 2＝23，故椭圆的方程为x 2＋3y 22＝1. 第3步 跟踪训练1.【答案】A【解析】设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1. 又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.2．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t 1＝224＋(－3)23＝2或t 2＝(－3)24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1. (2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )，由⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆的方程为y 210＋x 26＝1.考点3 椭圆的几何性质第1步 回顾基础一、自读自填【答案】－a a －b b －b b －a a坐标轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－b ) (0，b ) (0，－a ) (0，a ) (－b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a 2－b 2二、链接教材(1)【答案】22【解析】由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8， ∴c 2＝a 2－b 2＝8，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22. (2)【答案】 ⎝⎛⎭⎫152，1或 ⎝⎛⎭⎫152，－1 【解析】设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1， 把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152， 又x ＞0，所以x ＝152， 所以点P 的坐标为 ⎝⎛⎭⎫152，1或 ⎝⎛⎭⎫152，－1. 三、通性通法1. 【答案】3【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .椭圆的长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，因为PF 1⊥PF 2，所以m ＋n ＝4且m 2＋n 2＝4，解得mn ＝6，所以△F 1PF 2的面积为12mn ＝3. 2．【答案】－5或5【解析】将y ＝x ＋k 代入x 2＋y 24＝1中， 消去y ，得5x 2＋2kx ＋k 2－4＝0.因为直线与椭圆只有一个公共点，所以Δ＝(2k )2－4×5(k 2－4)＝0，解得k ＝－5或 5.第2步 师生共研典题3 (1)【答案】B【解析】如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45， 解得x ＝6，所以∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知，|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，所以c a ＝57. (2)【答案】A【解析】如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线．所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|.由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|，由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|，即a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|， 即c ＝3|PF 2|2， 则e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33. 题点发散1 【答案】57 【解析】∵cos α＝55⇒sin α＝255. sin(α＋β)＝35⇒cos(α＋β)＝－45. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝11525. 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c 35， ∴r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57. 题点发散2 解：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ，根据椭圆定义可知3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13. 又0＜e ＜1，∴13≤e ＜1. 故椭圆的离心率的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1.题点发散3 解：将方程变形为x 22＋y 2＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)， 则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2.第3步 跟踪训练1.【答案】33 【解析】由题意知，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ， 又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝⎛⎭⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －(－c )＝－1， 整理得3b 2＝2ac ， 所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1， 所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 2．【答案】22【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 在椭圆上，⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，则有x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0， ∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 由题意知x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴2a 2＋－12×2b2＝0， ∴a 2＝2b 2，∴e ＝22. 考点4 直线与椭圆的位置关系典题4 解：1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知，M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，所以b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12或c a＝－2(舍去)． 故椭圆C 的离心率为12. (2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.典题5 解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为(3，0)， ∴F (3，0)，FB 1→＝(－3，－b )，FB 2→＝(－3，b )， FB 1→·FB 2→＝3－b 2＝a ，又b 2＝a 2－3，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，∴Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 则|MN |＝1＋k 2·Δ4k 2＋1 ＝41＋k 2·4k 2－m 2＋14k 2＋1， 令m ＝0，可得|AB |＝41＋k 24k 2＋1. ∴|AB |2|MN |＝41＋k 24k 2－m 2＋1＝4， 化简得 m ＝－3k 或 m ＝3k (舍去)，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋3k 2＝1＋k 24m 2－44k 2＋1－24k 44k 2＋1＋3k 2 ＝11k 2－44k 2＋1＝2， 解得 k ＝±2，故直线的方程为 y ＝2x －6或y ＝－2x ＋ 6.。