最新椭圆及其标准方程导学案
椭圆及其标准方程导学案(第1课时)
§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。
（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。
高中数学《椭圆及其标准方程》导学案
2．1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(□01大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的□02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的□03焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF 1|＋|MF 2|＝2a >|F 1F 2|这一个条件． (2)集合的语言描述为P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a >|F 1F 2|}． 2．椭圆的标准方程 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程□04x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) □05y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0) 图形焦距 |F 1F 2|＝□062c 焦点坐标 □07(±c,0)□08(0，±c )a ，b ，c 的关系 □09a 2＝b 2＋c 21．对椭圆定义中限制条件“常数(大于|F 1F 2|)”的理解(1)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数>|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．2．椭圆定义的双向运用一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．3．椭圆的标准方程与焦点位置的关系(1)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大．(2)椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________．(2)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝________，b＝________，c＝________.(3)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．(4)椭圆4x2＋y2＝4的焦点坐标为________．答案(1)x225＋y216＝1(2)325(3)6(4)(0，±3)探究1椭圆的定义例1如图所示，已知F1，F2是椭圆x2100＋y236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？(2)过焦点F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．[解]由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|PF1|＝15，所以|PF2|＝20－15＝5.(2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)．由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.拓展提升椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．【跟踪训练1】已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|P A|的最小值．解 由椭圆方程5x 2＋9y 2＝45可知a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)，如图所示．P 为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝6.而|PF 1|＋|P A |＝|PF 1|＋|PA |＋|PF 2|－|PF 2|＝6－(|PF 2|－|P A |)．又|PF 2|－|P A |≤|AF 2|，当且仅当P ，A ，F 2三点共线时，|PF 2|－|P A |＝|AF 2|＝ 2.所以当P ，A ，F 2三点共线时，|PF 1|＋|P A |有最小值为6－ 2.探究2 椭圆的标准方程例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.[解] (1)由题意得，2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28. 当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 264＋y 228＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1. 故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 例2(1)(3)有没有其他解法呢？ 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎨⎧16b 2＋18a 2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1.例3 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .② 由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．【跟踪训练2】 (1)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解 设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程． 解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1.∴a 2＝15.∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 探究3 椭圆标准方程的应用例4 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72 C.72<m <16D ．m >72[解析]依题意可得⎩⎨⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16. [答案] C[结论探究] 如果把例4的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解 由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7， 所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)， 所以焦距2c ∈(0,10)．拓展提升方程x 2m ＋y 2n ＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练3】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析由方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7， 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值． 解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2 ，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立可得|PF 1|＝65. 所以S △PF1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335. [条件探究] 例5中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos60°.∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4， ∴S △PF1F2＝12|PF 1||PF 2|·sin60°＝12×4×32＝ 3. 拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式|PF 1|＋|PF 2|＝2a . (2)利用正、余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式．这样我们便可求解出|PF 1|，|PF 2|.但是通常情况下我们是把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF 1|与|PF 2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2.(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin ∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m >0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化.3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法； (2)待定系数法； (3)定义法； (4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M 到定点F 1(0，－1)、F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．直线F 1F 2C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2. 2．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析 因为方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m >1. 3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A.(±3,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36， 所以b 2＝9，b ＝3.5．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)由题意知椭圆的焦点在x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件易知c ＝4，a ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．椭圆经过点(0,2)和(1,0)，结合图象易知a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m 2＝1，4n 2＝1，解得m 2＝9，n 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆 答案 A解析 根据题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线，所以|MP |＝|PF |，所以|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)，又因为|MO |>|FO |，根据椭圆的定义可判断出点P 的轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆．3．方程(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 225＋y 221＝1 C.x 225＋y 24＝1 D.y 225＋x 216＝1 答案 B解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝2，a ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝21，故化简结果为x 225＋y 221＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32 答案 B解析 设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.5．命题p ：方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是( )A ．3<m <5B ．4<m <5C ．1<m <5D ．m >1 答案 B 解析 若方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m －1>5－m >0，解得3<m <5.所以p 成立的充要条件是3<m <5.结合四个选项可知，p 成立的充分不必要条件是4<m <5.6．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图所示，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3 D ．5,4 答案 A解析 由题意知，a 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，b 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，∴a 2－c 2＝1.又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝1，b ＝1. ∴a 2＝74，a ＝72. 二、填空题7．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案 1解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k －1＝4，得k ＝1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B ＝________.答案 54解析 由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8. 于是，在△ABC 中，由正弦定理，得 sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.9．M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．答案 9解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝a 2＝9. 三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解 设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r . ∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r . ∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64. 又∵A ，B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为y 2100＋x 264＝1.B 级：能力提升练1．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标． 解 (1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23， ∴|y 0|＝3，y 0＝±3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)． 2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程． 解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1为所求点的轨迹方程．。
(导学案)2.2.1椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程（1） （导学案）【学习目标】（1）从具体情境中抽象出椭圆的模型；（2）掌握椭圆的定义，能用坐标法求椭圆的标准方程； （3）掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程的形式。
【重点、难点】重点：椭圆的定义及其标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导与化简。
【学习方法】探究、讨论、归纳、类比 一、【基础知识链接】1、曲线可以看作是适合某种条件的点的集合或轨迹。
求曲线方程的一般步骤是： → → → → 。
其中，建立坐标系一般应遵循 的原则。
2、平面内两点间的距离公式：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则︱AB ︱=二、【新知导学】 探究任务一：椭圆的定义 【教材导读】 预习课本P38的内容，动动手，做教材P38中的“探究”，并完成下列问题：（1）、设笔尖（动点）为M ，两个定点1F ，2F 的距离为2c ，绳长为2a ，当22a c >时，动点M 的轨迹是 ；当22a c =时，动点M 的轨迹是 ；当22a c <时，动点M 的轨迹是 。
（2）、椭圆的定义：把平面内动点M 与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（2a大于 ）的点的轨迹叫做 . 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离（2c ）叫做 .探究任务二：椭圆的标准方程【教材导读】 预习课本P38至P39的内容，并完成下列问题（1）、观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是 对称图形，又是 对称图形。
（2）、怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？①、建系；以 为x 轴， 为y 轴，建立平面直角坐标系，则1F ，2F 的坐标分别为：. ②、设点并写出点集：设M （ ， ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：③、列方程：④、化简方程得：⑤、为使上述方程简单并具有对称美，引入字母 ，令 = a 2 - c 2，则方程可化为（3）、类似的，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 ： ，其中焦点1F ，2F 的坐标为： .（4）点的位置？试一试：根据下列椭圆方程，写出,,a b c 的值，并指出焦点的坐标： （1）221169y x +=； （2） 2212516y x +=； （1）a = ；b = ；c = （2）a = ；b = ；c = 焦点坐标为： 焦点坐标为： 待课堂上与老师和同学探究解决。
椭圆及其标准方程--导学案
阜阳市城郊中学高二数学学案 NO: 姓名：高二数学导学案编制： 代俊俊 审核：课题：椭圆及其标准方程 【学习目标】：1．理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念;2．掌握推导椭圆标准方程的过程;3．掌握并会求一些简单的椭圆的标准方程.【重点难点】重点：椭圆的定义和标准方程；难点：椭圆标准方程的推导．【自学导引】同学阅读教材P61-P62页，举一些生活中给人椭圆形象的一些例子.【探究活动一】 椭圆的定义问题一：动点到两定点的距离之和为定长，将会形成什么样的轨迹曲线？作图过程中，动点是在什么条件下运动的？椭圆的定义：问题二：动点P 到两定点的距离的之和等于21F F ，P 的轨迹是椭圆吗？ 小于21F F 呢？问题三：绳长不变，只改变两定点的距离，椭圆的形状有怎样的变化？学习笔记【探究活动二】椭圆的标准方程思考：直线有方程、圆有方程，那椭圆有没有方程？如何建立坐标系使求出的方程形式最简单？1、回顾推导圆的标准方程的步骤：2、推导椭圆的标准方程：① 建系：（如图1 ）② 设点： 图1③ 列式：④ 化简：⑤证明：我们还可以证明，以这个方程每一组解为坐标的点都在椭圆上.(有兴趣的同学可以阅读P63-P64页小字部分的证明过程.) 由此可得椭圆的标准方程.问题四： ①联系椭圆标准方程的推导过程判断b a ,的大小关系？②联系直线的截距式方程，结合图形判断椭圆在x 轴和y轴上的截距是什么，思考c b a ,,的几何意义？③在建立坐标系时，若以两定点所在直线为y轴，得到的方程又会怎样？④怎样根据标准方程判断焦点的位置？【典例剖析】例1、判断下列椭圆的焦点在x轴还是y轴，并写出焦点坐标?（1）221 2516x y+=（2）221 144169x y+=（3）222211x ym m+=+课堂小结课后练习1、已知椭圆的标准方程为13610022=+y x ①2a = , 2b = , 2c = , a = , b = , c = ,焦点坐标为②如果椭圆上的一点P 到焦点1F 的距离为6，那么点P 到焦点2F 的距离为 思考：如果椭圆的标准方程变为11003622=+y x ，那么上述两个问题的结果会怎样变化呢？2、①已知动点M 到两个定点12,F F 的距离之和为10，且126,F F =那么动点M 的轨迹为 ，其标准方程为 ②已知动点 (,)M x y 的坐标,x y 满足方程则点M 的轨迹为 ，其标准方程为()()10332222=-++++y x y x。
椭圆及其标准方程导学案
2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。
2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。
a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a2<|1F 2F |时，点的轨迹 。
预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。
椭圆及其标准方程导学案
２．２．１椭圆及其标准方程导学案知识点：1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 一、椭圆的定义问题一：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。
动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?圆的定义：平面内____________________________的点的轨迹叫做圆。
问题二：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。
动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?椭圆定义:平面内__________________________的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1、F 2叫做椭圆的_____，两焦点的距离叫做椭圆的_____。
其中令与定点F 1、F 2距离的和等于常数2a,焦距 ,且2a>2c.问题三：将细绳的两端由问题二中的位置继续拉开一段距离，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。
动手操作并观察:随着两定点间的距离变大，轨迹怎么变？________________________________ 当绳子拉直时，轨迹是什么？________________________________________________结论：绳长记为2a ，两定点间的距离记为2c . （1）当c=0时，轨迹是________； （2）当2a >2c 时，轨迹是_______； （3）当2a =2c 时，轨迹是 ________.例1．已知定点12,F F ，其中()()124,0,4,0F F -，动点p 满足128PF PF +=，则动点p 的轨迹是（ ）A 椭圆B 圆C 直线D 线段变式. 已知定点12,F F ，其中()()124,0,4,0F F -，动点p 满足1210PF PF +=，则动点p 的轨迹是（ ）A 椭圆B 圆C 直线D 线段二、椭圆的标准方程122F F c =⒈建立平面直角坐标系思考：类比利用圆的对称性建立圆的标准方程的过程，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使的椭圆的标准方程简单？⒉椭圆的标准方程的推导① 当椭圆的焦点在x 轴上时，以经过椭圆的两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy 。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
高中数学椭圆及其标准方程导学案
2.椭圆及其标准方程〔第一课时〕导学案【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；3.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
4.稳固用坐标化的方法求动点轨迹方程。
【重点难点】重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用难点：标准方程的建立与推导【课前探究】阅读并预习教材，找出疑惑之处，完成以下问题1、自制工具，使用拉线法在纸板上演示椭圆定义做出椭圆思考:改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、圆的定义：椭圆的定义：3、类比圆的方程的推导过程，尝试自己推导椭圆的标准方程【课中探究】研讨互动，问题生成1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a 〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。
2、椭圆的标准方程：思考1：根据椭圆的定义，找出椭圆中的等量关系，并用集合表示？思考2：建系设点，推导椭圆的标准方程？以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M〔x , y〕,则F1(-c,0),F2(c,0)，设122MF MF a+=思考3：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜测椭圆的方程有何改变？椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b ab+=>>课中反应练习：1、请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出22,a b 。
〔1〕22110036x y += 〔2〕22136100x y += 〔3〕2213636x y += 〔4〕22110036x y -=请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点：，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。
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2.2.1 椭圆及其标准方程
【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用
红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。
2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆
的标准方程。
【学习重、难点】
学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．
【预习案】
预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题）
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什
么曲线
在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹
是
将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨
迹存在吗？
结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。
a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ；
a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ；
a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。
预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）
结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【探究案】
探究一、椭圆定义的应用
设P 是椭圆11625
2
2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）
A.10
B.8
C.5
D.4
（解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。
）
解：椭圆中=2a ，a 2= 。
由椭圆的定义知21PF PF += = 。
变式训练：
椭圆19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）
A.5
B.6
C.4
D.10
探究二、求适合下列条件的椭圆的标准方程。
（1）两个焦点坐标分别是（－4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；
（2）焦点在y 轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）。
（解法指导：判断焦点在哪个坐标轴上，设椭圆的标准方程，依据已知条件列方程，解方程得出a 与b ，带回所设的椭圆的标准方程。
）
解：
（1）椭圆焦点坐标为 ，
可设椭圆的标准方程为 （ ），且=c ，
所以，椭圆的方程变成了 ，代入点（5，0），得 。
则=2a ，=2b = 。
因此，椭圆的标准方程 。
（2）焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为 ，
把点（0，2）和（1，0）分别代入椭圆方程，得 ， ， 即=2a ，=2b ，
所求椭圆的标准方程为 。
变式训练：
椭圆两个焦点坐标分别为（－3，0）和（3，0），且椭圆经过点（5，0）；求这个椭圆的标准方程。
【检测案】
我的收获：
你在这堂课上学到了什么？
1.
2.。