高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计一等奖3篇
4、《椭圆及其标准方程》教学设计一等奖一、教学内容解析1、地位与作用：本章是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几何的第二大部分。
解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
在北师大版必修2中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。
本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→曲线与方程。
这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。
在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。
本节是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》第1节的内容，主要学习椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第1课时，主要学习椭圆的定义及其标准方程。
教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及其标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。
2、教材处理顺序教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出椭圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。
这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。
教材在本节内容中只研究了中心在原点，焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在轴上的椭圆的标准方程。
这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。
有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。
3、数学思想方法本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。
在推导椭圆标准方程过程中让学生体会移项再平方去根号的方法。
高中数学《椭圆及其标准方程(第一课时)》优质课比赛教案设计
椭圆及其标准方程（第一课时）教案一．教材及学情分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2－1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时．用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊．当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广．17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用 关键：含有两个根式的等式化简 四．教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人． 五．教学过程创设情境——提出问题,学生活动——体验数学, 意义建构——感知数学,数学理论——建立数学, 数学应用——巩固新知,回顾反思——归纳提炼, 课后作业——巩固提高 （一）创设情境——提出问题 以折纸游戏创设问题情境请学生将课前统一发放的圆形纸片拿出来， 并按如下步骤进行操作：1．将圆心记作点1F ，然后在圆内任取一定点2F 2．在圆周上任取10个点，分别记作12310N N N N 、、……， 将它们与圆心相连，得半径111213110F N F N F N F N 、、……986N3．折叠圆形纸片，使点1N 与点2F 重合，将折痕与半径11F N 的交点记作1M ；然后再次折叠圆形纸片，使点2N 与点2F 重合，将折痕与半径12F N 的交点记作2M ；……；依此类推，最后折叠圆形纸片，使点10N 与点2F 重合，将折痕与半径110F N 的交点记作10M4．用平滑曲线顺次连接点12310M M M M 、、……，你有何发现？ 设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望 （二）学生活动——体验数学1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆 2．展示学生成果3．用几何画板展示动点生成轨迹的全过程，印证猜想 4．展示椭圆实际应用的幻灯片5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？——椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？——椭圆的标准方程．这就是我们这节课的重点内容． 设计意图：从折纸游戏中导出新课，明确研究课题 （三）意义建构——感知数学 椭圆定义的初步生成学生每4人一组，合作探究，在刚才的折纸游戏中，折痕与对应半径的交点的共同属性，教师巡视指导．如学生有困难，可按如下提示铺设认知阶梯：如何用数学语言表达点N 与定点2F 重合——点N 与定点2F 关于折痕轴对称 对称轴有什么特点——折痕即对称轴是线段2NF 的垂直平分线线段垂直平分线上的点有什么几何性质——到线段两个端点距离相等，即2MF MN =动点M 与定点12F F 、之间有什么关系——1211MF MF MF MN NF R +=+== 请学生代表本小组交流探究结论——与两个定点12F F 、的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆（四）数学理论——建立数学 1．椭圆定义的完善提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？如何体现点2F 在定圆1F 的内部？引导学生回答：点2F 在定圆1F 的内部即点2F 到圆心1F 的距离小于圆的半径，也就是1212F F R MF MF <=+，从而意识到在“定义”中需要加上“常数>12F F ”的限制．继续深化问题：若常数=12F F 或常数<12F F ,情况会发生什么变化？应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=12F F 时，与两个定点21,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹是线段12F F ；当常数<12F F 时，与两个定点21,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风 2．椭圆的标准方程(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性 (2)建立焦点在x 轴上的椭圆的标准方程①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征以直线12F F 为x 轴，以线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设焦距为()20c c >，则()()12,0,0F c F c -．设(),M xy 为椭圆上任意一点，点M 与点12F F 、的距离之和为()222a a c >．②动点M 满足的几何约束条件: 122MF MF a +=2a =④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法()()()22222222222222242222222222222222242221x c aa x cx c y a x cx c y a cxa x a cx a c a y a a cx c ac x a y a a c x y a a c +==+++=+-++=--++=-+-+=-+=-链接到几何画板，分析22a c -得到焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>()()()()()()()()()()()()22222222222222222222212212423124234221a k cxcx ak k a k a cx a ac x x cx c y a cx aa c x a y a a c x y a a c==⨯=⇒=+=+=++++=++-+=-+=-预案二：引入共轭无理数对得：将代入下同法一()()()()()()()()()()()()()22222222222222222222222222221221443214341x c aa a d a d cx cx ad d ax y c a d cx x y c a a ac x a y a a c x y a a c +==-=+-=⇒=+++=+⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭-+=-+=-预案三：运用等差数列知识设得：得：将代入得：下同法一设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在x 轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线y x =翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转90︒即可转化成图(2)，需将x 轴、y 轴的名称换为y 轴、x 轴或y 轴、x -轴．（1） （2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为()222210y x a b a b+=>>设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动 (4)辨析焦点分别在x 轴、y 轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较2x 与2y 项分母的大小即可．若2x 项分母大，则焦点在x 轴上；若2y 项分母大，则焦点在y 轴上．反之亦然． 联系：它们都是二元二次方程，共同形式为()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠ 两种情况中都有222a c b -= （五）数学应用——巩固新知例1：判断分别满足下列条件的动点M 的轨迹是否为椭圆（1）到点()12,0F -和点()22,0F 的距离之和为6的点的轨迹；（是） （2）到点()12,0F -和点()22,0F 的距离之和为4的点的轨迹；（不是） （3）到点()10,2F -和点()20,2F 的距离之和为6的点的轨迹；（是） （4）到点()12,0F -和点()20,2F 的距离之和为4的点的轨迹；（是） 设计意图：巩固椭圆定义例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()()121,01,0F F -、，椭圆上一点M 到12F F 、的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．2222224213143a a cb ac x y =∴==∴=-=∴+=解：椭圆的标准方程为设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()()120,10,1F F -、，椭圆上一点M 到12F F 、的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．2222224213143a a cb ac y x =∴==∴=-=∴+=解：椭圆的标准方程为设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程变式二：已知椭圆的两个焦点分别是()()121,01,0F F -、，椭圆经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，求该椭圆的标准方程．()22221222335321142132222143a MF MF a cb ac x y ⎛⎫=+=+++=+=∴==∴=-= ⎪⎝⎭∴+=解：椭圆的标准方程为设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用（六）回顾反思——归纳提炼1．知识点：椭圆的定义及其标准方程2．数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程3．数学思想：数形结合思想、化归思想（七）课后作业，巩固提高1．必做题：课本49页习题2．2 A组2，5(1)(2)，6，9 2．思考题：(1)在化简椭圆方程的过程中有ca xaca xa=-=+成立，该式有什么几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？(2)将ca xaca xa=-=+稍作变化即可得到caxccaxc=-⎪⎪=⎪+⎪⎩，两个代数式的商为常数，它又有什么几何含义？设计意图：为引入椭圆第二定义及焦半径公式作适当铺垫，体现数学知识之间的联系，培养学生养成深入思考的习惯．。
高中数学椭圆及其标准方程公开课优秀教学设计
1高中数学椭圆及其标准方程公开课优秀教学设计教学目标：知识目标： 1：熟练掌握椭圆的定义。
2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3） 通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维力；教学重点：椭圆的定义及标准方程。
教学难点：椭圆的定义及标准方程的推导。
教学过程：一：椭圆概念的引入：1：举例：（1）天体行星和卫星运行的轨道。
2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长。
即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）3：由此总结椭圆定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
4：说明 （1）注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（2）两个定点------两点间距离确定。
绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。
二：根据定义推导椭圆标准方程：1：复习求轨迹方程的基本步骤：2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。
2 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （c>0）.则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得：222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：12222=+b y a x ，此即为椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程一优秀教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版教学设计(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．（二)椭圆标准方程的推导13分钟1．标准方程的推导.教师引导学生得出椭圆方程，由a、b的关系判定焦点在哪一个坐标轴上。
2.教师给出表格和学生一起总结椭圆的方让学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。
教师结合猜想加以引导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与8分钟，练习12分钟例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.教师引导学生得学生自己写解题过程 2.学生板演 3.学生讨论4.老师出示练习题（课件）学生做练习题（1）掌握椭圆方程a、b之间的关系 (2)掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。
高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计说明一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科.从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点.教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
二、教学目标设置1.课程目标（1）了解圆锥曲线与二次方程的关系；（2）掌握圆锥曲线的基本几何性质；（3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.2.单元目标（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.3.本节课教学目标（1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨迹；（2）类比建立圆的方程的方法，通过交流讨论，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程；（3）结合椭圆的标准方程和它的几何图形，能指出参数a、b、c的几何意义；（4）会用椭圆定义和标准方程解决与课本上类似的题目；（5）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程。
（2）能根据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标、焦距等相关量。
2、过程与方法目标（1）通过动手操作，经历椭圆的形成过程，培养学生的动手能力和观察分析能力。
（2）通过椭圆标准方程的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过小组合作学习，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点（1）椭圆的定义。
（2）椭圆的标准方程及其推导。
2、教学难点（1）椭圆标准方程的推导。
（2）椭圆标准方程中 a、b、c 的关系及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、演示法、讨论法四、教学过程1、导入新课通过展示生活中常见的椭圆形状的物体，如椭圆形的镜子、椭圆形的赛道等，引出本节课的主题——椭圆。
2、椭圆的定义准备一根绳子，将其两端固定在黑板上的两点 F1、F2，用铅笔拉紧绳子，移动铅笔，画出一个封闭的曲线。
让学生观察这个曲线的形状，引出椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
强调定义中的关键条件：（1）平面内。
（2）两个定点。
（3）距离之和为常数且大于焦距。
3、椭圆的标准方程（1）建系以经过椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。
设椭圆的焦距为 2c（c>0），椭圆上任意一点 M 的坐标为(x,y)，焦点 F1、F2 的坐标分别为(c,0)、（c,0)。
（2）推导方程根据椭圆的定义，｜MF1| ＋｜MF2| ＝ 2a（2a ＞ 2c），则：＼（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a\）移项平方可得：＼（（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2}）＾2 ＝（2a ＼sqrt{（x c)＾2＋ y^2}）＾2\）展开并整理得：＼（a^2 cx ＝ a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2}＼）再平方并整理得：＼（（a^2 c^2)x^2 ＋ a^2y^2 ＝ a^2(a^2 c^2)＼）因为\（b^2 ＝ a^2 c^2\）（其中 b>0），所以方程可化为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（a>b>0）这就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案一、教学目标：1. 让学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 引导学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义与性质2. 椭圆的标准方程3. 椭圆方程的求法4. 椭圆的应用三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 难点：椭圆方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究椭圆的定义与性质。
2. 利用图形演示法，让学生直观理解椭圆的标准方程。
3. 运用案例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的椭圆实例，引导学生思考椭圆的定义。
2. 新课讲解：(1) 讲解椭圆的定义，引导学生理解椭圆的基本性质。
(2) 讲解椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的表示方法。
(3) 讲解椭圆方程的求法，引导学生学会运用数学方法解决问题。
3. 案例分析：分析实际问题，运用椭圆知识解决问题。
4. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点与难点。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固椭圆知识。
六、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的焦点和准线的概念。
2. 引导学生了解椭圆的离心率及其求法。
3. 培养学生运用椭圆的性质解决几何问题的能力。
七、教学内容：1. 椭圆的焦点和准线2. 椭圆的离心率3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的图像特点5. 椭圆的应用八、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的焦点、准线、离心率的概念及其应用。
2. 难点：椭圆的参数方程及其图像特点。
九、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究椭圆的焦点和准线。
2. 利用几何画图软件，演示椭圆的焦点和准线。
3. 运用案例分析法，让学生运用椭圆性质解决几何问题。
4. 采用小组讨论法，促进学生合作学习。
十、教学过程：1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生思考椭圆的焦点和准线。
《椭圆及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《椭圆及其标准方程》第1课时教学设计本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础．因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一．因此这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其他两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到椭圆的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，经过问题思考→研究讨论→点拨引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习的自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．课时分配本节内容分两课时完成．第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．掌握椭圆的定义及其标准方程；能正确推导椭圆的标准方程；明确焦点、焦距的概念．教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．引入新课1．通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片（PPT），让学生从感性上认识椭圆．2．通过动画设计（几何画板演示），展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹．探究新知探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？下面请同学们在绘图板上作图，并思考以下问题：在作图时，因为笔尖M运动，所以为动点，两个图钉F1、F2不动，所以为定点．1．在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？其轨迹是什么曲线？2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？4．两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？5．当绳长满足什么条件时，动点M形成的轨迹是椭圆？活动设计：两个学生一组，合作操作画图过程，并思考上述问题，必要时，允许合作、讨论、交流．教师巡视指导，及时发现问题，解决问题．活动成果：1．|MF1|＋|MF2|＝绳长（定值）；椭圆；2．不是椭圆，是线段F1F2；3．不能；4．以F1（F2）为圆心，以绳长的一半为半径的圆；5．当两图钉F1、F2之间的距离不为0且绳长大于两图钉F1、F2之间的距离时．提出问题：类比平面几何中圆的定义，给出椭圆的定义．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出椭圆定义：平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离之和等于常数、常数大于|F1F2|）设计意图：通过上述操作、思考问题使学生建立起对椭圆的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程．为今后通过方程研究椭圆的性质做好准备．提出问题：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：如图，已知椭圆的两焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2c，对椭圆上任一点M，有|MF1|＋|MF2|＝2a，尝试建立椭圆的方程．提出问题：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导．学情预测：学生的建系方法应当会有很多种．活动结果：教师将各个学生或学习小组的建立坐标系的方案一一画图表示．然后，提醒全班学生应当类比利用圆的对称性建立圆的标准方程时的建立坐标系的方法，根据椭圆的几何特征（主要是对称性），选择适当的坐标系，才可能使建立的椭圆方程简单．这样，师生就会达成一致意见，选定以下两种方案：方案一：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy．方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系xOy．方案一方案二提出问题：请同学们按方案一具体求出椭圆的方程． 活动设计：学生独立解决．必要时，为顺利完成教学，教师应当介入，加以指导、提示． 设点：设椭圆上任一点M 的坐标为（x ，y ）．列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(x ＋c)2＋y 2＋(x －c)2＋y 2＝2a ．①化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎样化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）(x ＋c)2＋y 2＝2a －(x －c)2＋y 2．两边平方，得（x ＋c ）2＋y 2＝4a 2－4a (x －c)2＋y 2＋（x －c ）2＋y 2．即a 2－cx ＝a (x －c)2＋y 2．两边平方，得a 4－2a 2cx ＋c 2x 2＝a 2（x －c ）2＋a 2y 2．整理，得（a 2－c 2）x 2＋a 2y 2＝a 2（a 2－c 2）．（※）学情预测：一般情况下，得到方程（※）即告结束．提出问题：设方案一中的椭圆与x 轴的交点分别为A 1，A 2，与y 轴的交点分别为B 1，B 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？活动设计：学生先独立思考，必要时，可以重复开始的画椭圆的过程，并可合作交流．学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题． 提出问题：当动点M 移动到B 1或B 2点时，根据椭圆的定义及坐标系的建立方式，你还能发现新的结论吗？学情预测：学生会发现：|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ＝|B 1F 1|＝|B 1F 2|．教师：这样，因为△B 2OF 2为直角三角形，且|B 2F 2|＝a ，|OF 2|＝c ，所以，a 2－c 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的a 2－c 2有明显的几何意义．为此，令|OB 2|＝b ，则a 2－c 2＝b 2．于是，方程（※）可以进一步化简为：b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2．（☆）学情预测：一般情况下，得到方程（☆），本题求解也即告结束．提出问题：非常好．这个方程两边次数一致，非常工整，类似这种结构的方程在哪儿见过，怎么处理的呢？活动设计：学生可以互相讨论、启发，必要时教师可以提示．活动结果：直线的截距式方程x a ＋y b＝1就是由bx ＋ay ＝ab 化得的．因此． 方程（☆）可以进一步整理成：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）（这种形式“美”）． 指出：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0），且c 2＝a 2－b 2．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），椭圆的方程又如何呢？教师：列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即x 2＋(y ＋c)2＋x 2＋(y －c)2＝2a ．②试比较①②两式，它们有何区别与联系？发现只需交换①式中x 和y 的位置，即得②式，反之也成立．所以，易知，只需将x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）中的x 和y 的位置互换，即得焦点在y 轴上的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0）． 教师指出：我们所得的两个方程x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0）都是椭圆的标准方程． 提出问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论也允许．活动结果：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．理解新知1．观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a ，b ，c 满足关系式：b 2＝a 2－c 2（a >b >0）；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填写下表b 2＝a 2－c 2 b 2＝a 2－c 2 （±c ，0） （0，±c ） 在y 轴上运用新知 1已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3 m ，求这个椭圆的标准方程．思路分析：巩固椭圆的标准方程，通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性．解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出椭圆的标准方程．解：以两焦点F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）． 根据题意知2a ＝3，2c ＝2.4，即a ＝1.5，c ＝1.2，所以b 2＝a 2－c 2＝1.52－1.22＝0.81．因此，这个椭圆的标准方程为x 22.25＋y 20.81＝1． 点评：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；（2）掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； （3）培养学生运用知识解决问题的能力．2求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10．（2）两焦点坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－32，52）．（教材例题改编）（3）a ＋b ＝10，c ＝25．思路分析：（1）根据题设容易知道c ＝4，2a ＝10且椭圆焦点在x 轴上；（2）思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点（－32，52）到两个焦点（0，－2）、（0，2）的距离之和为常数2a ）求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出b 2的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），再将椭圆上点的坐标（－32，52）代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出a 2、b 2的值，从而得到椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1． （3）利用已知条件得a 2－b 2＝20，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10，a 2－b 2＝20， 解得a ，b ．然后根据焦点位置分别写出焦点在x 轴和y 轴上的椭圆方程．答案：（1）x 225＋y 29＝1 （2）y 210＋x 26＝1 （3）x 236＋y 216＝1或y 236＋x 216＝1． 点评：加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，加深对定义的理解和对分类讨论数学思想方法的运用．教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 2．已知a ＝5，c ＝4，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）3．已知a ＝4，______，可以求得椭圆的标准方程为x 29＋y 216＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．学情预测：1．a ＝5，b ＝4，c ＝3，两焦点为（－3，0），（3，0）．2．b ＝3，椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1等． 3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝7，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，7）；或椭圆上有一点（3，0）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．椭圆x 264＋y 29＝1上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是______．2．动点P 到定点F 1（－5，0），F 2（5，0）的距离的和是10，则动点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．线段F 1F 2C ．直线F 1F 2D ．不能确定3．如图所示，若AB 是过椭圆x 29＋y 225＝1的下焦点F 1的弦，则△F 2AB 的周长是______． 4．椭圆4x 2＋3y 2＝12的焦点坐标是______．5．简化方程：x 2＋y ＋32＋x 2＋y －32＝10．（学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正．）答案：1.10 2．B 3.20 4．（0，1），（0，－1） 5．y 225＋x 216＝1 课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）1．椭圆的定义．（注意定义中的三个条件）2．椭圆的标准方程．（注意焦点的位置与方程形式的关系）3．标准方程中a ，b ，c 的关系．4．注意体会运动变化、类比推理、抽象概括、数形结合等数学思想方法在数学学习中的运用．5．若有时间或机会，可以引导学生得出推导椭圆标准方程更为简单的解法：同前得，(x ＋c)2＋y 2＋(x －c)2＋y 2＝2a ，①对①式左边分子有理化，得4cx ＝2a （(x ＋c)2＋y 2－(x －c)2＋y 2）． 即(x ＋c)2＋y 2－(x －c)2＋y 2＝2c ax ．③ ①＋③，并整理，得(x ＋c)2＋y 2＝a ＋c ax ． 以下从略．布置作业教材习题 2.2．A 组 1，2．补充练习基础练习1．填空题：（1）x 252＋y 232＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； （2） x 242＋y 262＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； （3）x 29＋y 24＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； 2．求下列椭圆的焦点坐标：（1）x 29＋y 24＝1 （2）16x 2＋7y 2＝112． 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a ＝4 ，b ＝3，焦点在x 轴上；（2）b ＝1 ，c ＝15，焦点在y 轴上；（3）经过点P （－2 ， 0）和Q （0 ， －3）．答案或提示或解答：1．（1）5 3 （2）6 4 （3）3 22．（1）（5，0），（－5，0） （2）（0，3），（0，－3）3．（1）x 216＋y 29＝1 （2）y 216＋x 2＝1 （3）y 29＋x 24＝1 拓展练习4．设定点A （6，2），P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程． 解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M （x ，y ），P （x 1，y 1）；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵x 2125＋y 219＝1，∴点M的轨迹方程为(x－3)225＋(y－1)29＝14；④伴随轨迹表示的范围．本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征．多媒体创设问题情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究．在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯，在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围．在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美．在对教材中“令a2－c2＝b2”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当M 为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．。
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《椭圆及其标准方程》教学设计说明一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科.从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点.教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
二、教学目标设置1.课程目标（1）了解圆锥曲线与二次方程的关系；（2）掌握圆锥曲线的基本几何性质；（3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.2.单元目标（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.3.本节课教学目标（1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨迹；（2）类比建立圆的方程的方法，通过交流讨论，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程；（3）结合椭圆的标准方程和它的几何图形，能指出参数a、b、c的几何意义；（4）会用椭圆定义和标准方程解决与课本上类似的题目；（5）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
三、学生学情分析学生已有认知基础：学生已经学习了圆的概念及其方程，还有曲线与方程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想；学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生有建立圆的概念和方程的经历。
达成目标所需认知基础：解析法的数形结合思想和解析法的步骤.已有基础与需要基础之间的差异：关于椭圆概念的获得，学生容易通过几何图形发现轨迹上的点的特征。
但学生不容易形成概念体系并用精准的语言描述。
在概括椭圆的定义时，需要教师作适当的启发，然后再用数学语言进行精确的描述。
推导椭圆标准方程时会遇到两个困难，首先是坐标系如何建立才能使椭圆方程更简单，需要类比圆的方程的建立方法，根据椭圆的对称性建立直角坐标系。
其次是如何化简方程使其最简洁，学生已有的知识与能力不能完全胜任独立解决的要求，需要教师作适当的讲解。
教学难点及突破策略1.本节课的教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简。
2.突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
四、教学策略分析1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究活动，以问题作为引领，诱导学生积极思考；2.利用手工制作的教具和现代教育手段，把教学内容与教具及现代教育手段合理整合。
利用椭圆画图仪软件感受动态过程，提高课堂效率；3.在探究椭圆概念时，学生分组合作画椭圆，在此基础上抽象概括椭圆的定义，配合问题引导，加深对椭圆概念的理解；4.在探究椭圆标准方程时，引导学生回忆求曲线方程的一般步骤。
通过系列设问引导，用类比法建立合理的直角坐标系。
在列出式子进行化简时会遇到比较复杂的双根式化简问题，教师及时介入，帮助学生顺利导出方程。
根据以上分析，本节课采用启发探究式的教学方式。
在启发探究式教学过程中，以问题引导学生的思维活动。
教学中结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。
五、教学过程1.创设情境、引出新知先引导学生回顾已学的曲线的方程与方程的曲线及求曲线方程的步骤。
然后用课件演示一些生活中椭圆的例子，还有一些天体运行的轨迹图，并提出问题：“这些天体运行的轨迹是什么呢？”学生经过观察，很直观地看出是椭圆，从而引出本课要研究的问题：“我们能否描述这些天体运行的轨迹的概念并求出其方程呢？”学习了本节课的内容，就可以解决这些问题.【设计意图】一方面，通过复习前面学过的有关知识，唤起学生的记忆，为本节课学习作好铺垫。
另一方面，借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。
同时激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备.2．尝试实验，探究概念请学生拿出事先准备好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌同学一起合作按要求画椭圆，同时配合用椭圆仪和多媒体演示画椭圆。
在画椭圆的过程中引导学生思考以下3个问题：（1）视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹是什么？（2）若绳长等于两图钉之间的距离，画出的图形还是椭圆吗？（3）若绳长小于两图钉之间的距离呢？学生边作图、边思考、边讨论，每组学生都可对上述三个问题进行研究比较.引导学生全员参与，积极发言，相互补充，从而探究出三个结论并概括出椭圆的定义．【设计意图】以活动为载体，让学生在“做中学”数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验.同时，我力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维的能力3．应用举例，及时评价例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.（1）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为6的点M的轨迹.解：因为︱MF1︱+︱MF2︱=6>︱FF︱=4，所以点M的轨迹为椭圆.（2）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹.解：因为︱MF1︱+︱MF2︱=4=︱F1F2︱=4，所以点M的轨迹不是椭圆（是线段F1F2）。
（3）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹.解：因为︱MF1︱+︱MF2︱=3<︱F1F2︱=4，故点M无轨迹图形.【设计意图】恰当处理预设与生成的关系，运用反馈调节机制，及时评价，激励学生的学习热情.4．类比迁移，推导方程引导学生思考以下两个问题：（1）求曲线方程的一般步骤是什么？（2）圆心在原点与不在原点的圆的方程哪个形式更简单？为什么？【设计意图】引导学生明确思维的方向，通过复习旧知，为在椭圆上建立坐标系搭桥铺路.提问：类比建立圆的方程的方法，怎样在椭圆上建立直角坐标系，才能使椭圆方程更简单？通过前面知识的回忆，以及学生思考、相互交流，可以选定下列建立坐标系的方案，推导椭圆方程.（1）以经过椭圆两焦点的直线为x 轴，以两个焦点连线的中点为原点，建立直角坐标系；（2）设出动点的坐标，写出动点满足的集合；（3）把动点条件坐标化；（4) 化简得到方程 122222=-+ca y a x 。
【设计意图】经过推导椭圆标准方程的过程，掌握推导方法。
5.启发引导，探究意义（1）引导学生在椭圆上找出22,,a c a c -表示的线段.（2）理解引入22c a b -=的必要性及几何意义.（3）最后得到椭圆的标准方程 12222=+by a x （a>0,b>0） 【设计意图】说明a,b,c 的几何意义，进一步解释引进b 的好处，体会解析几何的数形结合思想。
6.拓展引申，对比分析本环节我首先提出问题：“前面我们得到了焦点在x 轴上的椭圆方程，如果椭圆的焦点在y 轴上，椭圆的标准方程是怎样的呢？”学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：12222=+bx a y （a ＞0,b ＞0） 接下来，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆两种标准方程的理解。
【设计意图】通过两种方程，进行对比反思，让学生利用对称性进行猜想，培养学生的类比思维能力．不仅使学生加深对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础.7.知识应用，目标评价例2、求下面方程的a,b,并说出焦点的位置。
222211, b= 53x y a +==（）则 222221, b= 46x y a +==（）则 221, b= 96x y a +==（3）则 活动形式:思考—解答—点评【设计意图】评价学生对椭圆两种形式的标准方程的理解程度.练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程（1）已知两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10.（2）将上题焦点改为（0，-4），（0,4），结果如何？（3）将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10.结果如何？【设计意图】数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该课堂练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受"数形结合思想".8.归纳小结，布置作业小结（2）：思想方法总结：一种方法：坐标法二类方程：2222+=1x y a b 2222+=1(0)y x a b a b>> 三个思想：代数化思想，类比思想，数形结合思想【设计意图】归纳小结由师生共同完成，引导学生积极发言，通过填写表格对本节内容进行反思、归纳、总结，从而达到深化知识理解，构建知识网络，领悟思想方法的目的． 作业布置(1)阅读课本相关内容进行复习；(2)课本42页练习第1、2题，49页习题2.2 A 组第1题；（3）课外作业：课本50页课后探究。
【设计意图】作业由易到难，分必做题和选做题，体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的发展空间，进一步促进教学目标的实现.参考文献：〔1〕中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.〔2〕人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1〔M〕. 北京：人民教育出版社，2012.“椭圆及其标准方程”课例点评本节课教学目标定位较准确。