高考数学新版一轮复习教程学案：第46课__椭圆的标准方程
一轮复习讲解椭圆
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忆一忆知识要点
(2)第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e (0<e<1) 时，则这个点的轨迹 是椭圆．定点是椭圆的 焦点 ，定直线叫椭圆的 准线 ，常 数是椭圆的 离心率 ．
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忆一忆知识要点
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 xa22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋xb22＝1 (a>b>0) 图形
S ∴ PF1F2 ＝12mnsin 60°＝ 33b2，
即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
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探究提高
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角 形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦 定理、PF1＋PF2＝2a，得到 a、c 的关系．
定义式的平方 (2)对△F1PF2 的处理方法余弦定理
(2)利用SF1PF2＝12PF1·PF2sin 60°可证．
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(1)解 设椭圆方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)，
PF1＝m，PF2＝n，则 m＋n＝2a. 在△PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋2 n2＝4a2－3a2＝a2 (当且仅当 m＝n 时取等号)． ∴ac22≥14，即 e≥12. 又 0<e<1，∴e 的取值范围是12，1. (2)证明 由(1)知 mn＝43b2，
如果 b<12，则当 y＝－b 时， d2 取得最大值，即有( 7)2＝b＋322， 解得 b＝ 7－32>12与 b<12矛盾．
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如果 b≥12，则当 y＝－12时，
高考数学一轮单元复习 第46讲 椭圆课件
► 探究点3 椭圆的几何(jǐ hé)性质的应用
【思路】 根据点M到x轴的距离构建关于a，b，c的关系式， 求得离心率；结合(jiéhé)椭圆的定义和余弦定理求得角的取值 范围.
第十三页，共22页。
第十四页，共22页。
r1
a2
r2 2
2
1
0
0,
2
第十五页，共22页。
【点评】 (1)求离心率常借助于椭圆的定义，图形
中直线的位置关系，题目中所给的具体数值，探求a、b、
c之间的关系，结合a2＝b2＋c2这一条件直接求解或
者转化为关于e＝
的一元二次方程求解，依据
离心
率的范围进行根的取舍；(2)注意椭圆的定义在研究
椭圆性质中的应用.如解下面(xià mian)变式题时椭圆的
第一页，共22页。
第46讲│知识(ZHĪ SHI)梳理
知识梳理
椭圆(tuǒyuán) 焦距(jiāojù)
MF1 MF2 2a
F1F2 焦点
第二页，共22页。
第46讲│知识(ZHĪ SHI)梳理
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1 A2 2a
B1B2 2b
【思路】 题目没有说明长轴所在的位置，解题时要分 类讨论，设出椭圆方程，利用(lìyòng)待定系数法求解.
第九页，共22页。
第十页，共22页。
6m n 1 3m 2n 1
第十一页，共22页。
【点评】 求解椭圆的标准方程即确定a.b的值，需要根 据已知条件确定两个独立的方程.求解时要注意：(1)依据长 轴所在的位置确立合适的方程形式(xíngshì)，不能确定的 要进行分类讨论；(2)当椭圆过两个已知点时，可以直接设 为mx2＋ny2＝1的形式(xíngshì)，可以简化运算.
高三数学专项复习椭圆的标准方程课件
标准方程 图形
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长
离心率
a,b, c 的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y
o
x
x2 y2 1(a b 0)
b2 a2 y
ox
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b a ≤ y≤ a , b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：
YM
左边是两个分式的平方和， F1 O
F2 X
(-c,0)
(c,0)
右边是1
x2 y2
（2）椭圆的标准方程中， a2 b2 1(a b 0)
x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一个轴上。
Y
F2(0 , c)
M X
O
（3）椭圆的标准方程中
F1(0,-c)
❖ A、 1 B、 C、3 D、 5
2
2
2
6
3
❖ 2、（2010）方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上
的椭圆，则实数k的取值范围是（ D）
❖ A、（0，+） B、（1，+ ）
❖ C、（0,2） D、（0,1）
知识点一：椭圆的定义
M
F1
F2
演示椭圆的定义
❖ 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
❖ 这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点， ❖ 两个焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距．
知识点二：椭圆的标准方程
求曲线方程的步骤:
步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标M(x，y) 步骤二：找关系式|MF1|+|MF2|=2a |F1F2|=2c(c＞0) F1（-c,0) F2(c,0)
椭圆的方程与性质课件-2024届高考数学一轮复习
动圆圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1.
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总结提炼
1. 椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周
长、面积及求弦长、最值和离心率等.
2. 通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积
问题.
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[对点训练]
1. 已知圆（ x ＋ 2 ）2＋ y 2＝16的圆心为 M ， P 是圆 M 上的动点，点 N
2
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回归课本
1. 判断：
（1）
2
（RA选一P109练习第2题改编）椭圆 ＋ x 2＝1的焦点坐标为
16
（0，± 15 ），短轴长为1.
（2）
（
✕
）
2
2
（RA选一P109练习第3题（1）改编）经过椭圆 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞
b ＞0）的右焦点 F 2作直线 AB ，交椭圆于 A ， B 两点， F 1是椭圆的左焦
由椭圆经过点
−
＋
,−
，可得2 a ＝
−
＝2
+
＋
−
＋
，所以 a ＝ ，则 b 2＝ a 2－ c 2＝6.所以
椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2） 椭圆的焦点在坐标轴上，且经过 A （ 3 ，－2）和 B （－2 3 ，
1）两点；
6
2
2
B. ＋ ＝1
18
9
2
2
C. ＋ ＝1
《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第46课椭圆的标准方程
第46课 椭圆的标准方程一、考纲要求1.理解椭圆的定义，能依据椭圆的定义求椭圆的标准方程；2.把握椭圆的标准方程；3.能依据已知条件确定椭圆的类型，再结合定义或待定系数法求相关基本量，进而求椭圆的标准方程． 二、基础梳理 回顾要求1、在△ABC 中，B(-3,0),C(3,0),且△ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程为_________________. 【教学建议】本题是教材上一道习题的改编，依据椭圆的定义及焦点位置可直接写出轨迹方程为1162522=+y x ，但△ABC 的三个顶点不能共线，故0≠y ，这点同学特殊简洁忽视；若将B 、C 两点坐标 改成B(0,-3),C(0,3),其它条件不变，则顶点A 的轨迹方程又是什么？2、已知椭圆的方程为：1162522=+y x ，请填空： (1)a =___，b =___，c =___，焦点坐标为______，焦距等于 .(2)若C 为椭圆上任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，并且12CF =,则2CF = _____.【教学建议】通过本题（1）的讲解，使同学会由标准方程求,,a b c ，焦距等基本量；可增加一个问题：若椭圆的方程为14491622=+y x 呢？使同学明确，求基本量时应先将方程化为标准方程再求解。
同时通过本题使同学加深对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解；题（2）巩固椭圆的定义，提示同学解圆锥曲线问题时要不忘定义。
教学时通过同学自主完成的方法，有利于同学对基础学问的把握和增加学好本课内容的信念。
必要时，可将标准方程、对应的图形、,,a b c 之间的关系等投影回顾． 3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 4,3a b ==，焦点在 x 轴； (2) 4,3b c ==，焦点在y 轴上；(3)两个焦点的坐标是()()0,2,0,2-，并且经过点（-1.5，2.5）.【教学建议】本题选自课本习题。
高三一轮复习椭圆学案 ((复习课))
高三一轮复习椭圆学案-------椭圆的定义、标准方程及性质【学习目标】1、椭圆的定义、性质及标准方程2、椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质3、椭圆的焦点三角形及相关结论【回顾知识、把握基础】（自主梳理）1. 椭圆的定义：在平面内到两定点12F F 、的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫 .这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做 .椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（1）若21PF PF +=2a ＞21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （2）若21PF PF +=2a =21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （3）若21PF PF +=2a ＜21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . 2. 椭圆的方程（中心在原点，坐标轴为对称轴）： （1）椭圆的标准方程焦点在x 轴上时方程为 ： . 焦点在y 轴上时方程为 ： . （2）椭圆的一般方程： . （3）椭圆的参数方程： . 3. 标准方程图形范围 顶点对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点焦距 离心率4. 几个重要结论：设P 是椭圆上)0(12222>>=+b a by a x 的点，12F F 、是椭圆的焦点，θ=∠21PF F ,则(1)=∆21PF F S .(2) 当P 为短轴端点时=∆max )(21PF F S .(3)当P 为短轴端点时，21PF F ∠为 . (4)椭圆上的点 距离1F 最近， 距离2F 最远.c a -≤1PF ≤c a +;],[2221a b PF PF ∈⋅(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短=CD . (6)如图1ABF ∆的周长为 . 5．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上⇔ .（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部⇔ .（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部⇔ .6．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为： .与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为： .【典例分析】考点一：椭圆的定义及应用 例1、（1）已知12F F 、为两定点，21F F ＝4，动点M 满足421=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 .（2） 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为其上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．oPCxyD1F2F1A 2A考点二：求椭圆的标准方程例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23；(2)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(3)与椭圆 x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63例3、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，=∠21PF F 60°，21F PF ∆的面积为3，且离心率为21，求此椭圆的方程。
高考数学一轮单元复习 第46讲 椭圆课件
∴所求椭圆的方程为x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
h
10
第46讲│要点探究
(2)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点，P1、P2 点坐标适合椭圆方程，
代入得 6m n 1 3m 2n 1
解∴得所求m椭＝圆19，方n程＝为13. x92＋y32＝1.
倾斜角为 γ. (1)证明：点 P 是椭圆xa22＋by22＝1 与直线 l1 的唯一交点； (2)证明：tanα，tanβ，tanγ 构成等比数列．
h
18
第46讲│要点探究
【思路】 (1)直线与圆的交点联立方程组求得；(2) 利用等比中项法证明等比数列．
【解答】 (1)由xa02x＋by02y＝1 椭圆方程xa22＋by22＝1，得
F1
(－c，0)，F2 (2) 焦点在
y(c轴，上0)的. 椭圆的标准方程：ay22＋xb22＝1
(a>b>0)，焦
点 F1 (0，－c)，F2 (0，c).
h
2
第46讲│知识梳理
其中 a，b，c 几何意义：a 表示长轴长的一半，b 表示短轴 长的一半，c 表示焦距长的一半.并且有 a2＝b2＋c2.
h
22
► 探究点3 椭圆的几何性质的应用 例 3 已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的长轴右端点、短轴上
端点分别为 A、B，从椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂 线，恰好过椭圆的左焦点 F1，向量 AB 与 OM 是共线向量.
(1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点， 求∠F1QF2 的取值范围.
江苏省建陵高级中学高三数学一轮复习导学案椭圆的标准方程和几何性质(1)
1、点P到点F（1，0）的距离是 到直线x=9的距离的 ，,则点P轨迹
的方程是
2、已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，其焦距的取值范围
是
3、已知 ABC中，A(-4，0），C（4,0)，B在椭圆 上，则
的值=
4、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点，且△ 的周长为20，则A到左准线的距离和到左焦点的距离之比为.
2、若椭圆 的离心率为 ,则m的值是
3、椭圆 上一点Ｍ到左焦点Ｆ１的距离为２，Ｎ点是ＭＦ１的中点，
Ｏ是坐标原点，则｜ON｜＝
4、已知直线 与椭圆 的一个交点在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则m的值=
5、椭圆 上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点距离
为1，则P到右准线的距离=
6、已知椭圆的焦点为F1(—3，0），F2（3,0），且椭圆与直线x-y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。
4、椭圆的第二定义：内到一个定点F和到一条定直线l（）的距离之比等于常数e 的点的轨迹叫椭圆，其中F叫点，l叫做相应F的线。中心在原点,焦点在x轴上椭圆的准线方程为，焦点在y轴上椭圆的准线方程为.
5、已知椭圆 上一点Ｍ，若点Ｍ到一个焦点的距离是３，则它到相应准线的距离为，到另一个焦点的距离为.
三：课堂研讨
例1、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的３倍,
且过点Ｐ（３，２），求椭圆的方程.
例2、设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点,
（1）若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1｜>｜PF2|，求 的值；
（2）当 为钝角时，求点P横坐标的取值范围;
（3）当Q在左准线上时，求 的最大值。
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高考数学新版一轮复习教程学案
第46课 椭圆的标准方程
1. 熟练掌握椭圆的定义、几何性质.
2. 会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.
3. 重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题.
1. 阅读：选修11第25～26页，选修11第28～29页(理科阅读选修21相应内容).
2. 解悟：①椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；②椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？③理解化简过程中设a 2－c 2＝b 2的合理性与必要性.
3. 践习：①将选修11第28页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；②在教材空白处，完成选修11第30页练习第2、3、4题(理科完成选修21相应任务).
基础诊断
1. 已知下列方程：①x 24＋y 23＝1；②4x 2＋3y 2＝12；③2x 2＋2y 2＝5；④x 212＋y 232 ＝1.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有 ②④ .(填序号)
解析：①的方程表示焦点在x 轴上的椭圆；将②的方程4x 2＋3y 2＝12化为x 23＋y 24
＝1，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；③是圆；④表示焦点为F(0，1)的椭圆.
2. 已知M(1，0)，N(0，1)，动点P 满足PM ＋PN ＝2，则点P 的轨迹是 椭圆 .
3. 已知椭圆x 212＋y 23
＝1，其焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，
则PF 1＝ 2 ，PF 2＝ 2 . 解析：由题意得c ＝a 2－b 2＝3，所以F 2(3，0).设PF 1的中点为Q ，则OQ ∥PF 2，所以
PF 2垂直于x 轴，故可设P(3，y 0)，所以912＋y 203＝1，所以y 0＝±32，所以PF 2＝32
.又因为PF 1＋PF 2＝43，所以PF 1＝732
. 4. 已知方程x 22－k ＋y 2
2k －1
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 (1，2) .
解析：由题意得2k －1>2－k>0，所以1<k<2.
范例导航
考向❶ 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；
(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭
⎫－32，52. 解析：(1) 因为椭圆的焦点在x 轴上，
故设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0). 由题意知2a ＝10，
c ＝4，所以a ＝5，
所以b 2＝a 2－c 2＝9，
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29
＝1. (2) 因为椭圆的焦点在y 轴上，
故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a>b>0). 由题意及椭圆定义知2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22
＝210， 所以a ＝10.
又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6，
所以椭圆的标准方程为y 210＋x 2
6
＝1.
求满足下列条件椭圆的标准方程：
(1) 长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； (2) 经过两点A(0，2)和B ⎝⎛⎭
⎫12，3. 解析：(1) 若椭圆的焦点在x 轴上，
设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a>b>0). 因为椭圆过点A(3，0)，所以9a
2＝1，所以a ＝3. 又2a ＝3·2b ，所以b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 29
＋y 2＝1. 若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (a>b>0). 因为椭圆过点A(3，0)，所以9b
2＝1，所以b ＝3. 又2a ＝3·2b ，
所以a ＝9，所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29
＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9
＝1. (2) 设经过两点A(0，2)，B ⎝⎛⎭
⎫12，3的椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，
将A ，B 两点的坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14
m ＋3n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，
所以椭圆的标准方程为x 2＋y 24
＝1. 考向❷ 椭圆的定义及应用
例2 求过点A(2，0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程.
解析：将圆的方程化简为(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2，0)，r ＝6.
设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，动圆与已知圆的切点为C ，如图所示.
则BC －MC ＝BM ，而BC ＝6，所以BM ＋CM ＝6.
又CM ＝AM ，所以BM ＋AM ＝6>AB ＝4，
所以点M 的轨迹是以点B(－2，0)，A(2，0)为焦点、线段AB 的中点(0，0)为中心的椭圆，
所以a ＝3，c ＝2，b ＝5，
所以所求轨迹方程为x 29＋y 25
＝1.
已知定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F(3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E.
(1) 求轨迹E 的方程；
(2) 设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝CB ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程.
解析：(1) 因为点F(3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，所以圆N 内切于圆M. 因为NM ＋NF ＝4＞FM ，
所以点N 的轨迹E 是以M(－3，0)，F(3，0)为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝3，所以b ＝1，
所以轨迹E 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2) ①当AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)，
此时S △ABC ＝12
·OC·AB ＝2. ②当直线AB 的斜率存在且不为0时，
设其斜率为k ，直线AB 的方程为y ＝kx ，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，
可得x 2A ＝
41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2， 所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝
4（1＋k 2）1＋4k 2. 由AC ＝CB 知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，
所以直线OC 的方程为y ＝－1k
x ，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ， 得x 2C ＝4k 2k 2＋4，y 2C ＝4k 2＋4
， 所以OC 2＝4（1＋k 2）k 2＋4
. S △ABC ＝2S △OAC ＝OA·OC ＝
4（1＋k 2）1＋4k 2·4（1＋k 2）k 2＋4＝4（1＋k 2）（1＋4k 2）（k 2＋4）
. 由于（1＋4k 2）（k 2＋4）≤⎣⎡⎦⎤（1＋4k 2）＋（k 2＋4）22＝5（1＋k 2
）2， 所以S △ABC ≥85
， 当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，
此时△ABC 面积的最小值是85
. 因为2＞85，所以△ABC 面积的最小值为85
， 此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.
自测反馈
1. 若椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，则k ＝ 1 Ｗ.
解析：把椭圆方程化为标准方程得x 2＋y 2
5
k
＝1，因为焦点坐标为(0，2)，所以长半轴在y 轴上，则c ＝5k
－1＝2，解得k ＝1. 2. 已知P 是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的一点，F 1，F 2是它的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则
△PF 1F 2的面积为 3
Ｗ. 解析：因为椭圆x 225＋y 2
16
＝1，所以a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.设PF 1＝t 1，PF 2＝t 2，则t 1＋t 2＝10，t 21＋t 22－2t 1t 2cos 60°＝36，即t 21＋t 22－t 1t 2＝36，所以t 1t 2＝13[(t 1＋t 2)2－(t 21＋t 22－t 1t 2)]＝643
，
所以S △PF 1F 2＝12t 1t 2sin 60°＝1633
. 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另外一个焦点在边BC 上，则△ABC .
解析：由椭圆x 23
＋y 2＝1，所以a 2＝3，解得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为A 1，由椭圆的定义可得BA ＋BA 1＝CA ＋CA 1＝2a ，所以△ABC 的周长为4a ＝4 3.
4. 过两点(2，－2)，⎝
⎛⎭⎫－1，142，中心在原点，焦点在坐标轴上椭圆的方程为 x 28＋y 2
4
＝1 Ｗ. 解析：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩
⎪⎨⎪⎧4m ＋2n ＝1，m ＋72n ＝1，解得⎩
⎨⎧m ＝18，n ＝14，所以椭圆的方程为x 28＋y 2
4＝1.
1. 椭圆定义中的条件：2a>F 1F 2＝2c ，否则其轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，其轨迹是线段；当2a<2c 时，轨迹不存在.
2. 求椭圆标准方程时，要先确定焦点的位置，再确定a ，b ，c ，由于有a 2－c 2＝b 2，因此，只要能够确定a ，b ，c 中的两个即可.
3. 你还有哪些体悟，写下来：。