高中数学学案椭圆(苏教版)
高中数学 第八章 椭圆及其标准方程教学案 苏教版 学案
椭圆及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 [ ]由学生口答，答案为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．六、板书设计。
高中数学选修112.1.2椭圆的几何性质(1)学案(苏教版)【推荐下载】
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高中数学选修112.1.2椭圆的几何性质（1）学案
（苏教版）
年级高二学科数学选修1-1/2-1
总课题2.2.2椭圆的几何性质总课时第课时
分课题2.2.2椭圆的几何性质(1)分课时第1课时
主备人梁靓审核人朱兵上课时间
预习导读(文)阅读选修1-1第31--34页，然后做教学案，完成前三项。
(理)阅读选修2-1第33--36页，然后做教学案，完成前三项。
学习目标1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点、长轴、短轴等简单几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系
3．感受如何运用方程研究曲线的几何性质．
一、预习检查
1、椭圆的长轴的端点坐标为．
2、椭圆的长轴长与短轴长之比为2：1，它的一个焦点是，
则椭圆的标准方程为．
3、已知椭圆，若直线过椭圆的
左焦点和上顶点，则该椭圆的标准方程为．
二、问题探究
探究1: “范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围。
专注下一代成长，为了孩子。
苏教版高中数学选修2-1 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质学案
2.2.2椭圆的几何性质1．椭圆的简单几何性质(1)定义：焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率．(2)范围：e ＝ca ∈(0,1)． (3)作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁； 当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆． 思考：(1)离心率e 能否用ba 表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示] (1)e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．] 2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3,0.8 B ．10,6,0.8 C ．5,3,0.6D ．10,6,0.6B [椭圆方程可化为x 29＋y 225＝1，则a ＝5，b ＝3，c ＝25－9＝4，e ＝c a ＝45，故B.]3．椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的离心率e ＝22，则实数a 的值为________． 22 [因为a >2，所以e ＝a 2－4a ＝22，解得a ＝2 2.]4．椭圆x 24＋y 2＝1被过右焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为________． 1 [右焦点为(3，0)，把x ＝3代入得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，所以过焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为12×2＝1.]【例 (2)求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路探究] 分清椭圆的焦点所在的轴，确定a ，b 后研究性质．(1)22 [把椭圆2x 2＋3y 2＝12化为标准方程，得x 26＋y 24＝1，易知a 2＝6，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝2，∴c ＝2，故2c ＝2 2.](2)[解] 椭圆的方程可化为 x 2＋y 281＝1，∴a ＝9，b ＝1，∴c ＝81－1＝80＝45，∴椭圆的长轴长和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－45)，F 2(0,45)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)， B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝459.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)，因为m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，所以m >m m ＋3，所以焦点在x 轴上，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得e ＝ca ＝m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.所以a ＝1，b ＝12，c ＝32，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是23；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路探究] 确定焦点位置→设标准方程→求出a 2，b 2→ 写出标准方程[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝6，∴a ＝3.又e ＝c a ＝23，∴c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1. (2)由题意知焦点在x 轴上，故可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且两焦点为F ′(－3，0)，F (3,0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．2．已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求该椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. 法二：设椭圆的标准方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n＝1，2m ＝5×2n或⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n ＝1，2n ＝5×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝25，n ＝625.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.【例3】 1和上顶点B ，则该椭圆的离心率为________．(2)已知椭圆C 的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B ，∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率为________．[思路探究] (1)求出直线l 与x 、y 轴交点，找出a ，b ，进而求出离心率e ； (2)在直角三角形OAB 中，由∠OAB ＝30°，可得a ，b 的关系，利用这个a ，b 的关系可求离心率．(1)255 (2)63 [(1)在直线l 的方程x －2y ＋2＝0中令y ＝0得x ＝－2，令x ＝0得y ＝1，故F 1(－2,0)，B (0,1)，所以c ＝2，b ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5.所以a ＝5，因此离心率e ＝c a ＝25＝255.(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，由条件得∠OAB ＝30°，OA ＝a ，OB ＝b ，∴b a ＝tan 30°＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－13＝23，∴e ＝63.]求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： 1．若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解； 2．若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解； 3．若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．3．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[解] 如图，连接BF 2. ∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥BF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c . 据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，∴ca ＝3－1. ∴椭圆的离心率e ＝3－1.[1．直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？[提示] (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0，即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．2．直线与椭圆相交时，若交点为A ，B ，则线段AB 是椭圆的弦，如何计算弦AB 的长呢？[提示] 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长公式为： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.3．与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，能否确定直线AB 的斜率？[提示] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0， 即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.这种方法叫平方差法，也叫点差法． 【例4】 已知椭圆x 24＋y 2＝1.(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？ (2)当m ＝2时，求直线y ＝x ＋m 被椭圆截得的线段长．[思路探究] 联立，消去y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长[解] (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y ，得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0.(*)∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，∴－5<m <5，∴当－5<m <5时，直线与椭圆有两个不同的交点． (2)当m ＝2时，方程(*)化为5x 2＋16x ＋12＝0，设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝45 2.直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断．2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．4.如图，已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程．[解] 设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x1＋x22＝－18k(1－k)2(9k2＋4)＝1，解得k＝－49.故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．4．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1D [右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．32 [由题意知0<m <2，且e 2＝1－b 2a 2＝1－m 2＝14. 所以m ＝32.]4．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．[解] 由题意知⎩⎨⎧ c a ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2 椭圆》3
椭圆（复习课）教学目标：1. 掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质；2. 熟练掌握椭圆方程的建立过程，并能够运用到一般的曲线方程的建立和点的轨迹的求解；3. 了解椭圆的性质，进一步类比推理和分类讨论的数学思想。
知识要求：椭圆标准方程与几何性质（Ｂ级）教学重点：椭圆的定义和性质的应用教学难点：利用圆的方程的建立过程类比得到椭圆的方程的建立。
考点梳理：1. 椭圆的概念（1）平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于1F 2F ）的点的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
{}为常数,且,0,0其中,2,2集合2121c a c a c F F a MF MF M P >>==+= ①若 ，则P 点的轨迹就是椭圆；②若 ，则P 点的轨迹就是线段；③若 ，则P 点不存在（2）圆锥曲线的统一性质（椭圆性质）2椭圆的标准方程和几何性质)10(<<=e e dPF尝试练习：1椭圆112322=+y x 的焦点坐标为 （选修1-1，P30题1（2）） 2若方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （选修1-1，P31题6） 3设椭圆192522=+y x 上一点P 的横坐标是2，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，则1PF =2PF = （选修1-1，P31题5）4设F 是椭圆的一个焦点，21B B 是短轴，0260=∠FB B，则椭圆的离心率为 （选修1-1，P34题5（2）） 典型例题例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1） 两个焦点坐标分别为()0,4-和()0,4，且椭圆经过点()0,5A ；变式：两个焦点坐标分别为()0,4-和()0,4，且椭圆经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59,4A ； （方法提示：方法一、利用图形性质；方法二、定义、方法三、常用结论）（2） 长轴是短轴的3倍，且经过点()1,0B（方法提示：分类讨论）例2. 椭圆的几何性质在ABC RT ∆中，1==AC AB ，如果一个椭圆通过B A ,两点，他的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率。
【新学案】数学苏教版选修学案：椭圆的几何性质含解析
第4课时椭圆的几何性质(1)教学过程一、问题情境问题1方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?解方案1列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1]问题2与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点?[2]解①椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;②方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;③方程中x2和y2的系数不相等.二、数学建构1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1+=1变形为=1-≤1,即x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.方案2椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.(图1)方案3还可以用三角换元,设=cosθ,=sinθ,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3]在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于y 轴的对称点P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=±b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.问题3在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?解c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB 2F2,在Rt△OB2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.△OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?方案1用几何画板演示.方案2可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.方案3还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.因为a>c>0,所以0<e<1.问题4比值与之间的关系如何?解=,此式可变形为=1-或=1-=1-e2.再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:(1)当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.5.类比焦点在x轴上的情况,若椭圆的焦点在y轴上,其几何性质如何?焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆的几何性质对比:标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,a>b长半轴长为a,短半轴长为b,a>b离心率e=e=a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、数学运用【例1】(教材第35页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4](见学生用书P21) [处理建议]由椭圆的方程确定a,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.[规范板书]解根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=±,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.x0 1 2 3 4 5y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).(例1)[题后反思]本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);(2)焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;(3)焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点P(3,0).(见学生用书P22)[处理建议]根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.[规范板书]解(1)由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知2a=20,e=.所以a=10,c=8,所以b=6.又因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(3)由题意知焦点在y轴上,所以b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.变式在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉,结论如何?[5][处理建议]当焦点位置不确定时,应引导学生分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论.[规范板书]解(2)由题意知2a=20,e=,所以a=10,c=8,所以b=6.所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.(3)当焦点在x轴上时,a=3,又因为长轴长是短轴长的3倍,所以b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,b=3,又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.[题后反思]焦点位置发生变化时,a,b对应的值也就不一样了,椭圆的某些几何性质也发生了变化,尤其要紧扣其定义,比如离心率是焦距与长轴长的比值.*【例3】已知椭圆x2+my2=1的离心率为,求m的值.[处理建议]首先应将椭圆方程化为标准方程形式,然后根据方程的特征求解.[规范板书]解将椭圆方程化为x2+=1.若焦点在x轴上,则a2=1,b2=,==1-,得m=4;若焦点在y轴上,则b2=1,a2=,=m=1-=,得m=.综上,m=4或.[题后反思]已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用,含参问题求离心率应考虑焦点的位置.四、课堂练习1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标:(1) 25x2+4y2-100=0;(2)x2+4y2-4=0.解(1)椭圆方程可化为+=1,所以a=5,b=2,c=.所以长轴长为10,短轴长为4,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(±2,0)和(0,±5),焦点坐标为(0,±).(2)椭圆方程可化为+y2=1,所以a=2,b=1,c=.所以长轴长为4,短轴长为2,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(±2,0)和(0,±1),焦点坐标为(±,0).2.下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆?(1)+=1与25x2+16y2=400;(2) 3x2+4y2=12与+=1.解(1)椭圆+=1的离心率为,椭圆25x2+16y2=400的离心率为,故第二个椭圆更接近于圆.(2)椭圆3x2+4y2=12的离心率为,椭圆+=1的离心率为,故第一个椭圆更接近于圆.3.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率是.提示=1-e2,所以e=.4.根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为10和8;(2)中心在原点,一个焦点坐标为(0,4),长轴长为10;(3)对称轴都在坐标轴上,短半轴长为8,离心率为.解(1)+=1;(2)+=1;(3)+=1或+=1.五、课堂小结1.椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).2.通常用椭圆的离心率e刻画椭圆的“圆扁”程度,其中0<e<1.(1)当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.。
苏教版高中数学选修1-1《椭圆的几何性质》教学教案1
椭圆的几何性质学习目标：1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
学习重点、难点：重点：掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；难点：从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
学习策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在学习过程中根据实际情况及时地调整学习方案。
学习过程：创设问题情景，学生自主探究：方程221625400x y +=表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题； 情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形； 情形3：方程变形，求出c b a ,,，联想椭圆画法，利用绳子做图；情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形； 辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。
教师点评：（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质一、引导评价，引入课题：设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程22221(0)x y a b a b+=>>有什么特点？ （1）椭圆方程是关于y x ,的二元二次方程；（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；（3）方程中2x 和2y 的系数不相等；设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围； 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：学生活动过程：情形1：12222=+b y a x 变形为：a x a a x a x a x b y ≤≤-⇒≤⇒≤≥-=22222201，这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围：a x a ≤≤-同理，我们也可以得到y 的范围：b y b ≤≤-情形2：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122≤ax ，同理可以得到y 的范围 设计意图：（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征（1）和（2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质》2
椭圆的几何性质设计一．教学目标设置：一知识与技能：1能运用方程来研究椭圆的简单几何性质；2掌握椭圆的简单几何性质；3了解离心率对椭圆扁平程度的影响，以及根本量的相互关系；二过程与方法：感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；三情感态度与价值观：在运用方程探究椭圆的几何性质过程中，让学生知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。
二．学生学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比拟抽象，直接引入比拟突兀，给学生明确的问题，结适宜当的点拨与演示，是非常必要的。
三．重难点：重点：1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2椭圆的简单几何性质。
难点：1用方程研究椭圆的范围和对称性；2离心率的引入四．教学策略分析：1问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；2在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；3几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。
五．教学过程：一课前准备活动创设：运用所学的知识，在平面直角坐标系中画出方程所对应的曲线C1？〔方案一：利用椭圆的定义画图；方案二：根据所学先判断其为椭圆，求与轴轴的交点再连结；方案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比拟精确地画出第一象限的局部；方案四：学生可能会联系函数描点法画图〔对学生方程与函数理解要求较高〕〕【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点〔与对称轴的交点〕，即椭圆的顶点。
二探究新知：师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。
探究一：问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？〔预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观〕〔师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质那么是解析几何的目的。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.2.1 椭圆的标准方程》1
椭圆及其标准方程
常州市北郊高级中学陶华
【教学目标】
1．知识与技能目标：
理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导，会根据条件求椭圆
的标准方程．
2．过程与方法目标：
通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生数学建模和数学运
算能力，进一步体会数形结合的思想，培养学生运用类比、联想等方法提
出并解决问题．
3．情感态度与价值观目标：
通过经历椭圆标准方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美．[
【教学重点】椭圆定义和标准方程
【教学难点】椭圆标准方程的推导与化简
【教学过程】
一、创设情景，引入课题
生活中有许多椭圆形的实际例子，比方在宇宙中有许多天体的运行轨道，鸟巢，大剧院等等。
它们究竟是不是椭圆？怎么判断？怎么建立椭圆的方程？
二、学生活动，形成方法
〔1〕复习椭圆的定义；
〔2〕回忆求圆的标准方程的根本步骤
三、师生互动，导出方程
牛刀小试
1以下方程哪些是椭圆方程？假设是，指出焦点在哪个坐标轴上2求以下椭圆的焦点坐标
3椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离
四、尝试运用，深化理解
例1、求适合以下条件的椭圆的标准方程:
例2
五、课堂小结
1、知识上：
〔1〕椭圆的标准方程的推导〔2〕椭圆的标准方程
2、思想方法上：
〔1〕类比思想，数形结合思想〔2〕定义法，待定系数法。
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数学选修1-1知识点
第2章 圆锥曲线与方程 （1）椭圆
1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数 （21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．
⑴若2a ＞
21F F ，则动点P 的轨迹是椭圆 ⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F1F2
⑶若2a ＜2
1F F ，则动点P 无轨迹 2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(122
22>>=+b a b y a x 焦点
)0,(1c F -)0,(2c F
焦点在y 轴上时，方程为)0(122
22>>=+b a b x a y 焦点),0(1c F -),0(2c F
注:2
22b a c -=
椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 3．椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的性质：
(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-
(2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称
(3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，
c ± (4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c
(5)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的，准线方程是
c a x 2±=，准线到中心的距离为2
a c . 通径的长是a
b 22，通径的一半(半通径)：2
b a ，焦准距（焦点到对应准线的距离）
c b 2．
(6)离心率O F B a b a c a c e 2222
22cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁
(7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点， 焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和02
02)(ex a c a x e PF -=-=．
4．椭圆的的内外部：
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<
（2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>
5．椭圆系方程：
与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是122
22=+++λ
λb y a x （02
>+λb ）． 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：λ=+22
22b y a x 或λ=+22
22b x a y ．。