高中数学 选修2-1椭圆导学案

椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2. 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 焦点a 、b 、c 的关系探究点一 椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二 椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，212121=⋅PF PF PF PF ，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是 ，它的方程是4． 椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。

椭圆及其标准方程（二）导学案【学习要求】加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.【学法指导】通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式.【双基检测】1．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是 ( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为 ( ) A ．－1 B ．1 C ． 5D ．－ 53．“m >n >0”一定是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”吗？4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍.5．已知椭圆的焦距是2，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项，求椭圆的标准方程【问题探究】探究点一 定义法求轨迹方程例1 如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.跟踪训练1 已知圆A ：100)3(22=++y x ，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程探究点二 相关点法求轨迹方程例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点 P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 问题 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型.探究点三 直接法求轨迹方程例3 如图，设点A ，B 的坐标分别为(－5,0)，(5,0).直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－49，求点M 的轨迹方程.问题 若将例3中的－49改为a (a <0)，曲线形状如何？跟踪训练3 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.求动点P 的轨迹C 的方程.【当堂检测】1．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于 ( )A ．10B ．5C ．15D ．252．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为 ( )A ．5B ．8C ．5或3D ．16 3．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 ( ) A ．x 225＋y 29＝1 (y ≠0)B ．y 225＋x 29＝1 (y ≠0)C ．x 216＋y 216＝1 (y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1 (y ≠0)4．椭圆x 29＋y 2＝1上有动点P ，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程.【课堂小结】1．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.【拓展提高】1．已知椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程为________2．设F 1、F 2为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF >，求21PF PF 的值3．已知B A AB 、,3=分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，若OB OA OP 3231+=,则点P 的轨迹方程为4．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上， 那么点M 的纵坐标是椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程范围顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点(±a 2－b 2，0)(0，±a 2－b 2)焦距 |F 1F 2|＝2a 2－b 2对称性 对称轴： 对称中心： 离心率 e ＝ca ∈ 准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一 椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝ca越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？ （1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1； （2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二 由椭圆的几何性质求方程 例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三 求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.62．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝13．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法. 3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝12．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中22c a b =-则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B ．2[C ．3[D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率 （2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围6．椭圆的长轴长为4，椭圆中心到其准线的距离为334，则椭圆的标准方程为7．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，焦点21F F 、相应的准线为21l l 、，P 为椭圆上一点，b PF =1，则P 到2l 的距离为（ ）A ．b 63 B ．b 332 C ．b 233 D ．b 32 8．已知定点)3,2(-A ，点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求MF MA 2+的最小值，并求此时点M 的坐标椭圆的简单几何性质(二)导学案【学习要求】1．理解直线与椭圆的位置关系.2．能解决简单的与椭圆有关的综合问题.【学法指导】用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系，将图形之间的关系问题转化为方程组解的问题是典型的数形结合思想.【知识要点】1．点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔；点P在椭圆内部⇔；点P在椭圆外部⇔.2．直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋mx2a2＋y2b2＝1，消去y2 3．弦长公式设直线方程y＝kx＋m，椭圆方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0).直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2. 【问题探究】探究点一直线与椭圆的位置关系问题1已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？问题2直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断？例1已知椭圆x225＋y29＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？问题3如何求最大距离？跟踪训练1在椭圆x24＋y27＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.探究点二直线与椭圆的相交弦问题问题直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？例2已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.（1）当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.跟踪训练2已知椭圆x216＋y24＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程，并求弦AB的长.探究点三椭圆中的最值(或范围)问题问题在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？例3已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.跟踪训练3在本例中，设直线与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.教材例6（椭圆第二定义）【当堂检测】1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是 ( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠53．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点坐标是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫23，53B ．⎝⎛⎭⎫43，73C ．⎝⎛⎭⎫－23，13 D ．⎝⎛⎭⎫－132，－172 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________【课堂小结】解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 （1）设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； （2）联立直线与椭圆的方程；（3）消元得到关于x 或y 的一元二次方程； （4）利用根与系数的关系设而不求； （5）把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.【拓展提高】1．若),(y x P 在椭圆116922=+y x 上，则y x +的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．椭圆2214x y +=两焦点为21F F 、，点P 在椭圆上，则21PF PF ⋅的最大值为_____，最小值为_____ 3．椭圆2212516x y +=两焦点为21F F 、，)1,3(A 点P 在椭圆上，则PA PF +1的最大值为____ _， 最小值为_____ 4．设A (－2, 3)，椭圆3x 2＋4y 2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP |＋2|PF |取最小值时P 点的坐标是( )A ．(0, 23)B ．(0, －23)C ．(23, 3)D ．(－23, 3)5．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6．过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。