高中数学选修1-1课件：椭圆的简单性质(一)
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人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx
B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
新课标人教A版选修1-1第二章第1节《椭圆的简单几何性质(一)》课件(共15张PPT)
（2）长轴长等于20 ,离心率等于
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
人教A版选修1-1第二章2.1椭圆的基本性质(第一课时)共17张PPT
方 程
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
x2பைடு நூலகம்b2
y2 a2
1(ab0)
性
Y
Y
图象
F1
o F1
F2
X
质 范围
顶点坐标
对称性
离心率
-a≤x≤a,-b≤y≤b (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
X
F2
-a≤y≤a,-b≤x≤b (-b,0), (b,0), (0,-a), (0,a)
1－ba22求解.
(2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成c 的形式，并将其视为整体，就
a 变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
变式：若椭圆k＋x24＋y42＝1 的离心率为12，则 k＝________．
[解析] 当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋4，b2＝4， ∴c2＝k，∵e＝12，∴ca22＝14，即k＋k 4＝14，∴k＝43. 当焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝k＋4， ∴c2＝－k.由 e＝12，∴ac22＝14，∴－4k＝14. ∴k＝－1. 综上可知，k＝43或 k＝－1.
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
1．椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2到 中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. 2.椭圆上一点与焦点距离的最值：点A1(-a，0)， A2(a，0)与 焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离（ a+c ） 和最小距离（ a-c ）．
例 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 且经过点 A(2，0)，求椭圆的标准方程．
课时1 椭圆的简单几何性质+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体
上把握曲线的形状、大小和位置
1.范围
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、
最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
由椭圆的标准方程
+
= > > 可知，椭圆上任意一点的坐标
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
复习导入
问题1 椭圆的定义是什么?
平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于||）的点的轨
迹叫做椭圆
+ = ( > )
叫作椭圆的离心率．
因为 > > ，所以 < < ．
注：因为
=
+
，所以
=
=
( ) =
−
=
−
越接近，越接近， = − 越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
.
知识梳理
焦点的位置
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
3.对称轴与对称中心
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
最新北师大版选修1-1高中数学2.1.2《椭圆的简单性质》ppt课件
离心率 e=ac(0<e<1)
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
名师点拨
1.判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据: (1)若把方程中的 x 换成-x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称. (2)若把方程中的 y 换成-y,方程不变,则曲线关于 x 轴对称. (3)若把方程中的 x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一 条直线上. 3.a,b,c 在椭圆内可构成 Rt△OFB,Rt△OFB 叫作椭圆的特征三角形,这是 a,b,c 的一个几何意义.
1.2 椭圆的简单性质
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、 短轴、离心率的概念,理解椭圆的范围和 对称性. 2.掌握椭圆中 a,b,c,e 的几何意义及 a,b,c,e 之间的相互关系. 3.用代数法研究曲线的简单性质,熟练 掌握椭圆的简单性质,体会数形结合的 思想.
思维脉络
首页
椭圆的简单性质
标准方 程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
【高中数学选修1-1课件】2.1.2椭圆的简单的几何性质
2
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
人教版A版高中数学选修1-1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)
焦点的位置 范围
顶点 轴长 焦点
焦点在x轴上 __－__a_≤_x_≤__a_ _且__－__b_≤__y≤__b__
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
练习：
说出下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、 顶点坐标。
（1）x2+4y2=64；（2）4x2+y2=16
（五）作业：
1、P49习题A组3；
2、求适合下列条件的椭圆的方程：
（1）焦点在x轴上，长半轴长9，短轴长为4 （2）焦点在y轴上，焦距为8，短轴长为6
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
短轴长＝_2_b_，长轴长＝_2_a_
_F_1_(_－__c_，_0_)_、__F_2_(_c_，__0_) _F__1(_0_，__－__c_)_、__F_2_(0_，__c_)
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
焦点坐标分别是
四个顶点坐标是
F1(3,0), F2(3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
外切矩形面积为80
变式训练1：若椭圆方程变为25x2+16y2=400呢？
（三）例题精讲：
例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
A1
y
B2
O
x
A2
B1
图2.1 8
高中数学选择性必修一课件：椭圆的简单几何性质(第1课时)
由①得 c2≥b2，即 c2≥a2－c2，
∴a2≤2c2，∴e2＝ac22≥12.
又 0<e<1，∴e∈ 22，1. 由②得 c2－b2<c2，此式恒成立．
综上所述，椭圆的离心率 e 的取值范围是 22，1. 方法三：设椭圆与 y 轴的一个交点为 P，连接 PF1，PF2. ∵椭圆上存在一点 M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则 c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴ac22≥12，∴e≥ 22或 e≤－ 22， 又 0<e<1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围为 22，1.
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第1课时)
要点 1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x 轴上
图形 标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性
离心率
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
(±a，0)，(0，±b)
c趋近于a，b＝ a2－c2越小 ―→ 椭圆越__扁_平__
1．下列说法是否正确？ ①椭圆的中心一定是原点； ②椭圆有一个对称中心及无数条对称轴； ③椭圆的长轴一定比短轴长． 答：①不正确，②不正确，③正确．
2．椭圆性质的补充 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心 的距离的最小值为短半轴长 b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆 上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长 a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日 点”)是长轴的两个端点，最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c.
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1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 图形
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a方 程
y2 x2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
焦点的 位置 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
焦点在x轴上
|x|≤a，|y|≤b
焦点在y轴上
|y|≤a，|x|≤b
(3)在椭圆上任取一点M，当M为短轴端点时，两焦点的张角
最大，即∠F1MF2取到最大值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点( √ )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ( √ )
(3)椭圆的焦点一定在长轴上( √ )
(4)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁平程度)( √ ) (5)a，b，c，e中任两个量一定，椭圆的大小和形状一定 ( √ )
(±a，0)、(0，±b) (0，±a)、(±b，0) ____________________ _________________ 2a 2b 长轴长＝___________ ，短轴长＝___________ (±c，0) ___________ 2c 坐标轴 对称轴：___________ ，对称中心：原点
解析：|OA2|＝|OA1|＝长半轴，
又∵a2＝b2＋c2，
∴|F1B1|＝|F1B2|＝|F2B1|＝|F2B2|＝长半轴．
利用椭圆的标准方程研究几何性质 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、 焦点坐标、顶点坐标和离心率．
(链接教材第二章1.2例3)
[解 ] 椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为
x2 y2 ＋ ＝1， 1 1 m2 4 m2
1 1 ∵ m <4m ，∴ 2> 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴 m 4m 1 1 3 长 a＝ ，短半轴长 b＝ ，半焦距长 c＝ . m 2m 2m 2 1 ∴ 椭 圆 的 长 轴 长 2a ＝ ， 短 轴 长 2b ＝ ， 焦 点 坐 标 为 m m 3 ， 3 ， －2m， 0 2m， 0 1 1 1 1 顶点坐标为m， 0 ， －m， 0 ，0，－2m，0，2m.
2 2
3 c 2m 3 离心率 e＝ ＝ ＝ . 2 a 1 m
方法归纳 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式,不 确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、 顶点坐标等．
1 1.设椭圆方程为 mx ＋ 4y ＝4m(m>0)的离心率为 ，试求椭圆 2
2 2
的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
c a e＝___________ ∈(0，1)
(0，±c) ___________
大 2.当椭圆的离心率越___________ ，则椭圆越扁；
小 当椭圆的离心率越___________ ，则椭圆越接近于圆．
3．(1)椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2
到中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. (2)椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a，0)，(－a，0)与焦 点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离 和最小距离．
(2)当 m>4 时， a＝ m， b＝ 2，∴ c＝ m－ 4， m－ 4 1 c 16 ∴ e＝ ＝ ＝ ，解得 m＝ ， 2 3 a m 4 3 2 3 ∴ a＝ ， c＝ ， 3 3 8 3 ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ， 4，焦点坐标为 3 2 3 2 3 4 3 F1 0，－ ， F2 0， ，顶点坐标为 A1 0，－ ， 3 3 3 4 3 A20， ， B1(－2， 0)， B2(2，0)． 3
x 2 y2 解：椭圆方程可化为 ＋ ＝ 1. 4 m (1)当 0<m<4 时，a＝ 2， b＝ m， c＝ 4－ m， 4－ m 1 c ∴ e＝ ＝ ＝ ， 2 2 a ∴ m＝ 3，∴ b＝ 3， c＝1， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4， 2 3， 焦点坐标为 F1(－ 1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－ 3)， B2(0， 3)．
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
学习导航 1.了解用代数法研究椭圆的几何性质． 学习 2．理解椭圆的简单几何性质．(重点) 目标 3．掌握利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问 题．(难点) 1.通过几何图形观察、代数方程验证的学习过程， 学法 体会数形结合的数学思想． 指导 2．通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世 界观.
由椭圆的几何性质求方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过(3， 0)、(0，－5)两点； 1 (2)a＝6， e＝ ； 3 (3)一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4. (链接教材第二章 1.2 例 4、例 5)
解析： 2a＝4 2， a＝2 2， 2c＝ 4， c＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2 2)2
2 2 x y －22＝4，又焦点在 x 轴上，故椭圆方程为 ＋ ＝1. 8 4
4. 在如图所示的图形中,等于椭圆长半轴的线段有
OA1，OA2，F1B1，F1B2，F2B1，F2B2 ____________________________________.
x 2 y2 2 ． (2014· 雅 安 市高 二 期末 ) 椭圆 ＋ ＝ 1 的离 心率 是 4 2 ( C ) 2 A. 4 2 C. 2 1 B． 2 3 D. 2
2 2 2 a － b 4－2 1 c 2 2 解析：e ＝ 2＝ 2 ＝ ＝ .∴e＝ . 4 2 2 a a
3．(2014· 衡阳八中高二期末 )椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上， 长轴长为 4 2， 焦距为 4，则该椭圆的方程为( C ) x 2 y2 A. ＋ ＝1 32 16 x 2 y2 C. ＋ ＝1 8 4 x 2 y2 B. ＋ ＝ 1 12 8 x 2 y2 D. ＋ ＝1 12 4