人教版高中数学选修1-1椭圆专题
数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》PPT课件(新人教版选修1-1)
例3 的标准方程
3 5 已知椭圆经过两点(− 2 , 2 )与( 3, 5)
,求椭圆
解：设椭圆的标准方程 则有
新疆 王新敞
奎屯
x2 y 2 + = 1(m > 0, n > 0, m ≠ n) m n
5 3 2 (− ) ( )2 2 + 2 =1 n m 2 ( 3) ( 5)2 + =1 n m
2 2 2
2 2
)x
2
+ a y = a (a - c
2 2
2
)
x
a2
b2
2.椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 y
F1 O
2 2
y
F1
F2
x
O F2
x
y 2 x 2 = 1 + = 1 2 2 2 2 a b 平方和的形式 ）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； 方 （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是 ； 在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0 a>b>0； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； 程 (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上； 焦点在大分母变量所对应的那个轴上； 焦点在大分母变量所对应的那个轴上 都有特定的意义， （4）a、b、c都有特定的意义，
x2 + y2 = 1 解：(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 （２）所求椭圆的标准方程是 + =1 100 36
.
求椭圆标准方程的解题步骤： 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； ）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； ）设出椭圆的标准方程； 的值， （3）用待定系数法确定 、b的值， ）用待定系数法确定a、 的值 写出椭圆的标准方程. 写出椭圆的标准方程
人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx
B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准(第1课时)》名师课件
详解: AF1 F1B AF2 BF2 20 又 AF2 BF2 12. AB 8
点拨:椭圆定义可双向运用,即若 PF1 PF2 2a2a F1F2 ,则点p的运动轨
迹的椭圆.反之,椭圆上任意一点到椭圆两焦点距离之和必为2a.因此,解题 过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题,应先考虑是否能够使用 椭圆定义求解.
（2）列式:设点 Px, y 是椭圆上任意一点,有椭圆定义可得: PF1 PF2 2a 即: x c2 y2 x c y2 2a
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:椭圆的标准方程建立与推导
活动一 推导过程
（3）化简:上式化简可得
x2 a2
y2 a2 c2
1 .由a>c得 a2
2.1.1 椭圆及其标准方程
（第1课时）
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
1.已知点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ,则 P1P2 x1 x2 2 y1 y2 2
2.我们预习本课的椭圆标准方程的两种形式是怎样的?
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知识梳理
1.平面内点M到两定点 F1, F2的距离和为常数, 即 MF1 MF2 2a
当 2a F1F2 时,点M的轨迹是椭圆; 当 2a F1F2 时,点M的轨迹是一条线段| F1F2 | ; 当 2a F1F2 时,点M的轨迹不存在.
2.椭圆
x2 a2
求出b,从而得到方程.
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重难点突破
1.推导椭圆的标准方程是本节学习的一个关键环节.应重点理解下述 方面: 一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单; 二是在方程的推导过程中无理方程的化简,这类方程的化简方法: (1)方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移 到另一侧; (2)方程中有两个根式时,需将它们放在方程的两侧,并使其中一侧只 有一个根式,然后两边平方．
人教版-高中数学选修1-1 椭圆
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a, 短半轴长为b.
a>b
c e a
a2=b2+c2
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是：
10 。短轴长是：
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
人教A版高中数学选修1-1 专题2-1-2椭圆的简单的几何性
椭圆的简单几何性质---------学习要点椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a，即ac 称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。
（e dPF =||） ①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2±=②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）准线方程：ca y 2±=小结一：基本元素（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6.几何性质（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：c a MF c a +≤≤-（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）ab AB 22=（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221θ⋅=∆b S F MF 其中θ=∠21MF F7直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式∆的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点⇔⇔<∆⇔⇔=∆⇔⇔>∆000 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 消y 得：()()022*********=-+++B b C a ACx a x B b A a ()222222222122222212B b A a B b C a x x B b A a AC a x x +-=+-=+联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 消x 得：()()022*********=-+++A a C b BCy b y B b A a ()222222222122222212B b A a A a C b y y B b A a BC b y y +-=+-=+(2)弦中点问题:斜率为k 的直线l 与椭圆),0,0(12222n m n m ny m x ≠>>=+交于两点(3)),(),(2211y x B y x A 、）（00,y x M 是AB 的中点，则：022y x m n k AB⋅-=(4)弦长公式：221221)(y y x x AB -+-=）（]4)[(1212212x x x x k -++=）（第二部分：椭圆常考题型解题方法典例一、椭圆定义相关题目例1、已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．【自主解答】方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ．(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例2、 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．【自主解答】如图所示，焦点为()031，-F ，()032，F ．F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ， ∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例3、 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 【自主解答】（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ． 解得0=m ．方程为x y =．说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？． 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 例4、 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．【自主解答】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 例5、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：“设而不求”法【自主解答】方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程， 整理036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根， ∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点， ∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：（点差法）设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ． ∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ．又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ． ∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
人教版高二数学选修1-1《椭圆及标准方程、几何性质》
椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是 。
【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（ ）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 。
人教A版高中数学选修1-1课件高二2.1.2.1椭圆的简单几何性质.pptx
还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 e 又c , c a2 b2 ,
a
故ec
a
a2 b2 a
1
b2 a2
.
3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
F（1__0_,__-_c__）_,F（2 _0__,_c__）_ |F1F2|=__2_c_
顶点
焦点在x轴上
A1(_-_a_,_0_)_,A2（——a,—0—）—; B（1—0—,—-—b）—,B2—(—0—,b—)—
焦点在y轴上
A（1_0_,_-_a_）_,A2—(—0,—a—)—; B1(—-—b—,0—)—,B2—(b—,—0—)—
【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问 题的思想方法？ 提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂， 因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关 系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.
【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） 1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦 点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角 形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
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1、过椭圆22
:184
x y C +=上一点00(,)P x y 向圆22:4O x y +=引两条切线,,,PA PB A B 为切点，直线AB 与x 轴、y 轴交于,M N 两点．
（1）若0PA PB ⋅=，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）。
2、椭圆12
222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求
2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围
3、椭圆2
214
x y +=的焦点为12,F F ，点M 在椭圆上，120MF MF ⋅=，则M 到y 轴的距离为：
4、如下图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和12a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c =；④
1212
c c a a <.其中正确式子的序号是( )
A 、①③
B 、②③
C 、①④
D 、②④ 5、已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的一点， 若120PF PF ⋅=，121tan 2
PF
F ∠=，则此椭圆的离心率为________
6、直线:0l x y -=与椭圆2
212
x y +=相交,A B 两点，点C 是椭圆上的动点， 则△ABC 面积的最大值为
7、椭圆E 经过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12
e =
(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠12F AF 的角平分线所在直线的方程．
8、如图，已知平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F ，右顶点为
(2,0)D ，设点1(1,)2
A （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求△ABC 面积的最大值。
9、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线.
（1）求椭圆的离心率； （2）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22λμ
+为定值.
10、已知椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221
sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 .
11、已知实数y x ,满足12
42
2=+y x ,求x y x -+22的最大值为： 最小值为：
12、如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=
________________
13、椭圆19
162
2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为_________
14、椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为。