高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1)

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选修2-1椭圆的几何性质练习题[1]

高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质002班级：座号：姓名：椭圆的简单几何性质：1．若椭圆x 2a2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22D.522．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝13．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．5．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P.若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．7．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝18．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝3，则椭圆的方程是________．高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质0023．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.答案：C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质002所以ca＝53，即e＝53.参考答案椭圆的简单几何性质：1．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.32 B.12 C.22 D.52解析：由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝22－12＝3，∴e＝ca＝32.答案：A2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 解析：由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1.答案：D4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e ＝55，即55＝5a，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质002若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.[例3] F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨] 通过已知条件MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°，得到Rt △MF 1F 2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a ，b ，c 之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a3， ∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若 A P ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：∵ A P ＝2 PB ，∴| A P |＝2|PB |.又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.答案：D6．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案：2－11．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案：D2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 解析：由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案：A3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.答案：C高中数学选修2-1 第二章2.2.2椭圆的简单几何性质0024．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.。

高中数学选修(2-1)椭圆基础、提高、综合篇

椭圆及其标准方程基础卷一、选择题：1、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（）（A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2、在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是（）（A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3、已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（）（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22116y x += 4、已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（）（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 5、若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（）（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146、已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（）（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段二、填空题：7、若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8、当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10、经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11、椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。

高中数学选修2-1《椭圆》综合练习含答案

椭圆一、以考查知识为主试题【容易题】1．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（）（A ）－21 （B ）21 （C ）1925-或21 （D ）1925或21【答案】C2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝1 【答案】A3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3 B.32 C.83 D.23【答案】B4. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )AB ．12C ．2D 【答案】B5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为（）A.1B.2C.2D.22【答案】D6. 椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为（） A.3± B.3± C.2± D.34±【答案】A7.过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心e=__ 【答案】328.椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。

若1AF ，21F F ，B F 1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_____________.【答案】559.设F1,F2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________. 【答案】410．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F , P 是椭圆上一点，点(0,A ，当点P 在椭圆上运动时， APF ∆的周长的最大值为____________ . 【答案】1411．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________．【答案】312．设，为椭圆：的焦点，过所在的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为__________．13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率等于__________．二、以考查技能为主试题【中等题】14. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________ 【答案】111(,)(,1)32215．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是________ 【答案】416.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5717．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是．【答案】191222=+y x18.如图，椭圆C ：(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，是否存在上述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

高中数学选修2—1椭圆测试卷

高中数学选修2-1《圆锥曲线》2.2—2.3阶段训练（椭圆）时间120分钟总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A 1B 2C 3 D2 【答案】B 2.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =A1 B 2 C 3 D2 【答案】B3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线【答案】 D解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 4.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C)21,1⎡-⎣ D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C.52 D.51【答案】B6.若点O 和点F 分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P FP的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 7.椭圆()222210x y a ab+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A （0，22] B （0，12] C[21-，1） D[12，1）【答案】D 8．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．10【答案】D 9．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（）A ．25 B ．27C ．3D ．4【答案】C10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21【答案】D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .【答案】1273622=+xy12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．【答案】1101522=+yx13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．【答案】]13,13[-14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．【答案】5415．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程____________．【答案】18014422=+yx或18014422=+xy.三、解答题（本大题共6题，16—18每小题12分，19—21题每小题13分，共75分） 16.已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．【答案】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a58，∴x 1+x 2=a21，即AB 中点横坐标为a41，又左准线方程为ax 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17.过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）【答案】（1）PBPA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x1，y1），B （x2，y2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x0，y0）即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|m in00==∆MONS y x 时.18.椭圆12222=+by ax (a＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.【答案】设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y-=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e又由（1）知12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a aa，∴长轴 2a ∈ [6,5].19.一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【答案】设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x∵m=y －x ，∴|x2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20.椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分）【答案】（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQOP ，∴02121=+y y x x. ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP-=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.21.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

高中数学人教A版选修2-1椭圆经典例题分类汇总.docx

椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例4 已知1c o s s i n22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)s in 2,c os 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos ba b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -=∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3co s22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122kkk x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：()2222212221=+++y y x x ， ⑦，将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ，即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x①。

高中数学人教A版选修2-1椭圆题型总结

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（）A.椭圆B.圆C.直线D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹.5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。

标准方程求参数范围1.若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5） 1.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 3. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .4. 方程231y x -=所表示的曲线是 .5. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。

6. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方为。

高考二轮复习选修2-1椭圆复习

椭圆复习1. 椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:①到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a; ②2a F1F2.(2)上述椭圆的焦点是，椭圆的焦距是F1F2.2. 椭圆的标准方程和几何性质○1离心率e= ，e的取值范围：，e越接近1，椭圆越（），e越接近0，椭圆越（）。

○2点P（x0,y0）和椭圆的位置关系点P（x0,y0）在椭圆内：点P（x0,y0）在椭圆上：点P（x0,y0）在椭圆外：题型一：椭圆的定义及标准方程的应用：解决交点三角形问题常利用椭圆定义和余弦定理。

常用公式：（1）；（2）（3）例1.已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，求三角形ABC的周长。

例2.(1)椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，求点到另一焦点F2的距离。

(2)已知椭圆焦点在y轴上，若焦距为4，求m。

题型二：求椭圆方程：定义法、待定系数法例3.求过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程。

例4.已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，求椭圆E的方程。

例5.已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为，过P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程。

题型三.求椭圆的几何性质：e；与a，b，c关系式例6.（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率。

（2）已知椭圆上两个顶点分别为B1，B2，焦点为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，求这个椭圆的离心率。

例7.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点P，使F1PF2=60°，求椭圆离心率取值范围。

题型四.设椭圆方程：与椭圆共焦点；共离心率椭圆与椭圆（a≠b）共焦点的椭圆可设为(k<a²，k<b²)；与椭圆（a>b>0）有形同离心率的椭圆方程为()或()例1.求过点P（-3,2）且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程。

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高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1)椭圆题1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件2、已知1F 、2F 是两个定点，且421=FF ,若动点P 满足421=+PFPF 则动点P 的轨迹是（）A 、椭圆B 、圆C 、直线D 、线段3、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1F P 到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( )A 、椭圆B 、圆C 、直线D 、点4、已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c FF ，M 是α内的动点，且aMF MF 221=+,判断动点M 的轨迹.5、椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。

6、若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.7、轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )A 、充分而不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件8、已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 9、已知方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k的范围是 .10、方程231y x -=所表示的曲线是 .11、如果方程222=+ky x表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k的取值范围。

12、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。

13、已知方程222=+ky x表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.15、以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为。

16、如果椭圆：ky x=+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为。

17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。

18、已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为354和352，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。

19、求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6. 1、已知动圆P过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. 20、一动圆与定圆032422=-++y y x 内切且过定点)2,0(A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.21、已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.22、已知)0,21(-A ，B 是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 23、已知ABC ∆三边AB 、BC 、AC 的长成等差数列，且,CA AB >点B 、C 的坐标)0,1(-、)0,1(，求点A 的轨迹方程.24、一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程. 25、已知椭圆的焦点坐标是)25,0(±，直线023:=--y x l 被椭圆截得线段中点的横坐标为21，求椭圆方程.26、若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB、AC 的斜率的乘积是94-，顶点A 的轨迹方程为。

27、已知圆229xy +=，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，并且，求点M 的轨迹。

28、已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ，则线段PP 的中点M 的轨迹方程是。

29、已知(01)A ，-，(0.1)B ，ABC ∆的周长为6，则ABC ∆的顶点C 的轨迹方程是。

30、已知椭圆1452222=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。

31、已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若1222=+B F A F ，则=AB 。

32、已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长是。

33、已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆的周长为 34、设M是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。

35、已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，21=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离35、椭圆1422=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=2PF 。

37、已知AB 为经过椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>的中心的弦，(c,0)F 为椭圆的右焦点，则的面积的最大值为38、椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF ；=∠21PF F 。

39、椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PFF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为。

40、P 为椭圆1162522=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。

（1）若1PF 的中点是M，求证：1215PF MO -=；（2）若︒=∠6021PF F ，求21PF PF •的值。

41、求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）35=e ，一条准线方程为3=x 。

42、椭圆过（3，0）点，离心率为36=e ，求椭圆的标准方程。

43、椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为？ 44、椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为22，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？45、根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，其中一条准线方程是4-=x ；（2）椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为34，并且椭圆和直线016372=-+y x 恰有一个公共点；（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

46、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，离心率为22，右准线方程为2=x 。

求椭圆的方程。

47、根据下列条件求椭圆的方程：(1)两准线间的距离为5518，焦距为52；（2）和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点煌距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

47、已知椭圆)0()3(22>=++m m y m x的离心率为23=e ，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。

48、已知椭圆的长轴长是6，焦距是24，那么中心在原点，长轴所在直线与y 轴重合的椭圆的准线方程是。

49、椭圆81922=+y x的长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率为，准线方程为。

50、过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F2为右焦点，若︒=∠6021PFF ，则椭圆的离心率为_______________；51、在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2，以O 圆心，a 为半径作圆，过点)0,(2ca作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝。

51、若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？54、椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是？55设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是。

56、已知点),0(b A ，B 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左准线与x轴的交点，若线段AB 的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为。

57、设椭圆)1(112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到定直线x=a 的平方除以才的距离为。

58、椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系为（）A 、相同的焦点B 、有相同的准线C 、有相等的长、短轴D 、有相等的焦距 59、当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相离。

60、若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k的取值范围为。

61、已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点,交椭圆于A 、B 两点,求AB 的弦长64、设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M ；（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1∆的面积。