人教版-高中数学选修1-1_椭圆

对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2

y2 b2
复习：
1.椭圆的定义:
平面内，到两定点F1、F2的距离之和为常数
（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2

x2 b2
坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是
椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为x2 y2 1
⑵ x2 y2 1 或
94
y2 x2 1
100 64
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
焦点坐标
(c,0)、(-c,0)
半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
离心率
a、b、c的 关系
e c a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
e 3 ,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐
2
标、顶点坐标。
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点 P 3 2, 4
解： ⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的
A2 (a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
60
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 9
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习：
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225
(3) 16x2+y2=25
(4) 4x2+5y2=1
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y2 m(m 0) 的离心率
100 64
⑶ x2 y2 1
36 32
或
y2 x2 1 145 290
4
9
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定型； ⑵定量
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，
Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
1(a
b

0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
二、椭圆
简单的几何性质
1、范围：
x2 a2
1,
-a≤x≤a,
y2 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
2、椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
-2 -3
B1
-4
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
wenku.baidu.com
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
(3)设M为椭圆 如果
x2 a2
y2 b2
1上一点，F1、F2 为椭圆的焦点， ，求椭圆的离心率。
MF1F2 75 , MF2F1 15
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
问：对于椭圆C1
: 9x2

y2

36与椭圆C2：1x62

y2 12

2,
C 更接近于圆的是
。 2
标准方程 范围
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 b2

y2 a2
1(a
b

0)
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a, 短半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
焦距是： 8
4
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (0, 4) 。顶点坐标是：
。
外切矩形的面积等于：
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
例3：(1)椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点
F1(c, 0),
A(a, 0), B(0,b) 是两个顶点，如果到直线AB的距
离为 b ，则椭圆的离心率e=
.
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