机械振动教案

上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数）
d2x 2 x0 2 dt
简谐振动的运动学特征方程
F kx
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简谐振动的动力学特征方程
4
二 、简谐运动的速度和加速度
xt A cos t
dx v A sin t dt A cos t

k
0
F
m
x
X
F kx
d2x F m 2 dt
d2x k x0 2 m dt
k m
d2x 2 x0 2 dt
此方程的通解为：
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x A cost
3
xt A cost

物理量随时间的变化规律可以用正弦、 余弦函数描述，称之为简谐振动。
A
t
2
x( t )
t
t 2
1 0
1
A2
a A cos t
2
x( t )
t
1 0 t 2
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四、谐振动的振幅、周期、相位
1、 2、
A
振幅
x A cos t A cos (t T )
m T 2 k
dL M dt
l
d 2 g 0 摆角在作简谐振动 2 dt l
m
mg 固有 园频率
0 cos t 0
g l
设初始条件

0 v0 0
振幅和 初相=
？
10
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六、旋转矢量
x A cos t
x
x
A
1

A0
返回10
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（3）第一次通过平衡位置的时刻。
x
A0 At
振幅矢量旋转角度
3、
T
周期
1 T
频率
2
2
初相位
园频率又称 固有园频率
t
相位
确定物体振动状态的物理量，只有相 位能同时确定振动的速度和加速度。
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例： 物体的质量为 m , 弹簧的劲 度系数为 k 。其静止变形 x0 手拉物体后无初速地释放，确定物 体的运动规律 。 建立如图坐标系，以平衡位置为坐标 原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回 复力为 f 和重力 mg 在平衡位置处
x
t

A2 反相
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例题1
2 已知简谐振动表达 x A cos( t ) 3
试画出振动曲线
x A
2 3
x
t
0
A(0)
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例题2
一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0 时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。 求：（1）简谐运动表达式； （2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度； （3）第一次通过平衡位置的时刻。
t+
相位
t
0
x( t )
At
振幅矢量
1 0 t 2
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量 At ，
在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
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x

x
A1
A1
A1 t A2 t
x
t
A2
同相
A1 t A2 t

x 0 A cos t 解： （1） x .12cos t 3
x
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x
3 2 ? ＝ T
t

A/2
０
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（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
x 0.12cos t 3 v 0.12 sin t 3 2 a 0.12 cos t
周期振动：
物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次
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x( t ) x( t T )
2
§6.1 简谐振动
一、弹簧振子的运动方程
质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质 量的物体，称此系统为 弹簧振子。
建 立 如 图的 坐 标系 物 体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F. 令
A x2 v
2 0 2
t0
v0 tg x0
x x0 v v0

振幅和初相位由初始条件确定
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例、单摆
0
约 定
1、细线质量不计
2、 5 0 sin
3、阻力不计

M 质点 m 受力如图重力矩：
根据质点的动量距定理 T
m glsin m gl
第6章 机械振动
广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。
x( t ) x( t T ) 1 振动频率 T
机械振动：物体在某一位置附近往复运动 复杂振动 = 简谐振动 研究目的 —— 利用、减弱 或 消除
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振动有各种不同的形式
电磁振动 、机械振动
机械振动：物体在平衡位置附近往返运动 广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
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T 1 t 4 2
v 0.12 sin 0.189 m/s 6 2 a 0.12 cos 1.03 m / s2 6
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x 0.12cos 1.04m 3 2
l0
x0
0
x mg
物体受的合力：
FR mg k ( x0 x) k x
x x 0
2
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k g m x0
2
T 2
x
mg x0 k
mg k x0 0
f
x0 g
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五、振幅和初相的确定
x A cos t
v A sin t
2
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
d x 2 a 2 A cost dt
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2
三、 振 动 曲 线
x A cos t
1
A
1
x( t )
t
0 0 .5 1 1 .5 2 0
-A
1
1
1
v A sin t