2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。

六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。

注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。

八、求满足0x y y z z ux y y z z u---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

答案一、解：由柯西不等式，()2222(23)))))9a b c ++≤++=所以，233a b c ++≤，所以39271a b c ---++≥≥=二、证明：对AMD ∆和直线BEP 用梅涅劳斯定理得：1(1)AP DE MB PD EM BA ⋅⋅=， 对AFD ∆和直线NCP 用梅涅劳斯定理得：1(2)AC FN DPCF ND PA ⋅⋅=，对AMF ∆和直线BDC 用梅涅劳斯定理得：1(3)AB MD FCBM DF CA ⋅⋅=（1）（2）（3）式相乘得：1DE FN MDEM ND DF⋅⋅=，又所以有DM DN DM DE DN DE=--， 所以DM=DN 。

三、解：（1）假设存在正整数数列{}n a 满足条件。

212212221231112,0,...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a aa a a a n a a a a --++----1≥>∴≤⋅≤⋅≤≤⋅= 又2222111,2a a a a -≤⋅所以有221112n n n a aa a --≤⋅对n=2，3，4，…成立。

222221222(2)(3)(2)(3) (1111111)...222n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤≤⋅⋅≤≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅所以122222112n n n n a a a ---⎛⎫≤⋅⎪⎝⎭。

设212[2,2),k k a k N +∈∈，取3N k =+，则有1221222221111121122N k k N N N k k a a a a -++--++⎛⎫⎛⎫≤⋅<⋅≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这与N a 是正整数矛盾。

所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。

（2）(1)(2)2n n n a π--=就是满足条件的一个无理数数列。

此时有212242n n n n n a a a a a +++=≥。

四、解：为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数，则称此格为行优的。

由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n －2004个行优的。

一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于(2004)n n -。

另一方面，将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行，第 1...2003i i i ++、、、（大于n 时取模n的余数）列中的格子填入“*”。

将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。

没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)n n -个。

此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。

实际上，当12003i ≤≤时，第i 列的第1、2、…、i 、n+i －2003、n+i －2002、...、n 行中有“*”。

当2004i ≥时，第i 列的第i －2003、i －2002、...、i 行中有“*”。

所以每行有2004个格子有“*”所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。

五、解：设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 21,4x x x πθθ⎡-==-∈⎣从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x++--<+ 即2622223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x---++>+--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴ 原不等式等价于不等式（1）1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a xx⎡+-<∈⎣恒成立。

从而只要max 2()()a x x x⎡>+∈⎣。

又容易知道2()f x x x =+在⎡⎣上递减，max 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣。

所以3a >。

六、证明：设AF 的延长线交BDF 于K ，,AEF AKB AEFAKB ∠=∠∴∆∆，因此,EK BK AE AKAF AB AF AB==。

于是要证（1）， 只需证明：(2)CD BK DF AK BD AB ⋅+⋅=⋅ 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠。

我们有1sin 2DCK S CD BK C ∆=⋅⋅∠ 进一步有1sin 21sin 2ABDADKS BD AB C S AK DF C ∆∆=⋅⋅∠=⋅⋅∠因此要证（2），只需证明ABD DCK ADK S S S ∆∆∆=+（3） 而（3）//(4)ABC AKC S S BK AC ∆∆⇔=⇔ 事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知（4）成立，得证。

七、解：（1）如右图所示：表格中有“*”，表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。

容易验证，按照表中的安排，6支球队四周 可以完成该项比赛。

（2）下面证明7支球队不能在四周 完成该项比赛。

设(1,2,3,4,5,6,7)i S i =表示 i 号球队的主场比赛周次的集合。

假设4周内能完成该项比赛，则i S 是{1，2，3，4}的非空真子集。

一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以(1,2,3,4,5,6,7)i S i =中，没有一个集是另一个的子集。

另一方面，设{}{}{}{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}A B C === {}{}{}{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}D E F === 由抽屉原理，一定存在,,,,{1,2,3,4,5}i j i j i j ≠∈，,i j S S 属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ，必有i j S S ⊆或j i S S ⊆发生。

所以，n 的最大值是6。

八、解：设(,,,)a b b c c df a b c d a b b c c d---=+++++。

记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}A x y z u x y z u f x y z u ≤≤>，:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}B x y z u x y z u f x y z u ≤≤<， :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}C x y z u x y z u f x y z u ≤≤=，显然4()()()10card A card B card C ++=。

我们证明()()card A card B =。

对每一个(,,,)x y z u A ∈，考虑(,,,)x u z y 。

(,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)x y y z z u u xx y z u A f x y z u x y y z z u u xx u u z z y y xf x y z u x u z y B x u u z z y y x----∈⇔>⇔+++>++++----⇔+++<⇔<⇔∈++++接着计算()card C 。

(,,,)()()()0()()()()xz yu xz yux y z u C z x u y xz yu x y z u y z u x --∈⇔=⇔---=++++设1{(,,,)|,1,,,10}C x y z u x z x y z u ==≤≤， 2{(,,,)|,,1,,,10}C x y z u x z y u x y z u =≠=≤≤， 3{(,,,)|,,,1,,,10}C x y z u x z y u xz yu x y z u =≠≠=≤≤。

满足,(,,,)a b c d a b c d ⨯=⨯为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有1623,1824,11025,2634,2936,21045,⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯ 3846,31056,41058⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯。

满足,,x y z u x z ==≠的四元组共90个，满足,,x z y u x z ==≠的四元组共90个，312()4299090252,()1000,()900card C card C card C =⨯⨯++===。