《正弦定理、余弦定理》单元测试题
正弦定理和余弦定理 测试题 练习题
正弦定理和余弦定理 测试题A 级 基础题1．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 2．在△ABC 中，若B ＝π4，b ＝2a ，则C ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则角A 的大小为________．4．已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3，则△ABC 的周长为________(用含角A 的三角函数表示)．5．(2011·四川卷改编)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．6．(2011·重庆卷改编)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．7．(2011·安徽卷)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．8．(2011·扬州调研)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12sin x ＋32cos x ，b ＝(1，y )，且a ∥b .设函数y＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若在锐角△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，边BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．9．(2011·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． 10．(2011·湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14. (1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.2．(2011·天津卷改编)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，该三角形的形状是________．5．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝________. 又因为b 为边长，故b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 36．(2010·江苏)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是________． 二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且cos 〈AB →，AC →〉＝14.(1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求a ，c 的值． 参考答案 A 组1. 解析 由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ，即sin B ＝12.又C 为钝角， 所以B 必为锐角，所以B ＝π6， 所以A ＝π6.故a ＝b ＝1. 答案 12. 解析 由正弦定理及b ＝2a ，得sin A ＝sin B 2＝sin π42＝12，又A ＜B ＝π4，所以A ＝π6，C ＝π－π4－π6＝7π12.答案 7π123. 解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.答案 π34. 解析 由正弦定理，得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2sin A sin π3＋2sin B sin π3＋2＝43sin A ＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋2.答案 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋2 5. 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 6. 解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝43.答案 437. 解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos 120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案 15 38. 解 (1)因为a ∥b ，所以12y ＝12sin x ＋32cos x .所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝2sin A ＝3，所以sin A ＝32.因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 3＝(b ＋c )2－3bc ，3bc ＝(b ＋c )2－3≤3·(b ＋c )24，(b ＋c )2≤12. 所以b ＋c ≤23，a ＋b ＋c ≤a ＋23＝3 3. 所以△ABC 周长的最大值为3 3.9. 解 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79，sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 10. 解 (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. 所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 所以sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116. B 组1. 解析 ∵tan A ＝2＞0，∴A 为锐角， 又sin Acos A ＝2①，sin 2A ＋cos 2A ＝1②由①②得sin A ＝255. a ＝b sin A sin B ＝5sin A sin π4＝2522＝210. 答案 255 2102. 解析 设AB ＝a ，∴BD ＝23a ，BC ＝2BD ＝43a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13∴sin A ＝1－cos 2A ＝223由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66.答案 663. 解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，所以A ＝π6. 答案 π64. 解析 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 得a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .由正弦定理得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B 因为0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形5. 解析 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c . 平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac .又△ABC 的面积为32，且B ＝30°，故由S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝14ac ＝32， 得ac ＝6，所以a 2＋c 2＝4b 2－12.由余弦定理 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－12－b 22×6＝b 2－44＝32.解得b 2＝4＋2 3.6. 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋ab ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c232c 2－c2＝4. 答案 47. 解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，即sin B cos A －2sin B cos C＝2sin C cos B －sin A cos B ，即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin C sin A ＝2.(2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有ca ＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5，所以b＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14，解得a ＝1，所以b ＝2.8. 解 (1)sin 2B ＋C2＋cos 2A ＝12[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1) ＝12(1＋cos A )＋(2cos 2A －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－14. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即16＝36－52bc ，∴bc ＝8. 由⎩⎨⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.。
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高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题班级 姓名 1．在ABC ∆中，︒=∠︒=∠=15,30,3B A a ，则=c ( )A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 32．在ABC ∆中，︒=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.633．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C.ο30或ο150D.ο60或ο1205.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解6．在ABC ∆中，︒===30,3,1A b a ，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解7.在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A c b a sin sin sin （ ） A.338 B.3392 C.3326 D. 32 8在△ABC 中，已知135cos ,53sin ==B A ，则C cos 等于（ ） （A ）6556 （B ）6516 （C ）6516或6556 （D ）6533 9．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）22 （D ）12-10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π311．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°12.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题13．在ABC ∆中，已知3,45,60=︒=∠︒=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；14．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边．若B C A b a 2,3,1=+==，则C sin ＝________；15．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，则2sin A －sin B sin C＝________. 16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．三、解答题17、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形.18、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形.19．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．（Ⅰ）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a ，b 的值； （Ⅱ）若acosa=bcosB ，试判断△ABC 的形状20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． （1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．。
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正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（ ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ； （2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值； （Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =， （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是 ． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ， 即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=， 所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。
正弦定理和余弦定理专题试题及答案
正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理， 得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ， 即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题(最新整理)
，则 b=___________．
27．在 AC 中，已知 A 4 3 ， AC 4 ， 30 ，则 AC 的面积是
．
28．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，设 S 为△ ABC 的面积， S 3 (a2 b2 c2 ) ，则 C 的
4 大小为___________.
正弦定理与余弦定理
1．已知△ABC 中，a=4， b 4 3, A 30 ，则 B 等于（ ）
A．30°
B．30° 或 150°
C．60°
D．60°或 120°
2．已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
3．已知 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 (2a c) cos B b cos C 0 ，则角 B 的大小为（ ）
A．
6
B．
3
2
C．
3
5
D．
6
4．在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若 sin C =2， b2 a 2 3ac ，则 B =( )
sin A
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5 ，c=10，A=30°，则 B 等于（ ）
5
在△ABC 中，由余弦定理得，
=，
化简得，2ac+a2+c2﹣b2=2a（a+c）， 则 c2=a2+b2， ∴△ABC 为直角三角形， 故选：B． 12．C 【解析】 试题分析：由 A 的度数求出 sinA 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinB 的值，由 b 小于 a，得到 B 小于 A， 利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数． 解：∵A=60°，a=4 ，b=4 ，
正弦定理和余弦定理测试题
正弦定理和余弦定理测试题1.若△ABC 的角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1D.232．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( )A ．0<a <4 3B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤43或a ＝6(理)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12C. －1D. 1(理)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 25．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141.(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．(文)(在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( )A ．5B.1132C.41 D ．25(理)在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( ) A.817 B.1517 C.1315D.13177．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．8．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3，则△ABC 的面积为________．(理)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．9．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值围是________．10．(文)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．(理)△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos2B2－1)且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．11.(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形(理)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形12．(文)已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB ，BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.32或34(理)△ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°13．(文)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值围是( )A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)(理)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32 C.23D ．3 214．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________． ①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°； ③a ＝6，b ＝20，A ＝30°； ④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.15．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C (1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A.455 B.355 C.255D.555.、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36C.63D.666．△ABC 的三个角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．7．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，且△ABC 的面积S ＝a sin C ，则a ＋c 的值为________．8．(2011·月考)在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________.正弦定理和余弦定理参考答案1、[答案] A[解析] 在△ABC 中，C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c2＋2ab ＝3ab ＝4，∴ab ＝43，选A.2、(文）[答案] C[解析] ∵b ·sin A ＝43·sin60°＝6，∴要使△ABC 只有一解，应满足a ＝6或a ≥4 3. 如图顶点B 可以是B 1、B 2或B 3.（理）[答案] C[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.3、[答案] D[解析] 由正弦定理得asin A＝bsin B，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝32.又0°<B <180°，因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.4、（文）[答案] D[解析] 由a cos A ＝b sin B 可得，sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B 所以sin A cos A＋cos 2B ＝1.（理）[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴b a＝ 2.5、（文）[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又c sin C ＝bsin B，所以sin C＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B（理）[答案] C[解析]12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.6、（文）[答案] A[解析] 由于S ＝12ac sin B ＝2，c ＝42，B ＝45°，可解得a ＝1，根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25，所以b ＝5，故选A. （理）[答案] B[解析] S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517.7、[答案] 2[解析] 由S ＝12BC ·AC sin C 知3＝12×2×AC sin60°＝32AC ，∴AC ＝2，∴AB 2＝28、（文）[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB ＝2.（理）[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin Csin B ＝BC ＋BAAC＝2. 9、（文）[答案]π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12，∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. （理）[答案]3<c <5[解析] 边c 最长时(c ≥2)：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0，∴c 2<5.∴2≤c < 5.边b 最长时(c <2)：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0，∴c 2>3.∴3<c <2.综上，3<c < 5.10、（文）[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2(π4＋B 2)＋cos2B －2＝0，2sin B [1－cos(π2＋B )]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，∴sin B ＝12.∵0<B <π，∴B＝π6或56π. (2)∵a ＝3>b ，∴此时B ＝π6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1.（理）[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得，a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．11、（文）[答案] C[解析] 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴则此三角形一定是等腰三角形．[点评] 也可以先由正弦定理，将a ＝2b cos C 化为sin A ＝2sin B cos C ，利用sin A ＝sin(B ＋C )代入展开求解．（理）[答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A. 12、（文）[答案] D[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，3sin C＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D.（理）[答案] B[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B.13（文）[答案] C[解析] 根据正弦定理，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 得a 2≤b 2＋c 2－bc ，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，∴0<A ≤π3，故选C.（理）[答案] A[解析] 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12×AB ×BC sin B ＝x 1－cos 2B ①，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x②，将②代入①得，S △ABC ＝x1－4－x24x2＝128－x 2－12216，由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A. 14、[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解．②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解；③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．15、（文）[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)，则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. （理）[解析](1)由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R 知cos A －2cos Ccos B＝2·2R sin C －2R sin A2R sin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2cos B sin C －cos B sin A ，即sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又由A ＋B ＋C ＝π知，sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2. (2)由(1)知sin C sin A ＝2，∴c ＝2a ，则由余弦定理得b 2＝a 2＋(2a )2－2·a ·2a cos B ＝4a 2∴b ＝2a ，∴a ＋2a ＋2a ＝5，∴a ＝1，∴b ＝2.1、[答案] A[解析] 由条件知b s in A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22，∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.2、[答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a－b ＝aba ＋b>0，所以a >b .3、[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A. 4、[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角，∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32，∴0<B <π6，∴C 为最大角，由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边，由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22，由正弦定理，b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝555、.[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2，则AB ＝3＝AD ，BC ＝4.在△ABC 中，由正弦定理：3sin C ＝4sin A- .- -.可修编- 在△ABD 中，由余弦定理：cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223∴sin C ＝3sin A 4＝3×2234＝66，故选D. 6、[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3. 7、[答案] 48、[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.。
《正弦定理和余弦定理》测试卷
《正弦定理和余弦定理》学习成果测评基础达标：1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为( )A. 一个解B. 二个解C. 无解D. 无法确定2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 ( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°3．ΔABC 中，若a 2=b 2+c 2+bc ，则∠A=( )A. 60︒B. 45︒C. 120︒D. 30︒4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒.求A 、C 及c.6．在ABC ∆中，若045B =，c =b =A .7．在ABC ∆中，若222a b c bc =+-，求A .能力提升：8．锐角ΔABC 中，若C=2B ，则AC AB的取值范围是( )A.(0，2)B.)2,2(C.)3,2(D.)2,3(9. 已知在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为( ) A. 32.D 32 .C 41.B 41--10. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为( )11．在ABC ∆中，已知三边a 、b 、c 满足()()3a b c a b c ab +++-=，则C ＝ ()A ．15B ．30C ．45D ．6012．钝角ABC ∆的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ）。
A 、1、2、3B 、2、3、4C 、3、4、5D 、4、5、613．在ΔABC 中，BC=3，AB=2，)16(52sin sin +=B C，则∠A=_______.14. 在△ABC 中，∠A=60°，b=1，c=4，则_____.sin sin sin a b cA B C ++=++15. 在△ABC 中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a ，c 长为_____.综合探究：16．已知钝角ABC ∆的三边为：a k =,2b k =+,4c k =+,求实数k 的取值范围.1. 若一个三角形的三边之比为3:5:7，则该三角形最大内角的度数为（ ）A.30°B.120°C.135°D.150°2.已知锐角三角形的三边长为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A .1<x <5 x << C .0<x 5x <<3.在△ABC 中，已知A =30°，a =8，b =38则三角形的面积为（ ） A.332 B.16 C.332或16 D.332或3164. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º5. 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( ) A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2 6. △ABC 中，若 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题7. 在△ABC 中，如果::1)a b c =，那么这个三角形的最小角是________.8.在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4,则cos ∠ABC =_______.9. 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 处；行驶4 h 后， 船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 处. 这时船与灯塔的距离为 km.10.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60 ，另两边之比为8：5，试求这个三角形的 面积.11.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B .。
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高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1） 班级 姓名1．在ABC ∆中，︒=∠︒=∠=15,30,3B A a ，则=c ( )A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ∆中，若B b sin 2=，则∠A 等于( )A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150° 3．在ABC ∆中，︒=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.634．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．15.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A.30 B.60 C.30或 150 D. 60或1206.在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A.226- B. 226+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A.30,14,7===A b a ，有两解 B.150,25,30===A b a ,有一解 C.45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ∆中，︒===30,3,1A b a ，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解 9.在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ∆中，60=A ,3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A.338 B.3392 C.3326 D. 32 11．在ABC ∆中，已知3,45,60=︒=∠︒=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；12．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边．若B C A b a 2,3,1=+==，则C sin ＝________；13．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，则2sin A －sin Bsin C ＝________.14、在ABC ∆中，已知 30=A ,45=C 20=a ，解此三角形.15、在ABC ∆中，已知30,33,3===B c b ,解此三角形.16．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．17.在ABC ∆中,已知D 为边BC 上的一点，33=BD ，,53cos ,135sin =∠=ADC B 求AD .高一《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1）班级 姓名1．在ABC ∆中，︒=∠︒=∠=15,30,3B A a ，则=c ( )A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3【解析】 ∠C ＝180°－30°－15°＝135°，c ＝a sin Csin A ＝3×2212＝3 2.应选C.【答案】 C2．在ABC ∆中，若B b sin 2=，则∠A 等于( )A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150° 【解析】 ∵b ＝2a sin B ，∴sin B ＝2sin A sin B ， ∴sin A ＝12，∴∠A ＝30°或150°.应选D.【答案】 D3．在ABC ∆中，︒=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63【解析】 sin B ＝b sin A a ＝10×3215＝33，且∠B <∠A ＝60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 D4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1【解析】 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ，即sin A ·cos A ＝1－cos 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1－cos 2B ＋cos 2B ＝1. 【答案】 D5.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A.30 B.60 C.30或 150 D. 60或120解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B bA a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B 60或120。
6.在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A.226- B. 226+ C. 12+ D. 23- 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以30=C ， 105=B ，又由正弦定理BbA a sin sin =带入可得226+=a 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A.30,14,7===A b a ，有两解 B.150,25,30===A b a ,有一解 C.45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解 解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
8．在ABC ∆中，︒===30,3,1A b a ，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解 【解析】 由asin A ＝bsin B， 得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴∠B ＞∠A ＝30°. ∴∠B 为60°或120°.①当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.②当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 【答案】 C9.在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即 60=A 或120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。
10.在ABC ∆中，60=A ,3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A.338 B. 3392 C. 3326 D. 32 解析：由比例性质和正弦定理可知32sin sin sin sin ==++++AaC B A c b a 。
11．在ABC ∆中，已知3,45,60=︒=∠︒=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；【解析】 根据正弦定理，得ACsin B ＝BC sin A ，故AC ＝BC ·sin B sin A＝3sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 2.【答案】 212．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边．若B C A b a 2,3,1=+==，则C sin ＝________；【解析】 ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°且∠A ＋∠C ＝2∠B ，∴∠B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴∠A ＝30°，故∠C ＝90°，∴sin C ＝1. 【答案】 113．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，则2sin A －sin Bsin C＝________.【解析】 ∵a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，∴b ＝3a ，c ＝5a ，由正弦定理得： 2R sin B ＝3×2R sin A,2R sin C ＝5×2R sin A ， ∴sin B ＝3sin A ，sin C ＝5sin A ， ∴2sin A －sin B sin C ＝2sin A －3sin A 5sin A ＝－15.【答案】 －1514、在ABC ∆中，已知 30=A ,45=C 20=a ，解此三角形。
解析：由正弦定理C cA a sin sin =，即222120c =，解得220=c ， 由30=A ,45=C ，及180=++C B A 可得75=B ， 又由正弦定理BbA a sin sin =，即4262120+=b ，解得()2610+=b15、在ABC ∆中，已知30,33,3===B c b ,解此三角形。
解析：由正弦定理CcB b sin sin =，即C sin 33213=，解得23sin =C ， 因为b c >，所以60=C 或120，当 60=C 时，90=A ，ABC ∆为直角三角形，此时622=+=c b a ； 当 120=C 时，30=A ，B A =，所以3==b a 。
16．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，由正弦定理的推广得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆的半径)，∴4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．17．在ABC ∆中，已知D 为边BC 上的一点，33=BD ，,53cos ,135sin =∠=ADC B 求AD .【解】 由cos ∠ADC ＝35>0，知∠B <π2.又由已知可得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45.从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD ，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD ＝33×5133365＝25.。