2021年中考数学一轮复习课件-第十七讲 等腰三角形和直角三角形(43PPT)
【解析】(1)∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,∴PA=PB,∴∠B=∠BAP. ∵∠APC=∠B+∠BAP, ∴∠APC=2∠B.
(2)根据题意可知BA=BQ, ∴∠BAQ=∠BQA, ∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ, ∴∠BAQ=∠BQA=2∠B. ∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°, ∴5∠B=180°, ∴∠B=36°.
二、等边三角形
定义
____三___边__相等的三角形
相等
1.等边三角形的三个内角都_________,并且每一个角都
性质
等于_____6__0_°_
2.等边三角形是轴对称图形,并且有_______条对称轴 三
1.三个角都_________相的等三角形
判定
2.有一个角是60°的_________三角等形腰
4.(2020·广东中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE, ∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
【解析】∵∠ABE=∠ACD,∴∠DBF=∠ECF,
在△BDF和△CEF中,
DBF ECF, BFD CFE, BD CE,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
第十七讲 等腰三角形和直角三角形
一、等腰三角形
定义
有____两__边___相等的三角形
轴对 等腰三角形是轴对称图形,____底__边__上__的__中__线__(__或__底__边__上__的 称性 __高__或__顶__角__平__分___线__)_所__在__的__直__线__是它的对称轴
性质
六、命题、定理 1.互逆命题:如果两个命题的____题__设___和____结__论___正好相反,我们把这样的两 个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的___逆__ __命__题___. 2.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称 这两个定理为____互__逆___定理.
等腰三角形的“三线合一”是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的 重要依据.在解题时,要灵活运用上面的结论.
【跟踪训练】
1.(2020·自贡中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆
心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是( D )
A.50°
定理
1.等腰三角形的两个底角_____相__等__(简称:______等__边__对__等__角_) 2.等腰三角形顶角_____平__分__线__、底边上的中线和底边上的 ____高___相互重合(简称“三线合一”)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也___相__等_ 判定 (简写为“___等___角__对__等__边___”)
【跟踪训练】 1.(2020·嘉兴中考)如图,正三角形ABC的边长为3,将△ABC绕它的外心O逆时针 旋转60°得到△A′B′C′,则它们重叠部分的面积是( C )
A．2 3 C．3 3
2
B．3 3 4
D．3
2.(2020·营口中考)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D, 点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 ____3__3___.
【解析】(1)∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS); (2)△BOC是等腰三角形, 理由如下: ∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,∴∠OBC=∠OCB, ∴BO=OC,∴△BOC是等腰三角形.
1.(2020·玉林中考)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35°方向,
B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西55°方向,则A,B,C三岛组成一
个( C )
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
2.(2020·宁波中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,
A.20°
B.50°
C.60°
D.80°
4.对顶角相等的逆命题是___假____命题.
(B)
5.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,若∠BAC=70°,则∠BAD= ___3_5_°____.
6.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为___2__6___. 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧, 交AB于点D,则BD=___2___.
高频考点·疑难突破
考点一 等腰三角形的性质与判定
【示范题1】(2020·南充中考)如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,
∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD= ( C )
A. a b
2
B. a b
2
C.a-b
D.b-a
【答题关键指导】三线合一的作用 等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论: 如图,在△ABC中,AB=AC. (1)若AD⊥BC,则BD=DC,∠1=∠2. (2)若BD=DC,则AD⊥BC,∠1=∠2. (3)若∠1=∠2,则AD⊥BC,BD=DC.
A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸
【答题关键指导】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个 步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等,若相等,则此三角形为直角 三角形,否则不是直角三角形.
【跟踪训练】
使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为 ( B )
A.2
B.2.5
C.3
D.4
3.(2019·北部湾中考)如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+ ∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的数量关系式为___A_B_2_=_A_C_2+_B_D_2___.
3.(2020·绍兴中考)如图,已知边长为2的等边三角形ABC中,分别以点A,C为圆 心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为2 3 ,则m的值为__2_或__2__7__.
考点三 线段的垂直平分线 【示范题3】(2020·青海中考)如图,△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线MN 交AC于点D,且△DBC的周长是24 cm,则BC=___1_0___cm.
【自我诊断】
1.一个等腰三角形两边的长分别为4和9,那么这个三角形的周长是( C )
A.13
B.17
C.22
D.17或22
2.已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1, 3 ,2.分别以每组数据中的三个数为 三角形的三边长,构成直角三角形的有 ( D )
A.②
B.①②
C.①③
D.②③
3.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是
考点四 勾股定理及逆定理
【示范题4】(2020·北部湾中考) 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中
记载:今有开门去阃(读kun,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意
是:如图1,2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙 的距离为2寸,点C和
点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是 ( C )
4.(2020·黔西南州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且 ∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3 3 ,则BD的长度为____2__3___.
考点五 命题、定理及逆定理 【示范题5】(2020·玉林中考)下列命题中,其逆命题是真命题的是( B ) A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.正方形的四个角都相等
【答题关键指导】线段垂直平分线的特征及应用的答题思路 1.线段垂直平分线中的两组线段相等: (1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. (2)被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段. 2.当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂 直平分线的性质.
【跟踪训练】
【答题关键指导】判断命题真假的方法 只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命 题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、 性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与 计算才能进一步确定真与假.
【跟踪训练】 (2020·安徽中考)已知点A,B,C在☉O上,则下列命题为真命题的是( B ) A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形 B.若四边形OABC是平行四边形,则∠ABC=120° C.若∠ABC=120°,则弦AC平分半径OB D.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的_________
(1)定义法:有一个角是_________的三直角形角
判定
(2)两个内角_________互的三余角形
一半 一半
五、勾股定理及逆定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 _a_2_+_b_2=_c_2___. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足___a_2_+_b_2=_c_2___,那么这个 三角形是直角三角形. 3.勾股数:可以构成一个直角三角形三边的一组___正__整__数____,常见勾股数有:3,4, 5;6,8,10;5,12,13;8,15,17等.
三、线段的垂直平分线 1.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离___相__等____. 2.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的___垂__直__平__分__线____上.
第十七讲 等腰三角形与直角三角形
第十七讲 等腰三角形与直角三角形归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题．【例1】已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用．【例3】已知等腰三角形的底角是30°，腰长为，则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+，求证：△ABC是直角三角形．【基础练习】1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根，则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB 于点D，交AC与点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°3．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，3）C．（3，1）D．（3，3）4．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6B．1.8C．2D．2.65．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4B．5，6，12C．5，7，2D．6，8，10 6、等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．127.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC=4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．68．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．3【基础练习】9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE=1，则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．810.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．1011.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321312、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4B．22 C．2D．213.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．1．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB=4，DM=1，则AC的长为（）A．5B．6C．7D．82．如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，F为AC上一点，且AF=EF．若∠B=42°，则∠EFC为（）A．48°B．96°C．138°D．84°3．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC=EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO=BC；⑤∠EAD=120°．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．54．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为（）A．2B．2C．1D．225．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．4B．3C．2D．56．如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为（）A．5B．10C．l5D．207．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺．设芦苇长x尺，则可列方程为（）A．x2+102=（x+1）2B．（x﹣1）2+52=x2C．x2+52=（x﹣1）2D．x2+12=（x﹣1）28．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，如果CE=8，则ED的长为（）A．2B．3C．4D．69．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针尖扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）A．0.2B．0.25C．0.4D．0.510．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=6，则AD的长为（）A．2B．3C．4D．4.511．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE12BC ．求证：A B平分∠EAD．12．（如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC 交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1=∠2．（1）求证：A B=AC；（2）若∠1=22°，∠AFC=110°，求∠BCE的度数．13．如图，等边△ABC中，AB=6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：B F=EF；（3）求△BDE的面积．。
等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
第 30 页
图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.
中考人教版数学考前热点冲刺指导课件：《第17讲 等腰三角形》 (共26张PPT)
13．如图17－9，等边三角形ABC的边长是6 cm，BD是 中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则DE的长是 __3__3____cm.
图17－9
第17讲┃ 等腰三角形
[解析] ∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB ＝60°，∠DBC＝30°.
5．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是( D )
A．17
B．17或22 C．20
D．22
第17讲┃ 等腰三角形
6．如图17－4，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的
度数是( B )
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
图17－4
第17讲┃ 等腰三角形
7．已知等腰△ABC的腰AB＝AC＝10 cm，底边BC＝ 12 cm，则△ABC的角平分线AD的长是__8______cm.
其中，正确结论的个数是( B )
A．3
B．2
C．1
D．0
图17－8 第17讲┃ 等腰三角形
[解析] ∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴AC＝CD，CE＝BC，∠ACD＝∠ECB＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB(SAS)(①正确)．∴∠AEC＝∠DBC. ∵∠DCE＋∠ACD＋∠ECB＝180°，∠ACD＝∠ECB＝60°， ∴∠DCE＝∠ECB＝60°. ∵CE＝BC，∠DCE＝∠ECB＝60°，∠AEC＝∠DBC， ∴△EMC≌△BNC(ASA)．∴CM＝CN(②正确)． ③结论无法证得．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月14日星期二2021/9/142021/9/142021/9/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/142021/9/14September 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/14
初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
等腰三角形与直角三角形PPT
等腰三角形与直角三角形PPT一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（二）性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线。
（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（四）常见题型1、利用等腰三角形的性质求角度。
例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，求顶角的度数。
因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是 70°，根据三角形内角和为 180°，可得顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。
2、证明一个三角形是等腰三角形。
比如，给出一个三角形的两条边长度相等，或者两个角的度数相等，来证明该三角形为等腰三角形。
二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
2、在直角三角形中，两个锐角互余。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（三）判定1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。
2、若一个三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形。
（四）特殊的直角三角形1、等腰直角三角形：两条直角边长度相等的直角三角形，其两个底角均为 45°。
2、 30° 60° 90°直角三角形：其边长关系为短直角边：长直角边：斜边＝ 1：√3：2 。
（五）直角三角形的应用1、在实际生活中，如建筑、测量等领域经常用到直角三角形的知识。
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
2021年中考数学复习第17讲 等腰三角形(精讲课件)
重点题型
题题组组训训练练
4．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA 上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能 为( C )
A．120°
B．75°
C．60°
D．30°
重点题型
题题组组训训练练
5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(3，1)，点P在x轴 上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件 的点P共有( C )
重点题型
题题组组训训练练
1．(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次
方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( A )
A．2
B．4
C．8
D．2或4
重点题型
题题组组训训练练
2.(2020宜宾)如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B 、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE 、AD上的两点，且 BM＝13 BE，AN＝13 AD，则△CMN的形状 是( C )
∠DBF＝∠ECF， 和△CEF 中，∠BFD＝∠CFE， ∴△BDF≌△CEF(AAS)，
BD＝CE，
∴BF＝CF，DF＝EF，∴BF＋EF＝CF＋DF，即 BE＝CD，在
△ABE 和 △ACD 中 ， ∠ ∠AAB＝E∠＝A∠，ACD， ∴ △ ABE ≌ △ BE＝CD，
ACD(AAS)，∴AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形．
考考点点精精讲讲
对应训练
2．推论
(1)等腰三角形两腰上的高② 相等
，两腰上的中线
③ 相等 ，两底角的平分线④ 相等 ，等腰三角形顶角的外
角平分线与底边⑤ 平行 .
(2)等腰三角形底边(或其延长线)上一点到两腰的距离和(或差
中考数学复习 第17讲 三角形及特殊三角形课件
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数
2021/12/8
第五页，共二十二页。
第二(dìèr)环节：达标检测
课本(kèběn)P68 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
2021/12/8
第六页，共二十二页。
第三环节(huánjié)：交流展示
小组合作(hézuò)讨论第二环节题目
4．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝ 12 cm，则△ABC 的角平分线 AD 的长是__8______cm.
2021/12/8
第十二页，共二十二页。
5．如图 17－3，已知 D、E 是等腰△ABC 底边 BC 上两点， 且 BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.
证明：在等腰△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴∠ADB＝∠AEC. ∴∠ADE＝∠AED.
度数是( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
2．如图 17－2，坐标平面内一点 A(2，－1)，
O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以
点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，
那么符合条件的动点 P 的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2－5x＋6 ＝0 的两个解，则这个等腰三角形的周长是__7_或__8___．
第17讲 等腰三角形和直角三角形
得△ABC为等边三角形,进而可在含特殊角的Rt△ABF求AF的长.
解:(2)∵AE∥BC,∴∠E=∠DBC.
又∵∠ADE=∠CDB,AD=DC,∴△ADE≌△CDB(AAS),∴AE=BC.
∵∠E=∠DBC,∠ABD=∠DBC,∴∠E=∠ABD,
行,甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile,1 h后两船分别位于点A,B处,且相距20 n
北偏东50°
mile,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿
方向航行.
考点五
利用勾股定理解决最短路径问题
[例5] 如图所示,一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8 cm,8 cm,12 cm,一只蚂蚁想从盒底
解得AE=7.
利用线段垂直平分线的性质可以解决一类求三角形的周长问题,也可以证明两条线段相等,进而由
等腰三角形的性质解决诸如求角度等一些问题.
[变式 4]如图所示,在△ABC 中,AB=AC,分别以点 A,B 为圆心、大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于点 M
和点 N,作直线 MN 分别交 BC,AB 于点 D 和点 E.若∠B=50°,则∠CAD 的度数是(
(3)是轴对称图形,有一条对称轴,即CD所在直线;
(4)“三线合一”
性质
(1)顶角为 90°的等腰三角形是等腰直角三角形;
判定
(2)有两个角为 45°的三角形是等腰直角三角形;
(3)有一个角为 45°的直角三角形是等腰直角三角形;
(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形
周长与
面积
复习第十七讲等腰三角形和直角三角形-完整版PPT课件
考点五 命题、定理及逆定理
【示范题5】2020·玉林中考下列两直线平行,同位角相等
C全等三角形的对应角相等
D正方形的四个角都相等
【答题关键指导】判断命题真假的方法 只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命 题是假命题对于命题的真假正误判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、 性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与 计算才能进一步确定真与假
三、线段的垂直平分线 1性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离____相__等___ 2判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的____垂__直__平__分__线___上
四、直角三角形的性质与判定
性质
(1)直角三角形的两个锐角_________
互余
(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的_________
【自我诊断】
1一个等腰三角形两边的长分别为4和9,那么这个三角形的周长是 C
A13
B17
C22
D17或22
2已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1, ,23 分别以每组数据中的三个数为三角
形的三边长,构成直角三角形的有
D
A②
B①②
C①③
D②③
3等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是
B
A20°
的周长 的周长
【答题关键指导】等边三角形的性质 1三条边相等 2三个角相等,并且都等于60° 3是轴对称图形,并且有三条对称轴 4具有“等边对等角”及“三线合一”的性质
【跟踪训练】 12020·嘉兴中考如图,正三角形ABC的边长为3,将△ABC绕它的外心O逆时针 旋转60°得到△A′B′C′,则它们重叠部分的面积是 C