辽宁省丹东市凤城市2020-2021学年高二(下)5月月考数学试题(理科)
辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知直线(20a x y ++=的倾斜角为30o ，则a =（ ）A ．BCD ．02．若()1,2,1a =--r，()1,3,2b =-r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r （ ）A ．22B ．22-C ．29-D ．293．如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 在侧棱PC 上，且12PE EC =，若AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，AP c =u u u r r ，则AE =u u u r （ ）A ．112333a b c ---r r rB ．112333a b c ++r r rC ．221333a b c ++r r rD ．221333a b c ---r r r5．已知m 为实数，直线()()12:220,:5210l m x y l x m y ++-=+-+=，则“12l l //”是“3m =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知空间中三点()0,0,0A ，()1,1,2B -，()1,2,1C --，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ）A ．32B C ．3 D ．7．点()2,4A -到直线()():131440l m x m y m -+-++=（m 为任意实数）的距离的取值范围是（ ）A ．[]0,5B ．⎡⎣C ．[]0,4D ．⎡⎣8．在正三棱锥P ABC -中，4PA AB ==，点,D E 分别是棱,PC AB 的中点，则AD PE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线10x y -+=与直线10x y --=B ．直线240x y --=在两坐标轴上的截距之和为6C ．将直线y x =绕原点逆时针旋转75o ，所得到的直线为y =D ．若直线l 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为23-10．在正方体1111ABCD A B C D -中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）A ．1AA u u u r ，AB u u u r，AC u u u r B ．BA u u u r ，BC u u ur ，BD u u u rC ．1AC uuu r ，1BD u u u u r，1CB u u u rD ．1AD uuu r ，1BA u u u r ，AC u u u r11．如图，在棱长均为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面,60ABCD ABC ∠=o ，,P Q 分别是线段AC 和线段1A B 上的动点，且满足()1,1BQ BA CP CA λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．当12λ=时，PQ //1A D B ．当12λ=时，若()1,,PQ xAB yAD z AA x y z =++∈R u u u r u u u r u u u r u u u r ，则0x y z ++=C ．当13λ=时，直线PQ 与直线1CC 所成角的大小为π6D ．当()0,1λ∈时，三棱锥Q BCP -三、填空题12．已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是. 13．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()()()2,2,0,2,1,3,0,2,0A B C -，则三棱锥O ABC -的体积为．14．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱DA ，1BB 的中点，M ，N 分别为线段11D A ，11A B 上的动点（不包括端点），且EN FM ⊥，则线段MN 的长度的最小值为.四、解答题15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.(1)用空间向量方法证明：11//AC 平面1ACD ；(2)求直线BD 与平面1ACD 所成角的正弦值.16．已知点()1,3P ，点()3,1N --，直线1l 过点()2,4-且与直线PN 垂直. (1)求直线1l 的方程；(2)求直线2:250+-=l x y 关于直线1l 的对称直线的方程. 17．平行六面体ABCD A B C D -''''，(1)若4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，求AC '长； (2)若以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC 与BD '所成角的余弦值．18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，//,,22,AB CD AB BC AB BC CD E ⊥===为BC 的中点，P 是平面ABCD 外一点，1,,PA PB PE BD M ==⊥是线段PB 上一点，三棱锥M BDE -的体积是19.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角M DE A --的余弦值.19．图，在三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，11124,2AB A B CC ===，侧棱1CC ⊥平面ABC ，点D 是棱AB 的中点，点E 是棱1BB 上的动点（不含端点B ）.(1)证明:平面AA B B 平面11DCC；1(2)求平面ABE与平面ACE的夹角的余弦值的最小值.。
辽宁省大连市金州高级中学2023~2024学年高二下学期4月月考数学试卷(原卷版)
（）
1
…………第 1 行
22
…………第 2 行
343
…………第 3 行
4774
…………第 4 行
5 11 14 11 5
…………第 5 行
6 16 25 25 16 6 …………
…………第 6 行
A. 数列am1 是等差数列
B. 数列a5n 是等比数列
C. a6n a67n
D. amn amn1 am1n1
A. 2024
B. 2025
C. 20242 1
D. 20252 1
7. 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1, 3, 6,10, 叫做三角形数；把1, 4, 9,16, 叫做
正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. 36
B. 49
C. 64
D. 81
8.
已知数列an 满足 a1
确的是（ ）
A.
S2
5 m
3
C.
a2
2 3
m
B.
S3
5 9
m
D.
a3
5 9
m
5. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，且满足 Sn 2n2 8n 2 ，则 a3 a4 a5 a6 a7 （ ）
A. 100
B. 130
C. 150
D. 200
6. 已知数列an 满足 n 1 an1 n 2 an n 1n 2 n N* ， a2 3 ，则 a2025 （ ）
的前多少项和最小，最小值是多少？
n
18. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且an 8 的前 3 项和为 10，an 8 的前 6 项和为 78．
2020-2021学年辽宁省协作校高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省协作校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，2}D．{2}2．（5分）设函数f（x）＝，则f[f（3）]＝（）A．B．3C．D．3．（5分）设m∈R，命题“存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0有实根”的否定是（）A．任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根B．任意m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根C．存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根D．存在m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根4．（5分）设正数x，y满足：x＞y，x+2y＝3，则+的最小值为（）A．B．C．4D．25．（5分）已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a≥0或a＜﹣12B．﹣12＜a≤0C．﹣12＜a＜0D．a＞0或a＜﹣12 6．（5分）若函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（1，]D．（1，2]7．（5分）已知函数f（x）＝x n+（n为正整数），有下列四种说法：①函数f（x）始终为奇函数；②当n为偶数时，函数f（x）的最小值为8；③当n为奇数时，函数f（x）的极大值为﹣8；④当n＝1时，函数y＝f（x）的图像关于直线y＝2x对称．其中所有正确说法的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥010．（5分）已知函数+1，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．关于x的不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2的解集为C．函数f（x）在R上是增函数D．函数f（x）的图象的对称中心是（0，1）11．（5分）定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则使得f（x）＜4在（﹣∞，m]上恒成立的m可以是（）A．B．C．D．12．（5分）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝x x（x＞0），我们可以作变形：，所以f（x）可看作是由函数f（t）＝e t'和g（x）＝xlnx复合而成的，即f（x）＝x x（x＞0）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（）A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为．14．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（4+x），若f（﹣1）＝2，则f（2021）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣a＝0有四个不同的实数根，则a的取值范围是．16．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份20122013201420152016201720184.55.0 5.56.0 6.57.07.5投资金额x（万元）6.07.07.48.18.99.611.1年利润增长y（万元）（Ⅰ）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）（Ⅱ）现从2012年﹣2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长﹣投资金额，求这两年都是λ≥2（万元）的概率？参考公式：＝＝，＝﹣．参数数据：＝359.6，＝259．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）如图所示，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在公路GH上），现向公路和中转站分别修两条简易公路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为l0万元/千米，公路造价为30万元/千米，问x取何值时，建中转站和道路总造价M最低．20．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且当n∈N*时，S n是2n+1与2m的等差中项（m为实数）．（1）求m的值及数列{a n}的通项公式，（2）令b n＝1+log2a n（n∈N*）是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（log2x）2﹣2log2x+a2．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（2）设m＞1，若对任意x∈[2，+∞），不等式f（m（2x﹣2﹣x））＜f（4x+4﹣x﹣1）恒成立，求m的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．2020-2021学年辽宁省协作校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，2}D．{2}【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y||y|＞1，y∈N}＝{y|y＜﹣1或y＞1，y∈N}，∴A∩B＝{2}．故选：D．2．（5分）设函数f（x）＝，则f[f（3）]＝（）A．B．3C．D．【解答】解：函数f（x）＝，则f（3）＝，∴f[f（3）]＝f（）＝+1＝，故选：D．3．（5分）设m∈R，命题“存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0有实根”的否定是（）A．任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根B．任意m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根C．存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根D．存在m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根【解答】】解：命题是特称命题，则命题的否定是：任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根．故选：A．4．（5分）设正数x，y满足：x＞y，x+2y＝3，则+的最小值为（）A．B．C．4D．2【解答】解：正数x，y满足：x＞y，x+2y＝3，即有2x+4y＝6，则+＝[（x﹣y）+（x+5y）]（+）＝（10++）≥（10+2）＝×16＝．当且仅当3（x﹣y）＝x+5y，即有x＝2，y＝，取得最小值．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a≥0或a＜﹣12B．﹣12＜a≤0C．﹣12＜a＜0D．a＞0或a＜﹣12【解答】解：∵f（x）的定义域是R，∴a＝0时，﹣3＜0恒成立；a≠0时，△＝a2+12a＜0，解得﹣12＜a＜0，满足ax2+ax﹣3＜0恒成立，∴实数a的取值范围为﹣12＜a≤0．故选：B．6．（5分）若函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（1，]D．（1，2]【解答】解：令t＝g（x）＝8x﹣ax2，∵a＞0且a≠1，可知函数g（x）＝8x﹣ax2的图象是开口向下得抛物线，由＜a2，解得a＞．若a＞1，外函数y＝log a t为增函数，要使复合函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则，解得a∈∅；若，外函数y＝log a t为减函数，要使复合函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则，解得，综上，a的取值范围是（，1）．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝x n+（n为正整数），有下列四种说法：①函数f（x）始终为奇函数；②当n为偶数时，函数f（x）的最小值为8；③当n为奇数时，函数f（x）的极大值为﹣8；④当n＝1时，函数y＝f（x）的图像关于直线y＝2x对称．其中所有正确说法的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝x n+（n为正整数），有下列四种说法：对于①，当n为奇数时，函数f（x）始终为奇函数，故①错误；对于②，当n为偶数时，设x n＝t，所以f（t）＝t+为对勾函数，当且仅当t＝4时，函数f（t）的最小值为8，故②正确；对于③，当n为奇数时，设x n＝t（t＜0），所以f（t）＝＝﹣8，函数f（x）的极大值为﹣8，故③正确；④当n＝1时，函数y＝f（x）的图像关于原点对称，故④错误．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【解答】解：函数f（x）＝x sin x+cos x+x2的导数为：f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x+2x＝x（2+cos x），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）＝x sin x+cos（﹣x）+（﹣x）2＝f（x），则为偶函数，即有f（x）＝f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥0【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0的解集为R，∴函数f（x）＝x2﹣2ax+a的图象始终在x轴上方，即△＜0，∴（﹣2a）2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，又{a|0＜a＜1}⫋{a|0≤a≤1}，{a|0＜a＜1}⫋{a|a≥0}，∴“0≤a≤1”和“a≥0”是“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0的解集为R”的必要不充分条件．故选：BD．10．（5分）已知函数+1，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．关于x的不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2的解集为C．函数f（x）在R上是增函数D．函数f（x）的图象的对称中心是（0，1）【解答】解：因为＞|x|，所以+x＞0恒成立，所以f（x）的定义域为R，f（x）+f（﹣x）＝2019x+ln（+x）﹣2019﹣x+1+2019﹣x+ln（﹣x）﹣2019x+1＝2，故f（x）不是奇函数，故A错误；因为y＝2019x为增函数，y＝﹣2019﹣x+1为增函数，g（x）＝ln（+x），g（﹣x）＝ln（﹣x）＝ln＝﹣ln（+x）＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，且g（x）在（0，+∞）为增函数，所以g（x）在R上为增函数，所以f（x）在R上是增函数，故C正确；不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2等价于f（2x﹣1）＞2﹣f（2x）＝f（﹣2x），因为f（x）在R上为增函数，所以2x﹣1＞﹣2x，解得x＞，即不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2的解集为，故B正确；由f（x）+f（﹣x）＝2，可得函数f（x）的图象的对称中心是（0，1），故D正确．故选：BCD．11．（5分）定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则使得f（x）＜4在（﹣∞，m]上恒成立的m可以是（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），所以f（x）＝2f（x﹣1）＝4f（x﹣2）＝...，或f（x）＝f（x+1）＝f（x+2）＝...，可得f（x）的图象特点是每向右平移1个单位，函数值变为原来的2倍，每向左平移1个单位，函数值变为原来的倍，作出f（x）的图象如右：当x∈[1，2），则x﹣1∈[0，1），f（x）＝2f（x﹣1）＝2（1﹣|2x﹣3|）＝2﹣|4x﹣6|∈[0，2]，x∈[1，2），当x∈[2，3），则x﹣2∈[0，1），f（x）＝4f（x﹣2）＝4（1﹣|2x﹣5|）＝4﹣|8x﹣20|∈[0，4]，x∈[2，3），......，可得f（x）在（﹣∞，]的最大值为f（）＝4，所以要使f（x）＜4在（﹣∞，m]上恒成立，只需m＜，故选：AB．12．（5分）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝x x（x＞0），我们可以作变形：，所以f（x）可看作是由函数f（t）＝e t'和g（x）＝xlnx复合而成的，即f（x）＝x x（x＞0）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（）A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值【解答】解：根据材料知，，故，令h′（x）＝0，解得x＝e，∴h（x）有极大值且为，无极小值．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%．【解答】解：根据题意，K2＝≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5%14．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（4+x），若f（﹣1）＝2，则f（2021）＝﹣2．【解答】解：∵f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（4+x），∴f（x+6）＝f（2﹣（x+2））＝f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x+12）＝﹣f（x+6）＝f（x），∴f（2021）＝f（12×168+5）＝f（5）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故答案为：﹣2．15．（5分）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣a＝0有四个不同的实数根，则a的取值范围是0＜a＜或a＝．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）＝|log3x|单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）＝|log3x|单调递增，f（x）极小值＝f（1）＝0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）先递减后单调递增，当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递减，所以f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（0）＝，若方程f（x）﹣a＝0有四个不同的实数根，则f（x）＝a有四个不同的实数根，即y＝f（x）与y＝a有四个交点，所以实数a的取值范围为：0＜a＜或a＝．故答案为：0＜a＜或a＝．16．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意，令f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣alnx，f′（x）＝x+1﹣a﹣，令f′（x）＝0，可得（x﹣a）（x+1）＝0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（a）＝+a﹣a2﹣alna，所以+a﹣a2﹣alna＞2a﹣a2，令g（a）＝a2﹣a﹣alna＞0，（a＞0），所以g（a）＝a﹣lna﹣1＞0，则g′（a）＝1﹣，令g′（a）＝0，得a＝1，所以当a∈（0，1）时，g（a）单调递减，当a∈（1，+∞）时，g（a）单调递增，所以当a＝1时，g（a）min＝0，由函数y＝a﹣1和函数y＝lna可得y＝a﹣1的图象在y＝lna的上方，所以a＞0且a≠1，故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份20122013201420152016201720184.55.0 5.56.0 6.57.07.5投资金额x（万元）年利润增长y（万6.07.07.48.18.99.611.1元）（Ⅰ）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）（Ⅱ）现从2012年﹣2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长﹣投资金额，求这两年都是λ≥2（万元）的概率？参考公式：＝＝，＝﹣．参数数据：＝359.6，＝259．【解答】解：（Ⅰ）由题意，计算＝6，＝8.3，7＝348.6，又＝359.6，＝259，所以＝＝＝≈1.571，所以＝﹣＝8.3﹣1.571×6＝﹣1.126≈﹣1.13，那么回归直线方程为：＝1.57x﹣1.13；将x＝8代入方程得＝1.57×8﹣1.13＝11.43，即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元；（Ⅱ）由题意可知，年份2012201320142015201620172018λ 1.52 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6这两年都是λ≥2（万元）的概率为P＝＝．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2成立，②当B不是空集时，∵B⊆A，，解得﹣1≤m≤2，综上①②，m的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅，∴m+1≥2m﹣1，m≤2，∵A∩B＝∅时，2m﹣1≥4或m+1＜﹣3，解得，∴m＜﹣4，∴A∩B≠∅，﹣4≤m≤2，∴m的取值范围为：[﹣4，2]．19．（12分）如图所示，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在公路GH上），现向公路和中转站分别修两条简易公路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为l0万元/千米，公路造价为30万元/千米，问x取何值时，建中转站和道路总造价M最低．【解答】解：（1）∵AB＝y，AB＝AC+1，∴AC＝y﹣1．在直角三角形BCF中，∵CF＝x，∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，BC＝2x．由于2x+y﹣1＞y，得．在△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，∴（y﹣1）2＝y2+4x2﹣2xy∴∵y＞0，，∴x＞1∴y关于x的函数解析式是；（2）M＝30（2y﹣1）+40x＝10令x﹣1＝t，则M＝10（）≥490当且仅当t＝，x＝，时，总造价M最低．20．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且当n∈N*时，S n是2n+1与2m的等差中项（m为实数）．（1）求m的值及数列{a n}的通项公式，（2）令b n＝1+log2a n（n∈N*）是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵n∈N*时，S n是2n+1与2m的等差中项，∴，n∈N*，即，n∈N*，∴，n∈N*，∴，n∈N*，∴，n≥2，∵{a n}是等比数列，∴在n＝1时必成立，∴a n的通项公式为，又，a1＝S1＝2+m，∴2+m＝1，即m＝﹣1；（2）由（1）知，∴b n＝1+log2a n＝n，设，＝，∴{∁n}为递增数列，时∁n＞，则＞，∴k＜10，∴k max＝9．21．（12分）已知函数f（x）＝（log2x）2﹣2log2x+a2．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（2）设m＞1，若对任意x∈[2，+∞），不等式f（m（2x﹣2﹣x））＜f（4x+4﹣x﹣1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）可令t＝log2x，则y＝t2﹣2t+a2，由x＞0，可得t∈R，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，等价为t∈R，y＝t2﹣2t+a2＞0恒成立，则△＝4﹣4a2＜0，解得a＞1或a＜﹣1；（2）令t＝log2x，因为x≥2，则t≥1，因为y＝t2﹣2t+a2的对称轴为t＝1，所以y＝t2﹣2t+a2在[1，+∞）递增，即f（x）在[2，+∞）递增，因为x≥2，所以2x﹣2﹣x≥＞2，4x+4﹣x﹣1＞2，因为m＞1，所以m（2x﹣2﹣x）＞2，因为f（m（2x﹣2﹣x））＜f（4x+4﹣x﹣1），所以m（2x﹣2﹣x）＜4x+4﹣x﹣1，即m＜，因为4x+4﹣x﹣1＝（2x﹣2﹣x）2+1，所以m＜2x﹣2﹣x+，因为2x﹣2﹣x≥，所以2x﹣2﹣x+≥+＝，故m＜，因为m＞1，所以m的取值范围是（1，）．22．（12分）设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．【解答】解：（1）不等式f（x）＜0即，记，依题意，函数F（x）＞0在（0，1）上恒成立，，由x∈（0，1）可知，，①当0＜t≤2时，F′（x）＜0，此时函数F（x）在（0，1）上单调递减，故F（x）＞F（1）＝0满足条件；②当t＞2时，存在x0∈（0，1）使得F′（x0）＝0，由的性质知，x∈（0，x0）时，F′（x）＜0；x∈（x0，1）时，F′（x）＞0，则函数F（x）在（0，x0）上单减，在（x0，1）上单增，因为F（1）＝0，所以F（x0）＜0，则F（x）＞0不恒成立，即t＞2不满足条件．综上，实数t的取值范围为（0，2]；（2）证明：由常见不等式可知，当x∈（0，1）时，，∴要证，只需证，即证，又x∈（0，1），故只需证e x＜（x+1）2，即证e x﹣（x+1）2＜0，令h（x）＝e x﹣（x+1）2，x∈（0，1），则h′（x）＝e x﹣2x﹣2，h''（x）＝e x﹣2，易知当x∈（0，ln2）时，h''（x）＜0，h′（x）单减；当x∈（ln2，1）时，h''（x）＞0，h′（x）单增，∴h′（x）min＝h′（ln2）＝﹣2ln2，又h′（0）＝﹣1，h′（1）＝e﹣4＜0，∴h′（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为减函数，∴h（x）＜h（0）＝0，即e x﹣（x+1）2＜0，即得证．。
2020-2021学年辽宁省鞍山市高二下学期期末考试数学试卷(解析版)
辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2] B．[3，5] C．[2，3] D．[3，5）『答案』A『解析』因为集合A＝{x|x＞3}，所以∁R A＝{x|x≤3}，又B＝{x|≤0}＝{x|x≤2或x＞5}，故（∁R A）∩B＝（﹣∞，2]．故选：A．2．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2『答案』B『解析』∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）＝|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0『答案』A『解析』设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则P（B）＝0.5，P（A|B）＝1，P（A|）＝0.25，P（A）＝P（AB）+P（A）＝＝1×0.5+0.25×0.5＝0.625．故选：A．4．在（x﹣）5的二项展开式中，x2的系数是（）A．8 B．﹣8 C．10 D．﹣10『答案』D『解析』∵（x﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣3r，令5﹣3r＝2，求得r＝1，可得展开式中x2的系数是﹣10，故选：D．5．疫情期间以网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（9，12），则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）（四舍五入保留整数）参考数据：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．15 B．16 C．31 D．32『答案』B『解析』，故所求人数为100×0.1587≈16．故选：B．6．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件『答案』C『解析』对于A，“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，正确；对于B，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”，正确；对于C，“x2﹣2x﹣3＞0”等价于“x＜﹣1或x＞3”，∴“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，错误；对于D，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，正确．故选：C．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1＞0，S10＝S20，则不成立是（）A．d＜0 B．a16＜0C．S n的最大值是S15D．当且仅当S n＜0时，n＝32『答案』D『解析』设等差数列{a n}的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d ＝0，又a1＞0，所以d＜0，故选项A正确；由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n＞0；当n≥16时，a n＜0，所以选项C正确．因为S31＝（a1+a31）＝31a16＜0，所以选项D错误．故选：D．8．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a『答案』A『解析』构造函数g（x）＝，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝，即函数g（x）单调递增，则a＝f（2）＝＝g（2），b＝f（3）＝＝g（3），c＝（+1）f（）＝＝g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．z＝（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜04．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假5．已知命题p：∀x＞0，e x+1＞0；命题q：a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∧￢q6．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为＝0.7x+0.35，则t等于（）x3456y 2.5t4 4.5A．4.5B．3.5C．3.15D．37．在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A．24B．30C．48D．608．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中；丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（）A．甲和丙B．乙和丁C．甲和丁D．乙和丙9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的概率为（）A．B．C．D．10．二项展开式的第三项系数为15，则的二项展开式中的常数项为（）A．1B．6C．15D．2011．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝|x|e x，若g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．（2，+∞）B．（e+，+∞）C．（2，e）D．（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝．14．．15．已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D（ξ）＝．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r＝，（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝1.3，，＝，＝．18．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 19．2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如图：（1）求图中实数a的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝e x﹣1﹣1．（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤g（x）+a在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．22．在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1的直角坐标方程与C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|+|PB|的值．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．2．z＝（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：∵z＝＝，∴．故选：C．3．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0【分析】由特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化．解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故选：C．4．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【分析】命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；由已知条件然后逐项判断即可．解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．5．已知命题p：∀x＞0，e x+1＞0；命题q：a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】容易判断出p是真命题，q是假命题，所以得到p∧￢q为真命题．解：∵∀x＞0，e x+1＞e1＝e＞0，∴命题p为真命题，当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足a＜b，但不满足a2＜b2，∴命题q为假命题，∴p∧￢q为真命题，故选：A．6．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为＝0.7x+0.35，则t等于（）x3456y 2.5t4 4.5A．4.5B．3.5C．3.15D．3【分析】计算代入回归方程求出，根据平均数公式列方程解出t．解：＝，∴＝0.7×4.5+0.35＝3.5，∴，解得t＝3．故选：D．7．在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A．24B．30C．48D．60【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有C C C＝12种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有A C A＝48种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48＝60种，故选：D．8．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中；丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（）A．甲和丙B．乙和丁C．甲和丁D．乙和丙【分析】本题主要抓住甲、丁的预测是一样的这一特点，则甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设甲、丁的预测成立，则乙、丙的预测不成立，可推出矛盾，故甲、丁的预测不成立，则乙、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是甲和丁．解：由题意，可知：∵甲、丁的预测是一样的，∴甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设甲、丁的预测成立，则乙、丙的预测不成立，根据甲、丁的预测，丙获奖，乙、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故甲、丁的预测不成立，②甲、丁的预测不成立，则乙、丙的预测成立，∵乙、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵甲、丁的预测不成立，乙的预测成立，∴丙不获奖，甲获奖．从而获奖的是甲和丁．故选：C．9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的概率为（）A．B．C．D．【分析】先利用排列组合求出基本事件总数和甲被分到A班包含的基本事件个数，由此能求出甲被分到A班的概率．解：要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，基本事件总数n＝＝36，甲被分到A班包含的基本事件个数m＝＝12，∴甲被分到A班的概率为p＝．故选：B．10．二项展开式的第三项系数为15，则的二项展开式中的常数项为（）A．1B．6C．15D．20【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵二项展开式的第三项系数为＝15，∴n＝6，则的二项展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为T4＝＝20，故选：D．11．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意，计算正方形EFGH与圆I的面积比，利用对立事件的概率求出P（B|A）的值．解：由题意，设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为r＝a，面积为πa2；正方形EFGH的边长为a，面积为2a2；∴所求的概率为P（B|A）＝1﹣＝1﹣．故选：C．12．已知函数f（x）＝|x|e x，若g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．（2，+∞）B．（e+，+∞）C．（2，e）D．（）【分析】函数f（x）＝|x|e x＝，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令f2（x）﹣af（x）+1＝0，对△＝a2﹣4及其a分类讨论，结合图象即可得出．解：函数f（x）＝|x|e x＝，x≥0，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x＞0，因此x≥0时，函数f（x）单调递增．x＜0，f（x）＝﹣xe x，f′（x）＝﹣（x+1）e x，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增；可得函数f（x）在（﹣1，0）单调递减．可得：f（x）在x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，f（﹣1）＝．画出图象：可知：f（x）≥0．令f2（x）﹣af（x）+1＝0，①△＝a2﹣4＜0时，函数g（x）无零点．②△＝0时，解得a＝2或﹣2，a＝2时，解得f（x）＝1，此时函数g（x）只有一个零点，舍去．a＝﹣2，由f（x）≥0，可知：此时函数g（x）无零点，舍去．③△＝a2﹣4＞0，解得a＞2或a＜﹣2．解得f（x）＝，f（x）＝．a＜﹣2时，＜0，＜0．此时函数g（x）无零点，舍去．因此a＞2，可得：0＜＜1＜．由g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，∴a＞2，0＜＜，1＜．解得：a＞+e．则a取值范围为．另解：由g（t）＝t2﹣at+1有两根，一个在（0，）上，一个在（，+∞）上，∴△＝a2﹣4＞0，g（）＝﹣a•+1＜0，解得a＞e+．∴a取值范围为．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝0.8．【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知结合对称性求解．解：∵随机变量X～N（1，σ2），∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝1．又P（X＞2）＝0.2，∴P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝1﹣P（X＜0）＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．14．．【分析】由于dx＝，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．解：由于，表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积＝π×1＝，又＝＝0，∴原式＝．故答案为：．15．已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D（ξ）＝．【分析】先求出每次抽出红球的概率，然后利用ξ～B（3，），由方差的计算公式求解即可．解：由题意，每次抽出红球的概率为，所以ξ～B（3，），故ξ的方差D（ξ）＝np（1﹣p）＝＝．故答案为：．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为π．【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝＝2，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝π，故答案为：π．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r＝，（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝1.3，，＝，＝．【分析】（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．（Ⅱ）根据公式计算线性回归方程，再令x＝2019可得．解：（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．…………………………（Ⅱ），，∴y关于x的线性回归方程是．当x＝2019时，，即A地区2019年足球特色学校有208个．…………………………18．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B 总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．19．2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如图：（1）求图中实数a的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a，并能估算平均分．（2）记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，则X～B（4，0.1），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030．估算平均分为：＝45×0.005×10+55×0.010×10+65×0.020×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.010×10＝74．（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，由频率分布直方图的性质得得分在90分以上的频率为0.010×10＝0.1，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，则X～B（4，0.1），P（X＝0）＝＝0.6561，P（X＝1）＝＝0.2916，P（X＝2）＝＝0.0486，P（X＝3）＝＝0.0036，P（X＝4）＝＝0.0001，∴X的分布列为：X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001 E（X）＝4×0.1＝0.4．20．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝e x﹣1﹣1．（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤g（x）+a在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，，然后对a进行分类讨论，再结合导数与单调性关系即可求解；（2）由已知不等式可令F（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a，x≥1，然后求导，结合导数研究单调性，即可求解．解：（1）函数f（x）定义域是（0，+∞），，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无减区间；当a＜0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，（2）由已知e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a≥0在x≥1恒成立，令F（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a，x≥1，则，易得F'（x）在[1，+∞）递增，∴F'（x）≥F'（1）＝﹣a，①当a≤0时，F'（x）≥0，F（x）在[1，+∞）递增，所以F（x）≥F（1）＝0成立，符合题意．②当a＞0时，F'（1）＝﹣a＜0，且当x＝ln（a+1）+1时，，∴∃x0∈（1，+∞），使F'（x）＝0，即∃x∈（1，x0）时F'（x）＜0，F（x）在（1，x0）递减，F（x）＜F（1）＝0，不符合题意．综上得a≤0．21．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．【分析】（1）设抛物线的方程为x2＝ay，代入A（2，1），可得a＝4，即可求抛物线E 的标准方程和准线方程；（2）设出AB和AC所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得B，C两点的横坐标，再由两点式写出直线BC的方程，把B，C的坐标，k1+k2＝k1k2，代入后整理，利用相交线系方程的知识可求出直线BC恒过的定点．【解答】（1）解：设抛物线的方程为x2＝ay，则代入A（2，1），可得a＝4，∴抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝﹣1；（2）证明：设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB方程y＝k1（x﹣2）+1，AC方程y＝k2（x﹣2）+1，联立直线AB方程与抛物线方程，消去y，得x2﹣4k1x+8k1﹣4＝0，∴x1＝4k1﹣2①同理x2＝4k2﹣2②而BC直线方程为y﹣x12＝（x﹣x1），③∵k1+k2＝k1k2，∴由①②③，整理得k1k2（x﹣2）﹣x﹣y﹣1＝0．由x﹣2＝0且﹣x﹣y﹣1＝0，得x＝2，y＝﹣3，故直线BC经过定点（2，﹣3）．22．在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1的直角坐标方程与C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）曲线，根据，整理得：y2＝4x．曲线C2的参数方程为（t为参数）转换为普通方程为：．（2）把直线的参数方程为（t为参数），代入y2＝4x，得到：．所以，，所以|PA|+|PB|＝＝．。
辽宁省2023-2024学年高二下学期期初教学质量检测数学试题
15． Sn 为数列{an} 的前 n 项和，已知 a1 = 2 ， 2Sn = (n an+1 +1) ．
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)证明：当 n
³
2
时，
1 a1a2
+
1 a2a3
+×××+
1 an-1an
<
1 2
．
16．某单位为了解性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了 100 名员工，
一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从 A 点出发，记机器
人执行 n 次程序后，仍回到 A 点的概率为 P (n) ，则下列结论正确的是（ ）
A．
P
(
2)
=
1 3
C．
P
(
7)
=
21 64
B． n ³ 2 时，有 2P (n) = 1- P (n -1)
D．
P
(
n)
=
1 3
éê1 êë
=
1 3
´
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 满足 ,则 =( )
A． B． C． D．
2．用反证法证明：若整系数一元二次方程 有有理数根，那么 、 、 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
k
3.841
6.635
10.828
19．如图， 矩形 所在平面， ， 、 分别是 、 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的正弦值.
20．动点 满足 .
（1）求 点的轨迹并给出标准方程；
（2）已知 ，直线 ： 交 点的轨迹于 ， 两点，设 且 ，求 的取值范围.
15．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则a=．
16．已知函数 ，有三个不同的零点，则实数 的取值范围是__________．
三、解答题
17． 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，且公比 .
（1）求 及 ；
（2）是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由
18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：
8．用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 、 、 、 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）
A．24B．36C．72D．84
9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
6．函数 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 ，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ，则此三角形面积的最大值为( )
A． B． C． D．
4． 的展开式中 的系数是（）
A．56B．84C．112D．168
5．为了研究某班学生的脚长 （单位厘米）和身高 （单位厘米）的关系，从该班随机抽取 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 ， ， ．该班某学生的脚长为 ，据此估计其身高为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，
所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理根，那么 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设 都不是偶数”，故选B．
【点睛】
本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
10．已知定义在 上的奇函数 ，设其导函数为 ，当 时，恒有 ，令 ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（ ）
A．跑步比赛B．跳远比赛C．铅球比赛D．无法判断
12．已知函数 的导函数 满足 对 恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
14．计算 得__________．
（2）射线 ： 与曲线 交于点 ，射线 ： 与曲线 交于点 ，求 的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]
设函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）求证： ．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由 得 ，故选D．
考点：复数运算．
2．B
【分析】
根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案．
A．假设 、 、 都是偶数
B．假设 、 、 都不是偶数
C．假设 、 、 至多有一个偶数
D．假设 、 、 至多有两个偶数
3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
3．B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
4．D
【解析】
因为 的展开式中 的系数为 ， 的展开式中 的系数为 ，所以 的系数为 .故选D.
【考点定位】二项式定理
5．C
【详解】
由已知 ,
， 故选C.
6．A
【分析】
求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.
【详解】
21．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的最大值；
（2）令 ，讨论函数 的单调区间；
（3）若 ，正实数 满足 ，证明 .
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
解：当 时， ，则 ，
若 ， ， ，
若 ， ， ，
则 恒成立，
即当 时， 恒成立，
则 在 上单调递减，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.
7．C
【分不等式，即可得出结论．
【详解】
由题意，p＝10，
S 8 ，
∴此三角形面积的最大值为8 ．